三反證法與放縮法

1、反證法與放縮法教學(xué)目的（要求）教學(xué)目的（要求）：使學(xué)生初步掌握反證法的概念及反證法和放縮法證題的基本方法；培養(yǎng)學(xué)生用反證法和放縮法簡單推理的技能，從而發(fā)展學(xué)生的思維能力。教學(xué)重點（難點）教學(xué)重點（難點）：反證法和放縮法證題的步驟；理解反證法和放縮法的推理依據(jù)及方法。教學(xué)過程：教學(xué)過程：讀教材讀教材填要點填要點 1反證法 先假設(shè) ，以此為出發(fā)點，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等) 的結(jié)論，以說明 不正確，從而證明原命題成立，我們稱這種證明問題的方法為反證法 反證法是一種間接證明命題的基本方法。在證明一個數(shù)學(xué)命題時

2、，如果運用直接證明法比較困難或難以證明時，可運用反證法進行證明。2放縮法 證明不等式時，通常把不等式中的某些部分的值 或 ，簡化不等式，從而達到證明的目的我們把這種方法稱為放縮法小問題小問題大思維大思維 1用反證法證明不等式應(yīng)注意哪些問題？ 提示：用反證法證明不等式要把握三點： (1)必須先否定結(jié)論，對于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能要逐一 論證，缺少任何一種可能，證明都是不完全的 (2)反證法必須從否定結(jié)論進行推理，且必須根據(jù)這一條件進行論證；否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進行論證，就不是反證法 (3)推導(dǎo)出來的矛盾可以是多種多樣的，有的與已知條件相矛盾，有的與假設(shè)相矛盾，有的與定理、公理相

3、違背，有的與已知的事實相矛盾等，但推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的 2運用放縮法證明不等式的關(guān)鍵是什么？ 提示：運用放縮法證明不等式的關(guān)鍵是放大(或縮小)要適當(dāng)如果所要證明的不等式中含有分式，那么我們把分母放大時相應(yīng)分式的值就會縮??；反之，如果把分母縮小，則相應(yīng)分式的值就會放大有時也會把分子、分母同時放大，這時應(yīng)該注意不等式的變化情況，可以與相應(yīng)的函數(shù)相聯(lián)系，以達到判斷大小的目的，這些都是我們在證明中的常用方法與技巧，也是放縮法中的主要形式 研一題研一題 例1設(shè)a，b，c，d都是小于1的正數(shù)，求證：4a(1b)，4b(1c)，4c(1d)，4d(1a)這四個數(shù)不可能都大于1. 精講詳析本題考查反證法的

4、應(yīng)用解答本題若采用直接法證明將非常困難，因此可考慮采用反證法從反面入手解決 悟一法悟一法 (1)當(dāng)證明的結(jié)論中含有“不是”，“不都”，“不存在”等詞語時，適于應(yīng)用反證法，因為此類問題的反面比較具體 (2)用反證法證明不等式時，推出的矛盾有三種表現(xiàn)形式與已知相矛盾，與假設(shè)矛盾，與顯然成立的事實相矛盾 通一類通一類 已知f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，且f(a)f(b)f(a)f(b)求證：ab. 證明：假設(shè)ab，則當(dāng)ab時ba， 于是有f(a)f(b)f(b)f(a)與已知矛盾 當(dāng)ab時，ab，于是有f(a)f(b)，f(b)f(a)， f(a)f(b)f(b)f(a)與已知矛盾 a1，求證：a、

5、b、c、d中至少有一個是負數(shù) 精講詳析本題考查“至多”、“至少”型命題的證明方法解答本題應(yīng)假設(shè)a、b、c、d都是非負數(shù)，然后證明并得出矛盾 假設(shè)a、b、c、d都是非負數(shù)， 即a0，b0，c0，d0， 則1(ab)(cd)(acbd)(adbc)acbd， 這與已知中acbd1矛盾， 原假設(shè)錯誤， a、b、c、d中至少有一個是負數(shù) 悟一法悟一法 (1)在證明中含有“至少”、“至多”、“最多”等字眼時，或證明否定性命題、惟一性命題時，可使用反證法證明在證明中常見的矛盾可以與題設(shè)矛盾，也可以與已知矛盾，與顯然的事實矛盾，也可以自相矛盾 (2)在用反證法證明的過程中，由于作出了與結(jié)論相反的假設(shè)，相當(dāng)于增加了題設(shè)條件，因此在證明過程中必須使用這個增加的條件，否則將無法推出矛盾通一類通一類 已知函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)，求證：yf(x)在區(qū)間(a，b)上至多有一個零點 證明：假設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上至少有兩個零點， 不妨設(shè)x1，x2(x1x2)為函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上的兩個零點，且x1x2，則f(x1)f(x2)0. 函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上為增函數(shù)， x1，x2(a，b)且x1x2， f(x1)f(x2)，與f(x1)f(x2)0矛盾， 原假設(shè)不成立 函數(shù)yf(x)在(a，b)上至多有一