第9章 無(wú)窮級(jí)數(shù)

1、第九章無(wú)窮級(jí)數(shù)第一節(jié) 常數(shù)頂級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)教學(xué)目的與要求1. 熟練掌握級(jí)數(shù)的概念2. 理解收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)1. 用定義判斷級(jí)數(shù)的斂散性2. 級(jí)數(shù)收斂的必要條件教學(xué)難點(diǎn) 級(jí)數(shù)收斂的性質(zhì)3、性質(zhì)4教學(xué)時(shí)數(shù)2課時(shí)教學(xué)過(guò)程一 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念1. 導(dǎo)入引例 計(jì)算圓的面積2. 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念若給定一個(gè)數(shù)列，由它構(gòu)成的表達(dá)式 (1)稱之為常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)，記作。為給出級(jí)數(shù)中無(wú)限多個(gè)數(shù)量相加的數(shù)學(xué)定義，我們引入部分和概念。作級(jí)數(shù)(1)的前項(xiàng)之和 (2)稱為級(jí)數(shù)(1)的部分和。根據(jù)部分和數(shù)列(2)是否有極限，我們給出級(jí)數(shù)(1)收斂與發(fā)散的概念。定義當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，如果級(jí)數(shù)(1)的部分和數(shù)列(2

2、)有極限，即則稱級(jí)數(shù)(1)收斂，這時(shí)極限叫做級(jí)數(shù)(1)的和，并記作；如果部分和數(shù)列(2)無(wú)極限，則稱級(jí)數(shù)(1)發(fā)散。當(dāng)級(jí)數(shù)(1)收斂時(shí)，其部分和是級(jí)數(shù)和的近似值，它們之間的差值叫做級(jí)數(shù)的余項(xiàng)。 3. 級(jí)數(shù)的斂散性舉例【例1】判斷級(jí)數(shù)的斂散性【例2】證明級(jí)數(shù)收斂，并求其和【例3】討論等比級(jí)數(shù)的斂散性【例4】判斷級(jí)數(shù)的斂散性【例5】判斷級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂,求其和二、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)【性質(zhì)一】設(shè)有級(jí)數(shù)分別收斂于與， 則級(jí)數(shù)也收斂，且和為。據(jù)性質(zhì)二，我們可得到幾個(gè)有用的結(jié)論:1、若收斂，而發(fā)散，則必發(fā)散。2、若、均發(fā)散，那么可能收斂，也可有發(fā)散。【性質(zhì)二】如果級(jí)數(shù)收斂于和，則它的各項(xiàng)同乘以一個(gè)常數(shù)所得

3、的級(jí)數(shù)也收斂，且和為?！拘再|(zhì)三】在級(jí)數(shù)的前面去掉或加上有限項(xiàng)，不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性，不過(guò)在收斂時(shí)，一般來(lái)說(shuō)級(jí)數(shù)的和是要改變的?！拘再|(zhì)四】將收斂級(jí)數(shù)的某些項(xiàng)加括號(hào)之后所成新級(jí)數(shù)仍收斂于原來(lái)的和。注意：1、如果級(jí)數(shù)加括號(hào)之后所形成的級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)本身也一定發(fā)散。顯然，這是性質(zhì)四的逆否命題。2、收斂的級(jí)數(shù)去括號(hào)之后所成級(jí)數(shù)不一定收斂?！纠?】證明調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件【定理】級(jí)數(shù)收斂的必要條件是。注意：1. 必須指出，級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨向于零并不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件。 2. 如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級(jí)數(shù)發(fā)散.(逆否命題)【例7】判斷級(jí)數(shù)的斂散性作業(yè)：P365,4(3),5(1),(

4、5),(7)第二節(jié) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)教學(xué)目的與要求：1.了解正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件； 2.會(huì)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法和根值審斂法； 3.掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法； 4.掌握p級(jí)數(shù)的收斂性。教學(xué)重點(diǎn)：比較審斂法的一般形式和極限形式，比值審斂法，根值審斂法教學(xué)難點(diǎn)：比較審斂法、比值審斂法定理的證明教學(xué)時(shí)數(shù) 4教學(xué)過(guò)程一正項(xiàng)級(jí)數(shù)1. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義若級(jí)數(shù)中的各項(xiàng)都是非負(fù)的( 即)，則稱級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的基本定理正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是它的部分和數(shù)列有界?！纠?】判斷級(jí)數(shù)的斂散性二 比較審斂法1、基本審斂法【比較審斂法】給定兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)、(1)、若，而收斂，則亦收斂；(2)、若，而發(fā)散，則亦發(fā)散

5、。這里，級(jí)數(shù)稱作級(jí)數(shù)的比較級(jí)數(shù)?？偨Y(jié)：大的收斂，則小的收斂小的發(fā)散，則大的發(fā)散由于級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘以一個(gè)非零常數(shù)，以及去掉其有限項(xiàng)不會(huì)影響它的斂散性，比較審斂法可改寫(xiě)成如下形式2. 【推論】設(shè)為正數(shù)，為正整數(shù)，、均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)、若，而收斂，則亦收斂；(2)、若，而發(fā)散，則亦發(fā)散。【例2】證明級(jí)數(shù)是發(fā)散的【例3】討論級(jí)數(shù)的斂散性，其中?！纠?】判斷級(jí)數(shù)的斂散性【例5】判斷級(jí)數(shù)的斂散性【例6】判斷級(jí)數(shù)的斂散性【例7】判斷級(jí)數(shù)的斂散性3. 【比較審斂法的極限形式】 設(shè)及為兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果極限則級(jí)數(shù)與同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散?！緲O限審斂法】 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，(1)、若，則發(fā)散；(2)、若，則收斂。注意：

6、當(dāng)n時(shí)，可用無(wú)窮小un對(duì)vn的階判別un斂散性.【例8】判斷級(jí)數(shù)的斂散性【例9】判斷級(jí)數(shù)的斂散性【例10】判斷級(jí)數(shù)的斂散性【例11】判斷級(jí)數(shù)的斂散性【例12】判斷級(jí)數(shù)的斂散性三【比值審斂法】 若正項(xiàng)級(jí)數(shù)適合 則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)(也包括)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)的斂散性不詳。注意：當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散?！纠?3】判斷級(jí)數(shù)的斂散性【例14】討論級(jí)數(shù)的斂散性注意：比值審斂法使用于通項(xiàng)含的函數(shù)四、【根值審斂法】 若正項(xiàng)級(jí)數(shù)適合 則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)(也包括)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)的斂散性不詳。注意：當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散。【例15】判斷級(jí)數(shù)的斂散性【例16】判斷級(jí)數(shù)的斂散性五、判

7、別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的方法與步驟 必要條件不滿足發(fā)散 滿足 比值審斂法比較審斂法，定義法，性質(zhì)法 根值審斂法收斂，發(fā)散【例17】判斷級(jí)數(shù)的斂散性【例18】判斷級(jí)數(shù)的斂散性【例19】判斷級(jí)數(shù)的斂散性【例20】判斷級(jí)數(shù)的斂散性【例21】判斷級(jí)數(shù)的斂散性五 極限審斂法(1)、當(dāng)時(shí)，收斂，故收斂；(2)、當(dāng)時(shí)，發(fā)散，故發(fā)散；(3)、(4)、【例22】判別級(jí)數(shù)的斂散性?！纠?3】判別級(jí)數(shù)的斂散性作業(yè)： P374： 1(1)(3)(4)(6)(7)，2(1)(2)(4),3(1)(2)第三節(jié) 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)教學(xué)目的與要求1. 掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其萊布尼茨定理2. 理解并掌握絕對(duì)收斂與條件收斂教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)萊布尼茨定理，

8、絕對(duì)收斂與條件收斂教學(xué)時(shí)數(shù) 2教學(xué)內(nèi)容一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法所謂交錯(cuò)級(jí)數(shù)是這樣的級(jí)數(shù)，它的各項(xiàng)是正、負(fù)交錯(cuò)的，其形式如下 (1)或其中均為正數(shù)。【交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法】(又稱萊布尼茲定理)如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1)滿足條件1. 2.則交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1)收斂，且收斂和，余項(xiàng)的絕對(duì)值?！纠?】試證明交錯(cuò)級(jí)數(shù)是收斂的。二、絕對(duì)收斂與條件收斂設(shè)有級(jí)數(shù) (2)其中為任意實(shí)數(shù)，該級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)?！径x】如果級(jí)數(shù)(3)收斂，則稱級(jí)數(shù)(2)絕對(duì)收斂；如果級(jí)數(shù)(3)發(fā)散，而級(jí)數(shù)(2)收斂，則稱級(jí)數(shù)(2)條件收斂。【定理一】如果級(jí)數(shù)(3)收斂，則級(jí)數(shù)(2)亦收斂。定理一將任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判定轉(zhuǎn)化成正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性判定。【例5

9、】判定任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性?！纠?】討論級(jí)數(shù)的收斂性?！径ɡ矶咳绻?jí)數(shù) 絕對(duì)收斂，其和為，那么任意顛倒級(jí)數(shù)各項(xiàng)的順序所得到的新級(jí)數(shù) 仍絕對(duì)收斂，且其和仍為?！镜湫屠印拷诲e(cuò)級(jí)數(shù)條件收斂，設(shè)它的收斂和為。作業(yè)：練習(xí)冊(cè)第43.44次第四節(jié) 冪級(jí)數(shù)教學(xué)目的與要求1. 理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念2. 熟練掌握冪級(jí)數(shù)的收斂域收斂半徑的求法3. 掌握和函數(shù)的求法教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)冪級(jí)數(shù)收斂半徑收斂域的求解、和函數(shù)的求法教學(xué)時(shí)數(shù) 4教學(xué)內(nèi)容一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念設(shè)有定義在區(qū)間上的函數(shù)列由此函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式 (1)稱作函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。對(duì)于確定的值，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)成為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) (2)若(2)收斂，則稱點(diǎn)是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(

10、1)的收斂點(diǎn)；若(2)發(fā)散，則稱點(diǎn)是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)的發(fā)散點(diǎn)；函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的所有收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域,所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為它的發(fā)散域。對(duì)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂域內(nèi)任意一點(diǎn)，(1)收斂， 其收斂和自然應(yīng)依賴于的取值，故其收斂和應(yīng)為的函數(shù)，即為。通常稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)。它的定義域就是級(jí)數(shù)的收斂域，并記若將函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)的前項(xiàng)之和(即部分和)記作，則在收斂域上有若把叫做函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的余項(xiàng)(這里在收斂域上)，則 。二、冪級(jí)數(shù)及其收斂域函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中最常見(jiàn)的一類級(jí)數(shù)是所謂冪級(jí)數(shù)，它的形式是 (3)或 (4)其中常數(shù)稱作冪級(jí)數(shù)系數(shù)。(4)式是冪級(jí)數(shù)的一般形式，作變量代換可以把它化為(3)的形式。因此，在下

11、述討論中，如不作特殊說(shuō)明，我們用冪級(jí)數(shù)(3)式作為討論的對(duì)象?！径ɡ硪弧?阿貝爾定理)若時(shí)，冪級(jí)數(shù)收斂，則適合不等式的一切均使冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；若時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散，則適合不等式的一切均使冪級(jí)數(shù)發(fā)散。阿貝爾定理揭示了冪級(jí)數(shù)的收斂域與發(fā)散域的結(jié)構(gòu)對(duì)于冪級(jí)數(shù)若在處收斂，則在開(kāi)區(qū)間之內(nèi)，它亦收斂；若在處發(fā)散，則在開(kāi)區(qū)間之外，它亦發(fā)散；這表明，冪級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn)不可能位于原點(diǎn)與收斂點(diǎn)之間。【推論】如果冪級(jí)數(shù)不是僅在一點(diǎn)收斂，也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂，則必有一個(gè)確定的正數(shù)存在，它具有下列性質(zhì)當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散。正數(shù)通常稱作冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。2、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑

12、的求法【定理二】設(shè)有冪級(jí)數(shù)，且 (，是冪級(jí)數(shù)的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù))如果 ，則；，則；，則。【例1】求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間1、2、【例2】求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域三冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)下述性質(zhì)，我們均不予以證明1加，減運(yùn)算設(shè)冪級(jí)數(shù)及的收斂區(qū)間分別為與，記，當(dāng)時(shí)，有2冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)連續(xù)。3逐項(xiàng)求導(dǎo)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且有4逐項(xiàng)求積分冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可積，且有【例3】求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之和。【例4】求的和函數(shù)。【例5】求的和。作業(yè)：練習(xí)冊(cè)第45.46次第五節(jié) 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)教學(xué)目的與要求1. 理解泰勒公式2. 會(huì)應(yīng)用泰勒公式將簡(jiǎn)單的函數(shù)展為冪級(jí)數(shù)教學(xué)重點(diǎn)

13、與難點(diǎn)泰勒公式及其應(yīng)用教學(xué)時(shí)數(shù)4教學(xué)內(nèi)容一、泰勒級(jí)數(shù)如果在處具有任意階的導(dǎo)數(shù)，我們把級(jí)數(shù) (1)稱之為函數(shù)在處的泰勒級(jí)數(shù)。它的前項(xiàng)部分和用記之，且這里：由上冊(cè)中介紹的泰勒中值定理，有當(dāng)然，這里是拉格朗日余項(xiàng)，且。由有。因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)就是它的另一種精確的表達(dá)式。即這時(shí)，我們稱函數(shù)在處可展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)。特別地，當(dāng)時(shí)，這時(shí)，我們稱函數(shù)可展開(kāi)成麥克勞林級(jí)數(shù)。將函數(shù)在處展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，可通過(guò)變量替換，化歸為函數(shù) 在 處的麥克勞林展開(kāi)。因此，我們著重討論函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)?！久}】函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)式是唯一的。二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)1、直接展開(kāi)法將函數(shù)展開(kāi)成麥克勞林級(jí)數(shù)可按如下幾步進(jìn)行求出函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)及函數(shù)值若函數(shù)的某階導(dǎo)數(shù)不存在，則函數(shù)不能展開(kāi)；寫(xiě)出麥克勞林級(jí)數(shù)并求其收斂半徑?？疾飚?dāng)時(shí)，拉格朗日余項(xiàng)當(dāng)時(shí)，是否趨向于零。若，則第二步寫(xiě)出的級(jí)數(shù)就是函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)式；若，則函