幾何證明題解題技巧

1、-幾何證明題解題技巧息縣五中 敖 勇【知識精讀】 1. 幾何證明是平面幾何中的一個重要問題，它對培養(yǎng)學生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種根本類型：一是平面圖形的數(shù)量關系；二是有關平面圖形的位置關系。這兩類問題常常可以相互轉化，如證明平行關系可轉化為證明角等或角互補的問題。 2. 掌握分析、證明幾何問題的常用方法：1綜合法由因導果，從條件出發(fā)，通過有關定義、定理、公理的應用，逐步向前推進，直到問題的解決；2分析法執(zhí)果索因從命題的結論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到事實為止；3兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來，分析

2、法利于思考，綜合法易于表達，因此，在實際思考問題時，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設與結論的距離，最后到達證明目的。 3. 掌握構造根本圖形的方法：復雜的圖形都是由根本圖形組成的，因此要善于將復雜圖形分解成根本圖形。在更多時候需要構造根本圖形，在構造根本圖形時往往需要添加輔助線，以到達集中條件、轉化問題的目的。【分類解析】1、證明線段相等或角相等兩條線段或兩個角相等是平面幾何證明中最根本也是最重要的一種相等關系。很多其它問題最后都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質，其它如線段中垂線的性質、角平分線的性質、等腰三角形的判定與性質等也經常用到。例1.

3、 ：如圖1所示，中，。求證：DEDF分析：由是等腰直角三角形可知，由D是AB中點，可考慮連結CD，易得，。從而不難發(fā)現(xiàn)證明：連結CD說明：在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的輔助線；在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的中線或高是常用的輔助線。顯然，在等腰直角三角形中，更應該連結CD，因為CD既是斜邊上的中線，又是底邊上的中線。此題亦可延長ED到G，使DGDE，連結BG，證是等腰直角三角形。有興趣的同學不妨一試。例2. ：如圖2所示，ABCD，ADBC，AECF。求證：EF證明：連結AC在和中，在和中，說明：利用三角形全等證明線段求角相等。常須添輔助線，制造全等三角形，這時應注意：1制造的

4、全等三角形應分別包括求證中一量；2添輔助線能夠直接得到的兩個全等三角形。2、證明直線平行或垂直在兩條直線的位置關系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、錯角或同旁角的關系來證，也可通過邊對應成比例、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉化為證一個角等于90°，或利用兩個銳角互余，或等腰三角形“三線合一來證。例3. 如圖3所示，設BP、CQ是的角平分線，AH、AK分別為A到BP、CQ的垂線。求證：KHBC分析：由，BH平分ABC，又BHAH，延長AH交BC于N，則BABN，AHHN。同理，延長AK交BC于M，則CACM，AKKM。從而由三角形的中位線定理，知KH

5、BC。證明：延長AH交BC于N，延長AK交BC于MBH平分ABC又BHAH BHBH同理，CACM，AKKM是的中位線即KH/BC說明：當一個三角形中出現(xiàn)角平分線、中線或高線重合時，則此三角形必為等腰三角形。我們也可以理解成把一個直角三角形沿一條直角邊翻折軸對稱而成一個等腰三角形。例4. ：如圖4所示，ABAC，。求證：FDED證明一：連結AD在和中，說明：有等腰三角形條件時，作底邊上的高，或作底邊上中線，或作頂角平分線是常用輔助線。證明二：如圖5所示，延長ED到M，使DMED，連結FE，F(xiàn)M，BM說明：證明兩直線垂直的方法如下：1首先分析條件，觀察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用輔助線，

6、見此題證二。2找到待證三直線所組成的三角形，證明其中兩個銳角互余。3證明二直線的夾角等于90°。3、證明一線段和的問題一在較長線段上截取一線段等一較短線段，證明其余局部等于另一較短線段。截長法例5. ：如圖6所示在中，BAC、BCA的角平分線AD、CE相交于O。求證：ACAECD分析：在AC上截取AFAE。易知，。由，知。，得：證明：在AC上截取AFAE又即二延長一較短線段，使延長局部等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長線段。補短法例6. ：如圖7所示，正方形ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在BC上，。求證：EFBEDF分析：此題假設仿照例1，將會遇到困難，不易利

7、用正方形這一條件。不妨延長CB至G，使BGDF。證明：延長CB至G，使BGDF在正方形ABCD中，又即GAEFAE4、中考題：如圖8所示，為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，并且使AEBD，連結CE、DE。求證：ECED證明：作DF/AC交BE于F是正三角形是正三角形又AEBD即EFAC題型展示：證明幾何不等式：例題：如圖9所示，。求證：證明一：延長AC到E，使AEAB，連結DE在和中，證明二：如圖10所示，在AB上截取AFAC，連結DF則易證說明：在有角平分線條件時，常以角平分線為軸翻折構造全等三角形，這是常用輔助線?！緦崙?zhàn)模擬】 1. ：如圖11所示，中，D是AB上一點，DECD于D，交BC于E，且有。求證： 2. ：如圖12所示，在中，CD是C的平分線。求證：BCACAD 3. ：如圖13所示，過的頂點A，在A任引一射線，過B、C作此射線的垂線BP和CQ。設M為BC的中點。求證：MPMQ 4. 中，于D，求證：【試題答案】 1. 證明：取CD的中點F，連結AF又 2. 分析：此題從和圖形上看好象比較簡單，但一時又不知如何下手，則在證明一條線段等于兩條線段之和時，我們經常采用“截長補短的手法?！敖亻L即將長的線段截