高中數(shù)學(xué)復(fù)習學(xué)(教)案(第79講)函數(shù)的極值、最值及其應(yīng)用

1、題目 (選修)第三章導(dǎo)數(shù)函數(shù)的極值、最值及應(yīng)用高考要求 1理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；2了解可導(dǎo)函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件(導(dǎo)數(shù)在極值點兩側(cè)異號)；3會求一些實際問題(一般指單峰函數(shù))的最大值和最小值 知識點歸納 1極大值： 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)f(x0)，就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值，記作y極大值=f(x0)，x0是極大值點2極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)f(x0)就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值，記作y極小值=f(x0)，x0是極小值點

2、3極大值與極小值統(tǒng)稱為極值（）極值是一個局部概念由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最?。ǎ┖瘮?shù)的極值不是唯一的即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個（）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，是極大值點，是極小值點，而> （）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點 而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點4判別f(x0)是極大、極小值的方法:若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正

3、右負”，則是的極大值點，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負右正”，則是的極小值點，是極小值5 求函數(shù)f(x)的極值的步驟: (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f(x) (2)求方程f(x)=0的根 (3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格檢查f(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，則f(x)在這個根處無極值6函數(shù)的最大值和最小值:在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在上必有最大值與最小值在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值 函數(shù)的最值是比較整個定義域內(nèi)

4、的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點附近函數(shù)值得出的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件(4)函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個7利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟:求在內(nèi)的極值；將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值題型講解 例1 求列函數(shù)的極值：（1）；（2）解：（1） 令，得駐點12+0-0+0+極大極小是函數(shù)的極大值；是函數(shù)的極小值（2） 令，得駐點-11-0+0-極大極小當時，極小=-3；當時，極大=-1值 例2 設(shè)為自然對數(shù)的底，a為常數(shù)且），取極小值時，求x的值解： 令（1），由表x（，2）2f(x)+

5、00+f（x）極大值極小值取極小值（2）無極值（3）時，由表x（，）2f(x)+00+f（x）極大值極小值 例3 求拋物線上與點距離最近的點解：設(shè)為拋物線上一點，則與同時取到極值令由得是唯一的駐點當或時，是的最小值點，此時即拋物線上與點距離最近的點是（2，2）例4 設(shè)x2，nN*，比較（1+x）n與1+nx的大小分析：從條件最易想到歸納猜想證明，但證明由n=k到n=k+1時，（1+x）k+1=（1+x）k·（1+x）過渡到（1+x）k時不等方向不確定，故需按1+x的符號討論證明但本題若用導(dǎo)數(shù)解就比較簡單了解：設(shè)f（x）=（1+x）n1nx，當n=1時，f（x）=0，（1+x）n=1+

6、nx當n2，nN*時，f（x）=n（1+x） n1n=n（1+x）n11，令f（x）=0，得x=0當2x0時，f（x）0，f（x）在（2，0上為減函數(shù);當x0時，f（x）0f（x）在0，+）上為增函數(shù)當x2時，f（x）f（0）=0（1+x）n1+nx綜上，得（1+x）n1+nx點評：構(gòu)造函數(shù)法是比較兩個多項式的大小或證明不等式常用的方法附：數(shù)學(xué)歸納法的證明過程：歸納猜想證明法解當n=1時，（1+x）1=1+x當n=2時，（1+x）2=1+2x+x21+2x當n=3時，（1+x）3=1+3x+3x2+x3=1+3x+x2（3+x）1+3x猜想：（1+x）n1+nx證明：當x1時，（1）當n=1時

7、，（1+x）n1+nx成立（2）假設(shè)n=k時，（1+x）k1+kx成立，那么（1+x）k+1=（1+x）k·（1+x）（1+x）·（1+kx）=1+（k+1）x+kx21+（k+1）x當n=k+1時，（1+x）n1+nx成立由（1）（2）可知，當x1時，對nN*，（1+x）n1+nx當2x1時，當n=1時，（1+x）n=1+x；當n2時，|1+x|1|1+x|n1而1+nx1n1，（1+x）n1+nx綜上，得（1+x）n1+nx正確例5 設(shè)函數(shù)f（x）=ax，其中a0，求a的范圍，使函數(shù)f（x）在區(qū)間0，+）上是單調(diào)函數(shù)分析：要使f（x）在0，+）上是單調(diào)函數(shù)，只需f（x）

8、在0，+）上恒正或恒負即可解：f（x）=a當x0時， 因為a0，所以當且僅當a1時，f（x）= a在0，+）上恒小于0，此時f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)點評：要使f（x）在（a，b）上單調(diào)，只需f（x）在（a，b）上恒正或恒負，即f（x）0（或0）單調(diào)遞增（或減）例6 已知函數(shù)f（x）=ax3+bx23x在x=±1處取得極值（1）討論f（1）和f（1）是函數(shù)f（x）的極大值還是極小值；（2）過點A（0，16）作曲線y=f（x）的切線，求此切線方程解：（1）f（x）=3ax2+2bx3，依題意，f(1)=f(1)=0，即解得a=1，b=0f（x）=x33x，f（x）=3x23=3（x+1）（

9、x1）令f（x）=0，得x=1，x=1若x（，1）（1，+），則f（x）0，故f（x）在（，1）上是增函數(shù)，f（x）在（1，+）上也是增函數(shù)若x（1，1），則f（x）0，故f（x）在（1，1）上是減函數(shù)所以f（1）=2是極大值，f（1）=2是極小值（2）曲線方程為y=x33x，點A（0，16）不在曲線上設(shè)切點為M（x0，y0），則點M的坐標滿足y0=x033x0因f（x0）=3（x021），故切線的方程為yy0=3（x021）（xx0）注意到點A（0，16）在切線上，有16（x033x0）=3（x021）（0x0），化簡得x03=8，解得x0=2所以切點為M（2，2），切線方程為9xy+16=

10、0點評：本題考查函數(shù)和函數(shù)極值的概念，考查運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)和求曲線切線的方法，以及分析和解決問題的能力例7 用總長148 m的鋼條制作一個長方體容器的框架如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長05 m，那么高為多少時容器的容積最大?并求出它的最大容積解：設(shè)容器底面短邊長為x m，則另一邊長為（x+05） m，高為=322x（m）設(shè)容積為y m3，則y=x（x+05）（322x）（0x16），整理，得y=2x3+22x2+16x所以y=6x2+44x+16令y=0，即6x2+44x+16=0，所以15x211x4=0解得x=1或x=（不合題意，舍去）從而在定義域（0，16）內(nèi)只有x=1處使得y

11、=0由題意，若x過?。ń咏?）或過大（接近16）時，y值很?。ń咏?）因此，當x=1時，y有最大值且ymax=2+22+16=18，此時，高為322×1=12答：容器的高為12 m時，容積最大，最大容積為18 m3例8 煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵而污染環(huán)境已知落在地面某處的煙塵濃度與該處至煙囪距離的平方成反比，而與該煙囪噴出的煙塵量成正比，現(xiàn)有兩座煙囪相距20，其中一座煙囪噴出的煙塵量是另一座的8倍，試求出兩座煙囪連線上的一點，使該點的煙塵濃度最小解：不失一般性，設(shè)煙囪A的煙塵量為1，則煙囪B的煙塵量為8并設(shè)AC= ， 于是點C的煙塵濃度為，其中為比例系數(shù)令，有，即解得在（0，20）內(nèi)

12、惟一駐點由于煙塵濃度的最小值客觀上存在，并在（0，20）內(nèi)取得，在惟一駐點處，濃度最小，即在AB間距A處處的煙塵濃度最小例9 已知拋物線y=x2+2，過其上一點P引拋物線的切線l，使l與兩坐標軸在第一象限圍成的三角形的面積最小，求l的方程解：設(shè)切點P（x0，x02+2）（x00），由y=x2+2得y=2x，k1=2x0l的方程為y（x02+2）=2x0（xx0），令y=0，得x=令x=0，得y=x02+2，三角形的面積為S=··（x02+2）=S=令S=0，得x0= （x00）當0x0時，S0;當x0時，S0x0=時，S取極小值只有一個極值，x=時S最小，此時k1=，切點為

13、（，）l的方程為y= （x），即2x+3y8=0例10 利用導(dǎo)數(shù)求和：（1）Sn=1+2x+3x2+nxn1（x0,nN *）（2）Sn=C+2C+3C+nC （nN *）解:（1）當x=1時，Sn=1+2+3+n= （n+1）,當x1時，x+x2+x3+xn=,兩邊對x求導(dǎo)，得Sn=1+2x+3x2+nxn1=()=（2）（1+x）n=1+Cx+C x2+C xn,兩邊對x求導(dǎo)，得n（1+x）n1=C+2Cx+3Cx2+nC x n1令x=1,得n·2n1=C +2C+3C+nC,即Sn=C+2C +3C +nC=n·2n1小結(jié)：在求函數(shù)的極值和最值時，要注意極值和最值的

14、區(qū)別能列表的應(yīng)采用列表的方法，在處理應(yīng)用問題時，一方面正確列出函數(shù)關(guān)系式，按函數(shù)求極值、最值的步驟進行另一方面在解題時還要隨時利用應(yīng)用題本身的特點，以及目標函數(shù)的取值范圍確定駐點學(xué)生練習 1某物體作s=2（1t）2的直線運動，則t=08 s時的瞬時速度為A4 B4 C48 D08解析：s=4（1t），當t=08 s時，v=08答案：D2函數(shù)f（x）=x36bx+3b在（0，1）內(nèi)有極小值，則Ab0 Bb C0b Db1解析：f（x）=3x26b，令f（x）=0，得x=±bf（x）在（0，1）內(nèi)有極小值，0b10b答案：C3函數(shù)f（x）=ax+loga（x+1）在0，1上的最大值與最小

15、值之和為a，則a的值為A B C2 D4解析：f（x）=axlna+logaex0，1，當a1時，axlna+logae0f（x）為增函數(shù)當0a1時，axlna+logae0，f（x）為減函數(shù)f（0）+f（1）=aa=答案：B4若曲線f（x）=x4x在點P處的切線平行于直線3xy=0，則點P的坐標為A（1，3） B（1，3） C（1，0） D（1，0）解析：f（x）=4x31=3，x=1答案：C5已知曲線y=x3+，則過點P（2，4）的切線方程是_解析：y=x2，當x=2時，y=4 切線的斜率為4切線的方程為y4=4（x2）， 即y=4x4答案：4xy4=06設(shè)底為等邊三角形的直棱柱的體積為V

16、，那么其表面積最小時，底面邊長為_解析：設(shè)底面邊長為x，則高為h=，S表=3×·x+2×x2=+x2S=+x令S=0，得x=答案： 7已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為10，則f（2）=_解析：f（x）=3x2+2ax+b，由題意得 或f（2）=11或f（2）=18答案：11或188直線y=a與函數(shù)f（x）=x33x的圖象有相異三個交點，求a的取值范圍解：f（x）=3x23=3（x1）（x+1），由f（x）0得單調(diào)增區(qū)間為（，1），（1，+）;由f（x）0得單調(diào)減區(qū)間為（1，+1）檢驗知x=1時，f（1）=2是極小值;當x=1時，f（1）

17、=2是極大值，結(jié)合圖象知：當2a2時，y=a與y=x33x的圖象有三個相異交點9當0x時，證明： xsinxx證明：令f（x）=xsinx，則當x時，f（x）=1cosxf（x）在（，）上單調(diào)增加，而f（）=當x時，f（x），即xsinx令g（x）=sinxx，g（x）=cosx當xarccos時，g（x），則g（x）單調(diào)增加；當arccosx時，g（x），則g（x）單調(diào)減小，而f（）=f（）=當x時，g（x），即sinxx綜上，當x時，xsinxx10已知二次函數(shù)y=f（x）經(jīng)過點（0，10），導(dǎo)函數(shù)f（x）=2x5，當x（n，n+1（nN*）時，f（x）是整數(shù)的個數(shù)，記為an求數(shù)列an的通

18、項公式解：由f（x）=2x5可設(shè)f（x）=x25x+c（c為常數(shù)）因為f（x）的圖象過（0，10），得c=10故二次函數(shù)為f（x）=x25x+10=（x）2+又因x（n，n1（nN*）時，f（x）為整數(shù)的個數(shù)為anf（x）在（1，2上的值域為4，6），a1=2f（x）在（2，3上的值域為，4，a2=1當n3時，f（x）在（n，n+1上單調(diào)遞增，其值域為（f（n），f（n+1）an=f（n+1）f（n）=2n4an=11 已知b1，c0，函數(shù)f（x）=x+b的圖象與函數(shù)g（x）=x2+bx+c的圖象相切（1）求b與c的關(guān)系式（用c表示b）;（2）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）g（x）在（，+）內(nèi)有極值

19、點，求c的取值范圍解：（1）依題意，令f（x）=g（x），得2x+b=1，故x=由f（）=g（），得（b+1）2=4cb1，c0，b=1+2（2）F（x）=f（x）g（x）=x3+2bx2+（b2+c）x+bcF（x）=3x2+4bx+b2+c令F（x）=0，即3x2+4bx+b2+c=0，則=16b212（b2+c）=4（b23c）若=0，則F（x）=0有一個實根x0，且F（x）的變化如下：x（，x0）x0（x0，+）F（x）+0+于是x=x0不是函數(shù)F（x）的極值點若0，則F（x）=0有兩個不相等的實根x1、x2（x1x2），且F（x）的變化如下：x（，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+）F（x）+00+由此，x=x1是函數(shù)F（x）的極大值點，x