第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目的：1、 理解并會(huì)用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、 理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。3、 會(huì)用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形。4、 掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。5、 知道曲率和曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。6、 知道方程近似解的二分法及切線性。教學(xué)重點(diǎn)： 1、羅爾定理、拉格朗日中值定理；2、函數(shù)的極值 ，判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法；3、函數(shù)圖形的凹凸性；4、洛必達(dá)法則。

2、教學(xué)難點(diǎn)： 1、羅爾定理、拉格朗日中值定理的應(yīng)用； 2、極值的判斷方法； 3、圖形的凹凸性及函數(shù)的圖形描繪； 4、洛必達(dá)法則的靈活運(yùn)用。第一節(jié) 中值定理一、 羅爾定理（Rollo法16521719 ）1 定理在上連續(xù)在內(nèi)可導(dǎo)則至少注：在上連續(xù) 連續(xù)曲線，且在端點(diǎn)左、右連續(xù)。在內(nèi)可導(dǎo) 曲線光滑且曲線上每一點(diǎn)有不垂直于軸的切線則至少弧上至少存在一點(diǎn)切線的斜率為0，即切線平行于軸2. 幾何意義如果連續(xù)光滑曲線在兩端點(diǎn)處的縱坐標(biāo)相等，那么曲線上至少有一點(diǎn)的切線平行于軸例1 ，驗(yàn)證羅爾定理的正確性。注：確定區(qū)間的端點(diǎn)使，一般就是方程的根。例2 不求導(dǎo)數(shù)，判斷的導(dǎo)數(shù)有幾個(gè)實(shí)根，以及其所在范圍。二階導(dǎo)數(shù)有幾

3、個(gè)實(shí)根？在上滿足Rollo中值定理 至少3注：三條件缺一不可，但反之未必成立。P124二、 拉格朗日中值定理（Lagrange法，17361813 ）1 定理在上連續(xù)在內(nèi)可導(dǎo)則至少注：則至少弧上至少存在一點(diǎn)切線平行于割線AB2. 幾何意義3重要推論在內(nèi)，在內(nèi)，在內(nèi)，在內(nèi)，例（補(bǔ)充1）(920306)(利用中值定理證明恒等式)當(dāng)時(shí)，求證：例1 ，求的值使Lagrange公式成立例2 證明不等式，例（補(bǔ)充2）（910406）證明：當(dāng)時(shí)，求證：例（補(bǔ)充3）（利用中值定理求極限）設(shè)求4Lagrange定理的其它形式：5Rollo定理與Lagrange定理的關(guān)系6Lagrange定理的物理意義（補(bǔ)充）在時(shí)間內(nèi)走過(guò)的距離在時(shí)間內(nèi)的平均速度 在時(shí)刻的瞬時(shí)速度Lagrange定理的物理意義：在這段時(shí)間內(nèi)，至少有一時(shí)刻，在該時(shí)刻的瞬時(shí)速度=這段時(shí)間的平均速度。三、 柯西定理（Cauchy法17891857 ）1 定理在上連續(xù)在內(nèi)可導(dǎo)則至少四、 三定理的關(guān)系（比較條件、結(jié)論、圖形）Rollo定理Lagrange定理Cauchy定理練習(xí)：P193/2（2）下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否滿足Lagrange定理的所有條件？如滿足，求出定理中的數(shù)值（2）作業(yè)：課堂