第五章圖形變換

1、2022-3-191第五章 圖形變換 重重點：點：掌握二維幾何變換、二維觀察變換、三維幾何變換以及三維觀察變換。難難點：點：理解常用的平移、比例、旋轉(zhuǎn)變換。課時安排：課時安排：授課4學時。2022-3-192第五章 圖形變換 圖形變換包括二維幾何變換，二維觀察變換，三維幾何變換和三維觀察變換。為了能使各種幾何變換（平移、旋轉(zhuǎn)、比例等）以相同的矩陣形式表示，從而統(tǒng)一使用矩陣乘法運算來實現(xiàn)變換的組合，現(xiàn)都采用齊次坐標系來表示各種變換。 齊次坐標系2022-3-193第五章 圖形變換 齊次坐標系：n維空間中的物體可用n+1維齊次坐標空間來表示。例如二維空間直線ax+by+c=0，在齊次空間成為aX+

2、bY+cW=0，以X、Y和W為三維變量，構(gòu)成沒有常數(shù)項的三維平面(因此得名齊次空間)。點P(x、y)在齊次坐標系中用P(wx,wy,w)表示，其中W是不為零的比例系數(shù)。所以從n維的通常空間到n+1維的齊次空間變換是一到多的變換，而其反變換是多到一的變換。例如齊次空間點 P(X、Y、W) 對應(yīng)的笛卡爾坐標是x=X/W和y=Y/W。將通常笛卡爾坐標用齊次坐標表示時，W的值取1。 2022-3-194第五章 圖形變換 采用齊次坐標系可以將平移、比例、旋轉(zhuǎn)這三種基本變換都以相同的矩陣形式來表示，并統(tǒng)一地用矩陣乘法來實現(xiàn)變換的組合。 齊次坐標系在三維透視變換中有更重要的作用，它使非線形變換也能采用線形變

3、換的矩陣表示形式。 2022-3-195第五章 圖形變換 2022-3-1965.1 二維幾何變換 二維幾何變換就是在平面上對二維點的坐標進行變換，從而形成新的坐標。 二維幾何變換主要包括：平移、比例、旋轉(zhuǎn)、對稱、錯切、仿射和復合變換。2022-3-1975.1.1 二維平移變換 2022-3-1985.1.1 二維平移變換 如圖所示，它使圖形移動位置。新圖p的每一圖元點是原圖形p中每個圖元點在x和y方向分別移動Tx和Ty產(chǎn)生，所以對應(yīng)點之間的坐標值滿足關(guān)系式 x=x+Tx y=y+Ty 可利用矩陣形式表示成： x y=x y+Tx Ty 簡記為： P=P+T，T=Tx Ty是平移變換矩陣(行

4、向量)。2022-3-1995.1.1 二維平移變換 從矩陣形式來看，平移變換是矩陣加法，而比例和旋轉(zhuǎn)變換則是矩陣乘法。若這三種變換都能運用乘法來實現(xiàn)的話，我們就可以實現(xiàn)三種變換的任意組合。為了實現(xiàn)這個目的，一般采用齊次坐標系來表示這三種變換，齊次坐標系中的平移變換矩陣形式是： 2022-3-19105.1.2 二維比例變換 2022-3-19115.1.2 二維比例變換 如圖所示，它改變顯示圖形的比例。新圖形p的每個圖元點的坐標值是原圖形p中每個圖元點的坐標值分別乘以比例常數(shù)Sx和Sy，所以對應(yīng)點之間的坐標值滿足關(guān)系式 : x=xSx y=ySy可利用矩陣形式表示成： 2022-3-1912

5、5.1.2 二維比例變換 簡記成p=PS，其中 S是比例變換矩陣。在齊次坐標系中的比例變換矩陣形式是： 2022-3-19135.1.3 二維旋轉(zhuǎn)變換 2022-3-19145.1.3 二維旋轉(zhuǎn)變換 二維旋轉(zhuǎn)變換：圖形相對坐標原點的旋轉(zhuǎn)如圖所示，它產(chǎn)生圖形位置和方向的變動。新圖形p的每個圖元點是原圖形p每個圖元點保持離坐標原點距離不變并繞原點旋轉(zhuǎn)角產(chǎn)生的，并以逆時針方向旋轉(zhuǎn)為正角度，對應(yīng)圖元點的坐標值滿足關(guān)系式 x=xcos-ysin y=xsin+ycos 2022-3-19155.1.3 二維旋轉(zhuǎn)變換 用矩陣形式表示成簡記為P=PR，其中 是旋轉(zhuǎn)變換矩陣。在齊次坐標系中的比例變換矩陣形式是

6、： 2022-3-19165.1.4 二維對稱變換 二維對稱變換（或稱反射變換）是產(chǎn)生物體鏡像的一種變換，該變換實際上是比例變換的幾種特殊情況。 1、以y軸為對稱線的對稱變換 變換后，圖形點集的x坐標值不變，但符號相反；y坐標值不變。 矩陣表示形式為： 2022-3-19175.1.4 二維對稱變換 2、以x軸為對稱線的對稱變換 變換后，圖形點集的x坐標值不變；y坐標值不變，但符號相反。 矩陣表示形式為： 2022-3-19185.1.4 二維對稱變換 3、以原點為對稱的對稱變換 變換后，圖形點集的x和y坐標值不變，但符號相反。 矩陣表示形式為: 2022-3-19195.1.4 二維對稱變換

7、 4、以直線y=x為對稱線的對稱變換 變換后，圖形點集的x和y坐標對調(diào)。 矩陣表示形式為： 2022-3-19205.1.4 二維對稱變換 5、以直線y=-x為對稱線的對稱變換 變換后，圖形點集的x和y坐標對調(diào),但符號相反。 矩陣表示形式為： 2022-3-19215.1.5 二維錯切變換 二維錯切變換：是一種會使物體形狀發(fā)生變化的變換。常用的錯切變換有兩種：改變x坐標值和改變y坐標值。 2022-3-19225.1.5 二維錯切變換 數(shù)學表達式為： x=x+SHxy SHx0 y=y 矩陣表示為： 2022-3-19235.1.5 二維錯切變換 2、圖形沿y方向的錯切 數(shù)學表達式為: x=x

8、 y=SHyx+y SHy0 矩陣表示為: 2022-3-19245.1.6 二維仿射變換 二維仿射變換的形式為： x=axxx+axyy+bx y=ayxx+ayyy+by 變換的坐標x和y都是原始坐標x和y的線性函數(shù)。參數(shù)aij和bk是由變換類型確定的常數(shù)。仿射變換具有平行線轉(zhuǎn)換成平行線和有限點映射到有限點的一般特性。 平移、比例、旋轉(zhuǎn)、對稱和錯切變換是二維仿射變換的特例，任何常用的二維仿射變換總可表示為這五種變換的組合。2022-3-19255.1.7 二維復合變換 二維復合變換：前面所討論的圖形變換是相對于坐標原點或坐標軸來進行的。在實際中，常常需要相對于任意點或任意軸來進行變換。為了

9、做到這一點，可通過計算多個基本變換矩陣的乘積來得到總的變換矩陣或稱為復合變換矩陣，從而實現(xiàn)任意順序的組合變換。常見的組合變換有： 2022-3-19265.1.7 二維復合變換 1、繞任意點的旋轉(zhuǎn) 繞任意點（或稱基準點）（xr,yr）的旋轉(zhuǎn)：該變換可分成如圖所示的三個步驟來實現(xiàn) 圖形的原始位置2022-3-19275.1.7 二維復合變換 （1）平移物體使基準點位置被移到坐標原點； 步驟（1）2022-3-19285.1.7 二維復合變換 （2）繞坐標原點旋轉(zhuǎn)； 步驟（2）2022-3-19295.1.7 二維復合變換 （3）平移物體使基準點回到原始位置。 步驟（3）2022-3-19305.

10、1.7 二維復合變換 該變換順序的復合變換矩陣為： 2022-3-19315.1.7 二維復合變換 2、相對任意點的比例變換 相對任意點（固定點）（xf,yf）的比例變換：該變換可分成如圖所示的三個步驟來實現(xiàn) 圖形的原始位置：2022-3-19325.1.7 二維復合變換 （1）平移物體使固定點與坐標原點重合； 步驟（1）2022-3-19335.1.7 二維復合變換 （2）相對于坐標原點的比例變換； 步驟（2）2022-3-19345.1.7 二維復合變換 （3）平移物體使固定點回到原始位置。 步驟（3）2022-3-19355.1.7 二維復合變換 該變換順序的復合變換矩陣為 2022-3

11、-19365.1.7 二維復合變換 3、矩陣的組合特性 即矩陣乘法滿足結(jié)合率，不滿足交換率。在進行連續(xù)變換時一定要按變換次序進行變換矩陣的運算，否則不同次序的變換會產(chǎn)生不同的變換結(jié)果。如下圖所示。 2022-3-19375.2 二維觀察變換 在實際應(yīng)用中，用戶要求圖形系統(tǒng)具有能從已有的圖形顯示數(shù)據(jù)（對應(yīng)一個完整的圖形）中方便地選出數(shù)據(jù)（對應(yīng)某一區(qū)域的圖形）進行顯示的能力，我們把在用戶坐標系中預(yù)先選定的將產(chǎn)生圖形顯示的區(qū)域稱為窗口。同樣，在使用中用戶也要求能控制顯示圖形在顯示屏上的位置和大小，我們把在顯示器坐標系中規(guī)定的顯示圖形區(qū)域稱為視口。觀察變換就是把這種用戶坐標系中窗口的圖形變換到顯示器的

12、視口中以產(chǎn)生顯示。 2022-3-19385.2 二維觀察變換 2022-3-19395.2 二維觀察變換 設(shè)用戶選定的窗口范圍為(wxL,wyL和(wxr,wyr)，視口范圍為(vxLvyL)和(vxr,vyr)。 將窗口中的圖形轉(zhuǎn)為視口中圖形的過程： 1、先平移窗口使其左下角與坐標原點重合； 2、再比例變換使其大小與視口相等； 3、最后再通過平移使其移到視口位置。 窗口中的全部圖形經(jīng)過與此相同的變換后便變換成視口中的圖形了。因此視口變換矩陣是：2022-3-19405.2 二維觀察變換 2022-3-19415.3 三維幾何變換 三維幾何變換是二維幾何變換的擴展。三維齊次變換可用44矩陣表

13、示。 平移變換 - 比例變換 - 旋轉(zhuǎn)變換 - 繞空間任意軸的旋轉(zhuǎn)變換 - 對稱變換 - 錯切變換2022-3-19425.3.1 三維平移變換 三維平移變換：將空間點(x,y,z)平移到新空間點(x,y,z)，齊次變換矩陣為： 變換過程為： x y z 1=x y z 1T 其中，Tx,Ty,Tz分別為在x,y,z坐標軸方向上的平移量。2022-3-19435.3.2 三維比例變換 三維比例變換：沿各坐標軸方向分別乘以一個比例系數(shù)，以實現(xiàn)各個方向上的縮放功能。比例變換矩陣為 ： 變換過程為： x y z 1=x y z 1S 其中，Sx,Sy,Sz分別為在x,y,z坐標軸方向上的比例系數(shù)。

14、2022-3-19445.3.3 三維旋轉(zhuǎn)變換 三維旋轉(zhuǎn)變換，是指將物體繞某個坐標軸旋轉(zhuǎn)一個角度，所得到的空間位置變化。我們規(guī)定旋轉(zhuǎn)正方向與坐標軸矢量符合右手法則，即從坐標軸正值向坐標原點觀察，逆時針方向轉(zhuǎn)動的角度為正。如圖所示。 2022-3-19455.3.3 三維旋轉(zhuǎn)變換 繞三個基本軸的旋轉(zhuǎn)變換： 1、繞z軸旋轉(zhuǎn)角。空間物體繞z軸旋轉(zhuǎn)時，物體各頂點的x,y坐標改變，而z坐標不變。繞z軸旋轉(zhuǎn)矩陣為： 2022-3-19465.3.3 三維旋轉(zhuǎn)變換 2、繞x方向旋轉(zhuǎn)角同理，繞x軸旋轉(zhuǎn)變換矩陣為： 3、繞y方向旋轉(zhuǎn)角同理，繞y軸旋轉(zhuǎn)變換矩陣為： 2022-3-19475.3.4 繞空間任意軸的

15、旋轉(zhuǎn)變換 圖a:變換之前 繞空間任意軸的旋轉(zhuǎn)變換：先將圖形隨直線（旋轉(zhuǎn)軸）一起移動和旋轉(zhuǎn)并使直線與某一坐標軸重合；再將圖形繞直線進行旋轉(zhuǎn)變換；最后將旋轉(zhuǎn)變換后的圖形和直線一起作相反的旋轉(zhuǎn)和移動并使直線回到原來位置。具體變換步驟是：2022-3-19485.3.4 繞空間任意軸的旋轉(zhuǎn)變換 1、平移使點（x1,y1,z1）位于坐標原點，變換矩陣是： 2022-3-19495.3.4 繞空間任意軸的旋轉(zhuǎn)變換 2、繞x軸旋轉(zhuǎn)，使直線處在x-z平面上。為此，旋轉(zhuǎn)角應(yīng)等于直線在y-z平面上的投影與z軸夾角。因此投影線與z軸夾角的旋轉(zhuǎn)變換矩陣是： 、 2022-3-19505.3.4 繞空間任意軸的旋轉(zhuǎn)變換

16、 3、繞y軸旋轉(zhuǎn)，使直線與z軸重合。如圖所示，直線與z軸夾角-的旋轉(zhuǎn)變換矩陣是： 2022-3-19515.3.4 繞空間任意軸的旋轉(zhuǎn)變換 4、進行圖形繞直線即繞z軸旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)矩陣是： 5、使直線回到原來位置，結(jié)果圖形即為原圖形繞指定直線旋轉(zhuǎn)變換后的圖形。 直線回到原來位置需要進行（3）（1）的逆變換，其中：2022-3-19525.3.4 繞空間任意軸的旋轉(zhuǎn)變換 圖形繞空間任意軸旋轉(zhuǎn)的總變換矩陣是 H = TRxRyRzRy-1Rx-1T -12022-3-19535.3.5 三維對稱變換 三維對稱變換可以是關(guān)于給定對稱軸的或者是關(guān)于給定對稱平面的變換。三維對稱矩陣的建立類似于二維的。關(guān)于給

17、定對稱軸的對稱變換等價于繞此軸旋轉(zhuǎn)180o。關(guān)于平面的對稱變換等價于四維空間中的180o旋轉(zhuǎn)。當對稱平面是坐標平面時（x-y,或x-z,y-z），可以將此變換看成是左手系和右手系之間的轉(zhuǎn)換。 2022-3-19545.3.5 三維對稱變換 2022-3-19555.3.5 三維對稱變換 上圖給出了將坐標系從右手系轉(zhuǎn)換到左手系的對稱變換例子，該變換改變z坐標符號，保持x坐標和y坐標值不變，關(guān)于x-y平面的點對稱變換矩陣為： 類似的關(guān)于y-z平面和x-z平面的對稱變換矩陣分別將x和y的值取反。關(guān)于其它平面的對稱變換可以由平移、旋轉(zhuǎn)及坐標平面對稱變換復合而得。2022-3-19565.3.6 三維錯

18、切變換 三維錯切變換：在三維空間中，除了相對于x或y軸的變換以產(chǎn)生物體的變形外，還可產(chǎn)生相對于z軸的變形。三維形體的錯切變換矩陣為： 其中，SHx1和SHx2為沿x方向的錯切系數(shù)，SHy1和SHy2為沿y方向的錯切系數(shù)，SHz1和SHz2為沿z方向的錯切系數(shù)。2022-3-19575.4 三維觀察變換 三維觀察變換所起的作用是完成從用戶空間選取的一部分物體描述變換到顯示屏上指定的視口中的圖形描述。從用戶的圖象描述產(chǎn)生顯示器上的圖形描述的處理過程如圖所示。 2022-3-19585.4 三維觀察變換 2022-3-19595.4 三維觀察變換 一、取景變換和規(guī)范化視見體變換 取景變換即是完成從用

19、戶坐標系中的描述到觀察坐標系中的描述的坐標變換，主要包括: 1、觀察平面的確定（即指定觀察坐標系） （1）首先挑選一個用戶坐標點稱為觀察參考點VRP，即該點為觀察坐標系的原點； （2）其次，通過給定觀察平面法向量來選擇觀察坐標系的Zv軸和觀察平面方向； （3）第三，指定一觀察向上向量，通過該向量來建立觀察坐標系的Yv軸； （4）最后，確定觀察點又稱為投影中心（若為透視投影時）或確定投影方向（若為平行投影時）。2022-3-19605.4 三維觀察變換 2022-3-19615.4 三維觀察變換 2、用戶坐標到觀察坐標的變換 從用戶坐標到觀察坐標的變換：在物體描述投影到觀察平面之前，必須將其轉(zhuǎn)換成觀察坐標。該變換順序是： （1）平移觀察參考點VRP(x0,