矩陣的初等變換與線性方程組

1、-1-線線 性性 代代 數(shù)數(shù)任課教師任課教師 程林鳳程林鳳-2- 線性代數(shù)是代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，主要處理線性關(guān)系線性代數(shù)是代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，主要處理線性關(guān)系問題。線性關(guān)系即數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系是以一次形式來問題。線性關(guān)系即數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系是以一次形式來表達(dá)的。表達(dá)的。 例如，在解析幾何里，平面上直線的方程是二元例如，在解析幾何里，平面上直線的方程是二元一次方程；空間平面的方程是三元一次方程，而空間一次方程；空間平面的方程是三元一次方程，而空間直線視為兩個(gè)平面相交，由兩個(gè)三元一次方程所組成直線視為兩個(gè)平面相交，由兩個(gè)三元一次方程所組成的方程組來表示。含有的方程組來表示。含有n個(gè)未知量的一次方程稱為

2、線性個(gè)未知量的一次方程稱為線性方程。關(guān)于變量是一次的函數(shù)稱為線性函數(shù)。方程。關(guān)于變量是一次的函數(shù)稱為線性函數(shù)。-3- 線性代數(shù)作為獨(dú)立的分支直到線性代數(shù)作為獨(dú)立的分支直到2020世紀(jì)才形成，然世紀(jì)才形成，然而它的歷史卻非常久遠(yuǎn)。而它的歷史卻非常久遠(yuǎn)。 最古老的線性問題是最古老的線性問題是線性方程組線性方程組的解法，在中的解法，在中國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)九章算術(shù)方程方程中，已經(jīng)作中，已經(jīng)作了比較完整的敘述，其中所述方法實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于現(xiàn)了比較完整的敘述，其中所述方法實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于現(xiàn)代的對(duì)方程組的增廣矩陣的行代的對(duì)方程組的增廣矩陣的行施行初等變換施行初等變換，消去，消去未知量的方法。未

3、知量的方法。 隨著研究線性方程組和變量的線性變換問題的深隨著研究線性方程組和變量的線性變換問題的深入，入，行列式行列式和和矩陣矩陣在在1819世紀(jì)期間先后產(chǎn)生，為處世紀(jì)期間先后產(chǎn)生，為處理線性問題提供了有力的工具，從而推動(dòng)了線性代數(shù)理線性問題提供了有力的工具，從而推動(dòng)了線性代數(shù)的發(fā)展。的發(fā)展。-4- 向量概念的引入，形成了向量概念的引入，形成了向量空間向量空間的概念。線性的概念。線性問題都可以用向量空間的觀點(diǎn)加以討論。因此，向量問題都可以用向量空間的觀點(diǎn)加以討論。因此，向量空間及其線性變換，以及與此相聯(lián)系的矩陣?yán)碚摚瑯?gòu)空間及其線性變換，以及與此相聯(lián)系的矩陣?yán)碚摚瑯?gòu)成了線性代數(shù)的中心內(nèi)容。成了線

4、性代數(shù)的中心內(nèi)容。 線性代數(shù)的含義隨數(shù)學(xué)的發(fā)展而不斷擴(kuò)大。線性線性代數(shù)的含義隨數(shù)學(xué)的發(fā)展而不斷擴(kuò)大。線性代數(shù)的理論和方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的許多分支。比如，代數(shù)的理論和方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的許多分支。比如，“以直代曲以直代曲”是人們處理很多數(shù)學(xué)問題時(shí)一個(gè)很自然是人們處理很多數(shù)學(xué)問題時(shí)一個(gè)很自然的思想。許多經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)、物理、化學(xué)等領(lǐng)域的的思想。許多經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)、物理、化學(xué)等領(lǐng)域的大型線性問題的計(jì)算使得線性代數(shù)成為應(yīng)用最廣泛的大型線性問題的計(jì)算使得線性代數(shù)成為應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)學(xué)科之一。數(shù)學(xué)學(xué)科之一。-5-6-今有30000美元投資給三個(gè)投資公司A，B，C，投資給這三個(gè)公司的(平均)年利潤(rùn)率分別為1

5、2、15、22。投資者投資目標(biāo)是(平均)年總利潤(rùn)為6000美元，投資者要求投給公司B的資金是投給公司A的2倍。為了達(dá)到這個(gè)投資目標(biāo)與要求，應(yīng)當(dāng)投資每個(gè)公司各多少美元?123,x x x12312312300000.120.150.22600020 xxxxxxxx1232500,5000,22500 xxx解解 設(shè)投資于公司A，B，C的資金分別為問題問題1 1（投資問題）（投資問題）-7-11212111bxaxaxannmnmnmmbxaxaxa221122222121bxaxaxann問題問題：（1）如何判別（*）是否有解？若有解，解是否唯一？（2）如何解（*）？（3）當(dāng)（*）有無窮多解時(shí)

6、，其解如何表示？（*）問題問題2. 線性方程組的一般理論線性方程組的一般理論-8- 問題問題3 航線連接問題航線連接問題 四個(gè)城市間的單向航線如圖：四個(gè)城市間的單向航線如圖：1234 0101001000011110可簡(jiǎn)單地用一個(gè)數(shù)表來表示：可簡(jiǎn)單地用一個(gè)數(shù)表來表示：-9- 問題問題4 Fibonacci數(shù)列數(shù)列(兔子繁殖問題）兔子繁殖問題） Fibonacci數(shù)列滿足遞推關(guān)系式：數(shù)列滿足遞推關(guān)系式：, 2 , 1 , 0,12nuuunnn其中其中1,110uu 利用利用矩陣的對(duì)角化方法矩陣的對(duì)角化方法，可以得到該數(shù)列一般項(xiàng)的顯，可以得到該數(shù)列一般項(xiàng)的顯示表達(dá)式。示表達(dá)式。問題問題5 二次曲

7、面的圖形二次曲面的圖形線性代數(shù)的最基本研究對(duì)象線性代數(shù)的最基本研究對(duì)象線性方程組線性方程組線性代數(shù)研究中的最基本工具線性代數(shù)研究中的最基本工具矩陣矩陣線性代數(shù)研究的非常有用的方法線性代數(shù)研究的非常有用的方法矩陣的初等變換矩陣的初等變換-10- -11-排排成成，；，個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)由由),21,21(njmianmij mnmmnnaaaaaaaaa212222111211矩矩陣陣。簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱列列矩矩陣陣行行稱稱為為nmnm ,?；蚧蚧蚧蚩煽珊?jiǎn)簡(jiǎn)記記為為矩矩陣陣nmijnmijAaAaAA )()(列列的的數(shù)數(shù)表表行行的的nm A 為表示它是一個(gè)為表示它是一個(gè)整體，總是加一個(gè)括號(hào)，并用大寫字母記之。整體

8、，總是加一個(gè)括號(hào)，并用大寫字母記之。列列的的元元素素。行行第第的的第第稱稱為為矩矩陣陣jiAaij-12-(1) 11的矩陣可以理解為一個(gè)數(shù)。的矩陣可以理解為一個(gè)數(shù)。 (2) 行數(shù)與列數(shù)都等于行數(shù)與列數(shù)都等于 n 的矩陣的矩陣 A，稱為，稱為 n 階方階方陣或陣或 n 階矩陣。階矩陣。 (3) 只有一行的矩陣只有一行的矩陣 naaaA,21 稱為行矩陣或稱為行矩陣或 n 維行向量。維行向量。稱為列矩陣或稱為列矩陣或 m 維列向量。維列向量。(4) 只有一列的矩陣只有一列的矩陣 maaaA21-13-(5) 元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記為元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記為O 。(6) 矩陣矩陣

9、111E(約定未寫出的元素全為零約定未寫出的元素全為零)稱為單位矩陣。稱為單位矩陣。(7) 矩陣矩陣 nD 21稱為對(duì)角矩陣。記作稱為對(duì)角矩陣。記作),diag(21nD -14-設(shè)設(shè) ，如果，如果qpijnmijbBaA )(,)(qnpm ,(此時(shí)稱此時(shí)稱A與與B是是) 且且), 1;, 1(njmibaijij 則稱則稱 ，記作，記作 A = B。 0000 000000問問： 與與 相等嗎？相等嗎？-15-(3) 把矩陣的某一行乘上一個(gè)數(shù)加到另一行上，把矩陣的某一行乘上一個(gè)數(shù)加到另一行上， 稱矩陣的下面三種變換分別為第一、第二、稱矩陣的下面三種變換分別為第一、第二、第三種第三種(1)

10、交換矩陣的某兩行，記為交換矩陣的某兩行，記為jirr (2) 以不等于的數(shù)乘矩陣的某一行，記為以不等于的數(shù)乘矩陣的某一行，記為irk 記為記為jirkr 類似定義三種類似定義三種jiijikcckkccc )3()0()2()1(以上六種變換統(tǒng)稱為矩陣的以上六種變換統(tǒng)稱為矩陣的-16-及及( (行最簡(jiǎn)行最簡(jiǎn)形就是所謂的最簡(jiǎn)單的形就是所謂的最簡(jiǎn)單的“代表代表”) 書書P.5-定義定義4 0000100021200211 00000000002100010230行階梯形矩陣行階梯形矩陣-17-行最簡(jiǎn)階梯形矩陣行最簡(jiǎn)階梯形矩陣 0000100001100201 0000000000210001021

11、0（3）臺(tái)階左下方元素全為零；）臺(tái)階左下方元素全為零；（1）每個(gè)臺(tái)階上只有一行；）每個(gè)臺(tái)階上只有一行；（2）每個(gè)臺(tái)階上第一個(gè)元素不為零。）每個(gè)臺(tái)階上第一個(gè)元素不為零。行階梯形矩陣：行階梯形矩陣：行最簡(jiǎn)階梯形行最簡(jiǎn)階梯形 (1)(2)(3) + (4)臺(tái)階上的第一個(gè)元素為臺(tái)階上的第一個(gè)元素為1,且其所在列其它元素全為零。且其所在列其它元素全為零。-18- 書書P6-定理定理1.1.1 97963422644121121112 9796321132211124121121rr 321r 例例1 3433063550022204121132rr 143rr 132rr 310006200001110

12、41211221r243rr 235rr -19- 000003100001110412110000031000301107021143rr 342rr 31000620000111041211 0000031000301104010121rr 31rr 32rr -20-32212235131132125121620428312131021200001045011321r00000000005410031021r練習(xí)練習(xí) 將下列矩陣用初等行變換化為階梯形矩陣將下列矩陣用初等行變換化為階梯形矩陣,再化為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣再化為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣-21-jirr jirr ikrirk1jikrr

13、jikrr 初等列變換也有類似的結(jié)果初等列變換也有類似的結(jié)果逆變換逆變換逆變換逆變換逆變換逆變換-22-如果如果 ,則稱則稱 (也稱也稱)BA 矩陣的相抵關(guān)系是不是一個(gè)等價(jià)關(guān)系矩陣的相抵關(guān)系是不是一個(gè)等價(jià)關(guān)系?(等價(jià)關(guān)系等價(jià)關(guān)系)在一個(gè)集合在一個(gè)集合 S 中如果有一種關(guān)系中如果有一種關(guān)系 R 滿足滿足 (1) 自反性：自反性：aRa; (2) 對(duì)稱性：對(duì)稱性：aRb bRa; (3) 傳遞性：傳遞性：aRb, bRc aRc。則稱則稱 R 為為 S 的一個(gè)的一個(gè)。作業(yè)作業(yè) P7 3 4課后思考課后思考 P7 5 6-23-24-11212111bxaxaxannmnmnmmbxaxaxa221

14、122222121bxaxaxann（*）線性方程組線性方程組記記111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa 12nxxxx12mbbbb一一. 線性方程組的矩陣形式線性方程組的矩陣形式bAA-25-11212111bxaxaxannmnmnmmbxaxaxa221122222121bxaxaxann（*）（1 1）若）若0b ，則稱（則稱（* *）為）為非齊次線性方程組非齊次線性方程組; ;（2 2）若）若0b ，則稱（則稱（* *）為）為齊次線性方程組齊次線性方程組. .-26-1231232341368xxxxxx例例1 線性方程組線性方程組（*）234316A系數(shù)矩陣系數(shù)

15、矩陣23413168B增廣矩陣增廣矩陣記記18b 123xxxx-27-1231231232342(1)21(2)2282(3)xxxxxxxxx 引例引例 用加減消元法解方程用加減消元法解方程組組234212112282B(1)(2)12321(1)xxx 1232342(2)xxx12341(3)xxx 121123421141 )3(21-28-(1)(2)1(3)312321(1)xxx 1232342(2)xxx12341(3)xxx 121113421141 (2)2 (1) (3)(1)12321(1)xxx 2320(2)xx2330(3)xx121101200130-29-(

16、2)2 (1) (3)(1)12321(1)xxx 2320(2)xx2330(3)xx121101200130(1)2 (2) (3)(2)1351(1)xx 2320(2)xx30(3)x105101200010-30-(1)2 (2) (3)(2)1351(1)xx 2320(2)xx30(3)x1051012000101231,0,0 xxx (2)2 (3) 1 (3) 11(1)x 20(2)x 30(3)x 100101000010(1)5 (3) -31-例例2求解非齊次線性方程組求解非齊次線性方程組 32222353132432143214321xxxxxxxxxxxx對(duì)對(duì)增

17、廣矩陣增廣矩陣用行變換化用行變換化階梯形階梯形 200001045011321322122351311321rA最后一行對(duì)應(yīng)的方程是：最后一行對(duì)應(yīng)的方程是： , ,所以無解。所以無解。-32- 25262428323 243214214321421xxxxxxxxxxxxxx 0000000000541003102125121620428312131021rA解方程組解方程組例例3:把增廣矩陣用把增廣矩陣用行行變換化階梯形變換化階梯形,判斷是否有解判斷是否有解;若有解若有解,繼繼續(xù)化為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣。續(xù)化為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣。-33-：寫出等價(jià)的：寫出等價(jià)的(獨(dú)立的獨(dú)立的)方程組，保留第一個(gè)未

18、知數(shù)在左邊方程組，保留第一個(gè)未知數(shù)在左邊其余的移到右邊，移到右邊的稱為其余的移到右邊，移到右邊的稱為自由變量自由變量。 543243421xxxxx 5410031021：令自由變量為任意實(shí)數(shù)，寫出通解。再改寫為向量形式。：令自由變量為任意實(shí)數(shù)，寫出通解。再改寫為向量形式。2412,kxkx 令令 242312211 54 32kxkxkxkkx通解通解 543243421xxxxx-34-思考思考 利用矩陣解線性非齊次方程組的步驟利用矩陣解線性非齊次方程組的步驟.祥見教材第祥見教材第12頁頁.練習(xí)練習(xí) 解方程組解方程組4325242122432143214321xxxxxxxxxxxx-35-例例4求解齊次線性方程組求解齊次線性方程組 0340222022432143214321xxxxxxxxxxxx 341122121221A 46304630122113122rrrr 對(duì)系數(shù)矩陣對(duì)系數(shù)矩陣A施行初等行變換化為最簡(jiǎn)階梯形施行初等行變換化為最簡(jiǎn)階梯形:-36- 00003/42101221 00003/42103/520123rr 212rr 0000