概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)+連續(xù)型隨機(jī)變量

1、 波松分布是一種可以用來(lái)描述和分析隨機(jī)地波松分布是一種可以用來(lái)描述和分析隨機(jī)地發(fā)生在單位空間或發(fā)生在單位空間或 時(shí)間里的時(shí)間里的稀有事件稀有事件的概率分的概率分布。要觀察到這類事件，樣本含量布。要觀察到這類事件，樣本含量 n 必須很大必須很大 。 在生物、醫(yī)學(xué)研究中，服從波松分布的隨機(jī)在生物、醫(yī)學(xué)研究中，服從波松分布的隨機(jī)變量是常見(jiàn)的。如，變量是常見(jiàn)的。如， 一定畜群中某種患病率很一定畜群中某種患病率很低的非傳染性疾病患病數(shù)或死亡數(shù)，低的非傳染性疾病患病數(shù)或死亡數(shù)， 畜群中遺畜群中遺傳的畸形怪胎數(shù)，傳的畸形怪胎數(shù)， 每升飲水中大腸桿菌數(shù)，計(jì)每升飲水中大腸桿菌數(shù)，計(jì)數(shù)器小方格中血球數(shù)，數(shù)器小方格

2、中血球數(shù)， 單位空間中某些野生動(dòng)單位空間中某些野生動(dòng)物或昆蟲(chóng)數(shù)等，都是服從波松分布的。物或昆蟲(chóng)數(shù)等，都是服從波松分布的。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)泊松分布的定義泊松分布的定義 ).(,!,PXX.kkekXPk記為記為布布的泊松分的泊松分服從參數(shù)為服從參數(shù)為則稱則稱是常數(shù)是常數(shù)其中其中值的概率為值的概率為而取各個(gè)而取各個(gè)的值為的值為設(shè)隨機(jī)變量所有可能取設(shè)隨機(jī)變量所有可能取0210210 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)v例例1111 盡管在幾何教科書中已經(jīng)講過(guò)用圓規(guī)和直尺三等分一個(gè)任意角是不可能的，但每年總有一些“發(fā)明者”撰寫關(guān)于用圓規(guī)和直尺將角三等分的文章。設(shè)某地每年撰寫此類文章的篇

3、數(shù)服從泊松分布P(6),那么明年至多有一篇此類文章的概率是多少？概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)泊松定理泊松定理 ekkXPknpppCkXPpnBXknnnknnknknn!lim,lim)(),(有有則則對(duì)對(duì)任任意意非非負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)且且滿滿足足設(shè)設(shè)01概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)二項(xiàng)分布與二項(xiàng)分布與Poisson近似的比較近似的比較 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 泊松分布泊松分布n很大很大, p 很小很小上面的表告訴我們上面的表告訴我們概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例例12 12 (人壽保險(xiǎn)問(wèn)題)設(shè)有10,00010,000個(gè)人參加了人壽保險(xiǎn),每年保費(fèi)200200

4、元，死亡賠償金100,000100,000元。若他們的死亡率為0.0010.001,求保險(xiǎn)公司獲利不少于500,000500,000元的概率是多少? 保險(xiǎn)公司的收入是 10000200=2000000 元元解解 設(shè)X表示這一年內(nèi)的死亡人數(shù),則(10000,0.001)XB概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 保險(xiǎn)公司這一年里賠出100000X 元.假定 2000000-100000X500000,即X 15.由泊松定理，得由泊松定理，得10000 0.00110,PX1510150100.951.!kkek1510000100000(15)0.001(1 0.001)0.9513.kkkkP XC

5、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)v例例13 13 設(shè)廠里有8080臺(tái)同類型設(shè)備，各臺(tái)工作相互獨(dú)立的，每臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障的概率都是0.010.01，且每個(gè)工人同時(shí)只能維修一臺(tái)設(shè)備。現(xiàn)要配備工人共同負(fù)責(zé)維護(hù)8080臺(tái)設(shè)備，問(wèn)至少需要幾個(gè)維修工人才能以9595以上的概率保證設(shè)備發(fā)生故障可得到及時(shí)修理？概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)v問(wèn)題問(wèn)題2.1 2005年全國(guó)新生嬰兒大約19,000,000，如何描述他們的體重? x/PxO46 758 9 10圖ax/PxO46 758 9 10b圖x( )p xO46 758 9 10圖c 密度函數(shù)密度函數(shù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)vx軸表示體重（單位：

6、500g),y軸表示單位長(zhǎng)度上的頻率。v稱X為具有密度函數(shù)f(x)的連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量，如果對(duì)任意的ab ，都有(1) ( )0f x ()( )baP aXbf x dxv密度函數(shù)f(x)有兩條基本性質(zhì)：(2)( )1.f x dx概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)v連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)的性質(zhì)與離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)非常相似，但是，密度函數(shù)不是密度函數(shù)不是概率！概率！x( )p xO46 758 9 10圖cv對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量X，有()( )0.aaP Xaf x dx概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)v例例1 1 設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為3,01;( )0,Axxf

7、x其他。求常數(shù)A的值。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)v例例2 2 連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為,0;( )0,xexf x其他。 求 (1)常數(shù) ; 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1 1(, )2 2(2)X落在區(qū)間 內(nèi)的概率。v例例3 3 已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為,01;( )2,12;0,xxf xxx其他。1322XP().求概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)v稱函數(shù) 為隨機(jī)變量X的分分布函數(shù)布函數(shù)，記為X( )F xP Xx( ).F xv對(duì)任意隨機(jī)變量X，都有()( )( ).F aXbF bF av對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量X，其分布函數(shù)為( )()( ).xF xPXxf t dt 概

8、率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)v若f(x)在x處連續(xù)，則( )( ).F xf xv例例4 4 設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為21,11;( )10,xf xx 其他。 求X的分布函數(shù)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)v例例5 5 已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為,01;( )2,12;0,xxf xxx其他。求X的分布函數(shù)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)v例例6 6 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 1 |,11;( )0,xxf x 其他。 求X的分布函數(shù)。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)v1)單調(diào)非減性單調(diào)非減性：1212( )().xxF xF x概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)v2)

9、有界性有界性：()lim( )0,()lim( )1.xxFF xFF x v3)右連續(xù)性右連續(xù)性：即：即00lim( )().xxF xF xv例例7 7 問(wèn)A為何值時(shí)，,0;( )0,0.xAexF xx F(x)是一隨機(jī)變量X的分布函數(shù)？概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)v例例8 8 服從柯西分布的隨機(jī)變量的分布函數(shù)是( )arctan .F xABx 求(1)常數(shù)A,B； (2)X的密度函數(shù)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)v例例9 9 設(shè)隨機(jī)變量X具有以下分布律X012P0.10.60.3求X的分布函數(shù)。)(xF0112概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)v設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為1p

10、nxXP1x2p2xnp其分布函數(shù)為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1;11212231110,;,;(),.ninnixxpxxxppxxxF Xpxxxv例例1010 已知離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：0,1;1,10;4()3,01;41,1.xxF Xxx 求X的分布律。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)( ).iiiixxxxF xP XxP Xxp( )()( ).xF xP Xxf t dtv連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)：v連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)：在離散場(chǎng)合，求有關(guān)事件概率時(shí)，用分布律比在離散場(chǎng)合，求有關(guān)事件概率時(shí)，用分布律比分布函數(shù)方便；在連續(xù)場(chǎng)合，求在某區(qū)間取值分布函數(shù)方便；在連續(xù)場(chǎng)合，求在某區(qū)間取值的概率時(shí)，用分布函數(shù)比密度函數(shù)更方便。的概率時(shí)，用分布函數(shù)比密度函數(shù)更方便。v綜合例綜合例1 1 某種型號(hào)電子管的壽命X(以h計(jì))具有以下的密度函數(shù)：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)21000,1000;( )0,xf xx其他。現(xiàn)有一大批這類電子管，從中購(gòu)買5只，問(wèn)至少有2只壽命大于1500 h的概率是多少？v綜合例綜合例2