第七節(jié)函數(shù)的微分

1、第七節(jié) 函數(shù)的微分前面我們討論了函數(shù)的導數(shù)，本節(jié)中我們要討論微分學中的另一個基本概念微分. 一、微分的定義1、微分的定義先來看一個例子，一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長由變到（圖2-6），問此薄片的面積改變了多少？ 圖2-6 解 設(shè)此薄片的邊長為，面積為，則是的函數(shù)：.薄片受溫度變化的影響時面積的改變量，可以看成是當自變量自取得增量時，函數(shù)相應的增量，即 .從上式可以看出，分成兩部分，第一部分是的線性函數(shù)，即圖中帶有斜線的兩個矩形面積之和，而第二部分在圖中是帶有交叉斜線的小正方形的面積，當時，第二部分是比高階的無窮小，即.由此可見，如果邊長改變很微小，即很小時，面積的改變量可近似地用

2、第一部分來代替，即.一般地，如果函數(shù)滿足一定條件，則函數(shù)的增量可表示為 ，其中是不依賴于的常數(shù)，因此是的線性函數(shù)，且它與之差是比高階的無窮小.所以，當，且很小時，我們就可以近似地用來代替. 下面我們給出微分的定義.定義 設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，及在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量可表示為 ， （1）其中是不依賴于的常數(shù)，而是比高階的無窮小，那么稱函數(shù)在點是可微的，而叫做函數(shù)在點相應于自變量增量的微分，記作，即 .2、可微與可導的關(guān)系設(shè)函數(shù)在點可微，則按定義有（1）式成立.（1）式兩端除以，得.于是，當時，上式取極限就得到，因此，如果函數(shù)在點可微，則在點也一定可導（即存在），且.反之，如果在點可導，即存

3、在，由極限與無窮小的關(guān)系定理，上式可寫成，其中（當）.由此又有，因，且不依賴于，故上式相當于（1）式，所以在點可微. 由以上分析，我們得到兩個結(jié)論，其一是常數(shù)，從而函數(shù)在點處的微分可以表達為；其二是得到了可微與可導的關(guān)系.定理 函數(shù)在點可微的充分必要條件是函數(shù)在點可導，且當在點可微時，有.由微分的定義以及上面的定理，有，上式右端的第一部分是的線性函數(shù)；第二部分是比高階的無窮小，因此當很小時，第二部分可以忽略.在的條件下，第一部分就成了的主要部分，從而有近似公式，通常稱為的線性主部.例1 求函數(shù)在時的改變量及微分. 解 ，在點處，所以 .當時，函數(shù)的微分, 即.因此我們規(guī)定自變量的微分等于自變量

4、的增量，這樣函數(shù)的微分可以寫成，從而有.這就是說，函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導數(shù).因此，導數(shù)也叫做“微商”.二、微分的幾何意義 為了對微分有比較直觀的了解，我們來說明微分的幾何意義.設(shè)函數(shù)的圖形如圖2-7所示，是曲線上點處的切線，設(shè)的傾角為，當自變量有微小增量時，得到曲線上另外一點，從圖2-7可知，則，即 .圖2-7由此可知，函數(shù)的微分是當有增量時，曲線在點處的切線的縱坐標的增量.用近似代替就是用點處的切線縱坐標的增量來近似代替曲線的縱坐標的增量，并且有.三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運算法則從函數(shù)的微分的表達式可以看出，要計算函數(shù)的微分，只要計算函數(shù)的導數(shù)，再乘以自變量的微分

5、.所以根據(jù)導數(shù)公式和導數(shù)運算法則，就能得到相應的微分公式和微分運算法則.1、基本初等函數(shù)的微分公式（為常數(shù)）； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； .2、函數(shù)的和、差、積、商的微分法則，都可導，（1）（2）(3）(4）3、復合函數(shù)的微分法則設(shè)函數(shù)，根據(jù)微分的定義，當是自變量時，函數(shù)的微分是 ；如果不是自變量，而是的可導函數(shù)，則復合函數(shù)的微分為由于 ，所以 .由此可見，不論是自變量還是函數(shù)（中間變量），函數(shù)的微分總保持同一形式，這一性質(zhì)稱為一階微分形式不變性.有時，利用一階微分形式不變性求復合函數(shù)的微分比較方便.例2 ，求. 解 （1）用公式，得；（2）把看成中間變量，應用微分形式不變性，得.在求復合函數(shù)的導數(shù)時，可以不寫出中間變量.在求復合函數(shù)的微分時，類似地也可以不寫