數(shù)學(xué)分析第四章函數(shù)的連續(xù)性

1、數(shù)學(xué)分析第四章函數(shù)的連續(xù)性1 函數(shù)連續(xù)的概念函數(shù)連續(xù)的概念?)(lim0 xfxxxy00 x)(xgy xy00 xy=(x)?)(lim0 xgxxAg(x0)Ag(x0)引例一、函數(shù)的連續(xù)性1.連續(xù)的定義連續(xù)的定義有定義；在0)( 1 xxf存在；)(lim20 xfxx.()(lim300）xfxfxx.)()(, 0, 000 xfxfxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)).)(,0, 0, 0(0axfxx恒有時(shí)和極限存在的區(qū)別和極限存在的區(qū)別),(00 xUa函數(shù)的連續(xù)的等價(jià)定義2.函數(shù)的增量函數(shù)的增量),(,),()(00 xUxxUxf 內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).)(),()(0

2、的的增增量量相相應(yīng)應(yīng)于于稱(chēng)稱(chēng)為為函函數(shù)數(shù)xxfxfxfy xy0 xy00 xx)(xfy x 0 xxx y y .,00的的增增量量稱(chēng)稱(chēng)為為自自變變量量在在點(diǎn)點(diǎn) xxxx y=(x)0,0.xy 當(dāng)時(shí)0,0.xy 當(dāng)時(shí)不一定趨于例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處處連連續(xù)續(xù)在在試試證證函函數(shù)數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義由定義1知知.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 3.單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù);)(),()0(,()(0000處處左左連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱(chēng)稱(chēng)且且內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在若若函函數(shù)數(shù)xxfxf

3、xfxaxf 定理定理.)()(00處處既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)在在是是函函數(shù)數(shù)處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)xxfxxf.)(),()0(,),)(0000處處右右連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱(chēng)稱(chēng)且且內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在若若函函數(shù)數(shù)xxfxfxfbxxf )()(lim00 xfxfxx ),(0 xUx )()(lim00 xfxfxx 處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)0)(xxf左、右極限存在且與函數(shù)值相等左、右極限存在且與函數(shù)值相等. .)()(lim)(lim)()(lim00000 xfxfxfxfxfxxxxxx AxfxfAxfxxxxxx )(lim)(lim)(lim000例例2 2.0

4、, 0, 2, 0, 2)(連連續(xù)續(xù)性性處處的的在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù) xxf4. 函數(shù)的區(qū)間連續(xù)函數(shù)的區(qū)間連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做區(qū)間叫做區(qū)間(a,b)上的上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù),或者說(shuō)函數(shù)在區(qū)間或者說(shuō)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上連上連續(xù)續(xù).,)(,),(上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間函數(shù)函數(shù)則稱(chēng)則稱(chēng)處左連續(xù)處左連續(xù)在右端點(diǎn)在右端點(diǎn)處右連續(xù)處右連續(xù)并且

5、在左端點(diǎn)并且在左端點(diǎn)內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如例如,.),(sin內(nèi)是連續(xù)的內(nèi)是連續(xù)的在區(qū)間在區(qū)間函數(shù)函數(shù) xy記為：記為：.,)(baCxf 例例3 3.),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy證證),( x任任取取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xxy 則, 對(duì)任意的對(duì)任意的, y有有. 0,0 yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).),(sin都是連續(xù)的都是連續(xù)的對(duì)任意對(duì)任意函數(shù)函數(shù)即即 xxyoyx0 xoyx0

6、 xoyx0 x二、函數(shù)的間斷點(diǎn)oyx二、函數(shù)的間斷點(diǎn) 3定義定義;)()1(0處無(wú)定義處無(wú)定義在點(diǎn)在點(diǎn)xxf;)(lim)2(0 不不xfxx).()(lim00 xfxfxx ).()(),()(00或間斷點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)為并稱(chēng)點(diǎn)或間斷處不連續(xù)在點(diǎn)函數(shù)則稱(chēng)xfxxxf)3(:)( 滿足三個(gè)條件之一滿足三個(gè)條件之一若函數(shù)若函數(shù)xf 有定義；在0)( 1 xxf存在；)(lim20 xfxx.()(lim300）xfxfxx連續(xù)連續(xù)間斷例例4 4.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy1sin ,0處沒(méi)有定義處沒(méi)有定義在在 x.1sin,0上下震蕩時(shí)當(dāng)xx .0為

7、間斷點(diǎn)為間斷點(diǎn) x這種情況稱(chēng)這種情況稱(chēng)x=0為震蕩間斷點(diǎn)為震蕩間斷點(diǎn). 例例5 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù) 010001sgnxxxxy當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)1-1xyo11lim)(lim00 xxxf0)0( f而而.0為函數(shù)間斷點(diǎn)為函數(shù)間斷點(diǎn) x例例6 6.0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為為函函數(shù)數(shù)的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) xoxy跳越間斷點(diǎn)跳越間斷點(diǎn))()(limlimxfxfoxxoxx )()(limlimxfxfoxxoxx .跳越度跳越度可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn).)()(),()(lim,)(

8、00000的的可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)義義則則稱(chēng)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)處處無(wú)無(wú)定定在在點(diǎn)點(diǎn)或或但但處處的的極極限限存存在在在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx 注意注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).,)(lim0 xfxx若若稱(chēng)稱(chēng)為為則則0 x7例例.1)1(是是間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，不不 xf, 2)(lim1 xfx.1)(, 2)1(連連續(xù)續(xù)在在則則只只要要令令 xxff.1 是可去間斷點(diǎn)是可去間斷點(diǎn)故故 x.111)(2處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxf解解1)(, 1 xx

9、fx 1,21,11)(2xxxxxf 1x.連續(xù)函數(shù)解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .1為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)的可去間斷點(diǎn) x例例8 8.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 , 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxfoxy112 , 1,11, 10, 1,2)(xxxxxxf例例9 9.0, 0, 0,1)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00(

10、f.斷斷點(diǎn)點(diǎn)這這種種情情況況稱(chēng)稱(chēng)為為無(wú)無(wú)窮窮間間間斷點(diǎn)分類(lèi)：間斷點(diǎn)分類(lèi)：,斷斷點(diǎn)點(diǎn)左左、右右極極限限都都存存在在的的間間.點(diǎn)點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的第一類(lèi)間斷稱(chēng)為函數(shù)的第一類(lèi)間斷.)(,)(00的的第第二二類(lèi)類(lèi)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱(chēng)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)在在少少有有一一個(gè)個(gè)不不存存處處的的左左、右右極極限限至至在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxxf斷斷點(diǎn)點(diǎn)，不不是是第第一一類(lèi)類(lèi)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的間間.點(diǎn)點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的第二類(lèi)間斷稱(chēng)為函數(shù)的第二類(lèi)間斷)(lim),(lim00 xfxfxxxx 第第類(lèi)間斷點(diǎn)：類(lèi)間斷點(diǎn)：都存在都存在第第類(lèi)間斷點(diǎn)：類(lèi)間斷點(diǎn)：)(lim),(lim00 xfxfxxxx 不全存在不全存在可去型可去型第一

11、類(lèi)間斷點(diǎn)第一類(lèi)間斷點(diǎn)oyx跳躍型跳躍型無(wú)窮型無(wú)窮型振蕩型振蕩型第二類(lèi)間斷點(diǎn)第二類(lèi)間斷點(diǎn)oyx0 xoyx0 xoyx0 x例例1010.0, 0, 0,cos)(,處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)取取何何值值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要要使使,1時(shí)時(shí)故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) a.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf, 1 a三、小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;3.間斷點(diǎn)的分類(lèi)與判別間斷點(diǎn)的分類(lèi)與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函

12、數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類(lèi)間斷點(diǎn)第一類(lèi)間斷點(diǎn):跳躍型跳躍型, 可去型可去型.第二類(lèi)間斷點(diǎn)第二類(lèi)間斷點(diǎn):無(wú)窮型無(wú)窮型,振蕩型振蕩型.間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)思考題思考題思考題解答思考題解答)(xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，)()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都都連連續(xù)續(xù).但反之不成立但反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不連連續(xù)續(xù)但但| )(|xf、)(2xf在在00 x連連續(xù)續(xù)練練 習(xí)習(xí) 題題一、

13、一、1 1、一類(lèi)、一類(lèi), ,二類(lèi)；二類(lèi)； 2 2、一類(lèi)、一類(lèi), ,一類(lèi)一類(lèi), ,二類(lèi)二類(lèi). .二、二、,), 1()1,()(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)與與在在 xf1 x為跳躍間為跳躍間 斷點(diǎn)斷點(diǎn). .三、三、1 1、1 x為第一類(lèi)間斷點(diǎn)；為第一類(lèi)間斷點(diǎn)； 2 2、,2為可去間斷點(diǎn)為可去間斷點(diǎn) kx )0( kkx為第二類(lèi)間斷點(diǎn)為第二類(lèi)間斷點(diǎn). . 0, 12,tan)(1xkkxxxxf ), 2, 1, 0( k, ,練習(xí)題答案練習(xí)題答案三、三、 一致連續(xù)性一致連續(xù)性 f (x) 在某個(gè)區(qū)間在某個(gè)區(qū)間 I（或開(kāi)，或閉）連續(xù)，指得是（或開(kāi)，或閉）連續(xù)，指得是f (x) 在在 I 中每一點(diǎn)都連續(xù)，即中每一

14、點(diǎn)都連續(xù)，即.)()(, 0, 0,000 xfxfxxIx恒恒有有一般是不同的。一般是不同的。不同時(shí)，不同時(shí)，當(dāng)，當(dāng)對(duì)同一個(gè)對(duì)同一個(gè)一般來(lái)說(shuō)，一般來(lái)說(shuō)， 0 x上上連連續(xù)續(xù)？在在使使得得，用用的的，能能否否找找到到一一個(gè)個(gè)一一致致可可給給定定Ixfxf)()( 這就是函數(shù)在區(qū)間上的一致連續(xù)性問(wèn)題。這就是函數(shù)在區(qū)間上的一致連續(xù)性問(wèn)題。定義（一致連續(xù)）定義（一致連續(xù)） 設(shè)設(shè) f (x)為定義在區(qū)間為定義在區(qū)間I上上 的函數(shù)，的函數(shù)， 若若.)()(, 0)(, 0 xfxfxxIxx就就有有只只要要 則稱(chēng)則稱(chēng)f在在I上一致連續(xù)。上一致連續(xù)。.| )()(|, xfxfIxx，就就可可以以使使只只

15、要要當(dāng)當(dāng)它它們們的的距距離離小小于于中中處處于于什什么么位位置置，兩兩點(diǎn)點(diǎn)在在直直觀觀地地說(shuō)說(shuō)，就就是是無(wú)無(wú)論論 f在在I上一致連續(xù)上一致連續(xù) f在在I上連續(xù)。上連續(xù)。反之不然。反之不然。一致連續(xù)是整體概念。一致連續(xù)是整體概念。連續(xù)：連續(xù)：).,000 xxx（均有關(guān)，記著均有關(guān)，記著和和與與，因此，一般來(lái)說(shuō)，因此，一般來(lái)說(shuō)，來(lái)決定來(lái)決定和和給定給定一致連續(xù)：一致連續(xù)：都都可可用用。對(duì)對(duì)任任意意的的（，這這種種（記記作作而而變變，只只隨隨，也也即即就就能能決決定定給給定定0),x 一般說(shuō)來(lái)對(duì)一般說(shuō)來(lái)對(duì)I I上無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，存在無(wú)窮多個(gè)上無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，存在無(wú)窮多個(gè), ,這無(wú)窮多個(gè)這無(wú)窮多個(gè) 的下確界

16、的下確界可能為零，也可能大于零?？赡転榱?，也可能大于零。如果這無(wú)窮多個(gè)如果這無(wú)窮多個(gè) 的下確界為零，則不存在適合的下確界為零，則不存在適合I I上上所有點(diǎn)的公共的所有點(diǎn)的公共的大于大于0的的 ，這種情況這種情況 f (x) 在在I I 上一致連續(xù)。上一致連續(xù)。如果這無(wú)窮多個(gè)如果這無(wú)窮多個(gè) 的下確界大于零，則必存在對(duì)的下確界大于零，則必存在對(duì)I I上每一點(diǎn)都適用的公共的上每一點(diǎn)都適用的公共的 ，這種情況這種情況 f (x) 在在I I上不一致連續(xù)，上不一致連續(xù)，不一致連續(xù)：不一致連續(xù)：.)()(, 0, 000 xfxfxxIxx但但雖雖然然定理（定理（Contor定理，一致連續(xù)性定理）定理，一

17、致連續(xù)性定理）若若 f 在在 a,b 連續(xù)，則連續(xù)，則 f 在在 a,b 一致連續(xù)。一致連續(xù)。一致連續(xù)：一致連續(xù)：.)()(, 0)(, 0 xfxfxxIxx就就有有只只要要例例1 1）上一致連續(xù)。）上一致連續(xù)。，在（在（與與證明證明 xxcossin:證證|2cos2sin2|sinsin|212121xxxxxx |22|2121xxxx .|sinsin|,), ,(, 0, 0212121 xxxxxx就就有有只只要要）上上一一致致連連續(xù)續(xù)。，在在（即即 xsin）上上一一致致連連續(xù)續(xù)。，在在（同同理理 xcos例例2 2連續(xù)但非一致連續(xù)。，而在一致連續(xù)在證明)10(,1,(1sin

18、: 1)c(0 ) cx證證（1）|2/1/12|21xx 211221|11|xxxxxx 212|cxx ,|,|1sin1sin|21221 cxxxx 只只要要欲欲使使.|1sin1sin|,),1 ,(, 0, 02121212 xxxxcxxc就有就有只要只要|2/1/1cos2/1/1sin2|1sin1sin|212121xxxxxx 一一致致連連續(xù)續(xù)。）在在（即即1)c(0 1 ,1sin cx）連連續(xù)續(xù)。，在在（顯顯然然101sin)2(x,|)1 , 0(, xxxxk且且足足夠夠大大，就就可可使使只只要要，（不不可可能能任任意意小?。┑?|10|1sin1sin| x

19、x）連連續(xù)續(xù)但但非非一一致致連連續(xù)續(xù)。，在在（故故1 01sinx,221,21, 0 kxkx現(xiàn)現(xiàn)在在取取第二節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)的和、積及商的連續(xù)性二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性四、小結(jié)一、連續(xù)函數(shù)的和、積及商的連續(xù)性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處處也也連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xx.csc,sec,cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù)故故xxxx. 連連續(xù)續(xù)三三角角函函數(shù)數(shù)在在

20、其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)即即二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理定理2 2 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù)續(xù)反函數(shù). .例如例如,2,2sin上上單單調(diào)調(diào)增增加加且且連連續(xù)續(xù)在在 xy.1 , 1arcsin上上也也是是單單調(diào)調(diào)增增加加且且連連續(xù)續(xù)在在故故 xy;1 , 1arccos上上單單調(diào)調(diào)減減少少且且連連續(xù)續(xù)在在同同理理 xy.,cot,arctan上上單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)在在 xarcyxy反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).定理定理3 3).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfauufaxxxxxx

21、x 則則有有連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)若若意義意義1.極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換;.)(. 2的的理理論論依依據(jù)據(jù)變變量量代代換換xu 例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 )1ln(1lim0 xxx 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfauufaxxxxxxx 則則有有連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)若若定理定理3 3xxx10)1ln(lim 定理定理3例例2 2.1lim0 xaxx 求求解解2xaxxlnlim0 .lna )1(xex .1lim1limln0ln0 xexe

22、axxaxx 原式原式.)(,)(,)(,)(00000也連續(xù)也連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)而函數(shù)而函數(shù)且且連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情況的特殊情況.例如例如,), 0()0,(1內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xu,),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 uy.), 0()0,(1sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xy三、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的連續(xù)的.)1, 0( aaayx指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);),(內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)在在 )1, 0(lo

23、g aaxya對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);), 0(內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)在在 定理定理5 5 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的. .只要證明 連續(xù)即可xax,sin xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 ,不不同同值值討討論論 (可以證明，冪函數(shù)均在其定義域內(nèi)連續(xù)可以證明，冪函數(shù)均在其定義域內(nèi)連續(xù) )定理定理6 6 一切初等函數(shù)在其一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)都是連內(nèi)都是連續(xù)的續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. ., ),(, 1cosDxxy.有定義僅在kxy xy xaalog ,

24、uay .log xua ,), 0(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 ,不不同同值值討討論論 (均在其定義域內(nèi)連續(xù)均在其定義域內(nèi)連續(xù) ), 0 時(shí)時(shí)有有定定義義在在設(shè)設(shè)若若 xxy . 復(fù)復(fù)合合而而成成的的與與是是由由故故xttyxyu . 0 時(shí)時(shí)連連續(xù)續(xù)在在 xxy ttxytxt)1()()0( ，得得令令例例3 3. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例4 4.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原原式式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定定義義區(qū)區(qū)間間 xxfxfxx型型00 初等函數(shù)求極

25、限的方法初等函數(shù)求極限的方法代入法代入法:)()(的的結(jié)結(jié)果果關(guān)關(guān)于于冪冪指指函函數(shù)數(shù)xgxf,)(lim,0)(lim00BxgAxfxxxx 設(shè)設(shè)則則.)(lim)(lim)(lim)(000BxgxxxgxxAxfxfxx )(ln)()(00lim)(limxfxgxxxgxxexf 證證)(limln)(lim00 xfxgxxxxe BA )(ln)(lim0 xfxgxxe BAeln 例例1 1.)21(limsin30 xxx 求求解解xxxsin30)21(lim xxxxxsin32210)21(lim 6e 331010)1sin1tan1(1 lim)sin1tan1

26、(limxxxxxxxx 3sin1sintansintansin10sin1sintan1 limxxxxxxxxxxx 301sin1sintanlimxxxxx 301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim20 21.21e 原式原式例例2 2.)sin1tan1(lim310 xxxx 求求四、小結(jié)連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性.兩個(gè)定理兩個(gè)定理; 兩點(diǎn)意義兩點(diǎn)意義.反函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性.一一、 填填空空題題：1 1、

27、 43lim20 xxx_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 xxx11lim0_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .3 3、 )2cos2ln(lim6xx _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .4 4、 xxx24tancos22lim _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .5 5、 tett1lim2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、設(shè)設(shè),0,0,)( xxaxexfx 當(dāng)當(dāng) a_ _ _ _ _ _時(shí)時(shí)，)(xf在在 ),( 上上連連續(xù)續(xù) . .練練 習(xí)習(xí) 題題7 7、 函

28、數(shù)函數(shù)61)(24 xxxxxf的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為 _. _.8 8、 設(shè)設(shè) 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)1,11,2cos)(xxxxxf確定確定 )(lim21xfx_; ; )(lim1xfx_._.二、二、 計(jì)算下列各極限：計(jì)算下列各極限：1 1、axaxax sinsinlim； 2 2、xxxcot20)tan31(lim ；3 3、1)1232(lim xxxx；一一、1 1、2 2； 2 2、21； 3 3、0 0； 4 4、0 0；5 5、)11(212 e； 6 6、1 1；7 7、), 2(),2 , 3(),3,( ；8 8、22, ,0 0, ,不不存存在在. .二二、1

29、1、acos； 2 2、1 1； 3 3；21e. .三三、eba , 1. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案第三節(jié)第三節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、最值定理二、介值定理三、小結(jié)一、最值定理定義定義: :.)()()()()()()(,),(0000值值小小上上的的最最大大在在區(qū)區(qū)間間是是函函數(shù)數(shù)則則稱(chēng)稱(chēng)都都有有使使得得對(duì)對(duì)于于任任一一如如果果有有上上有有定定義義的的函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)于于在在區(qū)區(qū)間間IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI ;1 , 1,1. 2);1 , 0(,. 1.)(xxyxxyIxf例如：最值上即使有界也不一定有在區(qū)間函數(shù)最大、最小值定義定理定理1(1(最值定

30、理最值定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值數(shù)一定有最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得則則若若注意：注意：1.若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn), 定理不一定成立定理不一定成立.注意：注意：1.若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間, 定理不一定成立定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn), 定理不一定成立定理不一定成立.xyo2 )(xfy xyo)(xfy 211定理定理2(2(有界性定理有界性定

31、理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界一定在該區(qū)間上有界. .abxyo)(xfy My my 定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界一定在該區(qū)間上有界. .證證,)(baCxf 函函數(shù)數(shù),bax 即即對(duì)對(duì),)(Mxfm 均均有有,maxMmK 取取.)(Kxf 則有則有.,)(上上有有界界在在函函數(shù)數(shù)baxf則則f(x)在在a, b上有最大值上有最大值M，最小值，最小值m. 二、零點(diǎn)定理、介值定理定義定義: :.)(, 0)(00的的零零點(diǎn)點(diǎn)稱(chēng)稱(chēng)為為函函數(shù)數(shù)則則若若xfxxf .),(0)(內(nèi)內(nèi)至至

32、少少存存在在一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根在在即即方方程程baxf , 0)()(,ba,C(x) bfaff且且設(shè)設(shè)定理定理3 3（零點(diǎn)定理）（零點(diǎn)定理）.),()( 一一個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)至至少少在在則則 baxfab.).0)(0的根也稱(chēng)為方程xfx（介值定理）（介值定理）定理定理4 ),()(,)(bfafbaCxf 且且設(shè)設(shè),)()(Cbfaf 之之間間的的、則則對(duì)對(duì)于于介介于于),(ba 一一點(diǎn)點(diǎn)至至少少.)(Cf 有有C 幾何解釋幾何解釋:.)(至少有一個(gè)交點(diǎn)至少有一個(gè)交點(diǎn)直線直線與水平與水平連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧Cyxfy BCAab1 2 3 xyo)(xfy BCAab1 2 3 xyo)(

33、xfy 證證,)()(Cxfx 設(shè)設(shè),)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf 用零點(diǎn)定理證用零點(diǎn)定理證推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值值 與最小值與最小值 之間的任何值之間的任何值. .Mmx1x2,),(Mmbaf 例例1 1.)1 , 0(01423至至少少有有一一根根內(nèi)內(nèi)在在區(qū)區(qū)間間證證明明方方程程 xx證證, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(Cxf 顯然, 01)0(

34、f又又, 02)1( f由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),1 , 0( , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一根根在在方方程程 xx( , ),( )0.a bf 使得代數(shù)應(yīng)用代數(shù)應(yīng)用: 零點(diǎn)存在定理給了大家一個(gè)判定方程在某個(gè)區(qū)間上是否有根的方法.例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得證明證明且且上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證證,)()(xxfxF 令令,)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則baxFaafaF )()(而而, 0 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即三、