第二章2.2.2-第2課時(shí)

1、第2課時(shí)橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步鞏固橢圓的簡單幾何性質(zhì).2.掌握直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí).3.會(huì)判斷直線與橢圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系思考類比點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定，你能給出點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓1(ab0)的位置關(guān)系的判定嗎？答案當(dāng)P在橢圓外時(shí)，1；當(dāng)P在橢圓上時(shí)，1；當(dāng)P在橢圓內(nèi)時(shí)，b0)，則點(diǎn)P與橢圓的位置關(guān)系如下表所示：位置關(guān)系滿足條件P在橢圓外1P在橢圓上1P在橢圓內(nèi)b0)相交，兩個(gè)交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則線段AB叫做直線l截橢圓所得的弦，線段AB的長度叫做弦長弦長公式：|AB|，其中x1x2與x1x2均可由根與系數(shù)的關(guān)系得到(1)若

2、直線的斜率一定，則當(dāng)直線過橢圓的中心時(shí)，弦長最大()(2)直線y1被橢圓y21截得的弦長為.()(3)已知橢圓1(ab0)與點(diǎn)P(b,0)，過點(diǎn)P可作出該橢圓的一條切線()(4)直線yk(xa)與橢圓1的位置關(guān)系是相交()類型一點(diǎn)、直線與橢圓位置關(guān)系的判斷命題角度1點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系的判斷例1已知點(diǎn)P(k,1)，橢圓1，點(diǎn)在橢圓外，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_考點(diǎn)橢圓的簡單幾何性質(zhì)題點(diǎn)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系答案解析由題可知1，解得k.引申探究若將本例中P點(diǎn)坐標(biāo)改為“P(1，k)”呢？答案解析由1，解得k2，即k.反思與感悟處理點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系問題時(shí)，緊扣判定條件，然后轉(zhuǎn)化為解不等式等問題，注意求解過程與結(jié)

3、果的準(zhǔn)確性跟蹤訓(xùn)練1已知點(diǎn)(3,2)在橢圓1(ab0)上，則()A點(diǎn)(3，2)不在橢圓上B點(diǎn)(3，2)不在橢圓上C點(diǎn)(3,2)在橢圓上D以上都不正確考點(diǎn)橢圓的簡單幾何性質(zhì)題點(diǎn)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系答案C解析由已知，得1，只有選項(xiàng)C正確命題角度2直線與橢圓位置關(guān)系的判斷例2對不同的實(shí)數(shù)m，討論直線yxm與橢圓y21的位置關(guān)系考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問題解由消去y，得5x28mx4m240，(8m)245(4m24)16(5m2)當(dāng)m時(shí)，0，直線與橢圓相交；當(dāng)m或m時(shí)，0，直線與橢圓相切；當(dāng)m或m時(shí)，0，直線與橢圓相離反思與感悟判斷直線與橢圓位置關(guān)系時(shí)，準(zhǔn)確計(jì)算出判別式是解題

4、關(guān)鍵跟蹤訓(xùn)練2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)(0，)且斜率為k的直線l與橢圓y21有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，求k的取值范圍考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問題解由已知條件知直線l的方程為ykx，代入橢圓方程得(kx)21，整理得x22kx10，直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于8k244k220，解得k或k，所以k的取值范圍為.類型二弦長問題例3已知橢圓4x25y220的一個(gè)焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且傾斜角為45的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求弦長|AB|.考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與橢圓相交求弦長與三角形面積解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，a，b2，c1，直線l的方程為yx1(不失

5、一般性，設(shè)l過左焦點(diǎn))由消去y，得9x210x150.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，|AB|x1x2|.反思與感悟求解弦長時(shí)，需正確記憶公式內(nèi)容，其次，準(zhǔn)確得到x1x2和x1x2的值跟蹤訓(xùn)練3橢圓1(ab0)的離心率為，且橢圓與直線x2y80相交于P，Q兩點(diǎn)，若|PQ|，求橢圓方程考點(diǎn)由橢圓的簡單幾何性質(zhì)求方程題點(diǎn)由橢圓的幾何特征求方程解e，b2a2，橢圓方程為x24y2a2，與x2y80聯(lián)立消去y，得2x216x64a20，由0，得a232，由弦長公式，得10642(64a2)，a236，b29，橢圓方程為1.類型三橢圓中的最值(或范圍)問題例4已知橢圓4x2y

6、21及直線yxm.(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)橢圓中的定點(diǎn)、定值、取值范圍問題解(1)由消去y，得5x22mxm210，因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)， 所以4m220(m21)0，解得m.(2)設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，由(1)知，5x22mxm210，所以x1x2，x1x2(m21)，所以|AB| .所以當(dāng)m0時(shí)，|AB|最大，此時(shí)直線方程為yx.反思與感悟求最值問題的基本策略(1)求解形如|PA|PB|的最值問題，一般通過橢圓的定義把折線轉(zhuǎn)化為直線，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)|PA|P

7、B|取得最值(2)求解形如|PA|的最值問題，一般通過二次函數(shù)的最值求解，此時(shí)一定要注意自變量的取值范圍(3)求解形如axby的最值問題，一般通過數(shù)形結(jié)合的方法轉(zhuǎn)化為直線問題解決(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍跟蹤訓(xùn)練4已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)在橢圓1上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0)，|1，且0，求|的最小值考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)橢圓中的定點(diǎn)、定值、取值范圍問題解由|1，A(3,0)，知點(diǎn)M在以A(3,0)為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，0且P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，PMAM，即PM為A的切線，連接PA(如圖)，則|，當(dāng)|minac532時(shí)，|min.1若直線l：2xby30過橢圓C：10x

8、2y210的一個(gè)焦點(diǎn)，則b的值是()A1 BC1或1 D或考點(diǎn)由橢圓方程研究簡單幾何性質(zhì)題點(diǎn)由橢圓幾何特征求參數(shù)答案C解析易知橢圓x21的焦點(diǎn)為F1(0，3)，F(xiàn)2(0,3)，所以b1或1.2已知橢圓的方程是x22y240，則以M(1,1)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程是()Ax2y30 B2xy30Cx2y30 D2xy30考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)求橢圓中的直線方程答案A解析由題意易知所求直線的斜率存在，設(shè)過點(diǎn)M(1,1)的直線方程為yk(x1)1，即ykx1k.由消去y，得(12k2)x2(4k4k2)x2k24k20，所以1，解得k，所以所求直線方程為yx，即x2y30.3(2019牌頭中

9、學(xué)期中)設(shè)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)分別是橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，若在直線x上存在點(diǎn)P，使線段PF1的中垂線過點(diǎn)F2，則橢圓離心率的取值范圍是()A. B. C. D. 答案D解析方法一由題意知F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P，PF1的中垂線過點(diǎn)F2，|F1F2|F2P|，即2c，整理得y23c22a2.y20，3c22a20，即3e220，解得e.又0e1，e的取值范圍是.方法二設(shè)直線x與x軸交于M點(diǎn)，則|F1F2|F2P|MF2|，即2cc，整理得e21，又0e1，e0，解得m1或m0且m3，m1且m3.6已知A，B是橢圓1(ab0)長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，M，N是橢圓上關(guān)于x軸對稱的

10、兩點(diǎn)，直線AM，BN的斜率分別為k1，k2(k1k20)，若橢圓的離心率為，則|k1|k2|的最小值為()A1 B. C. D.考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)橢圓中的定點(diǎn)、定值、取值范圍問題答案A解析設(shè)M(x，y)，N(x，y)(axa)，則k1，k2，又因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，|k1|k2|21，故選A.7已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為12，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M(2,1)，則直線l的斜率為()A. B.C. D.1考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)求橢圓中的直線方程答案C解析因?yàn)闄E圓1的離心率為，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為12，所以

11、解得a2，b，所以橢圓的方程為1，因?yàn)橹本€l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M(2,1)，所以設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x24，y1y22，又因?yàn)閮墒较鄿p，得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，所以(x1x2)(y1y2)0，所以直線l的斜率為k，故選C.二、填空題8(2019牌頭中學(xué)期中)過橢圓1內(nèi)一點(diǎn)P(3,1)，且被這點(diǎn)平分的弦所在直線的方程是_答案3x4y130解析設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，由于A，B兩點(diǎn)均在橢圓上，故1，1，兩式相減得0.又P是A，B的中點(diǎn)，x1x26，y1y22，kAB.直線AB的方程為y1(

12、x3)即3x4y130.9若直線mxny4與圓x2y24沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)P(m，n)的直線與橢圓1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問題答案2解析因?yàn)橹本€mxny4與圓x2y24沒有交點(diǎn)，所以2，所以m2n20)與線段AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)若6，則k的值為_考點(diǎn)由橢圓方程研究簡單幾何性質(zhì)題點(diǎn)由橢圓幾何特征求參數(shù)答案或解析依題意得橢圓的方程為y21，直線AB，EF的方程分別為x2y2，ykx(k0)如圖，設(shè)D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(xiàn)(x2，kx2)，其中x12)，其離心率為，故，解得a4，故橢圓C2的方程為1.(2)若將A，B兩點(diǎn)的坐

13、標(biāo)分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A，B不在y軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為ykx.將ykx代入到y(tǒng)21中，得(14k2)x24，所以x.將ykx代入到1中，得(4k2)x216，所以x.又由2，得x4x，即，解得k1.故直線AB的方程為xy0或xy0.13已知橢圓1(ab0)的離心率為，橢圓上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離的最大值為1.(1)求橢圓的方程；(2)已知點(diǎn)C(m,0)是線段OF上異于O，F(xiàn)的一個(gè)定點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，是否存在過點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，使得|AC|BC|，并說明理由考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)橢圓中的定

14、點(diǎn)、定值、取值范圍問題解(1)由已知可得解得b1，橢圓的方程為y21.(2)由(1)得F(1,0)，0m1.假設(shè)存在滿足題意的直線l，設(shè)l為yk(x1)，代入到y(tǒng)21中，得(2k21)x24k2x2k220.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，y1y2k(x1x22).設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則M.|AC|BC|，CMAB，即kCMkAB1，2mk0等價(jià)于(12m)k2m，當(dāng)0m時(shí)，k ，即存在滿足條件的直線l；當(dāng)m1時(shí)，k不存在，即不存在滿足條件的直線l.四、探究與拓展14已知橢圓C：y21的右焦點(diǎn)為F，直線l：x2，點(diǎn)Al，線段AF交C于點(diǎn)B，若3，則|_.考點(diǎn)由橢圓方程研究簡單幾何性質(zhì)題點(diǎn)由橢圓方程研究其他幾何性質(zhì)答案解析設(shè)點(diǎn)A(2，n)，B(x0，y0)由橢圓C：y21，知a22，b21，所以c21，即c1，所以右焦點(diǎn)F(1,0)，所以由3得(1，n)3(x01，y0)，所以13(x01)且n3y0，所以x0，y0n.將x0，y0代入到y(tǒng)21中，得221，解得n21，所以|.15已知橢圓E：1(ab0)過點(diǎn)P(2，)，且它的離心率為.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)與圓(x1)2y21相切的直線l：ykxt(kR，tR)交橢圓E于M，N兩點(diǎn)，若橢圓E上一點(diǎn)C滿足(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求實(shí)數(shù)的取值范圍考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與橢圓的公共