確定二次函數(shù)的表達(dá)式

1、3 3 確定二次函數(shù)的表達(dá)式確定二次函數(shù)的表達(dá)式北師版 九年級(jí)下冊(cè) 如圖是一名學(xué)生推鉛球時(shí)，鉛球行進(jìn)高度如圖是一名學(xué)生推鉛球時(shí)，鉛球行進(jìn)高度y(m)與水平距離與水平距離x(m)的圖象，你能求出其表達(dá)式嗎？的圖象，你能求出其表達(dá)式嗎？情境導(dǎo)入1423290 xy思考探究思考探究 確定二次函數(shù)的表達(dá)式需要幾個(gè)條件？確定二次函數(shù)的表達(dá)式需要幾個(gè)條件？與同伴進(jìn)行交流與同伴進(jìn)行交流.例例1 1 若二次函數(shù)圖象過(guò)若二次函數(shù)圖象過(guò)A(2,-4),B(0,2), A(2,-4),B(0,2), C(-1,2)C(-1,2)三點(diǎn)，求此函數(shù)的解析式。三點(diǎn)，求此函數(shù)的解析式。例例1 1 若二次函數(shù)圖象過(guò)若二次函數(shù)圖

2、象過(guò)A(2,-4),B(0,2), A(2,-4),B(0,2), C(-1,2)C(-1,2)三點(diǎn)求此函數(shù)的解析式。三點(diǎn)求此函數(shù)的解析式。解解：設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為y=ax+bx+c 圖象過(guò)圖象過(guò)B(0,2) c=2 y=ax2+bx+2 圖象過(guò)圖象過(guò)A(2,-4),C(-1,2)兩點(diǎn)兩點(diǎn) -4=4a+2b+2 2=a-b+2 解得解得 a=-1,b=-1 函數(shù)的解析式為：函數(shù)的解析式為： y=-x2-x+2解法解法2：（利用頂點(diǎn)式）（利用頂點(diǎn)式） 圖象過(guò)圖象過(guò)B(0,2), C(-1,2)兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，可知其對(duì)稱軸為可知其對(duì)稱軸為x=可設(shè)解析式為可設(shè)解析式為y=a(x+ )2

3、+k A(2,-4),B(0,2)在圖象上，在圖象上， -4=a(2+ )2+k 2=a(0+ )2 +k a=-1,k= y=-(x+ )2+即即 y=-x2-x+21-2121212129494例例2 已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,-3)，并且當(dāng)，并且當(dāng)x=3時(shí)有最大值時(shí)有最大值4，試確定這個(gè)二次函數(shù)的解析式。，試確定這個(gè)二次函數(shù)的解析式。解法解法1：（利用一般式）（利用一般式）設(shè)二次函數(shù)解析式為：設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=ax2+bx+c (a0)由題意知由題意知 16a+4b+c = -3 = 3 = 4解方程組得：解方程組得： a= -7 b= 42 c

4、= -59 二次函數(shù)的解析式為：二次函數(shù)的解析式為：y= -7x2+42x-59 b-2a24ac-b4a解法解法2：（利用頂點(diǎn)式）（利用頂點(diǎn)式） 當(dāng)當(dāng)x=3時(shí)，有最大值時(shí)，有最大值4 頂點(diǎn)坐標(biāo)為頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4) 設(shè)二次函數(shù)解析式為：設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=a(x-3)2+4 函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（4，- 3） a(4 - 3)2 +4 = - 3 a= -7 二次函數(shù)的解析式為：二次函數(shù)的解析式為： y= -7(x-3)2+4 例例3 二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)的圖象過(guò)點(diǎn)A(0,5),B(5,0)兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，它的對(duì)稱軸為直線它的對(duì)稱軸為直線x=3，求這個(gè)二次函數(shù)

5、的解析式。，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。解解: 二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=3 設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為 y=a(x-3)2+k 圖象過(guò)點(diǎn)圖象過(guò)點(diǎn)A(0,5),B(5,0)兩點(diǎn)兩點(diǎn) 5=a(0-3)2+k 0=a(5-3)2+k 解得：解得：a= 1 ， k=-4 二次函數(shù)的二次函數(shù)的表達(dá)式表達(dá)式: y= (x-3)2-4 即即 y =x2-6x+5小結(jié)小結(jié): 已知頂點(diǎn)坐標(biāo)已知頂點(diǎn)坐標(biāo)（h,k）或?qū)ΨQ軸方程或?qū)ΨQ軸方程x=h 時(shí)時(shí) 優(yōu)先選用優(yōu)先選用頂點(diǎn)式頂點(diǎn)式。解：（解：（交點(diǎn)式交點(diǎn)式）二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) (3,0),(-1,0)設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為

6、設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為 ：y=a(x-3)(x+1) 函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(1,4) 4 =a (1-3)(1+1) 得得 a= -1 函數(shù)的表達(dá)式為：函數(shù)的表達(dá)式為： y= -(x-3)(x+1) = -x2+2x+3例例 已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) (1,4),(-1,0)和和(3,0)三點(diǎn)，三點(diǎn)，求二次函數(shù)的表達(dá)式。求二次函數(shù)的表達(dá)式。知道拋物線與知道拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，選用交點(diǎn)式比較簡(jiǎn)便。標(biāo)，選用交點(diǎn)式比較簡(jiǎn)便。其他解法：其他解法：（一般式一般式） 設(shè)二次函數(shù)解析式為設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax+bx+c 二次函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)二次函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(1,

7、4),(-1,0)和和(3,0) a+b+c=4 a-b+c=0 9a+3b+c=0 解得：解得： a= -1 b=2 c=3 函數(shù)的解析式為：函數(shù)的解析式為：y= -x2+2x+3（頂點(diǎn)式）（頂點(diǎn)式） 解：解： 拋物線與拋物線與x軸相交兩點(diǎn)軸相交兩點(diǎn)(-1,0)和和(3,0) ， (-1+3)/2 = 1 點(diǎn)點(diǎn)(1,4)為拋物線的頂點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn) 可設(shè)二次函數(shù)解析式為：可設(shè)二次函數(shù)解析式為： y=a(x-1)2+4 拋物線過(guò)點(diǎn)拋物線過(guò)點(diǎn)(-1, 0) 0=a(-1-1)2+4 得得 a= -1 函數(shù)的解析式為：函數(shù)的解析式為： y= -(x-1)2+4 =-x2+2x+3歸納：歸納： 在確

8、定二次函數(shù)表達(dá)式時(shí)在確定二次函數(shù)表達(dá)式時(shí)（1）若已知圖象上三個(gè)非特殊點(diǎn)，常設(shè)一般）若已知圖象上三個(gè)非特殊點(diǎn)，常設(shè)一般式式 ；（2）若已知二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸，常）若已知二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸，常設(shè)頂點(diǎn)式設(shè)頂點(diǎn)式 較為簡(jiǎn)便；較為簡(jiǎn)便；（3）若已知二次函數(shù)與）若已知二次函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，常設(shè)軸的兩個(gè)交點(diǎn)，常設(shè)交點(diǎn)式較為簡(jiǎn)單。交點(diǎn)式較為簡(jiǎn)單。1.請(qǐng)選擇最優(yōu)解法，求下列二次函數(shù)表達(dá)式。請(qǐng)選擇最優(yōu)解法，求下列二次函數(shù)表達(dá)式。(1)已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸，且經(jīng)軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) （-2，2），求此拋物線的表達(dá)式？），求此拋物線的表達(dá)式？(2)已知拋物線

9、的頂點(diǎn)在已知拋物線的頂點(diǎn)在y軸上軸上,且經(jīng)過(guò)（且經(jīng)過(guò)（-1，-3）和）和（2，6),求此拋物線的表達(dá)式？求此拋物線的表達(dá)式？運(yùn)用新知運(yùn)用新知頂點(diǎn)式頂點(diǎn)式21y =x2頂點(diǎn)式頂點(diǎn)式y(tǒng)=3x2-6(3)已知拋物線的頂點(diǎn)在已知拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，對(duì)稱軸是直線軸上，對(duì)稱軸是直線x=1，且，且經(jīng)過(guò)（經(jīng)過(guò)（2，3），求此拋物線的表達(dá)式？），求此拋物線的表達(dá)式？(4)已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且過(guò)（已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且過(guò)（2，6），），（-1，3）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式？）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式？一般式，交點(diǎn)式一般式，交點(diǎn)式頂點(diǎn)式頂點(diǎn)式y(tǒng)=3(x-1)2y=2x2-x 2.如圖，某建筑

10、的屋頂設(shè)計(jì)成橫截面為拋物線如圖，某建筑的屋頂設(shè)計(jì)成橫截面為拋物線 （曲（曲 線線AOB）的薄殼屋頂它的拱寬）的薄殼屋頂它的拱寬AB為為6m，拱高，拱高CO為為 0.9m試建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系試建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,并寫出這段拋物線所對(duì)并寫出這段拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式? 解解:以線段以線段AB的中垂線為的中垂線為y軸軸,以過(guò)點(diǎn)以過(guò)點(diǎn)o且且與與y軸垂直的直線為軸垂直的直線為x軸軸,建立直角坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系222ABAB = 6CB = 3,OC = 0.92B(3,-0.9)y = ax,-0.9 = a3a = -0.1y = -0.1x (-3x3) 代代入入中中因因此此這這段段拋拋物物線線對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的二二次次函函數(shù)數(shù)表表示示式式為為設(shè)它的函數(shù)表達(dá)式為設(shè)它的函數(shù)表達(dá)式為: y=ax (a0) 通過(guò)上述問(wèn)題的解決通過(guò)上述問(wèn)題的解決,您能體會(huì)到求二次函您能體會(huì)到求二次函數(shù)表達(dá)式采用的一般方法是什么數(shù)表達(dá)式采用的一般方法是什么?（待定系數(shù)法）（待定系數(shù)法）1.1.若無(wú)坐標(biāo)系若無(wú)坐標(biāo)系, ,首先應(yīng)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系首先應(yīng)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系; ;2.2.設(shè)拋物線的表達(dá)式設(shè)拋物線的表達(dá)式; ;3.3.寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo); ;4.4.列方程列