有效數(shù)字(分析)

1、有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)則有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)則在定量分析中，測定結(jié)果為數(shù)字，其不在定量分析中，測定結(jié)果為數(shù)字，其不僅表示大小，而且還準(zhǔn)確反映測量的準(zhǔn)僅表示大小，而且還準(zhǔn)確反映測量的準(zhǔn)確程度。也就是說，在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的記錄確程度。也就是說，在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的記錄和結(jié)果的計(jì)算中，數(shù)字位數(shù)的保留不能和結(jié)果的計(jì)算中，數(shù)字位數(shù)的保留不能是隨意的，要根據(jù)是隨意的，要根據(jù)測量儀器測量儀器（在科學(xué)實(shí)（在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，對于任一物理量的測定，其準(zhǔn)確驗(yàn)中，對于任一物理量的測定，其準(zhǔn)確度都是有一定限度的）和度都是有一定限度的）和分析方法的準(zhǔn)分析方法的準(zhǔn)確度確度來決定。來決定。一、有效數(shù)字一、有效數(shù)字1 1、定義、定義有效數(shù)字就是實(shí)際能

2、測到的數(shù)字。有效數(shù)有效數(shù)字就是實(shí)際能測到的數(shù)字。有效數(shù)字的位數(shù)和分析過程所用的分析方法、測量方字的位數(shù)和分析過程所用的分析方法、測量方法、測量儀器的準(zhǔn)確度有關(guān)。我們可以把有效法、測量儀器的準(zhǔn)確度有關(guān)。我們可以把有效數(shù)字這樣表示。數(shù)字這樣表示。有效數(shù)字所有的可靠數(shù)字有效數(shù)字所有的可靠數(shù)字 + + 一位可疑數(shù)字一位可疑數(shù)字在實(shí)驗(yàn)記錄的數(shù)據(jù)中，只有最后一位是估計(jì)的，在實(shí)驗(yàn)記錄的數(shù)據(jù)中，只有最后一位是估計(jì)的，這一位數(shù)字叫不定數(shù)字。例如讀滴定管中的液面這一位數(shù)字叫不定數(shù)字。例如讀滴定管中的液面位置數(shù)時(shí)，甲可能讀為位置數(shù)時(shí)，甲可能讀為21.32，乙可能讀為，乙可能讀為21.33，丙可能讀為丙可能讀為21.

3、31。由此可見。由此可見21.3是滴定管上顯示是滴定管上顯示出來的。因?qū)嶒?yàn)者不同，可能得到不同的估計(jì)值，出來的。因?qū)嶒?yàn)者不同，可能得到不同的估計(jì)值，但這一位估計(jì)數(shù)字卻是客觀存在的，因此它是有但這一位估計(jì)數(shù)字卻是客觀存在的，因此它是有效數(shù)字。也就是說有效數(shù)字是實(shí)際測到的數(shù)字加效數(shù)字。也就是說有效數(shù)字是實(shí)際測到的數(shù)字加一位估讀數(shù)字。一位估讀數(shù)字。表示含義：如果有一個(gè)結(jié)果表示有效數(shù)字的位數(shù)表示含義：如果有一個(gè)結(jié)果表示有效數(shù)字的位數(shù)不同，說明用的稱量儀器的準(zhǔn)確度不同。不同，說明用的稱量儀器的準(zhǔn)確度不同。例：例：7.57.5克用的是粗天平克用的是粗天平7.527.52克克 用的是扭力天平用的是扭力天平7

4、.51877.5187克克 用的是分析天平用的是分析天平2、確定有效數(shù)字位數(shù)的原則：、確定有效數(shù)字位數(shù)的原則：一個(gè)量值只保留一位不確定數(shù)字，在記錄一個(gè)量值只保留一位不確定數(shù)字，在記錄測量值時(shí)必須記一位不確定的數(shù)字，且只測量值時(shí)必須記一位不確定的數(shù)字，且只能記一位；能記一位；數(shù)字?jǐn)?shù)字0 09都是有效數(shù)字，當(dāng)都是有效數(shù)字，當(dāng)0只是作為定小只是作為定小數(shù)點(diǎn)位置時(shí)不是有效數(shù)字。數(shù)點(diǎn)位置時(shí)不是有效數(shù)字。不能因?yàn)樽儞Q單位而改變有效數(shù)字的位數(shù)。不能因?yàn)樽儞Q單位而改變有效數(shù)字的位數(shù)。如如12.40L用用mL作單位時(shí)，不能寫成作單位時(shí)，不能寫成12400 mL而應(yīng)而應(yīng)寫成寫成12.40103mL。在分析化學(xué)計(jì)算

5、中，常遇到倍數(shù)、分?jǐn)?shù)關(guān)系。這在分析化學(xué)計(jì)算中，常遇到倍數(shù)、分?jǐn)?shù)關(guān)系。這些數(shù)據(jù)都是自然數(shù)而不是測量所得到的，因此它些數(shù)據(jù)都是自然數(shù)而不是測量所得到的，因此它們的有效數(shù)字位數(shù)可以認(rèn)為沒有限制。們的有效數(shù)字位數(shù)可以認(rèn)為沒有限制。在分析化學(xué)中還經(jīng)常遇到在分析化學(xué)中還經(jīng)常遇到pH、lgC、lgK等對數(shù)等對數(shù)值，其有效數(shù)字的位數(shù)僅取決于小數(shù)部分（尾數(shù)）值，其有效數(shù)字的位數(shù)僅取決于小數(shù)部分（尾數(shù)）數(shù)字的位數(shù)，因整數(shù)部分（首數(shù)）只代表該數(shù)的數(shù)字的位數(shù)，因整數(shù)部分（首數(shù)）只代表該數(shù)的方次。方次。 通過下面幾個(gè)有效數(shù)字的位數(shù)確定來說明。通過下面幾個(gè)有效數(shù)字的位數(shù)確定來說明。 0.003，4108 1位有效數(shù)字位有

6、效數(shù)字。0.20，pH =6.70 2位有效數(shù)字位有效數(shù)字。4.44，15.3 % 3位有效數(shù)字位有效數(shù)字。110，88 準(zhǔn)確數(shù)字或有效數(shù)字位數(shù)不確定數(shù)字準(zhǔn)確數(shù)字或有效數(shù)字位數(shù)不確定數(shù)字3、有效數(shù)字的修約規(guī)則修約修約: :一個(gè)數(shù)據(jù)的有效數(shù)字位數(shù)確定之后，舍棄多余一個(gè)數(shù)據(jù)的有效數(shù)字位數(shù)確定之后，舍棄多余數(shù)字的過程叫修約。數(shù)字的過程叫修約。 規(guī)則規(guī)則:四舍六入、五后有數(shù)進(jìn)位、五后無數(shù)前位數(shù)成四舍六入、五后有數(shù)進(jìn)位、五后無數(shù)前位數(shù)成雙、修約須一次完成，不能分次修約。雙、修約須一次完成，不能分次修約。例題例題:將下列數(shù)據(jù)保留二位有效數(shù)字將下列數(shù)據(jù)保留二位有效數(shù)字3.1483.1，7.39767.4，0

7、.7367.410-1 75.57.6 101，2.4512.5，83.50098.4 101尾數(shù)等于尾數(shù)等于5而后面的數(shù)都為而后面的數(shù)都為0時(shí)，時(shí)，5前面為偶數(shù)前面為偶數(shù)則舍，則舍，5前面為奇數(shù)則入；尾數(shù)等于前面為奇數(shù)則入；尾數(shù)等于5而后面而后面還有不為還有不為0的任何數(shù)字，無論的任何數(shù)字，無論5前面是奇或是前面是奇或是偶都入。偶都入。例：將下列數(shù)字修約為例：將下列數(shù)字修約為4位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。修約前修約后修約前修約后10.23500-10.24250.65000-250.618.085002-18.091. 加減法加減法 幾個(gè)數(shù)據(jù)相加或減時(shí)，有效數(shù)字位數(shù)的保留幾個(gè)數(shù)據(jù)相加或減時(shí)，有效

8、數(shù)字位數(shù)的保留，應(yīng)以小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的數(shù)據(jù)為準(zhǔn)，其他的數(shù)，應(yīng)以小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的數(shù)據(jù)為準(zhǔn)，其他的數(shù)據(jù)均修約到這一位。據(jù)均修約到這一位。05782.164.250121.071.2506.164.2501.0修約修約4、有效數(shù)字的計(jì)算規(guī)則 50.1 0.1 50.1 1.46 0.01 1.5 + 0.5812 0.001 + 0.6 52.1412 52.2 52.12. 乘除法乘除法: 幾個(gè)數(shù)據(jù)相乘除時(shí)，有效數(shù)字的位數(shù)應(yīng)以幾個(gè)幾個(gè)數(shù)據(jù)相乘除時(shí)，有效數(shù)字的位數(shù)應(yīng)以幾個(gè)數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的那個(gè)為準(zhǔn)，數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的那個(gè)為準(zhǔn)，計(jì)算結(jié)果計(jì)算結(jié)果的有效數(shù)字的位數(shù)也和有效數(shù)字位數(shù)最少的那的有效數(shù)

9、字的位數(shù)也和有效數(shù)字位數(shù)最少的那個(gè)數(shù)位數(shù)相同。個(gè)數(shù)位數(shù)相同。例例1 0.012125.641.05782 0.012125.61.06 0.328例例2：0.012125.645 =？5是一個(gè)有效數(shù)字位數(shù)不確定數(shù)字，或是一是一個(gè)有效數(shù)字位數(shù)不確定數(shù)字，或是一個(gè)準(zhǔn)確數(shù)字，則有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)是個(gè)準(zhǔn)確數(shù)字，則有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)是0.0121三位有效數(shù)字，則把三位有效數(shù)字，則把25.64也修約位三位有效數(shù)也修約位三位有效數(shù)字，即字，即25.6。0.012125.645=0.012125.65 =1.55有效數(shù)字雖經(jīng)修約，可是運(yùn)算結(jié)果只能用有效數(shù)字雖經(jīng)修約，可是運(yùn)算結(jié)果只能用等號，不得用約等號。等

10、號，不得用約等號。說明：說明：（1）在乘除法的運(yùn)算中，經(jīng)常會遇到）在乘除法的運(yùn)算中，經(jīng)常會遇到9以上的大數(shù)，如以上的大數(shù)，如9.00，9.86等。它們的等。它們的相對誤差相對誤差的絕對值約為的絕對值約為0.1%，與，與10.06和和12.08這些四位有效數(shù)字的數(shù)值的這些四位有效數(shù)字的數(shù)值的相對誤差相對誤差的絕對的絕對值接近，所以通常將它們當(dāng)作四位有效數(shù)字的數(shù)值處理。值接近，所以通常將它們當(dāng)作四位有效數(shù)字的數(shù)值處理。（2）在計(jì)算過程中，為了提高計(jì)算結(jié)果的可靠性，可以）在計(jì)算過程中，為了提高計(jì)算結(jié)果的可靠性，可以暫時(shí)多保留一位數(shù)字，而在得到最后結(jié)果時(shí)，則應(yīng)舍棄多暫時(shí)多保留一位數(shù)字，而在得到最后結(jié)果

11、時(shí)，則應(yīng)舍棄多余的數(shù)字，使最后計(jì)算結(jié)果恢復(fù)與準(zhǔn)確度相適應(yīng)的有效數(shù)余的數(shù)字，使最后計(jì)算結(jié)果恢復(fù)與準(zhǔn)確度相適應(yīng)的有效數(shù)字位數(shù)。字位數(shù)。習(xí)題：習(xí)題：下列數(shù)據(jù)各包括了幾位有效數(shù)字？下列數(shù)據(jù)各包括了幾位有效數(shù)字？（1）0.0330 (2) 10.030 (3) 0.01020 (4) 8.710-5 (5) pKa=4.74 (6) pH=10.00答：（答：（1）三位有效數(shù)字）三位有效數(shù)字 （2）五位有效數(shù)字）五位有效數(shù)字 （3）四位有效數(shù)字）四位有效數(shù)字 （4） 兩位有效數(shù)字兩位有效數(shù)字 （5）兩位有效數(shù)字）兩位有效數(shù)字 （6）兩位有效數(shù)字）兩位有效數(shù)字練習(xí)：練習(xí)：1. 0.600的有效數(shù)字是的有效

12、數(shù)字是 () A. 1個(gè)個(gè)B. 2個(gè)個(gè)C. 3個(gè)個(gè)D. 4個(gè)個(gè)2. 0.01249保留三位有效數(shù)字的近似數(shù)保留三位有效數(shù)字的近似數(shù)_3. (1)1.5982(精確到精確到0.01)(2)0.03049(保留兩位有效數(shù)字保留兩位有效數(shù)字)(3)81.661(保留三位有效數(shù)字保留三位有效數(shù)字) 含量（質(zhì)量分?jǐn)?shù)）含量（質(zhì)量分?jǐn)?shù)）/%10%1 1 0%1%結(jié)果報(bào)告的位數(shù)結(jié)果報(bào)告的位數(shù) 4位位 3位位 2位位（3）在實(shí)際分析工作中一般按下列原則進(jìn)行。）在實(shí)際分析工作中一般按下列原則進(jìn)行。（4）分析中的各類誤差通常?。┓治鲋械母黝愓`差通常取12位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。習(xí)題：習(xí)題：如果分析天平的稱量誤差為如

13、果分析天平的稱量誤差為0.2mg0.2mg，擬分別稱，擬分別稱取試樣取試樣0.10000g0.10000g和和1.0000g1.0000g左右，稱量的相對誤差各為左右，稱量的相對誤差各為多少？這些結(jié)果說明了什么問題？多少？這些結(jié)果說明了什么問題？解：因分析天平的稱量誤差為解：因分析天平的稱量誤差為0.2mg0.2mg。故讀數(shù)的絕對。故讀數(shù)的絕對誤差誤差E=E=0.0002g 0.0002g 根據(jù)根據(jù) %100TrX%2 . 0%1001000. 00002. 01 . 0gggr%02. 0%1000000. 10002. 01gggr這說明，兩試樣稱量的絕對誤差相等，但他們的相對誤差這說明，

14、兩試樣稱量的絕對誤差相等，但他們的相對誤差并不相同。也就是說，當(dāng)被測定的量較大時(shí)，相對誤差就并不相同。也就是說，當(dāng)被測定的量較大時(shí)，相對誤差就比較小，測定的準(zhǔn)確程度也就比較高。比較小，測定的準(zhǔn)確程度也就比較高。 習(xí)題：習(xí)題：滴定管的讀數(shù)誤差為滴定管的讀數(shù)誤差為0.02mL0.02mL。如果滴定中用去標(biāo)。如果滴定中用去標(biāo)準(zhǔn)溶液的體積分別為準(zhǔn)溶液的體積分別為2mL2mL和和20mL20mL左右，讀數(shù)的相對誤差各是左右，讀數(shù)的相對誤差各是多少？從相對誤差的大小說明了什么問題？多少？從相對誤差的大小說明了什么問題？解：因滴定管的讀數(shù)誤差為解：因滴定管的讀數(shù)誤差為0.02mL0.02mL，故讀數(shù)的絕對誤

15、差，故讀數(shù)的絕對誤差E=0.02mLE=0.02mL 根據(jù)根據(jù) %100TrX%1%100202. 02mLmLmLr%1 . 0%1002002. 020mLmLmLr這說明，量取兩溶液的絕對誤差相等，但他們的相對誤差這說明，量取兩溶液的絕對誤差相等，但他們的相對誤差并不相同。也就是說，當(dāng)被測定的量較大時(shí)，測量的相對并不相同。也就是說，當(dāng)被測定的量較大時(shí)，測量的相對誤差較小，測定的準(zhǔn)確程度也就較高。誤差較小，測定的準(zhǔn)確程度也就較高。 習(xí)題：習(xí)題：將將0.089g Mg0.089g Mg2 2P P2 2O O7 7沉淀換算為沉淀換算為MgOMgO的質(zhì)量，問的質(zhì)量，問計(jì)算時(shí)在下列換算因數(shù)（計(jì)算

16、時(shí)在下列換算因數(shù)（2MgO/Mg2MgO/Mg2 2P P2 2O O7 7 = = 2 240.30/222.640.30/222.6）中取哪個(gè)數(shù)值較為合適：）中取哪個(gè)數(shù)值較為合適：0.3623,0.362,0.360.3623,0.362,0.36？計(jì)算結(jié)果應(yīng)以幾位有效數(shù)字？計(jì)算結(jié)果應(yīng)以幾位有效數(shù)字報(bào)出。報(bào)出。答答: :：0.362 0.362 應(yīng)以三位有效數(shù)字報(bào)出。應(yīng)以三位有效數(shù)字報(bào)出。習(xí)題：習(xí)題：用返滴定法測定軟錳礦中用返滴定法測定軟錳礦中MnOMnO2 2的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，其結(jié)果按下式進(jìn)行計(jì)算：其結(jié)果按下式進(jìn)行計(jì)算：問測定結(jié)果應(yīng)以幾位有效數(shù)字報(bào)出？問測定結(jié)果應(yīng)以幾位有效數(shù)字報(bào)出

17、？%1005000. 094.86)25101000. 000. 807.1268000. 0(32MnO答答: :：應(yīng)以四位有效數(shù)字報(bào)出。：應(yīng)以四位有效數(shù)字報(bào)出。%1005000.094.86)002000.0006346.0(%1005000.094.86)25101000.000.807.1268000.0(32MnO習(xí)題習(xí)題：用加熱揮發(fā)法測定：用加熱揮發(fā)法測定BaClBaCl2 22H2H2 2O O中結(jié)晶水的質(zhì)中結(jié)晶水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)時(shí)，使用萬分之一的分析天平稱樣量分?jǐn)?shù)時(shí)，使用萬分之一的分析天平稱樣0.5000g0.5000g，問測定結(jié)果應(yīng)以幾位有效數(shù)字報(bào)出？問測定結(jié)果應(yīng)以幾位有效數(shù)字報(bào)出

18、？答答: :：應(yīng)以四位有效數(shù)字報(bào)出。：應(yīng)以四位有效數(shù)字報(bào)出。%1003.24402.1825000.02OH習(xí)題習(xí)題：兩位分析者同時(shí)測定某一試樣中硫的質(zhì)量：兩位分析者同時(shí)測定某一試樣中硫的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，稱取試樣均為分?jǐn)?shù)，稱取試樣均為3.5g，分別報(bào)告結(jié)果如下：，分別報(bào)告結(jié)果如下：甲：甲：0.042%，0.041%；乙：；乙：0.04099%,0.04201%。 問哪一份報(bào)告是合理的，為什么？問哪一份報(bào)告是合理的，為什么？答答:：甲的報(bào)告合理。因?yàn)樵诜Q樣時(shí)取了兩位有效：甲的報(bào)告合理。因?yàn)樵诜Q樣時(shí)取了兩位有效數(shù)字，所以計(jì)算結(jié)果應(yīng)和稱樣時(shí)相同，都取兩位數(shù)字，所以計(jì)算結(jié)果應(yīng)和稱樣時(shí)相同，都取兩位有效數(shù)字。有效數(shù)字。3 數(shù)據(jù)的記錄和計(jì)算規(guī)則1、記錄測定結(jié)果時(shí)，只應(yīng)保留一位可疑數(shù)字。在、記錄測定結(jié)果時(shí)，只應(yīng)保留一位可疑數(shù)字。在分析化學(xué)中幾個(gè)重要物理量的測量誤差一般為分析化學(xué)中幾個(gè)重要物理量的測量誤差一般為( (視儀器的精度而定視儀器的精度而定) ) :物理量物理量質(zhì)量質(zhì)量(g)容積容積(mL)pH電位電位(V)吸光度吸光度測量誤差測量誤差0.000 x0.0 x0.0 x0.000 x0.00 x用分析天平稱量質(zhì)量時(shí)，要求記錄至用分析天平稱量質(zhì)量時(shí)，要求記錄至0.