計(jì)算方法 第八周

1、計(jì)算方法3月9日1第3章 函數(shù)逼近與快速傅里葉變換n函數(shù)逼近的基本概念n正交多項(xiàng)式n最佳一致逼近（多項(xiàng)式）n最佳平方逼近n最小二乘n有理逼近n三角逼近與FFT2復(fù)習(xí)n類比于向量空間，我們確定了函數(shù)空間的若干定義線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)基、空間、坐標(biāo)范數(shù)內(nèi)積（帶權(quán)）3復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)：n次多項(xiàng)式空間的基和坐標(biāo)n如果選擇基基為1，x，x2，x3, xnn所有的n次多項(xiàng)式共同組成的空間空間n空間中的某一個(gè)向量向量anxn+an-1xn-1+a1x+a0n坐標(biāo)坐標(biāo)為(an , an-1 , , a1 , a0)4基函數(shù)，干嗎用？基函數(shù)，干嗎用？為什么還需要正交多項(xiàng)式nn維向量空間向量有n個(gè)分量分量任選n個(gè)線性無(wú)關(guān)的

2、向量就可以作為基基但是我們更喜歡正正交基交基向量如果是單位長(zhǎng)度的標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基向量組就更好了nn次多項(xiàng)式空間多項(xiàng)式有n+1個(gè)項(xiàng)項(xiàng)最簡(jiǎn)單地選取1，x，xn作為基基希望能獲得n+1個(gè)正正交交的多項(xiàng)式來(lái)做基？怎么定義函數(shù)的“正交”和“標(biāo)準(zhǔn)”？5復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)：函數(shù)的帶權(quán)內(nèi)積和2范數(shù)6（標(biāo)準(zhǔn)）正交函數(shù)7正交多項(xiàng)式8在向量空間如何求標(biāo)準(zhǔn)正交向量？ n施密特(Schimidt)正交化過(guò)程（高等代數(shù)P368）9如何求得正交多項(xiàng)式？n我們已經(jīng)有一組線性無(wú)關(guān)的多項(xiàng)式，冪函數(shù)：我們已經(jīng)有一組線性無(wú)關(guān)的多項(xiàng)式，冪函數(shù)：1，x，x2，xn10以上正交多項(xiàng)式序列性質(zhì)11注意：n前述方法是一個(gè)構(gòu)造正交多項(xiàng)式序列的通用通用

3、方法n因?yàn)槎囗?xiàng)式的內(nèi)積定義與權(quán)函數(shù)權(quán)函數(shù)(x)和區(qū)間區(qū)間有關(guān)，所以取不同的權(quán)函數(shù)和區(qū)間，所構(gòu)造出的正交多項(xiàng)式序列是不同的n對(duì)于一些特別的權(quán)函數(shù)，已有成熟的結(jié)論12勒讓德多項(xiàng)式nnnnnnnnnnnnnnnnnnnxdxdnnxPaxnnaxaxaxnnnnxPnxdxdnxPxPx) 1()!2(!)(1) !(2)!2() 1() 12)(2(!21)(), 2 , 1() 1(!21)(1)(1)( 1 , 12201120，則可將形式變換為為的系數(shù)若希望讓首項(xiàng)的系數(shù)首項(xiàng)即：，簡(jiǎn)單表達(dá)式為：，權(quán)函數(shù)區(qū)間13勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì)n遞推性14勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì)n正交性n奇偶性n證明自學(xué)n示例：lgdnmnnmdxxPxPmn,122,0)()(11)() 1()(xPxPnnn15勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì)16切比雪夫多項(xiàng)式nchbs chbs117切比雪夫多項(xiàng)式性質(zhì)18切比雪夫多項(xiàng)式性質(zhì)19切比雪夫多項(xiàng)式性質(zhì)n奇偶性n零點(diǎn)20切比雪夫點(diǎn)n零點(diǎn)n極值點(diǎn)nchbs2nknkxk, 2 , 1,212cosnknkxk, 1 , 0,cos21切比雪夫多項(xiàng)式零點(diǎn)插值n如果插值節(jié)點(diǎn)為切比雪夫多項(xiàng)式零點(diǎn)，則可導(dǎo)