線性代數(shù)1 矩陣概念

1、 矩陣是線性代數(shù)中一個重要的數(shù)學概念，它廣泛地運用于自然科學、工程技術(shù)、現(xiàn)代經(jīng)濟管理等各個領(lǐng)域。本章將引進矩陣的概念，并討論矩陣和線性變換的關(guān)系，以及矩陣的運算。重點是矩陣的概念及運算、矩陣的初等行變換及逆矩陣。第二章第二章 矩矩 陣陣 2.1 2.1 矩陣的概念矩陣的概念【學習本節(jié)要達到的目標】1、理解矩陣概念。2、了解常見的矩陣類型。 在某些問題中 所有數(shù)據(jù)可以用一個矩形表完整表示 比如線性方程組可以對應(yīng)一個矩形表 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 這個矩形表就稱為

2、矩陣 一、矩陣概念的引入 例1 設(shè)有線性方程組 7739183332154321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx 這個方程組未知量系數(shù)及常數(shù)項按方程組中的順序組成一個4行5列的矩形陣列如下 77391111833312111151 這個陣列決定著給定方程組是否有解 以及如果有解 解是什么等問題 因此對這個陣列的研究就很有必要 由此得到排成4行4列的產(chǎn)值陣列 80827088909075908485709878755880 它具體描述了這家企業(yè)各種產(chǎn)品各季度的產(chǎn)值 同時也揭示了產(chǎn)值隨季節(jié)變化規(guī)律的季增長率及年產(chǎn)量等情況 例2 某企業(yè)生產(chǎn)4種產(chǎn)品 各種產(chǎn)品的季度產(chǎn)值(單位

3、萬元)如下表 由此得到一個m行n列陣列 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 它描述了生產(chǎn)過程中產(chǎn)出的產(chǎn)品與投入材料的數(shù)量關(guān)系 例3 生產(chǎn)m種產(chǎn)品需用n種材料 如果以aij表示生產(chǎn)第i種產(chǎn)品(i1 2 m)耗用第j種材料(j1 2 n)的定額 則消耗定額可以用一個矩形表表示 例4. 某航空公司在A,B,C,D四城市之間開辟了若干航線 ,如圖所示表示了四城市間的航班圖,如果從A到B有航班,則用帶箭頭的線連接 A 與B.ABCD四城市間的航班圖情況可用表格來表示:ABCDABCD其中 表示有航班. 到站到站發(fā)站發(fā)站為了便于計算,把表中的 改成1,空白地方填上0,就得到一個數(shù)表:這

4、個數(shù)表反映了四城市間交通聯(lián)接情況.ABCDABCD0010100101010110定義(矩陣) 由mn個數(shù)aij(i1 2 m j1 2 n)排成的一個m行n列的矩形表稱為一個mn矩陣（matrix） 記作 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 其中aij稱為矩陣的第i行第j列的元素 一般情況下 我們用大寫黑體字母A B C等表示矩陣也可以記作Amn或 (aij)mn.77391111833312111151 如上述例1所得的矩形陣列就是一個45矩陣，可記為A45或 (aij)45，即A45 =定義(矩陣相等) 如果兩個矩陣A B有相同的行數(shù)與相同的列數(shù) 并且對應(yīng)位置上的元素

5、均相等 則稱矩陣A與矩陣B相等 記為AB 即如果A(aij)mn B(bij)mn 且aijbij(i1 2 m j1 2 n) 則AB 二、矩陣的基本關(guān)系例如,530221A.fedcbaB它們都是23矩陣。僅當a=1, b=2, c=2, d=0, e=3, f =5時，矩陣A和矩陣B才是相等的，即A=B.定義：對于矩陣A=(aij)mn ：當m=1時，表示只有一行的矩陣，叫做， 記為A=a1 a2 anmaaaA21 所有元素都是零的矩陣稱作， 記作Omn或O.當n=1時，表示只有一列的矩陣，叫做，記為 .00000000000000000000 注意：不同階數(shù)的零矩陣是不相等的注意：不

6、同階數(shù)的零矩陣是不相等的.例如例如當m=n時，稱為定義：對于矩陣A=(aij)mn ：nnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211對于n階方陣，當n=1時，即一階方陣就是表示一個數(shù)a11.在n階方陣中，從左上角到右下角的n個元素稱為（diagonal）. nnaaa,2211主對角線一側(cè)的元素全為0的n階方陣稱為三角矩陣。上三角矩陣（upper triangular matrix）： 非零元素只出現(xiàn)在對角線及其上方。下三角矩陣（lower triangular matrix）: 非零元素只出現(xiàn)在對角線及其下方。nnnnaaaaaa00022211211nnnnaaaaaa2122

7、2111000對角矩陣（diagonal matrix）： 既是上三角矩陣又是下三角矩陣。 ),(diag2211nnaaaD可記為單位矩陣（identity matrix）：主對角線元素全為1，其余元素都為0的n階方陣。nnaaa0000002211100010001記為En或E.小 結(jié)(1)矩陣的概念mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211列的一個數(shù)表列的一個數(shù)表行行nm(2)矩陣相等如果A(aij)mn B(bij)mn 且aijbij(i1 2 m j1 2 n) 則AB (3) 特殊矩陣 方陣;時的矩陣nm 行矩陣與列矩陣;單位矩陣;零矩陣.100010001 ,21

8、 naaaB ,21naaaA n 00000021Omn練習：P22.A組1、2、32.2 矩陣的運算1、掌握矩陣的加法、數(shù)乘矩陣的運算；2、掌握矩陣乘法、矩陣轉(zhuǎn)置的運算； 3、理解并掌握以下重要結(jié)論：ABBA；(AB)T=BTAT.【學習本節(jié)要達到的目標】定義定義(矩陣加法矩陣加法) mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111一、矩陣的加法 兩個mn矩陣A(aij)mn B(bij)mn將它們的對應(yīng)位置元素相加，得到的mn矩陣稱為矩陣A與矩陣B的和 記為AB 即 AB(aij)mn(bij)mn(aijbij )mn 例

9、1 設(shè)有矩陣A與矩陣B，321034022753BA846075120231 320501742233 111 A 111 A 111 A 111 B1203162540783+1 5+3 7+22+2 0+1 4+5 3+72+00+0 1+6 2+4 3+8 111 A 111 C 111 C 111 B 44081799621011解求A+B注意 只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算.在這里我們把兩個行列分別相等的矩陣稱為同型矩陣.矩陣加法的運算規(guī)律矩陣加法的運算規(guī)律設(shè)A,B,C,O都是mn矩陣，容易驗證下列運算規(guī)律： ;1ABBA ;2CBACBA .3AOA09050301O

10、A9531解,9531A 例2 設(shè)有矩陣 求A+O.解 根據(jù)矩陣加法的定義，.212222111211的負矩陣稱為矩陣則AaaaaaaaaaAmnmmnn 對于矩陣A=(aij)mn，我們稱矩陣(-aij)mn為矩陣A的負矩陣，記作-A. mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211即若利用矩陣的加法和負矩陣，可以定義矩陣的減法矩陣的減法： mnmnmmmmnnnnbababababababababaBABA221122222221211112121111)(OAA顯然，有 例3 已知求A-B.解 根據(jù)矩陣減法的定義，32112321) 1(012BA.121111,213102A

11、312211B 例4 設(shè)有矩陣A與矩陣B，,2452A3586B 求滿足矩陣方程A+X=B的矩陣的矩陣X.解 由A+X=B得得X=B- -A，所以5934)2(3455826ABX定義(數(shù)乘矩陣) 以數(shù)k乘矩陣A的每一個元素所得到的矩陣 稱為數(shù)k與矩陣A的數(shù)乘矩陣 記為kA 即如果A(aij)mn 那么 kAk(aij)mn(kaij)mn .212222111211mnmmnnkakakakakakakakakaAkkA二、數(shù)乘矩陣 例5 設(shè)有矩陣A，105951901355040130809080175120A 1059519013550401308090801751205 . 15 .

12、1 A1055 . 1955 . 11905 . 11355 . 1505 . 1405 . 11305 . 1805 . 1905 . 1805 . 11755 . 11205 . 15 .1575 .1422855 .20275601951201351205 .262180 解求1.5A . 例 3 已知230412301321A 052110351234B 求 3A2B 解 0521103512342230412301321323BA06109402122306691002349668361941016151055011 解 0521103512342230412301321323BA

13、例6練習：練習：設(shè) 140213A043203B求3A-2B. BA230432032140213308640631206393206233解解 ;3AkllAk ;2lAkAAlk ;1kBkABAk數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律設(shè)k和l是兩個常數(shù)，A和B均是mn階矩陣，容易驗證下列運算規(guī)律： 矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來, ,統(tǒng)稱為矩陣統(tǒng)稱為矩陣的的線性運算。線性運算。 .0 ,14OAAA 例7 已知 864297510213A 612379154257B 且A2XB 求X )(21ABX27212244446421 解由A2XB 得到 )(21ABX27212

14、244446421 )(21ABX27212244446421.12712111222232小 結(jié)矩陣加法與矩陣數(shù)乘的運算規(guī)律 設(shè)A B C O都是mn矩陣 k l是數(shù) 則(1)ABBA (2)(AB)CA(BC) (3)AOA (4)A(A)O (5)k(AB)kAkB (6)(kl)AkAlA (7) (kl)Ak(lA) (8)1AA; 0AO. 矩陣是數(shù)學中的一個重要的基本概念，是代數(shù)學的一個主要研究對象，也是數(shù)學研究和應(yīng)用的一個重要工具?！熬仃嚒边@個詞是由西爾維斯特首先使用的，他是為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個述語。而實際上，矩陣這個課題在誕生之前就已經(jīng)發(fā)展的很好了。從

15、行列式的大量工作中明顯的表現(xiàn)出來，為了很多目的，不管行列式的值是否與問題有關(guān)，方陣本身都可以研究和使用，矩陣的許多基本性質(zhì)也是在行列式的發(fā)展中建立起來的。在邏輯上，矩陣的概念應(yīng)先于行列式的概念，然而在歷史上次序正好相反。 英國數(shù)學家凱萊 (A.Cayley,1821-1895) 一般被公認為是矩陣論的創(chuàng)立者，因為他首先把矩陣作為一個獨立的數(shù)學概念提出來，并首先發(fā)表了關(guān)于這個題目的一系列文章。凱萊同研究線性變換下的不變量相結(jié)合，首先引進矩陣以簡化記號。 1858 年，他發(fā)表了關(guān)于這一課題的第一篇論文矩陣論的研究報告，系統(tǒng)地闡述了關(guān)于矩陣的理論。文中他定義了矩陣的相等、矩陣的運算法則、矩陣的轉(zhuǎn)置以及矩陣的逆