一元二次方程(知識點+考點+題型總結)

1、一元二次方程專題復習考點一、概念（1）定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2,這樣的整式方程就是一元二次方程。一般表達式：ax2 bx c 0（ a 0）難點：如何理解 “未知數(shù)的最高次數(shù)是 2”：該項系數(shù)不為“ 0”；未知數(shù)指數(shù)為“ 2”；若存在某項指數(shù)為待定系數(shù)，或系數(shù)也有待定，則需建立方程或不等式加以討論。典型例題：區(qū)J 1、下列方程中是關于 x的一元二次方程的是（）211A 3x122x1B 二 2 0x x_222，C ax bx c 0D x 2x x 1變式：當k 時，關于x的方程kx2 2x x23是一元二次方程?？霬 2、方程 m 2x網 3mx 10是關于x的一

2、元二次方程，則 m的值為。針對練習： 1、方程8x2 7的一次項系數(shù)是 ,常數(shù)項是 o 2、若方程 m 2 x m 10是關于x的一元一次方程，求m的值；寫出關于 x的一元一次方程。 3、若方程 m 1 x2 Jm?x 1是關于x的一元二次方程，則 m的取值范圍是 。 4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，則下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考點二、方程的解概念：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解。應用：利用根的概念求代數(shù)式的值；典型例題：22區(qū)J 1、已知2y y 3的值為2,則4y2y 1的值為。22區(qū)J 2、關于x的一兀一

3、次方程 a 2 x x a 4 0的一個根為0,則a的值為。2根為 快J 3、已知關于x的一兀一次方程 ax bx c 0 a 0的系數(shù)滿足a c b ,則此方程必有- 22區(qū)J 4、已知a,b是萬程x 4x m 0的兩個根，b,c是萬程y 8y 5m 0的兩個根， 則m的值為。針對練習： 1、已知方程 x2 kx 10 0的一根是2,則k為,另一根是 ox 12、已知關于x的萬程x2 kx 2 0的一個解與方程 3的解相同。x 1求k的值；方程的另一個解。22 3、已知m是萬程xx 1 0的一個根，則代數(shù)式 mm 。 4、已知 a是 x2 3x 1 0 的根，貝ij 2a2 6a 。 5、方

4、程a b x2 b c x c a 0的一個根為（）a 1b 1c b cd a 6、若 2x 5y 3 0,貝U 4x ?32y 。方法：直接開方法；因式分解法；配方法；公式法關鍵點：降次類型一、直接開方法：x2 mm 0 , x . m222對于 x a m , ax m bx n 等形式均適用直接開萬法典型例題：傷M、解方程：1 2x2 8 0;2 25 16x2=0;3 1 x 2 9 0;傷J 2、若 9 x 1 2 16 x 2針對練習：下列方程無解的是（ 22,A. x 3 2x 1 B. x2,則x的值為C. 2x 3 1 xD.類型二、因式分解法：x x1x20方程特點：左邊

5、可以分解為兩個一次因式的積,xx1,或 x右邊為“x20”，方程形式：如axbx nx2 2ax典型例題：除J 1、2x x的根為（4x變式1：Cx152,X2變式2:若x變式3:若快J 3、方程2x2xyb2xy3 4xyb20 ,則4x+y的值為0,則 a2y14,b2的值為xy28,則x+y的值為0的解為（A. x13, X2快J 4、解方程：B.xi2 .33, X 2x 2.3 4C.x13, x23 D. x12, x20區(qū)J 5、已知2x23xy 2y2x0,則一 xy的值為 y變式：已知2x23xy 2y20,且 x0, yc , x0,則一xy的值為 y針對練習： 1、下列說

6、法中:方程x2px6x 80的二根為x1, x2,則(x 2)(x 4). a2 5abpx I 6b2q (x：(aX)(x x2)2)(a3)方程（3x 正確的有（(x1)2)y)( .x ,y)( ,x , y)0可變形為(3x 1 J7)(3x 1.7)A.1個B.2個0C.3個D.4個 2、以 1一 2A. x2x 6 0"為根的一元二次方程是（）2 c c cB. x 2x 6 0_2C. y 2y2 cc cy 2y 6 03、寫出一個一元二次方程，要求二次項系數(shù)不為寫出一個一元二次方程，要求二次項系數(shù)不為 4、若實數(shù)A、-1 或-25、方程:x、y滿足 xB、-1 或

7、 21F2的解是x1,2C、1 或-2 6、已知一 6x2xy<,6y2 0,且 7、值為方程1999x1998 2000x類型三、配方法 ax2 bx1,且兩根互為倒數(shù): 且兩根互為相反數(shù)： 0 ,則x+y的值為（D、1 或 20, y 0,0的較大根為r,2x . 6y=的值。3x y2 ,方程2007x2008x 1 0的較小根為s,s-r的x 2ab24ac 4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式的值或極值之類的問題。 典型例題：除M、試用配方法說明 x2 2x 3的值恒大于0。區(qū)2 2>已知x、y為實數(shù)，求代數(shù)式 x2 y2 2x 4y 7的最小值。已

8、知 x2 y2 4x 6y130, x、y為實數(shù)，求xy的值。區(qū)J4、 分解因式：4x2 12x 3210x 7x 4的值怛小于0。1,-1x40,則 x xx針對練習： 1、試用配方法說明. 一 j 21 2、已知x x 3、若t 2 / 3x2 12x 9，則t的最大值為2b 3c的值為 4、如果 a b |vc-7 14 da 2 2Vbi 4,那么 a類型四、公式法條件：a 0,且b2 4ac 0- 2b b 4ac, 2公式：x , a 0,且b 4ac 02a典型例題：快J 1、選擇適當方法解下列方程：22 31 x 6. x 3 x 68. x 4x 3x2 4x 1 0(5)3

9、x 1 3x 1 x 1 2x 522 2x 4xy 5y區(qū)J 2、在實數(shù)范圍內分解因式：(1) x2 2v12x 3；4x2 8x 1.說明：對于二次三項式ax2 bx c的因式分解，如果在有理數(shù)范圍內不能分解,一般情況要用求根公式，這種方法首先令ax2 bx c=0,求出兩根，再寫成2ax bx c = a(x x1)(x x2).分解結果是否把二次項系數(shù)乘進括號內，取決于能否把括號內的分母化去.類型五、“降次思想”的應用求代數(shù)式的值；解二元二次方程組。典型例題：x 1 3 x2 1 .快M、已知x2 3x 2 0,求代數(shù)式的值x 1快J 2、如果x2 x 1 0,那么代數(shù)式區(qū)J 3、已知

10、a是一元二次方程 x2 3x2x2 7的值。a3 2a2 5a 10的一根，求-2a一曳的值。a 1區(qū)J 4、用兩種不同的方法解方程組2x y 6,(1)22x2 5xy 6y2 0.(2)說明：解二元二次方程組的具體思維方法有兩種：先消元，再降次；先降次，再 消元。但都體現(xiàn)了一種共同的數(shù)學思想一一化歸思想，即把新問題轉化歸結為我們已 知的問題.考點四、根的判別式 b2 4ac根的判別式的作用：定根的個數(shù)；求待定系數(shù)的值；應用于其它。典型例題：快1、若關于x的方程x2 2jkx 1傷J 2、關于x的方程 m 1 x2 2mxa. m 0且m 1 b. m 0區(qū)J 3、已知關于x的方程x2 k

11、2 x0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是m 0有實數(shù)根，則 m的取值范圍是()C. m 1d. m 12k 0求證：無論k取何值時，方程總有實數(shù)根；快J 4、已知二次三項式 9x2(m 6)x m 2是一個完全平方式，試求m的值.若等4ABC的一邊長為1 ,另兩邊長恰好是方程的兩個根，求ABC的周長。2 2 26除J 5、m為何值時，方程組x y 6,有兩個不同的實數(shù)解？有兩個相同的實數(shù)解?mx y 3.針對練習： 1、當k 時，關于x的二次三項式 x2 kx 9是完全平方式。22、當k取何值時，多項式3x 4x 2 k是一個完全平方式？這個完全平方式是什么?23、已知萬程 mx mx

12、2 0有兩個不相等的實數(shù)根，則 m的值是. y kx 2,4、k為何值時，方程組y2 4x 2y 1 0.(1)有兩組相等的實數(shù)解，并求此解；(2)有兩組不相等的實數(shù)解；(3)沒有實數(shù)解.22 5、當k取何值時，萬程 x 4mx 4x 3m 2m 4k 0的根與m均為有理數(shù)?考點五、方程類問題中的“分類討論”典型例題：快J 1、關于x的方程m 1 x2 2mx 3 0有兩個實數(shù)根，則 m為,只有一個根，則 m為 o2、不解方程，判斷關于 x的方程x2 2 x k k23根的情況。修J 3、如果關于x的方程x2 kx 2 0及方程x2 x 2k 0均有實數(shù)根，問這兩方程 是否有相同的根？若有，請

13、求出這相同的根及k的值；若沒有，請說明理由?？键c六、應用解答題“握手”問題；“利率”問題；“幾何”問題；“最值”型問題；“圖表”類問題典型例題：1、五羊足球隊的慶祝晚宴，出席者兩兩碰杯一次，共碰杯 990次，問晚宴共有多少人出席?2、某小組每人送他人一張照片，全組共送了90張，那么這個小組共多少人?3、北京申奧成功，促進了一批產業(yè)的迅速發(fā)展，某通訊公司開發(fā)了一種新型通訊產品投放市場，根據(jù)計劃，第一年投入資金600萬元，第二年比第一年減少1 ,第三年比第二年減少 1 ,該產品第一年收入資金約400萬元，公司計劃三年內32一一，,1-、，»，-，不僅要將投入的總資金全部收回，還要盈利，要

14、實現(xiàn)這一目標，該產品收入的年平均增長率約為多少？(結果精確到30.1, a/133.61)4、某商店經銷一種銷售成本為每千克40元的水產品，據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出 500千克，銷售單價每漲1元，月銷售量就減少 10千克，針對此回答：(1)當銷售價定為每千克 55元時，計算月銷售量和月銷售利潤。(2)商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少？5、將一條長20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長作成一個正方形。(1)要使這兩個正方形的面積之和等于17cm2,那么這兩段鐵絲的長度分別為多少?(2)兩個正方形的面積

15、之和可能等于12cm2嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由。(3)兩個正方形的面積之和最小為多少？6、A、B兩地間的路程為 36千米.甲從A地，乙從B地同時出發(fā)相向而行，兩人相遇后，甲再走 2小時30分到達B地, 乙再走1小時36分到達A地，求兩人的速度.考點七、根與系數(shù)的關系前提：對于ax2 bx c 0而言，當滿足 a 0、0時，才能用韋達定理。、一.、b c主要內谷：x1 x2, x1 x2 a a應用：整體代入求值。典型例題：快J 1、已知一個直角三角形的兩直角邊長恰是方程2x2 8x 7 0的兩根，則這個直角三角形的斜邊是()A.、3B.3C.6D. 62 2區(qū)J 2、已知關于x的萬程k x 2k 1 x 10有兩個不相等的實數(shù)根 x1，x2,(1)求k的取值范圍；(2)是否存在實數(shù) k,使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)？若存在，求出 k的值；若不存在，請說明理由。例3、小明和小紅一起做作業(yè)，在解一道一元二次方程(二次項系數(shù)為1)時，小明因看錯常數(shù)項，而得到解為8和2,i列4、 口和a變式：若a 2傷J 5、已知針對練習：1、解方程組小紅因看錯了