高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)(教)案(第73講)數(shù)學(xué)歸納法

1、題目 (選修)第一章概率與統(tǒng)計數(shù)學(xué)歸納法高考要求 1掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，熟練表達數(shù)學(xué)歸納法證明過程2對數(shù)學(xué)歸納法的認識不斷深化 3掌握數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：證恒等式；整除性的證明；探求平面幾何中的問題；探求數(shù)列的通項；不等式的證明知識點歸納 1 歸納法：由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法特點：特殊一般2 不完全歸納法: 根據(jù)事物的部分(而不是全部)特例得出一般結(jié)論的推理方法叫做不完全歸納法 3 完全歸納法: 把研究對象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法完全歸納法是一種在研究了事物的所有(有限種)特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的

2、結(jié)論是可靠的通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時，采用完全歸納法4數(shù)學(xué)歸納法:對于某些與自然數(shù)n有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當(dāng)n取第一個值n0時命題成立；然后假設(shè)當(dāng)n=k(kÎN*，kn0)時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法5 數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：即先驗證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)n0，如果當(dāng)n=n0時，命題成立，再假設(shè)當(dāng)n=k(kn0，kN*)時，命題成立(這時命題是否成立不是確定的)，根據(jù)這個假設(shè)，如能推出當(dāng)n=k+1時，命題也成立，那么就可以遞推出對所有不小于n0的正整數(shù)n0+1，n0+2，命題都成立6用數(shù)學(xué)歸納法證明一個

3、與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：(1)證明：當(dāng)n取第一個值n0結(jié)論正確；(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，且kn0)時結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論也正確由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確數(shù)學(xué)歸納法被用來證明與自然數(shù)有關(guān)的命題: 遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉 題型講解 例1 比較2n與n2的大?。╪N *）分析：比較兩數(shù)（或式）大小的常用方法本題不適用，故考慮用歸納法推測大小關(guān)系，再用數(shù)學(xué)歸納法證明解：當(dāng)n=1時，2112，當(dāng)n=2時，22=22，當(dāng)n=3時，2332，當(dāng)n=4時，24=42，當(dāng)n=5時，2552，猜想：當(dāng)n5時，2nn2下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

4、（1）當(dāng)n=5時，2552成立（2）假設(shè)n=k（kN *，k5）時2kk2，那么2k+1=2·2k=2k+2kk2+（1+1）kk2+C+C+C=k2+2k+1=（k+1） 2當(dāng)n=k+1時，2nn2由（1）（2）可知，對n5的一切自然數(shù)2nn2都成立綜上，得當(dāng)n=1或n5時，2nn2；當(dāng)n=2，4時，2n=n2；當(dāng)n=3時，2nn2點評：用數(shù)學(xué)歸納法證不等式時，要恰當(dāng)?shù)販惓瞿繕?biāo)和湊出歸納假設(shè)，湊目標(biāo)時可適當(dāng)放縮另法：當(dāng)n5時，要證2nn2，也可直接用二項式定理證：2n=（1+1）n=C+C+C+C+C+C1+n+=1+n+n2nn2例2 是否存在常數(shù)a、b、c使等式1·（

5、n212）+2（n222）+n（n2n2）=an4+bn2+c對一切正整數(shù)n成立?證明你的結(jié)論分析：先取n=1，2，3探求a、b、c的值，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明對一切nN*，a、b、c所確定的等式都成立解：分別用n=1，2，3代入解方程組下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）當(dāng)n=1時，由上可知等式成立;（2）假設(shè)當(dāng)n=k+1時，等式成立，則當(dāng)n=k+1時，左邊=1·（k+1）212+2（k+1）222+k（k+1）2k2+（k+1）（k+1）2（k+1）2=1·（k212）+2（k222）+k（k2k2）+1·（2k+1）+2（2k+1）+k（2k+1）=k4+（）k2+（2

6、k+1）+2（2k+1）+k（2k+1）=（k+1）4（k+1）2當(dāng)n=k+1時，等式成立由（1）（2）得等式對一切的nN*均成立點評：本題是探索性命題，它通過觀察歸納猜想證明這一完整的思路過程去探索和發(fā)現(xiàn)問題，并證明所得結(jié)論的正確性，這是非常重要的一種思維能力例3 設(shè)a0為常數(shù)，且an=3n12an1（nN*）證明：n1時，an=3n+（1）n1·2n+（1）n·2n·a0分析：給出了遞推公式，證通項公式，可用數(shù)學(xué)歸納法證證明：（1）當(dāng)n=1時，3+22a0=12a0，而a1=302a0=12a0當(dāng)n=1時，通項公式正確（2）假設(shè)n=k（kN*）時正確，即ak=

7、3k+（1）k1·2k+（1）k·2k·a0，那么ak+1=3k2ak=3k×3k+（1）k·2k+（1）k+1·2k+1a0=·3k+（1）k·2k+1+（1）k+1·2k+1·a0=3k+1+（1）k·2k+1+（1）k+1·2k+1·a0當(dāng)n=k+1時，通項公式正確由（1）（2）可知，對nN*，an=3n+（1）n1·2n+（1）n·2n·a0點評：由n=k正確n=k+1時也正確是證明的關(guān)鍵另法：也可用構(gòu)造數(shù)列的方法求an解：a0

8、為常數(shù)，a1=32a0由an=3n12an1， 得=+1，即=·+=（）是公比為，首項為的等比數(shù)列=（a0）·（）n1an=（a0）·（2）n1×3+×3n=3n+（1）n1·2n+（1）n·2n·a0點評：關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化成an+1=can+d型例4 是否存在正整數(shù)m，使得f（n）=（2n+7）·3n+9對任意自然數(shù)n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論;若不存在，請說明理由解：由f（n）=（2n+7）·3n+9，得f（1）=36， f（2）=3×36， f（3）=10&#

9、215;36， f（4）=34×36，由此猜想m=36下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時，顯然成立（2）假設(shè)n=k時， f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）·3k+9能被36整除;當(dāng)n=k+1時，2（k+1）+7·3k+1+9=3（2k+7）·3k+9+18（3k11），由于3k11是2的倍數(shù)，故18（3k11）能被36整除這就是說，當(dāng)n=k+1時，f（n）也能被36整除由（1）（2）可知對一切正整數(shù)n都有f（n）=（2n+7）·3n+9能被36整除，m的最大值為36例5 如下圖，設(shè)P1，P2，P3，Pn，是曲線y=上的點列，Q1

10、，Q2，Q3， ，Qn，是x軸正半軸上的點列，且OQ1P1，Q1Q2P2，Qn1QnPn，都是正三角形，設(shè)它們的邊長為a1，a2，an，求證：a1+a2+an=n（n+1）證明：（1）當(dāng)n=1時，點P1是直線y=x與曲線y=的交點，可求出P1（，）a1=|OP1|=而×1×2=，命題成立（2）假設(shè)n=k（kN*）時命題成立，即a1+a2+ak=k（k+1），則點Qk的坐標(biāo)為（k（k+1），0），直線QkPk+1的方程為y=xk（k+1）代入y=，解得Pk+1點的坐標(biāo)為ak+1=|QkPk+1|=（k+1）·=（k+1）a1+a2+ak+a k+1=k（k+1）+（

11、k+1）=（k+1）（k+2）當(dāng)n=k+1時，命題成立由（1）（2）可知，命題對所有正整數(shù)都成立點評：本題的關(guān)鍵是求出Pk+1的縱坐標(biāo)，再根據(jù)正三角形高與邊的關(guān)系求出|QkP k+1|小結(jié)：1用數(shù)學(xué)歸納法證明問題應(yīng)注意：（1）第一步驗證n=n0時，n0并不一定是1（2）第二步證明的關(guān)鍵是要運用歸納假設(shè)，特別要弄清由k到k+1時命題的變化（3）由假設(shè)n=k時命題成立，證n=k+1時命題也成立，要充分利用歸納假設(shè)，要恰當(dāng)?shù)亍皽悺背瞿繕?biāo)2歸納、猜想、論證是培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、歸納能力以及推理論證能力的方式之一3數(shù)學(xué)歸納法中的歸納思想是比較常見的數(shù)學(xué)思想，因此要重視4數(shù)學(xué)歸納法在考試中時隱時現(xiàn)，且較隱蔽

12、，因此在復(fù)習(xí)中應(yīng)引起重視只要與自然數(shù)有關(guān)，都可考慮數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)然主要是恒等式、等式、不等式、整除問題、幾何問題、三角問題、數(shù)列問題等聯(lián)系得更多一些5用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題時，要注意初始值，要弄清n=k和n=k+1時的結(jié)論是什么要有目標(biāo)意識，緊盯n=k+1時的結(jié)論，對n=k時的結(jié)論進行一系列的變形，變形的目標(biāo)就是n=k+1時的結(jié)論這就是所謂的“湊假設(shè)，湊結(jié)論”學(xué)生練習(xí) 1設(shè)f（n）=+（nN *），那么f（n+1）f（n）等于AB C+ D解析：f（n+1）f（n）= + + + +（+）=+=答案：D2若把正整數(shù)按下圖所示的規(guī)律排序，則從2002到2004年的箭頭方向依次為解析：

13、2002=4×500+2，而an=4n是每一個下邊不封閉的正方形左、上頂點的數(shù)答案：D3凸n邊形有f（n）條對角線，則凸n+1邊形有對角線條數(shù)f（n+1）為Af（n）+n+1 Bf（n）+n Cf（n）+n1 Df（n）+n2解析：由n邊形到n+1邊形，增加的對角線是增加的一個頂點與原n2個頂點連成的n2條對角線，及原先的一條邊成了對角線答案：C4用數(shù)學(xué)歸納法證明“（n+1）（n+2）··（n+n）=2n·1·3··（2n1）”，從“k到k+1”左端需增乘的代數(shù)式為A2k+1 B2（2k+1） C D解析：當(dāng)n=1時，顯然成

14、立當(dāng)n=k時，左邊=（k+1）（k+2）··（k+k），當(dāng)n=k+1時，左邊=（k+1+1）（k+1+2）··（k+1+k）（k+1+k+1）=（k+2）（k+3）··（k+k）（k+1+k）（k+1+k+1）=（k+1）（k+2）··（k+k）=（k+1）（k+2）··（k+k）2（2k+1）答案：B5如果命題P（n）對n=k成立，則它對n=k+1也成立，現(xiàn)已知P（n）對n=4不成立，則下列結(jié)論正確的是AP（n）對nN*成立BP（n）對n4且nN*成立CP（n）對n4且nN*成立DP（n）對n

15、4且nN*不成立解析：由題意可知，P（n）對n=3不成立（否則n=4也成立）同理可推得P（n）對n=2，n=1也不成立答案：D6用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+n（nN*，n1）”時，由n=k（k1）不等式成立，推證n=k+1時，左邊應(yīng)增加的項數(shù)是A2k1 B2k1 C2k D2k+1解析：左邊的特點：分母逐漸增加1，末項為;由n=k，末項為到n=k+1，末項為=，應(yīng)增加的項數(shù)為2k答案：C7根據(jù)下列5個圖形及相應(yīng)點的個數(shù)的變化規(guī)律，試猜測第n個圖形中有_個點解析：觀察圖形點分布的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)第一個圖形只有一個中心點;第二個圖形中除中心外還有兩邊，每邊一個點;第三個圖形中除中心點外還有三個邊，每邊兩個

16、點;依次類推，第n個圖形中除中心外有n條邊，每邊n1個點，故第n個圖形中點的個數(shù)為n（n1）+1答案：n2n+18觀察下表：12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10設(shè)第n行的各數(shù)之和為Sn，則=_解析：第一行1=12，第二行2+3+4=9=33，第三行3+4+5+6+7=25=52，第四行4+5+6+7+8+9+10=49=72歸納：第n項的各數(shù)之和Sn=（2n1）2，=（）2=4答案：49如圖，第n個圖形是由正n+2邊形“擴展”而來（n=1，2，3，），則第n2個圖形中共有_個頂點解析：觀察規(guī)律：第一個圖形有32+3=（1+2）2+（1+2）;第二個圖形有（2+2）2+（2

17、+2）=42+4;第三個圖形有（3+2）2+（3+2）=52+5;第n2個圖形有（n+22）2+（n+22）=n2+n個頂點答案：n2+n10已知y=f（x）滿足f（n1）=f（n）lgan1（n2，nN）且f（1）=lga，是否存在實數(shù)、使f（n）=（n2+n1）lga對任何nN *都成立，證明你的結(jié)論解：f（n）=f（n1）+lgan1，令n=2，則f（2）=f（1）+f（a）=lga+lga=0又f（1）=lga，f（n）=（n2n1）lga證明：（1）當(dāng)n=1時，顯然成立（2）假設(shè)n=k時成立，即f（k）=（k2k1）lga，則n=k+1時，f（k+1）=f（k）+lgak=f（k）+

18、klga=（k2k1+k）lga=（k+1）2（k+1）1lga當(dāng)n=k+1時，等式成立綜合（1）（2）可知，存在實數(shù)、且=，=，使f（n）=（n2+n1）lga對任意nN*都成立11已知數(shù)列n是等差數(shù)列，11，1210100（1）求數(shù)列n的通項公式n；（2）設(shè)數(shù)列an的通項anlg（1），記Sn為an的前n項和，試比較Sn與lgn1的大小，并證明你的結(jié)論解：（1）容易得n2n1（2）由n2n1，知Snlg（11）1g（1）lg（）lg（）（）··（）又1gbn1g，因此要比較Sn與1gbn的大小，可先比較（1）（）··（）與的大小取n=1，2，3可以發(fā)現(xiàn)：前者大于后者，由此推測（1+1）（1+）· · （） 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上面猜想：當(dāng)n=1時，不等式成立假設(shè)n=k時，不等式成立，即（11）（1）··（）那么n=k+1時，（）（）··（）（）（）又2（）2，=當(dāng)n=k+1時成立綜上所述，nN*時成立由函