數(shù)學(xué)分析第四章函數(shù)的連續(xù)性

1、數(shù)學(xué)分析第四章函數(shù)的連續(xù)性1 函數(shù)連續(xù)的概念函數(shù)連續(xù)的概念?)(lim0 xfxxxy00 x)(xgy xy00 xy=(x)?)(lim0 xgxxAg(x0)Ag(x0)引例一、函數(shù)的連續(xù)性1.連續(xù)的定義連續(xù)的定義有定義；在0)( 1 xxf存在；)(lim20 xfxx.()(lim300）xfxfxx.)()(, 0, 000 xfxfxx恒恒有有時時使使當(dāng)當(dāng)).)(,0, 0, 0(0axfxx恒有時和極限存在的區(qū)別和極限存在的區(qū)別),(00 xUa函數(shù)的連續(xù)的等價定義2.函數(shù)的增量函數(shù)的增量),(,),()(00 xUxxUxf 內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).)(),()(0

2、的的增增量量相相應(yīng)應(yīng)于于稱稱為為函函數(shù)數(shù)xxfxfxfy xy0 xy00 xx)(xfy x 0 xxx y y .,00的的增增量量稱稱為為自自變變量量在在點點 xxxx y=(x)0,0.xy 當(dāng)時0,0.xy 當(dāng)時不一定趨于例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處處連連續(xù)續(xù)在在試試證證函函數(shù)數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義由定義1知知.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 3.單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù);)(),()0(,()(0000處處左左連連續(xù)續(xù)在在點點則則稱稱且且內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在若若函函數(shù)數(shù)xxfxf

3、xfxaxf 定理定理.)()(00處處既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)在在是是函函數(shù)數(shù)處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)xxfxxf.)(),()0(,),)(0000處處右右連連續(xù)續(xù)在在點點則則稱稱且且內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在若若函函數(shù)數(shù)xxfxfxfbxxf )()(lim00 xfxfxx ),(0 xUx )()(lim00 xfxfxx 處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)0)(xxf左、右極限存在且與函數(shù)值相等左、右極限存在且與函數(shù)值相等. .)()(lim)(lim)()(lim00000 xfxfxfxfxfxxxxxx AxfxfAxfxxxxxx )(lim)(lim)(lim000例例2 2.0

4、, 0, 2, 0, 2)(連連續(xù)續(xù)性性處處的的在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點故函數(shù)故函數(shù) xxf4. 函數(shù)的區(qū)間連續(xù)函數(shù)的區(qū)間連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)上每一點都連續(xù)的函數(shù)上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做區(qū)間叫做區(qū)間(a,b)上的上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在區(qū)間或者說函數(shù)在區(qū)間(a,b)上連上連續(xù)續(xù).,)(,),(上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間函數(shù)函數(shù)則稱則稱處左連續(xù)處左連續(xù)在右端點在右端點處右連續(xù)處右連續(xù)并且

5、在左端點并且在左端點內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)如果函數(shù)在開區(qū)間如果函數(shù)在開區(qū)間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如例如,.),(sin內(nèi)是連續(xù)的內(nèi)是連續(xù)的在區(qū)間在區(qū)間函數(shù)函數(shù) xy記為：記為：.,)(baCxf 例例3 3.),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy證證),( x任任取取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xxy 則, 對任意的對任意的, y有有. 0,0 yx時時當(dāng)當(dāng).),(sin都是連續(xù)的都是連續(xù)的對任意對任意函數(shù)函數(shù)即即 xxyoyx0 xoyx0

6、 xoyx0 x二、函數(shù)的間斷點oyx二、函數(shù)的間斷點 3定義定義;)()1(0處無定義處無定義在點在點xxf;)(lim)2(0 不不xfxx).()(lim00 xfxfxx ).()(),()(00或間斷點的不連續(xù)點為并稱點或間斷處不連續(xù)在點函數(shù)則稱xfxxxf)3(:)( 滿足三個條件之一滿足三個條件之一若函數(shù)若函數(shù)xf 有定義；在0)( 1 xxf存在；)(lim20 xfxx.()(lim300）xfxfxx連續(xù)連續(xù)間斷例例4 4.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy1sin ,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sin,0上下震蕩時當(dāng)xx .0為

7、間斷點為間斷點 x這種情況稱這種情況稱x=0為震蕩間斷點為震蕩間斷點. 例例5 符號函數(shù)符號函數(shù) 010001sgnxxxxy當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)1-1xyo11lim)(lim00 xxxf0)0( f而而.0為函數(shù)間斷點為函數(shù)間斷點 x例例6 6.0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為為函函數(shù)數(shù)的的間間斷斷點點 xoxy跳越間斷點跳越間斷點)()(limlimxfxfoxxoxx )()(limlimxfxfoxxoxx .跳越度跳越度可去間斷點可去間斷點.)()(),()(lim,)(

8、00000的的可可去去間間斷斷點點為為函函數(shù)數(shù)義義則則稱稱點點處處無無定定在在點點或或但但處處的的極極限限存存在在在在點點如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx 注意注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.,)(lim0 xfxx若若稱稱為為則則0 x7例例.1)1(是是間間斷斷點點，不不 xf, 2)(lim1 xfx.1)(, 2)1(連連續(xù)續(xù)在在則則只只要要令令 xxff.1 是可去間斷點是可去間斷點故故 x.111)(2處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxf解解1)(, 1 xx

9、fx 1,21,11)(2xxxxxf 1x.連續(xù)函數(shù)解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .1為函數(shù)的可去間斷點為函數(shù)的可去間斷點 x例例8 8.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 , 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxfoxy112 , 1,11, 10, 1,2)(xxxxxxf例例9 9.0, 0, 0,1)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00(

10、f.斷斷點點這這種種情情況況稱稱為為無無窮窮間間間斷點分類：間斷點分類：,斷斷點點左左、右右極極限限都都存存在在的的間間.點點稱為函數(shù)的第一類間斷稱為函數(shù)的第一類間斷.)(,)(00的的第第二二類類間間斷斷點點為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點點在在少少有有一一個個不不存存處處的的左左、右右極極限限至至在在點點如如果果xfxxxf斷斷點點，不不是是第第一一類類間間斷斷點點的的間間.點點稱為函數(shù)的第二類間斷稱為函數(shù)的第二類間斷)(lim),(lim00 xfxfxxxx 第第類間斷點：類間斷點：都存在都存在第第類間斷點：類間斷點：)(lim),(lim00 xfxfxxxx 不全存在不全存在可去型可去型第一

11、類間斷點第一類間斷點oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點第二類間斷點oyx0 xoyx0 xoyx0 x例例1010.0, 0, 0,cos)(,處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)取取何何值值時時當(dāng)當(dāng) xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要要使使,1時時故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) a.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf, 1 a三、小結(jié)1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;3.間斷點的分類與判別間斷點的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函

12、數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點第一類間斷點:跳躍型跳躍型, 可去型可去型.第二類間斷點第二類間斷點:無窮型無窮型,振蕩型振蕩型.間斷點間斷點思考題思考題思考題解答思考題解答)(xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，)()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都都連連續(xù)續(xù).但反之不成立但反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不連連續(xù)續(xù)但但| )(|xf、)(2xf在在00 x連連續(xù)續(xù)練練 習(xí)習(xí) 題題一、

13、一、1 1、一類、一類, ,二類；二類； 2 2、一類、一類, ,一類一類, ,二類二類. .二、二、,), 1()1,()(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)與與在在 xf1 x為跳躍間為跳躍間 斷點斷點. .三、三、1 1、1 x為第一類間斷點；為第一類間斷點； 2 2、,2為可去間斷點為可去間斷點 kx )0( kkx為第二類間斷點為第二類間斷點. . 0, 12,tan)(1xkkxxxxf ), 2, 1, 0( k, ,練習(xí)題答案練習(xí)題答案三、三、 一致連續(xù)性一致連續(xù)性 f (x) 在某個區(qū)間在某個區(qū)間 I（或開，或閉）連續(xù)，指得是（或開，或閉）連續(xù)，指得是f (x) 在在 I 中每一點都連續(xù)，即中每一

14、點都連續(xù)，即.)()(, 0, 0,000 xfxfxxIx恒恒有有一般是不同的。一般是不同的。不同時，不同時，當(dāng)，當(dāng)對同一個對同一個一般來說，一般來說， 0 x上上連連續(xù)續(xù)？在在使使得得，用用的的，能能否否找找到到一一個個一一致致可可給給定定Ixfxf)()( 這就是函數(shù)在區(qū)間上的一致連續(xù)性問題。這就是函數(shù)在區(qū)間上的一致連續(xù)性問題。定義（一致連續(xù)）定義（一致連續(xù)） 設(shè)設(shè) f (x)為定義在區(qū)間為定義在區(qū)間I上上 的函數(shù)，的函數(shù)， 若若.)()(, 0)(, 0 xfxfxxIxx就就有有只只要要 則稱則稱f在在I上一致連續(xù)。上一致連續(xù)。.| )()(|, xfxfIxx，就就可可以以使使只只

15、要要當(dāng)當(dāng)它它們們的的距距離離小小于于中中處處于于什什么么位位置置，兩兩點點在在直直觀觀地地說說，就就是是無無論論 f在在I上一致連續(xù)上一致連續(xù) f在在I上連續(xù)。上連續(xù)。反之不然。反之不然。一致連續(xù)是整體概念。一致連續(xù)是整體概念。連續(xù)：連續(xù)：).,000 xxx（均有關(guān)，記著均有關(guān)，記著和和與與，因此，一般來說，因此，一般來說，來決定來決定和和給定給定一致連續(xù)：一致連續(xù)：都都可可用用。對對任任意意的的（，這這種種（記記作作而而變變，只只隨隨，也也即即就就能能決決定定給給定定0),x 一般說來對一般說來對I I上無窮多個點，存在無窮多個上無窮多個點，存在無窮多個, ,這無窮多個這無窮多個 的下確界

16、的下確界可能為零，也可能大于零?？赡転榱?，也可能大于零。如果這無窮多個如果這無窮多個 的下確界為零，則不存在適合的下確界為零，則不存在適合I I上上所有點的公共的所有點的公共的大于大于0的的 ，這種情況這種情況 f (x) 在在I I 上一致連續(xù)。上一致連續(xù)。如果這無窮多個如果這無窮多個 的下確界大于零，則必存在對的下確界大于零，則必存在對I I上每一點都適用的公共的上每一點都適用的公共的 ，這種情況這種情況 f (x) 在在I I上不一致連續(xù)，上不一致連續(xù)，不一致連續(xù)：不一致連續(xù)：.)()(, 0, 000 xfxfxxIxx但但雖雖然然定理（定理（Contor定理，一致連續(xù)性定理）定理，一

17、致連續(xù)性定理）若若 f 在在 a,b 連續(xù)，則連續(xù)，則 f 在在 a,b 一致連續(xù)。一致連續(xù)。一致連續(xù)：一致連續(xù)：.)()(, 0)(, 0 xfxfxxIxx就就有有只只要要例例1 1）上一致連續(xù)。）上一致連續(xù)。，在（在（與與證明證明 xxcossin:證證|2cos2sin2|sinsin|212121xxxxxx |22|2121xxxx .|sinsin|,), ,(, 0, 0212121 xxxxxx就就有有只只要要）上上一一致致連連續(xù)續(xù)。，在在（即即 xsin）上上一一致致連連續(xù)續(xù)。，在在（同同理理 xcos例例2 2連續(xù)但非一致連續(xù)。，而在一致連續(xù)在證明)10(,1,(1sin

18、: 1)c(0 ) cx證證（1）|2/1/12|21xx 211221|11|xxxxxx 212|cxx ,|,|1sin1sin|21221 cxxxx 只只要要欲欲使使.|1sin1sin|,),1 ,(, 0, 02121212 xxxxcxxc就有就有只要只要|2/1/1cos2/1/1sin2|1sin1sin|212121xxxxxx 一一致致連連續(xù)續(xù)。）在在（即即1)c(0 1 ,1sin cx）連連續(xù)續(xù)。，在在（顯顯然然101sin)2(x,|)1 , 0(, xxxxk且且足足夠夠大大，就就可可使使只只要要，（不不可可能能任任意意小?。┑?|10|1sin1sin| x

19、x）連連續(xù)續(xù)但但非非一一致致連連續(xù)續(xù)。，在在（故故1 01sinx,221,21, 0 kxkx現(xiàn)現(xiàn)在在取取第二節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)的和、積及商的連續(xù)性二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性四、小結(jié)一、連續(xù)函數(shù)的和、積及商的連續(xù)性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處處也也連連續(xù)續(xù)在在點點則則處處連連續(xù)續(xù)在在點點若若函函數(shù)數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xx.csc,sec,cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù)故故xxxx. 連連續(xù)續(xù)三三角角函函數(shù)數(shù)在在

20、其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)即即二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理定理2 2 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù)續(xù)反函數(shù). .例如例如,2,2sin上上單單調(diào)調(diào)增增加加且且連連續(xù)續(xù)在在 xy.1 , 1arcsin上上也也是是單單調(diào)調(diào)增增加加且且連連續(xù)續(xù)在在故故 xy;1 , 1arccos上上單單調(diào)調(diào)減減少少且且連連續(xù)續(xù)在在同同理理 xy.,cot,arctan上上單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)在在 xarcyxy反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).定理定理3 3).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfauufaxxxxxx

21、x 則則有有連連續(xù)續(xù)在在點點函函數(shù)數(shù)若若意義意義1.極限符號可以與函數(shù)符號互換極限符號可以與函數(shù)符號互換;.)(. 2的的理理論論依依據(jù)據(jù)變變量量代代換換xu 例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 )1ln(1lim0 xxx 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfauufaxxxxxxx 則則有有連連續(xù)續(xù)在在點點函函數(shù)數(shù)若若定理定理3 3xxx10)1ln(lim 定理定理3例例2 2.1lim0 xaxx 求求解解2xaxxlnlim0 .lna )1(xex .1lim1limln0ln0 xexe

22、axxaxx 原式原式.)(,)(,)(,)(00000也連續(xù)也連續(xù)在點在點則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在點在點而函數(shù)而函數(shù)且且連續(xù)連續(xù)在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情況的特殊情況.例如例如,), 0()0,(1內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xu,),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 uy.), 0()0,(1sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xy三、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的連續(xù)的.)1, 0( aaayx指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);),(內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)在在 )1, 0(lo

23、g aaxya對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);), 0(內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)在在 定理定理5 5 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的. .只要證明 連續(xù)即可xax,sin xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 ,不不同同值值討討論論 (可以證明，冪函數(shù)均在其定義域內(nèi)連續(xù)可以證明，冪函數(shù)均在其定義域內(nèi)連續(xù) )定理定理6 6 一切初等函數(shù)在其一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)都是連內(nèi)都是連續(xù)的續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. ., ),(, 1cosDxxy.有定義僅在kxy xy xaalog ,

24、uay .log xua ,), 0(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 ,不不同同值值討討論論 (均在其定義域內(nèi)連續(xù)均在其定義域內(nèi)連續(xù) ), 0 時時有有定定義義在在設(shè)設(shè)若若 xxy . 復(fù)復(fù)合合而而成成的的與與是是由由故故xttyxyu . 0 時時連連續(xù)續(xù)在在 xxy ttxytxt)1()()0( ，得得令令例例3 3. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例4 4.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原原式式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定定義義區(qū)區(qū)間間 xxfxfxx型型00 初等函數(shù)求極

25、限的方法初等函數(shù)求極限的方法代入法代入法:)()(的的結(jié)結(jié)果果關(guān)關(guān)于于冪冪指指函函數(shù)數(shù)xgxf,)(lim,0)(lim00BxgAxfxxxx 設(shè)設(shè)則則.)(lim)(lim)(lim)(000BxgxxxgxxAxfxfxx )(ln)()(00lim)(limxfxgxxxgxxexf 證證)(limln)(lim00 xfxgxxxxe BA )(ln)(lim0 xfxgxxe BAeln 例例1 1.)21(limsin30 xxx 求求解解xxxsin30)21(lim xxxxxsin32210)21(lim 6e 331010)1sin1tan1(1 lim)sin1tan1

26、(limxxxxxxxx 3sin1sintansintansin10sin1sintan1 limxxxxxxxxxxx 301sin1sintanlimxxxxx 301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim20 21.21e 原式原式例例2 2.)sin1tan1(lim310 xxxx 求求四、小結(jié)連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性.兩個定理兩個定理; 兩點意義兩點意義.反函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性.一一、 填填空空題題：1 1、

27、 43lim20 xxx_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 xxx11lim0_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .3 3、 )2cos2ln(lim6xx _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .4 4、 xxx24tancos22lim _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .5 5、 tett1lim2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、設(shè)設(shè),0,0,)( xxaxexfx 當(dāng)當(dāng) a_ _ _ _ _ _時時，)(xf在在 ),( 上上連連續(xù)續(xù) . .練練 習(xí)習(xí) 題題7 7、 函

28、數(shù)函數(shù)61)(24 xxxxxf的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為 _. _.8 8、 設(shè)設(shè) 時時當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng)1,11,2cos)(xxxxxf確定確定 )(lim21xfx_; ; )(lim1xfx_._.二、二、 計算下列各極限：計算下列各極限：1 1、axaxax sinsinlim； 2 2、xxxcot20)tan31(lim ；3 3、1)1232(lim xxxx；一一、1 1、2 2； 2 2、21； 3 3、0 0； 4 4、0 0；5 5、)11(212 e； 6 6、1 1；7 7、), 2(),2 , 3(),3,( ；8 8、22, ,0 0, ,不不存存在在. .二二、1

29、1、acos； 2 2、1 1； 3 3；21e. .三三、eba , 1. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案第三節(jié)第三節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、最值定理二、介值定理三、小結(jié)一、最值定理定義定義: :.)()()()()()()(,),(0000值值小小上上的的最最大大在在區(qū)區(qū)間間是是函函數(shù)數(shù)則則稱稱都都有有使使得得對對于于任任一一如如果果有有上上有有定定義義的的函函數(shù)數(shù)對對于于在在區(qū)區(qū)間間IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI ;1 , 1,1. 2);1 , 0(,. 1.)(xxyxxyIxf例如：最值上即使有界也不一定有在區(qū)間函數(shù)最大、最小值定義定理定理1(1(最值定

30、理最值定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值數(shù)一定有最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得則則若若注意：注意：1.若區(qū)間是開區(qū)間若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點若區(qū)間內(nèi)有間斷點, 定理不一定成立定理不一定成立.注意：注意：1.若區(qū)間是開區(qū)間若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點若區(qū)間內(nèi)有間斷點, 定理不一定成立定理不一定成立.xyo2 )(xfy xyo)(xfy 211定理定理2(2(有界性定理有界性定

31、理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界一定在該區(qū)間上有界. .abxyo)(xfy My my 定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界一定在該區(qū)間上有界. .證證,)(baCxf 函函數(shù)數(shù),bax 即即對對,)(Mxfm 均均有有,maxMmK 取取.)(Kxf 則有則有.,)(上上有有界界在在函函數(shù)數(shù)baxf則則f(x)在在a, b上有最大值上有最大值M，最小值，最小值m. 二、零點定理、介值定理定義定義: :.)(, 0)(00的的零零點點稱稱為為函函數(shù)數(shù)則則若若xfxxf .),(0)(內(nèi)內(nèi)至至

32、少少存存在在一一個個實實根根在在即即方方程程baxf , 0)()(,ba,C(x) bfaff且且設(shè)設(shè)定理定理3 3（零點定理）（零點定理）.),()( 一一個個零零點點內(nèi)內(nèi)至至少少在在則則 baxfab.).0)(0的根也稱為方程xfx（介值定理）（介值定理）定理定理4 ),()(,)(bfafbaCxf 且且設(shè)設(shè),)()(Cbfaf 之之間間的的、則則對對于于介介于于),(ba 一一點點至至少少.)(Cf 有有C 幾何解釋幾何解釋:.)(至少有一個交點至少有一個交點直線直線與水平與水平連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧Cyxfy BCAab1 2 3 xyo)(xfy BCAab1 2 3 xyo)(

33、xfy 證證,)()(Cxfx 設(shè)設(shè),)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf 用零點定理證用零點定理證推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值值 與最小值與最小值 之間的任何值之間的任何值. .Mmx1x2,),(Mmbaf 例例1 1.)1 , 0(01423至至少少有有一一根根內(nèi)內(nèi)在在區(qū)區(qū)間間證證明明方方程程 xx證證, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(Cxf 顯然, 01)0(

34、f又又, 02)1( f由零點定理由零點定理,使使),1 , 0( , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一根根在在方方程程 xx( , ),( )0.a bf 使得代數(shù)應(yīng)用代數(shù)應(yīng)用: 零點存在定理給了大家一個判定方程在某個區(qū)間上是否有根的方法.例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得證明證明且且上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證證,)()(xxfxF 令令,)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則baxFaafaF )()(而而, 0 由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即三、