函數(shù)f(x)的極限

1、復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)1、 函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的極限的極限 當(dāng)當(dāng) x 時(shí)，時(shí)，2 、 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x)的極限的極限0 xx )(lim0 xfxxaxfxx)(lim0axfx)(limaxfxx)(lim0axfx)(lim)(limxfx問題問題1：函數(shù)：函數(shù) 你能否直接看出函數(shù)值的變化趨勢？你能否直接看出函數(shù)值的變化趨勢？23221( ),121xxf xxxx 當(dāng)時(shí)問題問題2：如果不能看出函數(shù)值的變化趨勢，：如果不能看出函數(shù)值的變化趨勢，那么怎樣才能把問題轉(zhuǎn)化為已知能求的函數(shù)那么怎樣才能把問題轉(zhuǎn)化為已知能求的函數(shù)極限？轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)方法與依據(jù)是什么？極限？轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)方法與依據(jù)是什么？

2、 為了解決這些問題，我們有必要給出為了解決這些問題，我們有必要給出函數(shù)極限的運(yùn)算法則：（證明從略）函數(shù)極限的運(yùn)算法則：（證明從略）函數(shù)極限的四則運(yùn)算：函數(shù)極限的四則運(yùn)算：如果如果 那么那么 bxgxx)(lim0,)(lim0axfxxbaxgxfxx)()(lim0)0()()(lim0bbaxgxfxx注：注：1、上述法則可推廣到、上述法則可推廣到有限個(gè)有限個(gè)函數(shù)的加，減，乘，除。函數(shù)的加，減，乘，除。aCxfCxx)(lim0)()(lim)(lim00Nnxfxfnxxnxx2、上述法則對、上述法則對 的情況仍然成立。的情況仍然成立。x baxgxflimxx 0注意：使用極限注意：使

3、用極限運(yùn)算法則的前提運(yùn)算法則的前提是各部分極限存是各部分極限存在！在！00)1lim()1(lim1lim nnxnxnxxxx211lim1212lim1112321 xx、xxxx、：xx求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的極極限限。例例121lim3221 xxx、x416lim24 xx、x)4tan(2tanlim54xx、x 求某些函數(shù)在某一點(diǎn)求某些函數(shù)在某一點(diǎn)x=x0處的極限值時(shí)，只處的極限值時(shí)，只要把要把x=x0代入函數(shù)的解代入函數(shù)的解析式中，就得到極限析式中，就得到極限值值.這種方法叫這種方法叫代入法代入法.當(dāng)用代入法時(shí)，分子、當(dāng)用代入法時(shí)，分子、分母都為分母都為0，可對分子、，可對分子

4、、分母因式分解，約去公分母因式分解，約去公因式來求極限因式來求極限.就是先要就是先要對原來的函數(shù)進(jìn)行恒等對原來的函數(shù)進(jìn)行恒等變形變形.稱稱因式分解法因式分解法.1342lim. 2232 xxxxx132lim. 122 xxxx)11(lim. 422 xxxx100)11(lim. 5xx 求下列函數(shù)的極限。求下列函數(shù)的極限。例例：2極極限限一一般般通通過過通通分分化化簡簡再再求求型型”極極限限的的求求法法：“ 利利用用同同除除變變量量的的最最高高次次冪冪分分母母型型”極極限限的的求求法法：分分子子“, 求求解解。結(jié)結(jié)論論01lim nxx 1212.3223limxxxxx. 6 xli

5、m.6xxxx32535 數(shù)列極限的四則運(yùn)算：數(shù)列極限的四則運(yùn)算：如果如果 那么那么 ,limaannbbnnlimbabannn)(limbabannn)(lim)0(limbbabannn注：注：上述法則可推廣到上述法則可推廣到有限個(gè)有限個(gè)數(shù)列的加，減，乘，除。數(shù)列的加，減，乘，除。aCaCaCnnnnlimlim特別地，如果特別地，如果C是常數(shù)，那么是常數(shù)，那么,1,31,21, 1n幾個(gè)基本數(shù)列的極限：幾個(gè)基本數(shù)列的極限： 觀察觀察歸納歸納0lim,01lim nknnn) 1(,32qqqqqn nlim) 1( 01)q ( 1) 11(qqqqn或不存在 ,cccc( (c c為

6、常數(shù)為常數(shù)) ) nlimc=c c=c ( (c c為常數(shù)為常數(shù)) ) （k是常數(shù)，是常數(shù)，是正整數(shù)）是正整數(shù)）例例1 、 求下列極限求下列極限)21(lim (1)2nnn232lim (3)22nnnnnn23lim (2)n243n23lim (4)nnnn一般地，當(dāng)分子分母是關(guān)于一般地，當(dāng)分子分母是關(guān)于n的的多項(xiàng)式時(shí)，的的多項(xiàng)式時(shí)，若分子分母的次數(shù)相同，這個(gè)分式在若分子分母的次數(shù)相同，這個(gè)分式在 的極限是的極限是分子與分母中最高次項(xiàng)的系數(shù)之分子與分母中最高次項(xiàng)的系數(shù)之比比;若分母的次數(shù)高于分子的次數(shù)，若分母的次數(shù)高于分子的次數(shù)，這個(gè)這個(gè)分式在分式在 的極限是的極限是0nn變式練習(xí)：變

7、式練習(xí)： （1）已知）已知 =2 , 求求a的值的值 ( ) （2）求）求 的極限（的極限（ ）bnnan22n3lim 232lim 22xxxx632注：注： 求求 的函數(shù)極限問題轉(zhuǎn)化為求的函數(shù)極限問題轉(zhuǎn)化為求 的數(shù)的數(shù)列極限問題列極限問題xn(3) 若若 ,則則a=_b=_222lim(2)1xaxxxbx-42例題例題2、求下列極限、求下列極限（1 1） （2 2） nlim125( 3)52 3nnnn 方法：分子，分母同除以方法：分子，分母同除以 最大的最大的 底數(shù)的底數(shù)的n次方次方絕對值絕對值nnnnnn32535 nlim例例3 、2321limnnn求2121lim) 1(2

8、1lim321lim22nnnnnnnnnn注：注：極限的運(yùn)算法則只能推廣到有限多項(xiàng)，極限的運(yùn)算法則只能推廣到有限多項(xiàng)， 當(dāng)項(xiàng)數(shù)當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限時(shí)，要先求和（或積）再求極限無限時(shí)，要先求和（或積）再求極限0000lim2lim1lim321lim2222nnnnnnnnnn思考思考:對比解對比解1、解、解2,判斷哪種解法正確判斷哪種解法正確,并分析原因并分析原因小結(jié)與反思：小結(jié)與反思：1、本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)、本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)2、思想方法反思、思想方法反思函數(shù)的極限函數(shù)的極限數(shù)列的極限數(shù)列的極限函數(shù)極限的四則運(yùn)函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則算法則數(shù)列極限的四則運(yùn)數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則算法則求分式的極限求分式的極限求無限項(xiàng)和的極限求無限項(xiàng)和的極限應(yīng)用應(yīng)用 (1) 一般地，當(dāng)分子分母是關(guān)于一般地，當(dāng)分子分母是關(guān)于n的的多項(xiàng)式時(shí)，若分子分母的的的多項(xiàng)式時(shí)，若分子分母的次數(shù)相同，這個(gè)分式在次數(shù)相同，這個(gè)分式在 的極限是的極限是分子與分母中最高次項(xiàng)的系數(shù)之分子與分母中最高次項(xiàng)的系數(shù)之比比;若分母的次數(shù)高于分子的次數(shù)，若分