第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用學(xué)習(xí)指導(dǎo)

1、第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用學(xué)習(xí)指導(dǎo)一、知識脈絡(luò)二、重點(diǎn)和難點(diǎn)1重點(diǎn)：求極限、求偏導(dǎo)數(shù)、求全微分、求極值。2難點(diǎn)：極限存在、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微之間的關(guān)系，復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)。三、問題與分析1與僅當(dāng)前者存在時(shí)，才相等。2二重極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微間的關(guān)系極限連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在可微3多元函數(shù)中極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、一階微分形式的不變性、初等函數(shù)的連續(xù)性、最值定理、介值定理均與一元函數(shù)中相應(yīng)內(nèi)容和結(jié)論對應(yīng)。4二重極限與二次極限是本質(zhì)不同的兩個(gè)概念。(1) 當(dāng)動點(diǎn)沿任意路徑趨于時(shí)，若都以同一數(shù)值為其極限，則這樣得到的極限為二重極限；當(dāng)，先后相繼地趨于，時(shí)的極限為二次極限。(2) 兩個(gè)二次

2、極限存在且相等，不能得出二重極限存在。例如：，容易驗(yàn)證兩個(gè)二次極限，但是不存在。(3) 二重極限存在，不能得出二次極限存在。例如：，因?yàn)樵诓缓袃蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面點(diǎn)集上有定義，當(dāng)時(shí)，有。由于有界變量與無窮小量的乘積仍是無窮小量，可得，對任意給定的，由于，而不存在，所以不存在。因此先對后對的二次極限不存在。同理也不存在。5學(xué)習(xí)二次極限應(yīng)注意以下三個(gè)問題：(1) 兩個(gè)二次極限分別存在時(shí)不能保證它們一定相等，因此不能任意地交換求極限的先后順序。例：，則，。(2) 二次極限中一個(gè)存在，另一個(gè)可以不存在。例：，容易驗(yàn)證，而不存在。(3) 兩個(gè)二次極限都可以不存在。例：。容易驗(yàn)證與都不存在。6學(xué)習(xí)多元復(fù)合函

3、數(shù)的求導(dǎo)應(yīng)注意的問題：求多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵是搞清各個(gè)變量之間的復(fù)合關(guān)系，常用一種“樹形圖”的圖形直觀地給出因變量、中間變量及自變量的關(guān)系，幫助我們記憶公式，以便進(jìn)行正確運(yùn)算。例如：，zuvyx畫出“樹形圖”則7學(xué)習(xí)方向?qū)?shù)應(yīng)注意的問題(1)是單側(cè)極限。因?yàn)?，所以?shí)際上是。(2)是雙側(cè)極限。時(shí)，可正、可負(fù)，因此時(shí)，與不一定相等，時(shí)，與也不一定相等。(3) 梯度是一個(gè)向量，當(dāng)?shù)姆较蚺c梯度方向相同時(shí)，方向?qū)?shù)達(dá)到最大值。8最小二乘法在數(shù)學(xué)建模中有廣泛的應(yīng)用，要注意領(lǐng)會其精神實(shí)質(zhì)。四、解題示范例1：求解：原式一般地，用定義證明二重極限不存在有二種途徑：(1) 找到兩條特殊的途徑，得出沿這兩條途徑趨于時(shí)，的極限值不等；(2) 找到一條特殊的途徑證明沿此途徑趨于時(shí)，的極限不存在。例2：求解：當(dāng)動點(diǎn)沿趨于時(shí)，則當(dāng)動點(diǎn)沿趨于時(shí)，則故原極限不存在。例3：求當(dāng)，時(shí)的全微分。解：因，故。例4：求的一階偏導(dǎo)數(shù)，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。解：將三個(gè)中間變量按順序編為1，2，3號，畫出“樹形圖”u=fx(1)xy(2)xyz(3)xyz故例5：求函數(shù)在點(diǎn)處沿從點(diǎn)到點(diǎn)的方向的方向?qū)?shù)。解：， 因?yàn)?所以例6設(shè)，取，作為新自變量，試變換方程。解：