根據(jù)幾何圖形性質(zhì)求函數(shù)及解析式

1、第十二講根據(jù)幾何圖形性質(zhì)求函數(shù)的解析式我們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)，正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，以及二次函數(shù)它們的解析式分別可以用 y=kx+b,y=kx,y=k/x,y=ax2+bx+c 的形式來(lái)表示，其中 k 0 ， a 0, 這一類函數(shù)是明確的，求這些函數(shù)的解析式，是我們必須掌握的 求這些函數(shù)的解析式時(shí)，要根據(jù)所給的條件及函數(shù)的類型，運(yùn)用“待定系數(shù)法”求解具體解題過(guò)程是： 一、確定解析式的形式，設(shè)出解析式的表達(dá)式； 二、代入解析式中，形成關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組； 三、解方程或方程組，求出相應(yīng)的待定系數(shù)； 四、然后回代所設(shè)的解析式中即可 今天，我們要研究的是如何根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)來(lái)確定函數(shù)的解析式幾

2、何圖形的性質(zhì)，對(duì)于求這類函數(shù)的解析式起著至關(guān)重要的作用 例1 ABC 中， AB=AC ， A=x °， B=y °，請(qǐng)你寫出 y 與 z 的函數(shù)關(guān)系式，并指出 z 的取值范圍 分析：等腰三角形 ABC 中， AB=AC ，它的頂角是 A ，底角是 B 和 C 等腰三角形頂角、底角之間第一個(gè)關(guān)系是內(nèi)角和 180 °；第二個(gè)關(guān)系，頂角的度數(shù) =180 °-2 個(gè)底角的度數(shù)，底角度數(shù)是, 因此我們利用等腰三角形這樣的性質(zhì)直接寫出本題結(jié)果即 y=. x 的取值范圍在 0<x<180 °之內(nèi) 例2 在 ABC 中， AB=5 ， AC=4

3、， D 、 F 分別在 AC 、 AB 上，并且使 ADE= B ，若 DC=x ， AE=y ，求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并指出 x 的取值范圍 其中 (0 x<4)x=0 時(shí)， D 與 C 重合 D 點(diǎn)可以在 AC 上運(yùn)動(dòng)，所以 x 的大范圍是在 0 和 4 之間，解題時(shí)可以先寫出大范圍，然后再審查端點(diǎn)值當(dāng) x=0 的時(shí)候， D 點(diǎn)與 C 重合，這時(shí)候相似仍然存在，所以解的結(jié)果不變；當(dāng) x=4 的時(shí)候，相似不存在，所以 x 不能等于 4 例3 邊長(zhǎng)為 a 的等邊三角形 ABC 中， D 、 E 分別是 BC ， AC 上的點(diǎn)， ADE=60 °設(shè) AE=y ， DC=x

4、 (1) 試寫出 y 與 z 的函數(shù)關(guān)系式，并求出 y 的最小值 (2) 若， BD DC=1 2 ，求 S ADE (3) 當(dāng) DAE=45 °時(shí)，求 x 例4 已知：如圖， ABC 中，中線 BD 、 EC 交于 F ， BC=4 ， EC=3 ， BCF=30 °， P 為 BC 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， PD 與 EC 交于 G 如果 PC=x ， S PFG =y ，試求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式 解：連結(jié) DE ， PH EC 于 H PC=x ， BCE=30 °， PH= BD 、 EC 是中線， BC=4 ， EC=3 ，因?yàn)?P 是 BC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

5、x 的值要能在直角三角形 PHC 中利用銳角三角函數(shù)求得所以， x 不能等于 0 ，也不能等于 4 ，因此自變量 x 的取值范圍是 O<x<4 例5 知：如圖， BD 是半圓 O 的直徑， BD=8 ， M 是 BD 的中點(diǎn)， A 為 DM 上一點(diǎn)， AC=BA ， AC 與 BD 的延長(zhǎng)線交于 C ，作 AE BD 于 E ，設(shè) AB=x ， CD=y (1) 寫出 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并求 z 的取值范圍： (2)x 取何值時(shí)， AC 與 O 相切； (3) 當(dāng) AC 與 O 相切時(shí)，求 tan OAE 的值 解： (1) 連結(jié) AO. BD 為 O 直徑， BD=8 ，

6、 BO=AO=4 AB=AC ， ABO= CBA ， ABO CBA 此時(shí) Y 是 X 的二次函數(shù)，當(dāng) A 點(diǎn)如果和 M 點(diǎn)重合時(shí)候，得到 AB=4由于點(diǎn) A 不能和 M 點(diǎn)重合，所以 x>4 .A 不能與 M 重合，否則 AC 與 BC 不相交當(dāng) x=8 的時(shí)， AB 變成 BD ，即 A 和 D 重合時(shí)， A 、 O 、 B 在同一條線上 AB=BD=8 y=DC=BD=8 把 x=8 代入 y=x2 -8 中，得 y=8 ，與 A 與 D 重合時(shí) DC=8 相符合 (2) 當(dāng) AC 與 0 相切時(shí)， OA AC. 在 Rt AOC 中，由勾股定理，得 AO2 +AC2 =OC2

7、42+X2 =(4+y)2即 16+x2 =( x2 -8+4)2解出 x=4. 當(dāng) x=4時(shí)， AC 與 O 相切 (3) 當(dāng) AC 與 O 相切時(shí)， AO=4 ， AC=4 在 Rt AOC 中， AE OC OAE= C ， tan OAE= 例6 已知：如圖，在梯形 ABCD 中， AD BC ， ABC=90 °， AD=9 ， BC=12 ， AB=a ，在線段 BC 上任取一點(diǎn) P ，連結(jié) DP ，作射線 PE 上 DP ， PE 與直線 AB 交于點(diǎn) E (1) 試確定當(dāng) CP=3 時(shí)，點(diǎn) E 的位置； (2) 若設(shè) CP=x ， BE=y ，試寫出 y 關(guān)于自變量x

8、的函數(shù)關(guān)系式； (3) 若在線段 BC 上能找到不同的兩點(diǎn) P1 、 P2 ，使按上述作法得到的點(diǎn) E 都和點(diǎn) A 重合，試求此時(shí) a 的取值范圍 解： (1) 當(dāng)時(shí) CP=3 時(shí)， 作 PE DC ，四邊形 ADFB 為矩形， BF=AD=9 ，則 FC=3 ， 此時(shí) P 與 F 重合，又 BF FD ， 點(diǎn) E 與點(diǎn) B 重合 (2) 當(dāng)點(diǎn) P 在 BF 上時(shí)， 1+ 2=90 °， 1+ 3=90 °， 2= 3 Rt BEP Rt DPF 整理，得 y=(x2 -15x+36) 當(dāng)點(diǎn) P 在 CF 上時(shí)，同理可得 y=(x2 -15x+36) y=(x2 -15x+36)(3 x<12) (3) 當(dāng) E 與 A 重合時(shí)， y=BE=a ，此時(shí)點(diǎn) P 在線段 BF 上 a=(x2 -15x+36) ，即 x2 -15x+36-a2 =0 在 BC 上能找到兩個(gè)不同的點(diǎn) P1 、 P2 滿足條件， 方程 x2 -15x+36-a2 =0 有兩個(gè)不相等的正數(shù)根 (-15)2 -4(36+a2 )>0 解出 a2<. 又 a>0 ， 0<a< 即滿足 (3) 條件的 a 值為 o<a< 第 (3) 問(wèn)借助第 (2) 問(wèn)所求得的函數(shù)關(guān)系式，