第1章_優(yōu)化設計的基本概念

1、1 1 孫靖民孫靖民. .機械優(yōu)化設計機械優(yōu)化設計. . 北京：機械工業(yè)出版社，北京：機械工業(yè)出版社，200220022 2 陳立周陳立周. .機械優(yōu)化設計方法機械優(yōu)化設計方法. . 北京：冶金工業(yè)出版社，北京：冶金工業(yè)出版社，199719973 3 劉惟信劉惟信. .機械最優(yōu)化設計機械最優(yōu)化設計. . 北京：清華大學出版社，北京：清華大學出版社，199419941-1 1-1 緒論緒論1-2 1-2 優(yōu)化設計問題的示例優(yōu)化設計問題的示例1-3 1-3 優(yōu)化設計的數學模型優(yōu)化設計的數學模型 1-4 1-4 優(yōu)化問題的幾何解釋和基本解法優(yōu)化問題的幾何解釋和基本解法 優(yōu)化是萬物演化的自然選擇和必然

2、趨勢優(yōu)化是萬物演化的自然選擇和必然趨勢。優(yōu)化作為一種觀念和意向，。優(yōu)化作為一種觀念和意向，人類從很早開始就一直在自覺與不自覺地追求與探索。而優(yōu)化作為一門人類從很早開始就一直在自覺與不自覺地追求與探索。而優(yōu)化作為一門學科與技術，則是一切科學與技術所追求的永恒主題，旨在從處理各種學科與技術，則是一切科學與技術所追求的永恒主題，旨在從處理各種事物的一切可能的方案中，尋求最優(yōu)的方案。事物的一切可能的方案中，尋求最優(yōu)的方案。優(yōu)化的原理與方法，在科優(yōu)化的原理與方法，在科學的、工程的和社會的實際問題中的應用，便是優(yōu)化設計學的、工程的和社會的實際問題中的應用，便是優(yōu)化設計。 優(yōu)化設計是在現代計算機廣泛應用的基

3、礎上發(fā)展起來的一項新技術。優(yōu)化設計是在現代計算機廣泛應用的基礎上發(fā)展起來的一項新技術。是根據最優(yōu)化原理和方法，以人機配合方式或是根據最優(yōu)化原理和方法，以人機配合方式或“自動探索自動探索”方式，在計方式，在計算機上進行的半自動或自動設計，以選出在現有工程條件下的最佳設計算機上進行的半自動或自動設計，以選出在現有工程條件下的最佳設計方案的一種現代設計方法。方案的一種現代設計方法。 優(yōu)化設計反映出人們對于設計規(guī)律這一客觀世界認識的深化。優(yōu)化設計反映出人們對于設計規(guī)律這一客觀世界認識的深化。1-1 1-1 緒論緒論例如，古代人類在生產和生活活動中經過無數次摸索認識到，在使用同樣數量和質量材料的條件下，

4、圓截面的容器比其他任何截面的容器能夠盛放的谷物都要多，而且容器的強度也最大。 （1 1）來源：優(yōu)化一語來自英文）來源：優(yōu)化一語來自英文OptimizationOptimization，其本意是尋優(yōu)的其本意是尋優(yōu)的過程；過程； （2 2）優(yōu)化過程：是尋找約束空間下給定函數取極大值（以）優(yōu)化過程：是尋找約束空間下給定函數取極大值（以maxmax表表示示) )或極小或極小( (以以minmin表示表示) )的過程。優(yōu)化方法也稱數學規(guī)劃，是用科學方的過程。優(yōu)化方法也稱數學規(guī)劃，是用科學方法和手段進行決策及確定最優(yōu)解的數學；法和手段進行決策及確定最優(yōu)解的數學； （3 3）優(yōu)化設計：根據給定的設計要求和現

5、有的技術條件，應用）優(yōu)化設計：根據給定的設計要求和現有的技術條件，應用專業(yè)理論和優(yōu)化方法，在電子計算機上從滿足給定的設計要求的許多專業(yè)理論和優(yōu)化方法，在電子計算機上從滿足給定的設計要求的許多可行方案中，按照給定的目標自動地選出最優(yōu)的設計方案?？尚蟹桨钢?，按照給定的目標自動地選出最優(yōu)的設計方案。 機械優(yōu)化設計機械優(yōu)化設計 就是把機械設計與優(yōu)化設計理論及方法相結合，借助就是把機械設計與優(yōu)化設計理論及方法相結合，借助電子計算機，自動尋找實現預期目標的最優(yōu)設計方案和最佳設計參數。電子計算機，自動尋找實現預期目標的最優(yōu)設計方案和最佳設計參數。 優(yōu)化設計流程優(yōu)化設計流程 常規(guī)設計流程常規(guī)設計流程 歷史上最

6、早記載下來的最優(yōu)化問題可追溯到古希臘的歐幾里得歷史上最早記載下來的最優(yōu)化問題可追溯到古希臘的歐幾里得（EuclidEuclid，公元前公元前300300年左右），他指出：在周長相同的一切矩形中，年左右），他指出：在周長相同的一切矩形中，以正方形的面積為最大。十七、十八世紀以正方形的面積為最大。十七、十八世紀微積分微積分的建立給出了求函數極的建立給出了求函數極值的一些準則，對最優(yōu)化的研究提供了某些理論基礎。然而，在以后的值的一些準則，對最優(yōu)化的研究提供了某些理論基礎。然而，在以后的兩個世紀中，最優(yōu)化技術的進展緩慢，主要考慮了有約束條件的最優(yōu)化兩個世紀中，最優(yōu)化技術的進展緩慢，主要考慮了有約束條件

7、的最優(yōu)化問題，發(fā)展了問題，發(fā)展了變分法變分法。 直到本世紀直到本世紀4040年代初，由于軍事上的需要產生了年代初，由于軍事上的需要產生了運籌學運籌學，并使優(yōu)化，并使優(yōu)化技術首先應用于解決戰(zhàn)爭中的實際問題，例如轟炸機最佳俯沖軌跡的設技術首先應用于解決戰(zhàn)爭中的實際問題，例如轟炸機最佳俯沖軌跡的設計等。計等。 50 50年代末年代末數學規(guī)劃方法數學規(guī)劃方法被首次用于結構最優(yōu)化，并成為優(yōu)化設計中被首次用于結構最優(yōu)化，并成為優(yōu)化設計中求優(yōu)方法的理論基礎。數學規(guī)劃方法是在第二次世界大戰(zhàn)期間發(fā)展起來求優(yōu)方法的理論基礎。數學規(guī)劃方法是在第二次世界大戰(zhàn)期間發(fā)展起來的一個新的數學分支，線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃是其主要

8、內容。的一個新的數學分支，線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃是其主要內容。 近十幾年來，最優(yōu)化設計方法已陸續(xù)用到建筑結構、化工、冶金、近十幾年來，最優(yōu)化設計方法已陸續(xù)用到建筑結構、化工、冶金、鐵路、航天航空、造船、機床、汽車、自動控制系統(tǒng)、電力系統(tǒng)以及鐵路、航天航空、造船、機床、汽車、自動控制系統(tǒng)、電力系統(tǒng)以及電機、電器等工程設計領域，并取得了顯著效果。其中在機械設計方電機、電器等工程設計領域，并取得了顯著效果。其中在機械設計方面的應用雖尚處于早期階段，但也已經取得了豐碩的成果。一般說來，面的應用雖尚處于早期階段，但也已經取得了豐碩的成果。一般說來，對于工程設計問題，所涉及的因素愈多，問題愈復雜，最優(yōu)化設計

9、結對于工程設計問題，所涉及的因素愈多，問題愈復雜，最優(yōu)化設計結果所取得的效益就愈大。果所取得的效益就愈大。 最優(yōu)化設計是在數學規(guī)劃方法的基礎上發(fā)展起來的，是最優(yōu)化設計是在數學規(guī)劃方法的基礎上發(fā)展起來的，是6 6O O年代初電年代初電子計算機引入結構設計領域后逐步形成的一種有效的設計方法。利用這子計算機引入結構設計領域后逐步形成的一種有效的設計方法。利用這種方法，不僅使設計周期大大縮短，計算精度顯著提高，而且可以解決種方法，不僅使設計周期大大縮短，計算精度顯著提高，而且可以解決傳統(tǒng)設計方法所不能解決的比較復雜的最優(yōu)化設計問題。大型電子計算傳統(tǒng)設計方法所不能解決的比較復雜的最優(yōu)化設計問題。大型電子

10、計算機的出現，使最優(yōu)化方法及其理論蓬勃發(fā)展，成為應用數學中的一個重機的出現，使最優(yōu)化方法及其理論蓬勃發(fā)展，成為應用數學中的一個重要分支，并在許多科學技術領域中得到應用。要分支，并在許多科學技術領域中得到應用。l第一階段第一階段人類智能優(yōu)化人類智能優(yōu)化：與人類史同步，直接憑借人類的直覺：與人類史同步，直接憑借人類的直覺或邏輯思維，如黃金分割法、窮舉法和瞎子爬山法等?；蜻壿嬎季S，如黃金分割法、窮舉法和瞎子爬山法等。l第二階段第二階段數學規(guī)劃方法優(yōu)化數學規(guī)劃方法優(yōu)化：從三百多年前牛頓發(fā)明微積分算起，：從三百多年前牛頓發(fā)明微積分算起，電子計算機的出現推動數學規(guī)劃方法在近五十年來得到迅速發(fā)展。電子計算機

11、的出現推動數學規(guī)劃方法在近五十年來得到迅速發(fā)展。l第三階段第三階段工程優(yōu)化工程優(yōu)化：近二十余年來，計算機技術的發(fā)展給解決復：近二十余年來，計算機技術的發(fā)展給解決復雜工程優(yōu)化問題提供了新的可能，非數學領域專家開發(fā)了一些工程雜工程優(yōu)化問題提供了新的可能，非數學領域專家開發(fā)了一些工程優(yōu)化方法，能解決不少傳統(tǒng)數學規(guī)劃方法不能勝任的工程優(yōu)化問題。優(yōu)化方法，能解決不少傳統(tǒng)數學規(guī)劃方法不能勝任的工程優(yōu)化問題。在處理多目標工程優(yōu)化問題中，基于經驗和直覺的方法得到了更多在處理多目標工程優(yōu)化問題中，基于經驗和直覺的方法得到了更多的應用。優(yōu)化過程和方法學研究，尤其是建模策略研究引起重視，的應用。優(yōu)化過程和方法學研究

12、，尤其是建模策略研究引起重視，開辟了提高工程優(yōu)化效率的新的途徑。開辟了提高工程優(yōu)化效率的新的途徑。l第四階段第四階段現代優(yōu)化方法：現代優(yōu)化方法：如遺傳算法、如遺傳算法、 模擬退火算法、模擬退火算法、 蟻群算蟻群算法、法、 神經網絡算法等，并采用專家系統(tǒng)技術實現尋優(yōu)策略的自動神經網絡算法等，并采用專家系統(tǒng)技術實現尋優(yōu)策略的自動選擇和優(yōu)化過程的自動控制，智能尋優(yōu)策略迅速發(fā)展。選擇和優(yōu)化過程的自動控制，智能尋優(yōu)策略迅速發(fā)展。機械優(yōu)化設計應用實例機械優(yōu)化設計應用實例 美國波音飛機公司對大型機翼用美國波音飛機公司對大型機翼用138138個設計變量進行結構優(yōu)化，使個設計變量進行結構優(yōu)化，使重量減少了三分之

13、一；大型運輸艦用重量減少了三分之一；大型運輸艦用1010個變量進行優(yōu)化設計，使成本個變量進行優(yōu)化設計，使成本降低約降低約10%10%。 實踐證明，最優(yōu)化設計是保證產品具有優(yōu)良的性能，減輕自重或體實踐證明，最優(yōu)化設計是保證產品具有優(yōu)良的性能，減輕自重或體積，降低產品成本的一種有效設計方法。同時也可使設計者從大量繁瑣積，降低產品成本的一種有效設計方法。同時也可使設計者從大量繁瑣和重復的計算工作中解脫出來，使之有更多的精力從事創(chuàng)造性的設計，和重復的計算工作中解脫出來，使之有更多的精力從事創(chuàng)造性的設計，并大大提高設計效率。并大大提高設計效率。 基礎：基礎：（1 1）最優(yōu)化數學理論最優(yōu)化數學理論 （2

14、2）現代計算技術）現代計算技術 內容：（內容：（1 1）將工程實際問題數學化（建立優(yōu)化設計數學模型）；將工程實際問題數學化（建立優(yōu)化設計數學模型）； （2 2）用最優(yōu)化計算方法在計算機上求解數學模型。）用最優(yōu)化計算方法在計算機上求解數學模型。 主要目的和任務： (1) (1) 了解和基本掌握機械優(yōu)化設計的基本知識；了解和基本掌握機械優(yōu)化設計的基本知識； (2) (2) 擴大視野，并初步具有應用機械優(yōu)化設計的基本理論和擴大視野，并初步具有應用機械優(yōu)化設計的基本理論和基本方法解決簡單工程實際問題的素質?；痉椒ń鉀Q簡單工程實際問題的素質。3. 本課程的任務本課程的任務 優(yōu)化設計就是借助最優(yōu)化數值計

15、算方法與計算機技術，優(yōu)化設計就是借助最優(yōu)化數值計算方法與計算機技術，求取工程問題的最優(yōu)設計方案。求取工程問題的最優(yōu)設計方案。 優(yōu)化設計包括：優(yōu)化設計包括： （1 1）必須將實際問題加以數學描述，形成數學模型；）必須將實際問題加以數學描述，形成數學模型； （2 2）選用適當的一種最優(yōu)化數值方法和計算程序運算）選用適當的一種最優(yōu)化數值方法和計算程序運算求解。求解。 已知：制造一體積為已知：制造一體積為100100m m3 3，長度不小于長度不小于5 5m m，不帶上不帶上蓋的箱盒，試確定箱盒的長蓋的箱盒，試確定箱盒的長x x1 1，寬寬x x2 2，高高x x3 3，使箱盒用料使箱盒用料最省。最省

16、。 分析：分析： （1 1）箱盒的表面積的表達式；）箱盒的表面積的表達式； （2 2）設計參數確定：長）設計參數確定：長x x1 1，寬寬x x2 2，高高x x3 3 ； （3 3）設計約束條件：）設計約束條件： （a a）體積要求；）體積要求； （b b）長度要求；）長度要求；x1x2x3123,x x x122313min2()Sx xx xx x123123500100 xxxx x x設計參數：設計參數：設計目標：設計目標：約束條件：約束條件： 某工廠生產某工廠生產A 和和B 兩種產品，兩種產品，A 產品單位價格為產品單位價格為PA 萬元，萬元， B 產品單位價格為產品單位價格為PB

17、 萬元。每生產一個單位萬元。每生產一個單位A 產品需消耗煤產品需消耗煤aC 噸，噸，電電aE 度，人工度，人工aL 個人日；每生產一個單位個人日；每生產一個單位B 產品需消耗煤產品需消耗煤bC 噸，噸，電電bE 度，人工度，人工bL 個人日?，F有可利用生產資源煤個人日。現有可利用生產資源煤C 噸，電噸，電E 度，度，勞動力勞動力L 個人日，欲找出其最優(yōu)分配方案，使產值最大。個人日，欲找出其最優(yōu)分配方案，使產值最大。 分析：分析： （1）產值的表達式；）產值的表達式； （2）設計參數確定：）設計參數確定： A 產品產品xA， B 產品產品xB ； （3）設計約束條件：）設計約束條件： （a）生產

18、資源煤約束；）生產資源煤約束； （b）生產資源電約束；）生產資源電約束； （c）生產資源勞動力約束；）生產資源勞動力約束；,ABxxmaxAABBPP xP xCACBEAEBLALBa xb xCa xb xEa xb xL設計參數：設計參數：設計目標：設計目標：約束條件：約束條件： 已知：傳動比已知：傳動比i, 轉速轉速n, 傳動功率傳動功率P，大小齒輪的材料，設計該，大小齒輪的材料，設計該齒輪副，使其重量最輕。齒輪副，使其重量最輕。 分析：分析： （1）圓柱齒輪的體積）圓柱齒輪的體積(v)與重量與重量(w)的表達；的表達； （2）設計參數確定：模數（）設計參數確定：模數（m），齒寬（），

19、齒寬（b），齒數（），齒數（z1）；）； （3）設計約束條件：）設計約束條件： （a）大齒輪滿足彎曲強度要求；）大齒輪滿足彎曲強度要求； （b）小齒輪滿足彎曲強度要求；）小齒輪滿足彎曲強度要求； （c）齒輪副滿足接觸疲勞強度要求；）齒輪副滿足接觸疲勞強度要求； （d）齒寬系數要求；）齒寬系數要求； （e）最小齒數要求。）最小齒數要求。1, ,m z b2211min()() 4Wb mzmiz1122111 0 0 01.20170FFFFHHbmzz設計參數：設計參數：設計目標：設計目標：約束條件：約束條件： 一個設計方案可以用一組基本參數的數值來表示，這些基本參一個設計方案可以用一組基本參

20、數的數值來表示，這些基本參數可以是構件尺寸等幾何量，也可以是質量等物理量，還可以是應數可以是構件尺寸等幾何量，也可以是質量等物理量，還可以是應力、變形等表示工作性能的導出量。力、變形等表示工作性能的導出量。 在設計過程中進行選擇并最終必須確定的各項獨立的基本參數，在設計過程中進行選擇并最終必須確定的各項獨立的基本參數，稱作設計變量，又叫做優(yōu)化參數。稱作設計變量，又叫做優(yōu)化參數。 優(yōu)化設計的數學模型是描述實際優(yōu)化問題的設計內容、變量關系、優(yōu)化設計的數學模型是描述實際優(yōu)化問題的設計內容、變量關系、有關設計條件和意圖的數學表達式，它反映了物理現象各主要因素的有關設計條件和意圖的數學表達式，它反映了物

21、理現象各主要因素的內在聯(lián)系，是進行優(yōu)化設計的基礎。內在聯(lián)系，是進行優(yōu)化設計的基礎。 設計變量的全體實際上是一組變量，可用一個列向量表示。設計設計變量的全體實際上是一組變量，可用一個列向量表示。設計變量的數目稱為優(yōu)化設計的維數，如變量的數目稱為優(yōu)化設計的維數，如n個設計變量，則稱為個設計變量，則稱為n維設計問維設計問題。題。 1212 ,Tnnxxx xxxx 由由n n個設計變量個設計變量 為坐標所組成的實空間稱作為坐標所組成的實空間稱作。一個。一個“設計設計”，可用設計空間中的一點表示。，可用設計空間中的一點表示。12,nxxx 設計變量的數目稱為優(yōu)化設計的維數，如設計變量的數目稱為優(yōu)化設計

22、的維數，如n n個設計變量，則稱為個設計變量，則稱為n n維設計問題。維設計問題。 按照產品設計變量的取值特點，按照產品設計變量的取值特點，設計變量設計變量可分為可分為連續(xù)變量連續(xù)變量（例如軸（例如軸徑、輪廓尺寸等）和徑、輪廓尺寸等）和離散變量離散變量（例如各種標準規(guī)格等）。（例如各種標準規(guī)格等）。 圖1-1 設計變量所組成的設計空間設計變量所組成的設計空間（a a）二維設計問題二維設計問題 （b b）三維設計問題三維設計問題 只有兩個設計變量的二維設計問題可用圖只有兩個設計變量的二維設計問題可用圖1-11-1（a a）所示的平面所示的平面直角坐標表示；有三個設計變量的三維設計問題可用圖直角坐

23、標表示；有三個設計變量的三維設計問題可用圖1-11-1（b b）所所表示的空間直角坐標表示。表示的空間直角坐標表示。 設計空間的維數表征設計的自由度，設計變量愈多，則設計的自由設計空間的維數表征設計的自由度，設計變量愈多，則設計的自由度愈大、可供選擇的方案愈多，設計愈靈活，但難度亦愈大、求解亦愈度愈大、可供選擇的方案愈多，設計愈靈活，但難度亦愈大、求解亦愈復雜。復雜。 小型設計問題：小型設計問題：一般含有一般含有210210個設計變量；個設計變量； 中型設計問題：中型設計問題：10501050個設計變量；個設計變量； 大型設計問題：大型設計問題：5050個以上的設計變量。個以上的設計變量。 目

24、前已能解決目前已能解決200200個設計變量的大型最優(yōu)化設計問題。個設計變量的大型最優(yōu)化設計問題。如何選定設計變量如何選定設計變量？ 任何一項產品，是眾多設計變量標志結構尺寸的綜合體。變量越多任何一項產品，是眾多設計變量標志結構尺寸的綜合體。變量越多，可以淋漓盡致地描述產品結構，但會增加建模的難度和造成優(yōu)化規(guī)模，可以淋漓盡致地描述產品結構，但會增加建模的難度和造成優(yōu)化規(guī)模過大。所以設計變量時應注意以下幾點：過大。所以設計變量時應注意以下幾點： （1 1）抓主要，舍次要。）抓主要，舍次要。 對產品性能和結構影響大的參數可取為設計變量，影響小的可先根對產品性能和結構影響大的參數可取為設計變量，影響

25、小的可先根據經驗取為試探性的常量，有的甚至可以不考慮。據經驗取為試探性的常量，有的甚至可以不考慮。（2 2）根據要解決設計問題的特殊性來選擇設計變量。）根據要解決設計問題的特殊性來選擇設計變量。 例如，圓柱螺旋拉壓彈簧的設計變量有例如，圓柱螺旋拉壓彈簧的設計變量有4 4個，即鋼絲直徑個，即鋼絲直徑d d，彈簧彈簧中徑中徑D D，工作圈數工作圈數n n和自由高度和自由高度H H。在設計中，將材料的許用剪切應力在設計中，將材料的許用剪切應力 和和剪切模量剪切模量等作為設計常量。在給定徑向空間內設計彈簧，則可把彈簧等作為設計常量。在給定徑向空間內設計彈簧，則可把彈簧中徑中徑D D作為設計常量。作為設

26、計常量。 設計空間是所有設計方案的集合，但這些設計方案有些是工程上設計空間是所有設計方案的集合，但這些設計方案有些是工程上所不能接受的。如一個設計滿足所有對它提出的要求，就稱為可行設所不能接受的。如一個設計滿足所有對它提出的要求，就稱為可行設計。計。 一個可行設計必須滿足某些設計限制條件，這些限制條件稱作約一個可行設計必須滿足某些設計限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡稱約束。束條件，簡稱約束。 約束又可按其數學表達形式分成等式約束和不等式約束兩種約束又可按其數學表達形式分成等式約束和不等式約束兩種類型：類型：(1)(1)等式約束等式約束(2)(2)不等式約束不等式約束( )0hx( )0g

27、x顯式約束顯式約束 隱式約束隱式約束 約束函數有的可以表示成顯式形式，即反映設計變量之間明顯的函約束函數有的可以表示成顯式形式，即反映設計變量之間明顯的函數關系，有的只能表示成隱式形式數關系，有的只能表示成隱式形式 , ,如例中的復雜結構的性能約束函數如例中的復雜結構的性能約束函數（變形、應力、頻率等），需要通過有限元等方法計算求得。（變形、應力、頻率等），需要通過有限元等方法計算求得。根據約束的性質可以把它們區(qū)分成根據約束的性質可以把它們區(qū)分成：性能約束性能約束針對性能要求而提出的限制條件稱作性能約束。例如，選針對性能要求而提出的限制條件稱作性能約束。例如，選擇某些結構必須滿足受力的強度、剛

28、度或穩(wěn)定性等要求擇某些結構必須滿足受力的強度、剛度或穩(wěn)定性等要求；邊界約束邊界約束只是對設計變量的取值范圍加以限制的約束稱作只是對設計變量的取值范圍加以限制的約束稱作邊界邊界約束。約束。例如，允許例如，允許機床主軸機床主軸選擇的尺寸范圍，對選擇的尺寸范圍，對軸段長度軸段長度的限定范圍就屬于的限定范圍就屬于邊邊界界約束。約束。圖圖1-2 設計空間中的約束面（或約束線）設計空間中的約束面（或約束線） ( (a)a)二變量設計空間中的約束線二變量設計空間中的約束線 ( (b) b) 三變量設計空間中的約束面三變量設計空間中的約束面 如圖如圖1-41-4上畫出了滿足兩項約束條件上畫出了滿足兩項約束條件

29、g g1 1(X)=x(X)=x1 12 2x x2 22 216 O16 O和和g g2 2(X)(X)2X2X2 200的二維設計問題的可行域的二維設計問題的可行域D D，它位于它位于X X2 2=2=2的上面和圓的上面和圓 x x1 12 2x x2 22 2=16=16的圓弧的圓弧ABCABC下面并包括線段下面并包括線段ACAC和圓弧和圓弧ABCABC在內。在內。圖圖1-3 約束條件規(guī)定的可行域約束條件規(guī)定的可行域D 在設計空間中，滿足在設計空間中，滿足所有約束條件的所有約束條件的所構成的空間所構成的空間 。 在優(yōu)化過程中，通過設計變量的不斷向在優(yōu)化過程中，通過設計變量的不斷向F F(

30、 (X X) )值改善的方向自動調值改善的方向自動調整，最后求得整，最后求得F F( (X X) )值最好或最滿意的值最好或最滿意的X X值。在構造目標函數時，應注值。在構造目標函數時，應注意目標函數必須包含全部設計變量，所有的設計變量必須包含在約束意目標函數必須包含全部設計變量，所有的設計變量必須包含在約束函數中。在機械設計中，可作為參考目標函數的有：函數中。在機械設計中，可作為參考目標函數的有： 體積最小、重量最輕、效率最高、承載能力最大、結構運動精度體積最小、重量最輕、效率最高、承載能力最大、結構運動精度最高、振幅或噪聲最小、成本最低、耗能最小、動負荷最小等等。最高、振幅或噪聲最小、成本

31、最低、耗能最小、動負荷最小等等。 12( )()nF xF xxx， ， 為了對設計進行定量評價，必須構造包含設計變量的評價函數，為了對設計進行定量評價，必須構造包含設計變量的評價函數，它是優(yōu)化的目標，稱為目標函數，以它是優(yōu)化的目標，稱為目標函數，以F(X)F(X)表示。表示。 在最優(yōu)化設計問題中，可以只有一個目標函數，稱為單目標函數。在最優(yōu)化設計問題中，可以只有一個目標函數，稱為單目標函數。當在同一設計中要提出多個目標函數時，這種問題稱為多目標函數的最當在同一設計中要提出多個目標函數時，這種問題稱為多目標函數的最優(yōu)化問題。在一般的機械最優(yōu)化設計中，多目標函數的情況較多。目標優(yōu)化問題。在一般的

32、機械最優(yōu)化設計中，多目標函數的情況較多。目標函數愈多，設計的綜合效果愈好，但問題的求解亦愈復雜。函數愈多，設計的綜合效果愈好，但問題的求解亦愈復雜。 在實際工程設計問題中，常常會遇到在多目標函數的某些目標之在實際工程設計問題中，常常會遇到在多目標函數的某些目標之間存在矛盾的情況，這就要求設計者正確處理各目標函數之間的關系。間存在矛盾的情況，這就要求設計者正確處理各目標函數之間的關系。 ()Fcx 目標函數是目標函數是n維變量的函數，它的函數圖像只能在維變量的函數，它的函數圖像只能在n+1維空間中描維空間中描述出來。為了在述出來。為了在n維設計空間中反映目標函數的變化情況，常采用目標維設計空間中

33、反映目標函數的變化情況，常采用目標函數等值面的方法。函數等值面的方法。 目標函數的等值面（線）數學表達式為：目標函數的等值面（線）數學表達式為： c為一系列常數，代表一族為一系列常數，代表一族n維超曲面。如在二維設計空間中，維超曲面。如在二維設計空間中，F(x1,x2)=c 代表代表x-x設計平面上的一族曲線。設計平面上的一族曲線。 對于具有相等目標函數值的設計點構成的平面曲線或曲面稱為對于具有相等目標函數值的設計點構成的平面曲線或曲面稱為等等值線值線或或等值面等值面。圖圖1-4 等值線等值線 圖圖1-51-5表示目標函數表示目標函數f f（X X）與兩個設計變量與兩個設計變量x x1 1，x

34、 x2 2階所構成的關系階所構成的關系曲面上的等值線，它是由許多具有相等目標函數值的設計點所構成的平曲面上的等值線，它是由許多具有相等目標函數值的設計點所構成的平面曲線。當給目標函數以不同值時，可得到一系列的等值線，它們構成面曲線。當給目標函數以不同值時，可得到一系列的等值線，它們構成目標函數的等值線族。在極值處目標函數的等值線聚成一點，并位于等目標函數的等值線族。在極值處目標函數的等值線聚成一點，并位于等值線族的中心。當目標函數值的變化范圍一定時，等值線愈稀疏說明目值線族的中心。當目標函數值的變化范圍一定時，等值線愈稀疏說明目標函數值的變化愈平緩。利用等值線的概念可用幾何圖象形象地表現出標函

35、數值的變化愈平緩。利用等值線的概念可用幾何圖象形象地表現出目標函數的變化規(guī)律。目標函數的變化規(guī)律。 從等值線上，可以清除地看到函數值的變化情況。其中從等值線上，可以清除地看到函數值的變化情況。其中F F=40=40的的等值線就是使等值線就是使F(xF(x1 1,x,x2 2)=40)=40的各點的各點 x x1 1,x,x2 2 T T所組成的連線。所組成的連線。 如圖函數如圖函數 的等值線圖。的等值線圖。2212121212(,)60104F xxxxxxx x圖圖1-5 等值線等值線滿足約束條件滿足約束條件 ：12,TnXx xx()minF X()0(1,2, )khXkl()0(1,2

36、,)jgXjm12min()(),. .()01,2,()01,2,nnjkF XF xxxXRst gXjmh Xkl， ， ，求設計變量向量求設計變量向量使目標函數使目標函數 對于復雜的問題，要建立能反映客觀工程實際的、完善的數學模對于復雜的問題，要建立能反映客觀工程實際的、完善的數學模型往往會遇到很多困難，有時甚至比求解更為復雜。這時要抓住關鍵型往往會遇到很多困難，有時甚至比求解更為復雜。這時要抓住關鍵因素，適當忽略不重要的成分，使問題合理簡化，以易于列出數學模因素，適當忽略不重要的成分，使問題合理簡化，以易于列出數學模型，這樣不僅可節(jié)省時間，有時也會改善優(yōu)化結果。型，這樣不僅可節(jié)省時間

37、，有時也會改善優(yōu)化結果。 最優(yōu)化設計的目標函數通常為求目標函數的最小值。若目標函最優(yōu)化設計的目標函數通常為求目標函數的最小值。若目標函數的最優(yōu)點為可行域中的最大值時，則可看成是求數的最優(yōu)點為可行域中的最大值時，則可看成是求- -F F（X X）的的最小值，因為最小值，因為minmin-F-F（X X）與與maxFmaxF（X X）是等價的。當然，也可是等價的。當然，也可看成是求看成是求1 1F F（X X）的極小值。的極小值。1）根據設計要求，應用專業(yè)范圍內的現行理論和經驗等，對優(yōu)化對）根據設計要求，應用專業(yè)范圍內的現行理論和經驗等，對優(yōu)化對象進行分析。必要時，需要對傳統(tǒng)設計中的公式進行改進，

38、并盡可以象進行分析。必要時，需要對傳統(tǒng)設計中的公式進行改進，并盡可以反映該專業(yè)范圍內的現代技術進步的成果。反映該專業(yè)范圍內的現代技術進步的成果。2）對結構諸參數進行分析，以確定設計的原始參數、設計常數和設）對結構諸參數進行分析，以確定設計的原始參數、設計常數和設計變量。計變量。3）根據設計要求，確定并構造目標函數和相應的約束條件，有時要）根據設計要求，確定并構造目標函數和相應的約束條件，有時要構造多目標函數。構造多目標函數。4）必要時對數學模型進行規(guī)范化，以消除諸組成項間由于量綱不同）必要時對數學模型進行規(guī)范化，以消除諸組成項間由于量綱不同等原因導致的數量懸殊的影響。等原因導致的數量懸殊的影響

39、。由兩根空心圓桿組成對稱的兩桿桁架，其頂點承受負載為由兩根空心圓桿組成對稱的兩桿桁架，其頂點承受負載為2p，兩支座之間的水平距離為兩支座之間的水平距離為2L，圓桿的壁厚為圓桿的壁厚為B，桿的比重為桿的比重為，彈彈性模量為性模量為E，屈服強度為屈服強度為 。求在桁架不被破壞的情況下使桁架求在桁架不被破壞的情況下使桁架重量最輕的桁架高度重量最輕的桁架高度h及圓桿平均直徑及圓桿平均直徑d。p21p2pp2hL2 受力分析圖圓桿截面圖BhL2桁桿示意圖d解：桁桿的截面積為解：桁桿的截面積為 ：dBS222hLdBWhhLppp221cosdhBhLsp2211dhBhLp22222228hLBdE08

40、2222222dhBhLphLBdE 由此得穩(wěn)定約束：由此得穩(wěn)定約束：圓桿中應力小于等于壓桿穩(wěn)定的臨界應力。由材料力學知：壓桿穩(wěn)圓桿中應力小于等于壓桿穩(wěn)定的臨界應力。由材料力學知：壓桿穩(wěn)定的臨界應力為定的臨界應力為此應力要求小于材料的屈服極限，即：此應力要求小于材料的屈服極限，即： 于是桿截面的應力為：于是桿截面的應力為： 負載負載2p在每個桿上的分力為：在每個桿上的分力為： 桁桿的總重量為：桁桿的總重量為： 另外還要考慮到設計變量另外還要考慮到設計變量d和和h有界。有界。 從而得到兩桿桁架最優(yōu)設計問題的數學模型：從而得到兩桿桁架最優(yōu)設計問題的數學模型：22222222222maxminmax

41、minmin2. .008dB Lhp LhstdhBE dBp LhdhBLhdddhhh 以最低成本確定滿足動物所需營養(yǎng)的最優(yōu)混合飼料。設每天需要混以最低成本確定滿足動物所需營養(yǎng)的最優(yōu)混合飼料。設每天需要混合飼料的批量為合飼料的批量為100磅，這份飼料必須含：至少磅，這份飼料必須含：至少0.8%而不超過而不超過1.2%的的鈣鈣;至少至少22%的蛋白質的蛋白質;至多至多5%的粗纖維。假定主要配料包括石灰石、的粗纖維。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。這些配料的主要營養(yǎng)成分為：谷物、大豆粉。這些配料的主要營養(yǎng)成分為：1231231231232323123min0.01640.04630.1

42、250. .1000.3800.0010.0020.012 1000.3800.0010.0020.008 1000.090.500.22 1000.020.080.05 100000Zxxxstxxxxxxxxxxxxxxxx解解:根據前面介紹的建模要素得出此問題的數學模型如下根據前面介紹的建模要素得出此問題的數學模型如下:設設 是生產是生產100磅混合飼料所須的石灰石、谷物、大豆磅混合飼料所須的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。粉的量（磅）。321xxx對于最優(yōu)化問題一般可作如下分類：對于最優(yōu)化問題一般可作如下分類：還有其它的一些劃分方法：還有其它的一些劃分方法： 如按設計變量的性質分：連續(xù)

43、變量、離散變量、整數變量規(guī)劃問題；如按設計變量的性質分：連續(xù)變量、離散變量、整數變量規(guī)劃問題； 二次規(guī)劃、幾何規(guī)劃、隨機規(guī)劃等。二次規(guī)劃、幾何規(guī)劃、隨機規(guī)劃等。約束無約束動態(tài)問題非線性規(guī)劃線性規(guī)劃約束問題維問題一維問題非線性問題線性問題無約束問題靜態(tài)問題最優(yōu)化問題n2212111222123142min( )44 s.t.( )20( )10( )0( )0Fxxxgxxgxxgxgx xxxxx例例1：如下二維非線性規(guī)劃問題：如下二維非線性規(guī)劃問題 通過二維優(yōu)化問題的幾何求解來直觀地描述優(yōu)化設計的基本思通過二維優(yōu)化問題的幾何求解來直觀地描述優(yōu)化設計的基本思想。想。22121112221231

44、42min( )44 s.t.( )20( )10( )0( )0Fxxxgxxgxxgxgx xxxxx 目標函數等值線是以點（目標函數等值線是以點（2，0）為圓心的一組同心圓。）為圓心的一組同心圓。 如不考慮約束，本例的無約束最優(yōu)解是：如不考慮約束，本例的無約束最優(yōu)解是：*(2,0)x，*()0Fx約束方程所圍成的可行域是約束方程所圍成的可行域是D。01234-1f(x)=3.821x1x2DAx*=0.58, 1.34Tg1(x)=0g3(x)=0g2(x)=0g4(x)=0221212min21. .50 s txxxxl由圖易見約束直線與等值線的切點是最優(yōu)點，利用解析幾何的方法得由圖

45、易見約束直線與等值線的切點是最優(yōu)點，利用解析幾何的方法得該切點為該切點為 ， 對應的最優(yōu)值為對應的最優(yōu)值為 l (見圖）見圖）*3,2TX2fXx2x12f 1f Ol解：先畫出目標函數等值線，再畫出約束曲線，本處約束曲線是一條解：先畫出目標函數等值線，再畫出約束曲線，本處約束曲線是一條直線，這條直線就是容許集。而最優(yōu)點就是容許集上使等值線具有最小直線，這條直線就是容許集。而最優(yōu)點就是容許集上使等值線具有最小值的點。值的點。122122122122m in21.5050,0 xxs txxxxxxxl解：先畫出等式約束曲線解：先畫出等式約束曲線 的圖形。的圖形。 這是一條拋這是一條拋物線，如圖

46、物線，如圖052221xxxl再畫出不等式約束區(qū)域，如圖（選定哪側區(qū)域）再畫出不等式約束區(qū)域，如圖（選定哪側區(qū)域）l最后畫出目標函數等值線，特別注意可行集邊界點，最后畫出目標函數等值線，特別注意可行集邊界點，x1x2123456135ABCD 以及等值線與可行集的切點，易見可行域為以及等值線與可行集的切點，易見可行域為曲線段曲線段ABCD。當動點沿拋物曲線段當動點沿拋物曲線段ABCD由由A點出發(fā)時，點出發(fā)時，AB段目標函數值下降。過點段目標函數值下降。過點B后，后，在在BC段目標函數值上升。過段目標函數值上升。過C點后，在點后，在CD段段目標函數值再次下降。目標函數值再次下降。D點是使目標函數

47、值最點是使目標函數值最小的可行點，其坐標可通過解方程組：小的可行點，其坐標可通過解方程組：2122125050 xxxxx( 4 1 )TX，4fXl得出：得出：x1x2123456135ABCDl 由以上三個例子可見，對二維最優(yōu)化問題。我們總可由以上三個例子可見，對二維最優(yōu)化問題。我們總可以用圖解法求解，而對三維或高維問題，已不便在平面以用圖解法求解，而對三維或高維問題，已不便在平面上作圖，此法失效。上作圖，此法失效。l 在三維和三維以上的空間中，使目標函數取同一常數在三維和三維以上的空間中，使目標函數取同一常數值的是值的是 X| f(X)=C, C是常數是常數稱為目標函數的等值面。稱為目標

48、函數的等值面。l等值面具有以下性質：等值面具有以下性質：l（1）不同值的等值面之間不相交，因為目標函數是單值）不同值的等值面之間不相交，因為目標函數是單值函數；函數；l（2）等值面稠的地方，目標函數值變化得較快，而稀疏）等值面稠的地方，目標函數值變化得較快，而稀疏的地方變化得比較慢；的地方變化得比較慢；l（3）一般地，在極值點附近，等值面（線）近似地呈現）一般地，在極值點附近，等值面（線）近似地呈現為同心橢球面族（橢圓族）。為同心橢球面族（橢圓族）。求解優(yōu)化問題的基本解法有：求解優(yōu)化問題的基本解法有： 即利用數學分析即利用數學分析( (微分、變分等）的方法，根據函數微分、變分等）的方法，根據函

49、數（泛函）極值的必要條件和充分條件求出其最優(yōu)解析解的（泛函）極值的必要條件和充分條件求出其最優(yōu)解析解的求解方求解方法法 。在目標函數比較簡單時，求解還可以。在目標函數比較簡單時，求解還可以。 局限性：局限性：工程優(yōu)化問題的目標函數和約束條件往往比較復雜，有工程優(yōu)化問題的目標函數和約束條件往往比較復雜，有時甚至還無法用數學方程描述，在這種情況下應用數學分析方法就時甚至還無法用數學方程描述，在這種情況下應用數學分析方法就會帶來麻煩。會帶來麻煩。 最優(yōu)化方法是與近代電子計算機的發(fā)展緊密相聯(lián)系的，數值計算法最優(yōu)化方法是與近代電子計算機的發(fā)展緊密相聯(lián)系的，數值計算法比解析法更能適應電子計算機的工作特點，因為數值計算的迭代方法具比解析法更能適應電子計算機的工作特點，因為數值計算的迭代方法具有以下特點：有以下特點： 1 1）是數值計算而不是數學分析方法；）是數值計算而不是數學分析方法； 2 2）具有簡單的邏輯結構并能進行反復的同樣的算術計算；）具有簡單的邏輯結構并能進行反復的同樣的算術計算； 3 3）最后得出的是逼近精確解的近似解。）最