概率論課件：2-4連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

1、2.4連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量 及其概率密度及其概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量的概念連續(xù)型隨機(jī)變量的概念三種重要的連續(xù)型隨機(jī)三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量變量小結(jié)小結(jié) 引例引例 一個(gè)靶子是半徑為一個(gè)靶子是半徑為2米的圓盤，設(shè)擊中米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤的概率與該圓盤的面積成正靶上任一同心圓盤的概率與該圓盤的面積成正比，射擊均能中靶，用比，射擊均能中靶，用X 表示彈著點(diǎn)與圓心的表示彈著點(diǎn)與圓心的距離。試求距離。試求X 的分布函數(shù)的分布函數(shù).解：由題意有解：由題意有當(dāng)當(dāng)x 0時(shí)時(shí), F(x) = P Xx = P( ) = 0.當(dāng)當(dāng)x 2時(shí)時(shí), F(x) = P Xx = P( ) = 1.Xx 當(dāng)

2、當(dāng)0 x 2時(shí)時(shí), 由題意知由題意知 P 0 Xx = k x2其中其中k為一常數(shù)為一常數(shù). 另一方面另一方面 1 = P 0 X 2 = 4 k k = .F(x) = P Xx = P X0 + P 0 Xx = 241x分布函數(shù)為分布函數(shù)為: :單調(diào)不降單調(diào)不降有界連續(xù)函數(shù)有界連續(xù)函數(shù)20,0;( ),02;41,2.xxF xxx x1O2F(x)1考慮函數(shù)考慮函數(shù) f ( x )= x/2 , 0 x 2;0, 其它其它f (x)的變上限積分為的變上限積分為0, x 13). 1,0;(),01;1,1xxaexFxbxaex 0lim()(0)xF xF 0limxxaeb ab

3、1lim()(1)xF xF 又1ba 12ab 故，(2)X的密度函數(shù)的密度函數(shù)( )( )f xFx 1212121,0;(),01;1,1xxexFxxex 又 120121,0;(),01;,1xxexfxxex (3)P(X13).131()( )3P Xf x dx (1)112xedx 12 11()1()33P XP X11( )3F11122或例例 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為02,1;()1,1;axfxxx 求求(1)常數(shù)常數(shù)a ;(2)P(-12X12).;(2)X的分布函數(shù)的分布函數(shù)解解 (1)由密度函數(shù)的性質(zhì)由密度函數(shù)的性質(zhì)1( )f x dx

4、1121adxx 102121adxx 102 arcsinax a 1a 11(2)()22PX121211()( )22PXf x dx 12122111dxx 12021121dxx 1202arcsin x 13 (3)()F X求()( )xF Xf t dt 021,1;()1,1;xfxxx 而-1x 當(dāng)時(shí)()( )xF Xf t dt 0 xdt 0 1x當(dāng)-1時(shí)()( )xF Xf t dt 12111xdtt 11arcsinxt 11arcsin2x (3)()F X求()( )xF Xf t dt 021,1;()1,1;xfxxx 而-1x 當(dāng)時(shí)()( )xF Xf

5、t dt 0 1x當(dāng)-1時(shí)()( )xF Xf t dt 11arcsin2x 1x 當(dāng)時(shí)()( )xF Xf t dt 112111dtt 111arcsin1t 2. 三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量).,(,),(, 0,1)(baUXbaXbxaabxfX記為記為上服從均勻分布上服從均勻分布在區(qū)間在區(qū)間則稱則稱其它其它具有概率密度具有概率密度設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量定義定義 () 均勻分布均勻分布)(xfab 即對(duì)于即對(duì)于( c, c + l ) (a, b ) ，有有1c lcP cxcldxba lba 均勻分布的分布函數(shù)：均勻分布的分布函數(shù)： 特點(diǎn)：特點(diǎn)：

6、隨機(jī)變量隨機(jī)變量X 落在落在 (a, b ) 的子區(qū)間的的子區(qū)間的概率與位置無(wú)關(guān)，僅與測(cè)度（即長(zhǎng)度）成正比概率與位置無(wú)關(guān)，僅與測(cè)度（即長(zhǎng)度）成正比. .0,;(),;1,xaxaFxaxbbaxb 均勻分布常見于下列情形：均勻分布常見于下列情形： 如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五 入，小數(shù)入，小數(shù)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差，例如對(duì)小數(shù)點(diǎn)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差，例如對(duì)小數(shù)點(diǎn)后第一位進(jìn)行四舍五后第一位進(jìn)行四舍五 入時(shí)，那么一般認(rèn)為誤入時(shí)，那么一般認(rèn)為誤差服從（差服從（-0.5, 0.5）上的均勻分布。）上的均勻分布。如公交系統(tǒng)中乘客隨機(jī)乘車的等車時(shí)間如公交系統(tǒng)中乘客隨機(jī)乘車的等

7、車時(shí)間解解 設(shè)設(shè)X表示他到站的時(shí)刻（以分計(jì)），則表示他到站的時(shí)刻（以分計(jì)），則X是一個(gè)隨機(jī)變量，且是一個(gè)隨機(jī)變量，且X的概率密度為的概率密度為例例（等待時(shí)間）公共汽車從上午（等待時(shí)間）公共汽車從上午7 7點(diǎn)開始每點(diǎn)開始每1515分鐘按時(shí)分鐘按時(shí)有汽車到站，一乘客在有汽車到站，一乘客在7:00到到7:30隨機(jī)到達(dá)車站隨機(jī)到達(dá)車站. .求求(1)(1)他等車時(shí)間不超過(guò)他等車時(shí)間不超過(guò)5 5分鐘的概率分鐘的概率(2)(2)超過(guò)超過(guò)1010分鐘的概率分鐘的概率. .(0,30).XU1,010,( )300,.xf x 其它(1) 10152530PXPX15301025113030dtdt13 1,

8、010,( )300,.xf x 其它(2) 051520PXPX520015113030dtdt13 例例 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X U( 0, 5 ) , 求方程求方程4 r2 + 4X r + X + 2 = 0 有實(shí)根的概率有實(shí)根的概率 p .解解：p = P ( 4 X )2 44 ( X+ 2 ) 0 = P X2 (X + 2)0 = P ( X 2 )( X + 1 )0 = P( X 1 X 2 ) = P X 1 + P X 2 = P 2 X 5 5 25=35=例例 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 在在 2, 5 上服從均勻分布上服從均勻分布, 現(xiàn)對(duì)現(xiàn)對(duì) X 進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)進(jìn)

9、行三次獨(dú)立觀測(cè) ,試求至少有兩次觀測(cè)值大于試求至少有兩次觀測(cè)值大于3 的的概率概率. X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 ., 0, 52,31)(其他其他xxf設(shè)設(shè) A 表示表示“對(duì)對(duì) X 的觀測(cè)值大于的觀測(cè)值大于 3 ”, Y 表示表示3次獨(dú)次獨(dú)立觀測(cè)中觀測(cè)值大于立觀測(cè)中觀測(cè)值大于3的次數(shù)的次數(shù).解解3)( XPAP由由于于,32d3153 x則則2 B3,.3Y 2 YP.2720 因而有因而有32()kP Yk 333222( ) (1)33kkkkC (2) 指數(shù)分布指數(shù)分布 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X 的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為稱隨機(jī)變量稱隨機(jī)變量X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 l l 的的

10、指數(shù)分布指數(shù)分布.( l l 0 0),0;()0,.xexf xl ll l 其他指數(shù)分布的分布函數(shù)：指數(shù)分布的分布函數(shù)：0,0;()10 xxFxexl l 指數(shù)分布的重要性質(zhì)指數(shù)分布的重要性質(zhì) :“無(wú)記憶性無(wú)記憶性”.有有對(duì)于任意對(duì)于任意, 0t , s .|tXPsXtsXP |sXtsXP證明證明)()(SXPsXtsXP )SXPtsXP xs txsedxedxl ll ll ll l |xs txseel ll l ()s tseel ll l tel l tXP|xtel l xtedxl ll l tel l 而而于是于是.|tXPsXtsXP 指數(shù)分布的無(wú)記憶性是使其具有

11、廣泛應(yīng)用指數(shù)分布的無(wú)記憶性是使其具有廣泛應(yīng)用的重要原因！的重要原因！ 指數(shù)分布在可靠性理論中描繪設(shè)備工作的指數(shù)分布在可靠性理論中描繪設(shè)備工作的可靠時(shí)間可靠時(shí)間. .在排隊(duì)論中它被廣泛地用于描繪等待時(shí)間在排隊(duì)論中它被廣泛地用于描繪等待時(shí)間, ,如電話通話時(shí)間、各種隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)的服務(wù)時(shí)如電話通話時(shí)間、各種隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)的服務(wù)時(shí)間、等待時(shí)間等間、等待時(shí)間等. .例例 某種電子元件的壽命某種電子元件的壽命(以小時(shí)計(jì)以小時(shí)計(jì)) X 服從指數(shù)分服從指數(shù)分布布,其概率密度為其概率密度為(1) 求元件壽命至少為求元件壽命至少為200小時(shí)的概率小時(shí)的概率. (2) 將將3只這種元件聯(lián)接成為一個(gè)系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)工作只這

12、種元件聯(lián)接成為一個(gè)系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)工作的方式是至少的方式是至少2只元件失效時(shí)系統(tǒng)失效，又設(shè)只元件失效時(shí)系統(tǒng)失效，又設(shè)3只元只元件工作相互獨(dú)立件工作相互獨(dú)立.求系統(tǒng)的壽命至少為求系統(tǒng)的壽命至少為200小時(shí)的概小時(shí)的概率率. ., 00,1001)(100其它其它xexfx200 XP 200)(dxxfdxex1002001001 2200| 0000 eex解解 (1)(1)元件壽命至少為元件壽命至少為200200小時(shí)的概率為小時(shí)的概率為2 2只及只及2 2只以上元件的壽命大于只以上元件的壽命大于200200小時(shí)的概率為小時(shí)的概率為23222232()() (1)P YeCee0.050. 故系統(tǒng)

13、的壽命至少為故系統(tǒng)的壽命至少為200200小時(shí)的概率為小時(shí)的概率為0.050.p (2)(2)以以Y Y記記3 3只元件中壽命大于只元件中壽命大于200200小時(shí)的元件的只數(shù)小時(shí)的元件的只數(shù). . 由于各元件的工作相互獨(dú)立，又由由于各元件的工作相互獨(dú)立，又由(1)(1)知一元件的壽知一元件的壽命大于命大于200200小時(shí)的概率為小時(shí)的概率為e e-2-2, ,故有故有2(3,).YBe 正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如例如測(cè)量誤差測(cè)量誤差, 人的生理特征尺寸如身高、體重等人的生理特征尺寸如身高、體重等 ;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直

14、徑、長(zhǎng)度、重量直徑、長(zhǎng)度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應(yīng)用與背景正態(tài)分布的應(yīng)用與背景 (3) 正態(tài)分布正態(tài)分布(高斯分布高斯分布).,(,)0(,e21)(22)(22NXXxxfXx記記為為的的正正態(tài)態(tài)分分布布或或高高斯斯分分布布服服從從參參數(shù)數(shù)為為則則稱稱為為常常數(shù)數(shù)其其中中的的概概率率密密度度為為設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量 正態(tài)分布的定義正態(tài)分布的定義正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征;)1(對(duì)稱對(duì)稱曲線關(guān)于曲線關(guān)于x ;21)(,)2(xfx取得最大值取得最大值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ; 0)(,)3(xfx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng);)4(處有拐點(diǎn)處有拐點(diǎn)

15、曲線在曲線在x ;,)(,)6(軸作平移變換軸作平移變換著著只是沿只是沿圖形的形狀不變圖形的形狀不變的大小時(shí)的大小時(shí)改變改變當(dāng)固定當(dāng)固定xxf;)5(軸軸為為漸漸近近線線曲曲線線以以 x.,)(,)7(圖形越矮越胖圖形越矮越胖越大越大圖形越高越瘦圖形越高越瘦越小越小而形狀在改變而形狀在改變不變不變圖形的對(duì)稱軸圖形的對(duì)稱軸的大小時(shí)的大小時(shí)改變改變當(dāng)固定當(dāng)固定xf正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù)txFxtde21)(222)( 正態(tài)分布下的概率計(jì)算正態(tài)分布下的概率計(jì)算txFxtde21)(222)( xXP ? 原函數(shù)不是原函數(shù)不是初等函數(shù)初等函數(shù)方法一方法一:利用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算利用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算

16、方法二方法二:轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計(jì)算轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計(jì)算).1, 0(,1, 0),(2NN記為記為態(tài)分布態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正這樣這樣時(shí)時(shí)中的中的當(dāng)正態(tài)分布當(dāng)正態(tài)分布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為,e21)(22 xxx 3. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為.,de21)(22 xtxxt標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形),5 . 02 . 0()1( XP),2 . 1()2( XP)34. 0|(|)( XP(0,1)XN例設(shè)求)5 . 02 . 0()( XP)2 . 0

17、()5 . 0( 5793. 06915. 0 1122. 0 查表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表查表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表(2)由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度圖形的對(duì)稱性易知：由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度圖形的對(duì)稱性易知：).(1)(xx 即即xXP .1xXP xXPxx)2 . 1( (1.2)P X )2 . 1(1 1151. 08849. 01 0.340.34PX )34.0|(|)( XP )34. 0()34. 0( (0.34)1(0.34) 16331. 02 1)34. 0(2 2662. 0 它的依據(jù)是下面的定理：它的依據(jù)是下面的定理： 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，

18、任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. . 根據(jù)定理根據(jù)定理1,1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問(wèn)題率計(jì)算問(wèn)題. .定理定理1 12( ,),(0,1)XXNYN 設(shè)則2( ,),XN 若若XY N(0,1) 若若 XN(0,1),()aXbP()P aXb( )( )ba ()()ba ()P aXb()abPY求求設(shè)設(shè)例例),60,500(32NX)( 0 0 XP|)( 0 00 0 0 00 0 XP., 1 .

19、0)3(xxXP求求若若 )1(00 XP解解00 XP 6050056060500XP 605005601 )1(1 1587. 08413. 01 0 00 0 0 00 0 |)2(XP 0 00 0 0 00 0 | XP 0 00 0 0 00 0 0 00 0 XP700300 XP 6050070060500605003001XP 3103101 131021 00 0 00 00 0 0 0 0 0 .).(, 1 . 0)3( xXP要求要求1 . 060500 x 即即需需 . 060500 x 為為單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù)因因?yàn)闉?( ,.60500 x故故需需92.576 x即即).( 例例2 公共汽車車門的高度是按男子與車門公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機(jī)會(huì)在頂頭碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下來(lái)設(shè)計(jì)的以下來(lái)設(shè)計(jì)的. .設(shè)男子設(shè)男子身高身高XN( (170, ,62),),問(wèn)車門高度應(yīng)如何確定問(wèn)車門高度應(yīng)如何確定? ? 解解: : 設(shè)車門高度為設(shè)車門高度為h cm, ,按設(shè)計(jì)要求按設(shè)計(jì)要求P(X h)0.