第六章參數(shù)估計(zuizhong)

1、 第一節(jié)第一節(jié) 參數(shù)估計的一般問題參數(shù)估計的一般問題 第二節(jié)第二節(jié) 一個總體參數(shù)的區(qū)間估計一個總體參數(shù)的區(qū)間估計 第三節(jié)第三節(jié) 樣本容量的確定樣本容量的確定2022-3-201參參數(shù)數(shù)估估計計在在統(tǒng)統(tǒng)參數(shù)估計參數(shù)估計假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗 統(tǒng)計方法統(tǒng)計方法描述統(tǒng)計描述統(tǒng)計推斷統(tǒng)計推斷統(tǒng)計2022-3-202統(tǒng)統(tǒng)計計推推總體均值、比總體均值、比率、方差等率、方差等2022-3-203參參數(shù)數(shù) 抽樣估計就是根據(jù)樣本提供的信息對抽樣估計就是根據(jù)樣本提供的信息對總體的某些特征進行估計或推斷。用總體的某些特征進行估計或推斷。用來估計總體特征的樣本指標也叫估計來估計總體特征的樣本指標也叫估計量或統(tǒng)計量，待估計的

2、總體指標也叫量或統(tǒng)計量，待估計的總體指標也叫總體參數(shù)，所以抽樣估計又稱參數(shù)估總體參數(shù)，所以抽樣估計又稱參數(shù)估計。計。2022-3-204 估計廢品率估計廢品率估計新生兒的體重估計新生兒的體重估計湖中魚數(shù)估計湖中魚數(shù) 估計降雨量估計降雨量2022-3-205 一、估計量與估計值一、估計量與估計值 二、點估計與區(qū)間估計二、點估計與區(qū)間估計 三、評價估計量的標準三、評價估計量的標準2022-3-206估計量與估計值估估計計量量1. 估計量：用于估計總體參數(shù)的隨機變量估計量：用于估計總體參數(shù)的隨機變量如樣本均值，樣本比率、樣本方差等如樣本均值，樣本比率、樣本方差等如樣本均值就是總體均值如樣本均值就是總

3、體均值 的一個估計的一個估計量量2. 參數(shù)用參數(shù)用 表示，估計量表示，估計量用用 表示表示3. 估計值：估計參數(shù)時計算出來的統(tǒng)計量的具估計值：估計參數(shù)時計算出來的統(tǒng)計量的具體值體值如果樣本均值如果樣本均值 x =80，則，則80就是就是的估計的估計值值2022-3-208點估計與區(qū)間估計參參數(shù)數(shù)估估估估 計計 方方 法法點點 估估 計計區(qū)間估計區(qū)間估計2022-3-2010用樣本的估計量直接作為總體參數(shù)的估計用樣本的估計量直接作為總體參數(shù)的估計值值如用樣本均值直接如用樣本均值直接作為作為總體均值的估計總體均值的估計如用兩個樣本均值之差直接如用兩個樣本均值之差直接作為作為總體均總體均值之差的估計

4、值之差的估計 沒有給出估計值接近總體參數(shù)程度的信息沒有給出估計值接近總體參數(shù)程度的信息 點估計的方法有矩估計法、順序統(tǒng)計量法、點估計的方法有矩估計法、順序統(tǒng)計量法、最大似然法、最小二乘法等最大似然法、最小二乘法等2022-3-20111222nXXsPpX2022-3-2012區(qū)區(qū)間間估估計計(inter在點估計的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估在點估計的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計的一個區(qū)間范圍，該區(qū)間是由樣本計的一個區(qū)間范圍，該區(qū)間是由樣本統(tǒng)計量加減抽樣誤差而得到的統(tǒng)計量加減抽樣誤差而得到的根據(jù)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布能夠?qū)痈鶕?jù)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計量與總體參數(shù)的接近程度給出本統(tǒng)計量與總體參數(shù)

5、的接近程度給出一個概率度量一個概率度量2022-3-2013 3.3.設(shè)總體參數(shù)為設(shè)總體參數(shù)為 ， 為樣本確定的為樣本確定的兩個統(tǒng)計量，對于給定的兩個統(tǒng)計量，對于給定的 ，有，有P( )=1- ，稱（，稱（ ， ）為參數(shù)）為參數(shù) 的置信度為的置信度為 1- 的置信區(qū)間，的置信區(qū)間， 、 分分別稱為置信下限、上限，通稱置信限，別稱為置信下限、上限，通稱置信限，為顯著性水平，為顯著性水平， 1- 為置信度。為置信度。 常用的置信水平值有常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% 相應(yīng)的相應(yīng)的為為0.01，0.05，0.10LU) 10(ULLUUL2022-3-2014 注意對上式的理解：注意

6、對上式的理解： 例如抽取了例如抽取了1000個樣本，根據(jù)每一個樣本均值個樣本，根據(jù)每一個樣本均值構(gòu)造了一個置信區(qū)間，這樣，由構(gòu)造了一個置信區(qū)間，這樣，由1000個樣本構(gòu)個樣本構(gòu)造的總體參數(shù)的造的總體參數(shù)的1000個置信區(qū)間中，有個置信區(qū)間中，有95%的的區(qū)間包含了總體參數(shù)的真值，而區(qū)間包含了總體參數(shù)的真值，而5%的置信區(qū)間的置信區(qū)間則沒有包含。這里，則沒有包含。這里，95%這個值被稱為置信水這個值被稱為置信水平（或置信度）。平（或置信度）。 一般地，將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，一般地，將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占

7、的比例稱為置信水平。稱為置信水平。2022-3-2015區(qū)區(qū)間間估估計計(inter比如，某班級平均分數(shù)在比如，某班級平均分數(shù)在7585之間，之間，置信水平是置信水平是95% 2022-3-2016置置信信區(qū)區(qū)間間( (c co on nf fi id d由樣本統(tǒng)計量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計區(qū)間稱由樣本統(tǒng)計量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計區(qū)間稱為置信區(qū)間為置信區(qū)間統(tǒng)計學(xué)家在某種程度上確信這個區(qū)間會包含真統(tǒng)計學(xué)家在某種程度上確信這個區(qū)間會包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間 用一個具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個特定的用一個具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個特定的區(qū)間，我們

8、無法知道這個樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是區(qū)間，我們無法知道這個樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值否包含總體參數(shù)的真值我們只能是希望這個區(qū)間是大量包含總體參我們只能是希望這個區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個，但它也可能是少數(shù)數(shù)真值的區(qū)間中的一個，但它也可能是少數(shù)幾個不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個幾個不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個2022-3-2017置置信信區(qū)區(qū)間間( (c co on nf fi id d我們用我們用95%的置信水平得到某班學(xué)生考試成的置信水平得到某班學(xué)生考試成績的置信區(qū)間為績的置信區(qū)間為60-80分，如何理解？分，如何理解？錯誤的理解：錯誤的理解：60-80區(qū)間以區(qū)間以95%的

9、概率包含的概率包含全班同學(xué)平均成績的真值；或以全班同學(xué)平均成績的真值；或以95%的概率的概率保證全班同學(xué)平均成績的真值落在保證全班同學(xué)平均成績的真值落在60-80分分之間。之間。正確的理解：如果做了多次抽樣（如正確的理解：如果做了多次抽樣（如100次），大概有次），大概有95次找到的區(qū)間包含真值，有次找到的區(qū)間包含真值，有5次找到的區(qū)間不包括真值。次找到的區(qū)間不包括真值。2022-3-2018置置信信區(qū)區(qū)間間( (c co on nf fi id d真值只有一個，一個特定的區(qū)間真值只有一個，一個特定的區(qū)間“總是包含總是包含”或或“絕對不包含絕對不包含”該真值。但是，用概率可以該真值。但是，用概

10、率可以知道在多次抽樣得到的區(qū)間中大概有多少個區(qū)知道在多次抽樣得到的區(qū)間中大概有多少個區(qū)間包含了參數(shù)的真值。間包含了參數(shù)的真值。如果大家還是不能理解，那最好這樣回答有如果大家還是不能理解，那最好這樣回答有關(guān)區(qū)間估計的結(jié)果：關(guān)區(qū)間估計的結(jié)果：該班同學(xué)平均成績的置信區(qū)間是該班同學(xué)平均成績的置信區(qū)間是60-80分，分，置信度為置信度為95%。2022-3-2019置置信信區(qū)區(qū)間間xxx2022-3-2020 xxzx22022-3-2021評價估計量的標準無無偏偏性性(unbi 無偏性：估計量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于無偏性：估計量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估計的總體參數(shù)被估計的總體參數(shù)2022-3-202

11、3無無偏偏性性(unbis 設(shè)為總體未知參數(shù)的估計量設(shè)為總體未知參數(shù)的估計量 若若 則稱是的無偏估計量，稱具有無則稱是的無偏估計量，稱具有無偏性。如果偏性。如果 是有偏估計量，則它的是有偏估計量，則它的偏差量為偏差量為)(E偏差偏差= = ）（E2022-3-2024u注注:)(xEx具有無偏性。具有無偏性。 ，對于對于 22)(11xxnsi22)(sE，2s具有無偏性具有無偏性無無偏偏性性(unbi2022-3-2025一一致致性性(con 一致性：隨著樣本容量一致性：隨著樣本容量n的增大，估計量的的增大，估計量的值越來越接近被估計的總體參數(shù)值越來越接近被估計的總體參數(shù)2022-3-202

12、6一一致致性性(conu如果對任意小的正數(shù)，有如果對任意小的正數(shù)，有u則稱，則稱， 是是 的一致估計量，稱的一致估計量，稱 具有具有一致性，可證明一致性，可證明 均具有一致性均具有一致性1limPn2Sx與2022-3-2027有有效效性性(eff點點估估計計量，量，有有更更小小標標準準差差的的估估計計量量更更有有效效122022-3-2028有有效效性性(eff 如果如果 和和 都是總體參數(shù)都是總體參數(shù) 的無偏估的無偏估計量，計量， 如果如果 ，則說明估計量，則說明估計量 比比 更有效的估計量。更有效的估計量。122212122022-3-2029 一一、總體均值的區(qū)間估計、總體均值的區(qū)間估

13、計 二、總體比率的區(qū)間估計二、總體比率的區(qū)間估計 三、總體方差的區(qū)間估計三、總體方差的區(qū)間估計2022-3-2030一一個個總總體體參參2xp2s2022-3-2031總體均值的區(qū)間估計(大樣本)總體服從正態(tài)分布總體服從正態(tài)分布,2 2已知時，或總體不是正態(tài)分已知時，或總體不是正態(tài)分布但為大樣本時，樣本均值的抽樣分布均為正態(tài)分布但為大樣本時，樣本均值的抽樣分布均為正態(tài)分布，其數(shù)學(xué)期望為總體均值布，其數(shù)學(xué)期望為總體均值，方差為，方差為2 2 /n /n。而。而樣本經(jīng)過標準化以后的隨機變量則服從標準正態(tài)分樣本經(jīng)過標準化以后的隨機變量則服從標準正態(tài)分布，即：布，即：根據(jù)區(qū)間估計的定義，在根據(jù)區(qū)間估計

14、的定義，在1置信度下，總置信度下，總體均值體均值的置信區(qū)間為：的置信區(qū)間為：122zzzP)1 ,0( Nnxz總總體體均均值值的的區(qū)區(qū)2022-3-2033 即：即： 從而有從而有 即在即在1置信度下，置信度下， 的置信區(qū)間為：的置信區(qū)間為：),(22nzXnzX總總體體均均值值的的區(qū)區(qū)122znXzP122nzXnzXP2022-3-20342022-3-20352022-3-2036=1028.109,44.10192.336.105251096.136.1052nzx36.105x2022-3-2037總總體體均均值值的的區(qū)區(qū)總體服從正態(tài)分布但總體服從正態(tài)分布但2 2未知，或總體不未知

15、，或總體不服從正態(tài)分布，只要是在大樣本條件下，服從正態(tài)分布，只要是在大樣本條件下，只需用樣本方差只需用樣本方差s s2 2代替總體方差代替總體方差2 2 ，這時總體均值這時總體均值 在在1-a1-a置信水平下的置信置信水平下的置信區(qū)間可以寫為：區(qū)間可以寫為：),(22nszXnszX2022-3-20382022-3-203963.41,37.3713.25.393677.7645.15.392nszx5 .39x77. 7s例例題題2022-3-2040某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的工人有某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的工人有1000人，某日采用不人，某日采用不重復(fù)抽樣從中隨機抽取重復(fù)抽樣從中隨機抽取100人調(diào)查

16、他們的當日產(chǎn)人調(diào)查他們的當日產(chǎn)量，樣本人均產(chǎn)量為量，樣本人均產(chǎn)量為35件，產(chǎn)量的樣本標準差為件，產(chǎn)量的樣本標準差為4.5件，試以件，試以95.45%的置信度估計平均產(chǎn)量的抽的置信度估計平均產(chǎn)量的抽樣極限誤差和樣極限誤差和置信區(qū)間。置信區(qū)間。解：解：x=35，S=4.5，n=100，屬于大樣本，所以，屬于大樣本，所以已知已知1- =0.9545,查查Z 1-/2=Z0.97725=2,則則件）(43.0)10001001(1005.4)1()(22_NnnSx件）(86. 043. 02)(_2_xZx2022-3-2041置信區(qū)間為置信區(qū)間為 ，即在，即在34.14至至35.86件之間件之間.

17、86. 03586. 035 即（即（34.14，35.86）2022-3-2042總總體體均均值值的的區(qū)區(qū)u總體服從正態(tài)分布，若總體服從正態(tài)分布，若2未知，且未知，且n30時時 ,則需要用樣本方差則需要用樣本方差s2代替總體方差代替總體方差2 ，這時，這時樣本均值經(jīng)標準化后的隨機變量服從自由度樣本均值經(jīng)標準化后的隨機變量服從自由度為（為（n-1）的）的t分布，即分布，即u所以所以u即即12/ttP12/2/tnSXtP)1(ntnsxt2022-3-2043總總體體均均值值的的區(qū)區(qū) 即在即在1置信度下，置信度下，的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為nstx212/2/nStXnStXP2022-3-20

18、442022-3-20452022-3-20462 .1503, 8 .14762 .1314901677.24131.214902nstx2022-3-2047總體比率的區(qū)間估計假定條件假定條件總體服從二項分布總體服從二項分布可以由正態(tài)分布來近似可以由正態(tài)分布來近似使用正態(tài)分布統(tǒng)計量使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 z) 1 , 0()1 (Nnpz)()-1 ()1 (22未知時或nppzpnzp2022-3-2049%35.74%,65.55%35. 9%65100%)651%(6596. 1%65)1 (2nppzp2022-3-2050總體方差的區(qū)間估計1.估計一個總體的方差或標準差估計一個總體的方差或標準差2.假設(shè)總體服從正態(tài)分布假設(shè)總體服從正態(tài)分布3.總體方差總體方差 2 的點估計量為的點估計量為s2,且且11222nsn111122122222nsnnsn2