微分運(yùn)動(dòng)和速度

1、第第3章章 微分運(yùn)動(dòng)和速度微分運(yùn)動(dòng)和速度學(xué)習(xí)內(nèi)容：學(xué)習(xí)內(nèi)容：1 微分關(guān)系微分關(guān)系 2 坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng) 3 雅克比矩陣的相關(guān)運(yùn)算及其與速度雅克比矩陣的相關(guān)運(yùn)算及其與速度 之間的關(guān)系之間的關(guān)系學(xué)習(xí)重點(diǎn)：雅克比矩陣的計(jì)算學(xué)習(xí)重點(diǎn)：雅克比矩陣的計(jì)算1 微分關(guān)系的概念微分關(guān)系的概念微分運(yùn)動(dòng)就是指機(jī)器人的微小運(yùn)動(dòng)（推導(dǎo)不同桿件間的速微分運(yùn)動(dòng)就是指機(jī)器人的微小運(yùn)動(dòng)（推導(dǎo)不同桿件間的速度關(guān)系），而微分關(guān)系是指微分運(yùn)動(dòng)與速度之間的關(guān)系。度關(guān)系），而微分關(guān)系是指微分運(yùn)動(dòng)與速度之間的關(guān)系。2 微分關(guān)系的理論推導(dǎo)微分關(guān)系的理論推導(dǎo)下面這幅圖是具有兩個(gè)自由度的簡(jiǎn)單機(jī)構(gòu)。其中每個(gè)連桿下面這幅圖是具有兩個(gè)

2、自由度的簡(jiǎn)單機(jī)構(gòu)。其中每個(gè)連桿都能獨(dú)立旋轉(zhuǎn)，都能獨(dú)立旋轉(zhuǎn)， 表示第一個(gè)連桿相對(duì)于參考坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)表示第一個(gè)連桿相對(duì)于參考坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角度，角度， 表示第二個(gè)連桿相對(duì)于第一個(gè)連桿的旋轉(zhuǎn)角度。表示第二個(gè)連桿相對(duì)于第一個(gè)連桿的旋轉(zhuǎn)角度。3.1 微分關(guān)系微分關(guān)系12讓我們計(jì)算一下讓我們計(jì)算一下B點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度ABABVVV/根據(jù)物理學(xué)中的相關(guān)公式，可以得到根據(jù)物理學(xué)中的相關(guān)公式，可以得到212122121121221211)cos()cos(cos)sin()sin(sinllllllVVYXBB接下來(lái)讓我們對(duì)接下來(lái)讓我們對(duì)B點(diǎn)的位置方程求微分點(diǎn)的位置方程求微分)sin(sin)cos(cos212

3、1121211llYllXBB方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì) 和和 求微分，可得到求微分，可得到12212122121121221211)cos()cos(cos)sin()sin(sinddlllllldydxBB可以看到，微分方程與速度方程極為相似，只不可以看到，微分方程與速度方程極為相似，只不過(guò)二者表達(dá)的物理含義不同，如果在微分方程的過(guò)二者表達(dá)的物理含義不同，如果在微分方程的兩邊同時(shí)除以兩邊同時(shí)除以dt，則兩方程就完全相同了。，則兩方程就完全相同了。3 微分方程的結(jié)構(gòu)微分方程的結(jié)構(gòu)212122121121221211)cos()cos(cos)sin()sin(sinddlllllldydxBBB

4、點(diǎn)的微分點(diǎn)的微分運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程雅克比矩陣雅克比矩陣關(guān)節(jié)的微關(guān)節(jié)的微分運(yùn)動(dòng)分運(yùn)動(dòng)3.63.2 雅克比矩陣雅克比矩陣1 雅克比矩陣的意義雅克比矩陣的意義由式由式3.6可以看到，雅克比矩陣將單個(gè)關(guān)節(jié)的微分運(yùn)可以看到，雅克比矩陣將單個(gè)關(guān)節(jié)的微分運(yùn)動(dòng)或速度轉(zhuǎn)換為感興趣點(diǎn)的微分運(yùn)動(dòng)或速度，也可動(dòng)或速度轉(zhuǎn)換為感興趣點(diǎn)的微分運(yùn)動(dòng)或速度，也可以將單個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)與整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)聯(lián)系起來(lái)。以將單個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)與整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)聯(lián)系起來(lái)。2 雅克比矩陣的計(jì)算雅克比矩陣的計(jì)算由式由式3.6可以看到，由于角度是時(shí)變的，所以雅克比可以看到，由于角度是時(shí)變的，所以雅克比矩陣也是時(shí)變的。所以我們可以通過(guò)對(duì)位置方程中矩陣也是時(shí)變的

5、。所以我們可以通過(guò)對(duì)位置方程中的所有變量求導(dǎo)的方法來(lái)計(jì)算雅克比矩陣。的所有變量求導(dǎo)的方法來(lái)計(jì)算雅克比矩陣。假設(shè)有一組變量為假設(shè)有一組變量為 的方程的方程 ：則變量和函數(shù)間的微分關(guān)系可以表示為：則變量和函數(shù)間的微分關(guān)系可以表示為：jxiYjjiijjiijixxfYxxxxfxfxfxfxfxfYYY或211121211121根據(jù)上述關(guān)系，我們可以建立機(jī)器人的關(guān)節(jié)微分根據(jù)上述關(guān)系，我們可以建立機(jī)器人的關(guān)節(jié)微分運(yùn)動(dòng)和機(jī)器人手坐標(biāo)系微分運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系。運(yùn)動(dòng)和機(jī)器人手坐標(biāo)系微分運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系。654321ddddddzyxdzdydx雅克比機(jī)器人機(jī)器人手機(jī)器人手沿沿x,y,zx,y,z軸的微分軸的微分

6、運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)機(jī)器人手繞機(jī)器人手繞x,y,z軸的微軸的微分旋轉(zhuǎn)分旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)的微分運(yùn)微分運(yùn)動(dòng)動(dòng)D D J矩陣兩端都除以dt, 就是速度，所以本章主要針對(duì)文分運(yùn)動(dòng)講解。例題：給定某一時(shí)刻的機(jī)器人雅克比矩陣，給定關(guān)例題：給定某一時(shí)刻的機(jī)器人雅克比矩陣，給定關(guān)節(jié)的微分運(yùn)動(dòng)，求機(jī)器人手坐標(biāo)系的線位移微分運(yùn)節(jié)的微分運(yùn)動(dòng)，求機(jī)器人手坐標(biāo)系的線位移微分運(yùn)動(dòng)和角位移微分運(yùn)動(dòng)。動(dòng)和角位移微分運(yùn)動(dòng)。100000000100002000000010000101010002J2 . 0001 . 01 . 00DzyxdzdydxJDD2 . 01 . 001 . 01 . 002 . 0001 . 01 . 00100

7、000002000100000000000010010101002解：由例題可知：由例題可知： 剛體或坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)包含微分移動(dòng)矢量和微剛體或坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)包含微分移動(dòng)矢量和微分轉(zhuǎn)動(dòng)矢量。前者由沿三個(gè)坐標(biāo)軸的微分移動(dòng)組成；分轉(zhuǎn)動(dòng)矢量。前者由沿三個(gè)坐標(biāo)軸的微分移動(dòng)組成；后者由繞三軸的微分轉(zhuǎn)動(dòng)組成。后者由繞三軸的微分轉(zhuǎn)動(dòng)組成。雅克比矩陣的構(gòu)造：雅克比矩陣的構(gòu)造：一、矢量積分法；一、矢量積分法；二、微分變化法。二、微分變化法。3 SCARA四自由度機(jī)器人的連桿速度及雅可比矩陣四自由度機(jī)器人的連桿速度及雅可比矩陣 nnnnvXV 雅可比矩陣雅可比矩陣 末端連桿的角速度和線速度相對(duì)于末端連桿的角速度

8、和線速度相對(duì)于基坐標(biāo)系簡(jiǎn)寫(xiě)為基坐標(biāo)系簡(jiǎn)寫(xiě)為 ，根據(jù)廣義速度公式，根據(jù)廣義速度公式nnv,它與關(guān)節(jié)速度它與關(guān)節(jié)速度q q之間的關(guān)系就是由雅可比矩陣組之間的關(guān)系就是由雅可比矩陣組成的線性映射成的線性映射 qqJXnn)(2. SCARA四自由度機(jī)器人的連桿速度、雅可比矩陣四自由度機(jī)器人的連桿速度、雅可比矩陣 SCARA四自由度機(jī)器人的結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)具有如下特點(diǎn)：四自由度機(jī)器人的結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)具有如下特點(diǎn)：四個(gè)關(guān)節(jié)，四個(gè)關(guān)節(jié)中有三個(gè)是轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)（關(guān)節(jié)四個(gè)關(guān)節(jié)，四個(gè)關(guān)節(jié)中有三個(gè)是轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)（關(guān)節(jié)1、2、4），一個(gè)是移動(dòng)關(guān)節(jié)（關(guān)節(jié)），一個(gè)是移動(dòng)關(guān)節(jié)（關(guān)節(jié)3）。根據(jù)速度傳遞法可）。根據(jù)速度傳遞法可推導(dǎo)出雅可比矩陣如下

9、：推導(dǎo)出雅可比矩陣如下： 旋轉(zhuǎn)矩陣：旋轉(zhuǎn)矩陣：10000111101csscR10000222212csscR10001000123R10000444434csscR由于基坐標(biāo)系固定不動(dòng)，因而由于基坐標(biāo)系固定不動(dòng)，因而 ；000000v 連桿連桿1的角速度和速度為的角速度和速度為001100011v連桿連桿2的角速度和速度為的角速度和速度為212200022111122clslv連桿連桿3 3的角速度和速度為的角速度和速度為 21223300321212112133)(dlclslv手爪手爪4 4的角速度和速度為的角速度和速度為42144000)()(214212412142124144clc

10、lslslv由以上推導(dǎo)可得雅可比矩陣由以上推導(dǎo)可得雅可比矩陣)(qJT= )(qJT1011000000000000000042421414242141clclclslslsl)cos(inmc)sin(inms其中：其中：，以下相同。以下相同。旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換R03： R03= 10000124124124124cssc末端手爪相對(duì)于基坐標(biāo)系末端手爪相對(duì)于基坐標(biāo)系00角速度和速度為角速度和速度為 42140003211221112112211140)()(dclclslslv末端手爪的笛卡爾廣義速度為末端手爪的笛卡爾廣義速度為 43211221221112212211444444444101

11、10000000001000000dclclclslslslvvvvVzyxzyx由以上推導(dǎo)可得雅可比矩陣為由以上推導(dǎo)可得雅可比矩陣為 10110000000001000000)(12212211122122110clclclslslslqJ例例3.1 3.1 給定某一時(shí)刻的機(jī)器人雅克比矩陣如下，給定某一時(shí)刻的機(jī)器人雅克比矩陣如下，計(jì)算給定關(guān)節(jié)的微分運(yùn)動(dòng)，求機(jī)器人手坐標(biāo)系計(jì)算給定關(guān)節(jié)的微分運(yùn)動(dòng)，求機(jī)器人手坐標(biāo)系的線位移微分運(yùn)動(dòng)和角位移微分運(yùn)動(dòng)。的線位移微分運(yùn)動(dòng)和角位移微分運(yùn)動(dòng)。100000000100002000000010000101010002J2 . 0001 . 01 . 00D解：將

12、上述矩陣代入式解：將上述矩陣代入式(3.10)(3.10)，得到：，得到： zyxdzdydxJDD2 . 01 . 001 . 01 . 002 . 0001 . 01 . 001000000020001000000000000100101010023.3 坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng) 假設(shè)有一個(gè)機(jī)器人要將兩片工件焊接在一起，為假設(shè)有一個(gè)機(jī)器人要將兩片工件焊接在一起，為了獲得最好的焊接質(zhì)量，要求機(jī)器人以恒速運(yùn)動(dòng)，也了獲得最好的焊接質(zhì)量，要求機(jī)器人以恒速運(yùn)動(dòng)，也就是說(shuō)要求指定的手坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)能表示按特定就是說(shuō)要求指定的手坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)能表示按特定姿態(tài)的恒速運(yùn)動(dòng)。姿態(tài)的恒速運(yùn)動(dòng)。 這就

13、涉及到坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)，而該運(yùn)動(dòng)是由機(jī)這就涉及到坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)，而該運(yùn)動(dòng)是由機(jī)器人產(chǎn)生的。如圖所示：器人產(chǎn)生的。如圖所示：坐標(biāo)系微分運(yùn)動(dòng)可以分為：坐標(biāo)系微分運(yùn)動(dòng)可以分為：微分平移微分平移微分旋轉(zhuǎn)微分旋轉(zhuǎn)微分變換微分變換我們首先研究坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)，然后研究機(jī)器人我們首先研究坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)，然后研究機(jī)器人機(jī)構(gòu)的微分運(yùn)動(dòng)，最后建立兩者之間的聯(lián)系。機(jī)構(gòu)的微分運(yùn)動(dòng)，最后建立兩者之間的聯(lián)系。1 微分平移微分平移微分平移就是坐標(biāo)系平移一個(gè)微分量，因此它可以用微分平移就是坐標(biāo)系平移一個(gè)微分量，因此它可以用Trans(dx,dy,dz)來(lái)表示，其含義是坐標(biāo)系沿來(lái)表示，其含義是坐標(biāo)系沿3條坐標(biāo)軸條坐標(biāo)軸做了

14、微小量的運(yùn)動(dòng)。做了微小量的運(yùn)動(dòng)。2 微分旋轉(zhuǎn)微分旋轉(zhuǎn)微分旋轉(zhuǎn)是坐標(biāo)系的小量旋轉(zhuǎn)，它通常用微分旋轉(zhuǎn)是坐標(biāo)系的小量旋轉(zhuǎn)，它通常用 來(lái)來(lái)描述，即坐標(biāo)系描述，即坐標(biāo)系 軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng) 角度。角度。繞三軸的轉(zhuǎn)動(dòng)分別定義為繞三軸的轉(zhuǎn)動(dòng)分別定義為 因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)很小，所以因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)很小，所以),(dkRotkd1cos(sinxxx用弧度）z, y, x10000100001001),(10000100100001),(zzzzRotxxxxRot10000100010001),(yyyyRot1000010001000110000100100001),(),(yyxxyyRotxxRot另外我們還要注意矩陣乘法的順

15、序，不同的順序會(huì)產(chǎn)生不另外我們還要注意矩陣乘法的順序，不同的順序會(huì)產(chǎn)生不同的結(jié)果。同的結(jié)果。10000101001xyxzxy上述矩陣違反了每個(gè)向量長(zhǎng)度為上述矩陣違反了每個(gè)向量長(zhǎng)度為1的規(guī)定，例如的規(guī)定，例如 。然。然而由于微分值很小，在數(shù)學(xué)上，高階微分是可以忽略不計(jì)的。而由于微分值很小，在數(shù)學(xué)上，高階微分是可以忽略不計(jì)的。所以我們可以接受這樣的向量長(zhǎng)度。所以我們可以接受這樣的向量長(zhǎng)度。1122x100001010011000010010000110000100010001),(),(xyxyyxxxyyxxRotyyRot如果忽略掉所有的高階微分變換，上述兩式的如果忽略掉所有的高階微分變換，

16、上述兩式的結(jié)果是相同的，因此乘法的順序并不重要。結(jié)果是相同的，因此乘法的順序并不重要。1000010101),(),(),(),(zyxzxyxzyxyxzyzzzRotyyRotxxRotdkRot繞一般坐標(biāo)軸的三個(gè)微分運(yùn)動(dòng)可以表示為：繞一般坐標(biāo)軸的三個(gè)微分運(yùn)動(dòng)可以表示為：1000010101xyxzyz02. 0,05. 0, 1 . 0zyx例題：求繞三個(gè)坐標(biāo)軸作微分旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的總例題：求繞三個(gè)坐標(biāo)軸作微分旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的總微分變換。微分變換。1000011 . 005. 001 . 0102. 0005. 002. 011000010101),(xyxzyzkRot解：3 坐標(biāo)系的微分變換

17、坐標(biāo)系的微分變換坐標(biāo)系的微分變換是微分平移和微分旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的合坐標(biāo)系的微分變換是微分平移和微分旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的合成。如果用成。如果用T表示原始坐標(biāo)系，并假定由于微分變表示原始坐標(biāo)系，并假定由于微分變換所引起的坐標(biāo)系換所引起的坐標(biāo)系T的變化量用的變化量用dT表示，則有：表示，則有： ),(),(),(),(TIdkRotdzdydxTransdTTdkRotdzdydxTransdTT或可令：可令：),(),(IdkRotdzdydxTransTdT我們稱我們稱 為微分算子，用它乘以一個(gè)坐標(biāo)系將導(dǎo)為微分算子，用它乘以一個(gè)坐標(biāo)系將導(dǎo)致坐標(biāo)系的變化。致坐標(biāo)系的變化。進(jìn)一步求得：進(jìn)一步求得：000000010

18、0001000010000110000101011000100010001),(),(dzxydyxzdxyzxyxzyzdzdydxIdkRotdzdydxTrans例題：例題： 對(duì)如下的坐標(biāo)系對(duì)如下的坐標(biāo)系B,繞繞y軸做軸做0.1弧度的微分轉(zhuǎn)動(dòng)，然弧度的微分轉(zhuǎn)動(dòng)，然后微分平移后微分平移0.1，0，0.2，求微分變換的結(jié)果。，求微分變換的結(jié)果。10003010500110100BBdB提示：解：解：00008 . 01 . 00000004 . 001 . 000, 1 . 0, 0, 2 . 0, 0, 1 . 0BdBzyxdzdydx其中，其中，dB矩陣表示坐標(biāo)系矩陣表示坐標(biāo)系B的變化

19、，該矩陣的每個(gè)元素表示的變化，該矩陣的每個(gè)元素表示坐標(biāo)系中相應(yīng)元素的變化。如，本例中坐標(biāo)系中相應(yīng)元素的變化。如，本例中 dB意味著該坐標(biāo)系意味著該坐標(biāo)系沿沿x軸移動(dòng)了軸移動(dòng)了0.4個(gè)單位的微小量，沿個(gè)單位的微小量，沿y軸無(wú)運(yùn)動(dòng)，沿軸無(wú)運(yùn)動(dòng)，沿z軸移動(dòng)軸移動(dòng)了了-0.8個(gè)單位的微小量。它也意味著坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)使得個(gè)單位的微小量。它也意味著坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)使得 向向量沒(méi)有改變，量沒(méi)有改變， 而在向量而在向量 的分量的分量 上改變了上改變了0.1，在向量，在向量 的分量的分量 上改變了上改變了-0.1。微分變化的理解微分變化的理解naoxoza10002 . 21 . 01050014 .1011 . 0

20、000008 . 01 . 00000004 . 001 . 0010003010500110100dBBBoriginalnew由此，我們可求上例中坐標(biāo)系由此，我們可求上例中坐標(biāo)系B運(yùn)動(dòng)后的位姿，如下：運(yùn)動(dòng)后的位姿，如下：本次課的內(nèi)容：本次課的內(nèi)容：坐標(biāo)系之間的微分變化機(jī)器人及機(jī)器人手坐標(biāo)系的微分變化雅克比矩陣的計(jì)算建立雅克比矩陣和微分算子之間的關(guān)聯(lián)雅克比矩陣求逆3.4 坐標(biāo)系之間的微分變化坐標(biāo)系之間的微分變化 前面介紹的微分算子 是相對(duì)于固定參考坐標(biāo)系來(lái)說(shuō)的，同樣的，我們可以定義另外一個(gè)微分算子，是相對(duì)于當(dāng)前坐標(biāo)系的，這樣使得可以在該坐標(biāo)系（當(dāng)前）中計(jì)算同樣的變換。 由于是相對(duì)于當(dāng)前坐標(biāo)系

21、的，必須用右乘該坐標(biāo)系的。如下式所示：111TTTTTTTTdTTTT 因此，上式可以用來(lái)計(jì)算相對(duì)于本身坐標(biāo)系的微分算子 。將上式矩陣相乘并加以簡(jiǎn)化，得到的結(jié)果如下：T10001paaaapoooopnnnnTzyxzyxzyx0000000dzxydyxzdxyz 00000001dzxydyxzdxyzTTTTTTTTTTTTdpadzdpodydpndxazoynxTTTTTT應(yīng)注意， 看上去如同 矩陣，但所有元素都是相對(duì)于當(dāng)前坐標(biāo)系的，這些元素可從以上矩陣相乘的結(jié)果求得，結(jié)果歸納如下：T例：例： 對(duì)如下的坐標(biāo)系對(duì)如下的坐標(biāo)系B，繞，繞y軸做軸做0.1弧度的微分轉(zhuǎn)動(dòng)，然后微分平移弧度的微

22、分轉(zhuǎn)動(dòng)，然后微分平移0.1，0，0.2，求微分變換的結(jié)果。，求微分變換的結(jié)果。10003010500110100B解：解：00008 . 01 . 00000004 . 001 . 001000301050011010000002 . 0001 . 000001 . 01 . 0000, 1 . 0, 0, 2 . 0, 0, 1 . 0BdBzyxdzdydx舉例說(shuō)明如何求得舉例說(shuō)明如何求得相對(duì)于本身坐標(biāo)系的微分算子，回憶下面的例題（上節(jié)課出現(xiàn)過(guò)）： 8 . 004 . 02 . 001 . 0 103 . 0 103 . 0351001 . 002 . 001 . 001 . 003510

23、001 100010，dpkjipdpaon現(xiàn)在求出相對(duì)于本身坐標(biāo)系的微分算子：現(xiàn)在求出相對(duì)于本身坐標(biāo)系的微分算子：由給定的信息中可以得到以下向量，用來(lái)計(jì)算向量由給定的信息中可以得到以下向量，用來(lái)計(jì)算向量BdBB001 . 04 . 08 . 00azoynxdpadzdpodydpndxBBBBBB 00000001dzxydyxzdxyzTTTTTTTTTTTTdpadzdpodydpndxazoynxTTTTTT公式公式代入可得：代入可得：00004 . 001 . 008 . 01 . 00000001000301050011010000002 . 0001 . 000001 . 01

24、 . 00010001000131005010:,00004 . 001 . 008 . 01 . 00000000 , 0 , 1 . 04 . 0 , 8 . 0, 01BBdBBdBBBBBBB解：上例中的直接根據(jù)微分算子計(jì)算例與前面相同。得到的結(jié)果矩陣后，右乘的值并不同，但是用的值與可以看出3.5 機(jī)器人及機(jī)器人手坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)機(jī)器人及機(jī)器人手坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng) 前面介紹的都是坐標(biāo)系的變換結(jié)果，而不涉及變換是前面介紹的都是坐標(biāo)系的變換結(jié)果，而不涉及變換是如何實(shí)現(xiàn)的?，F(xiàn)在我們就研究一下機(jī)器人手坐標(biāo)系的變化如何實(shí)現(xiàn)的。現(xiàn)在我們就研究一下機(jī)器人手坐標(biāo)系的變化是如何由機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換來(lái)的。是如

25、何由機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換來(lái)的。 我們要做的就是找出機(jī)器人關(guān)節(jié)的微分運(yùn)動(dòng)是如何與我們要做的就是找出機(jī)器人關(guān)節(jié)的微分運(yùn)動(dòng)是如何與手坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)關(guān)聯(lián)的，尤其是與手坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)關(guān)聯(lián)的，尤其是與dT的關(guān)系。的關(guān)系。 這種關(guān)系取決于：這種關(guān)系取決于： 機(jī)器人的構(gòu)型和設(shè)計(jì)的函數(shù)；機(jī)器人的構(gòu)型和設(shè)計(jì)的函數(shù)； 機(jī)器人即時(shí)位姿的函數(shù)。機(jī)器人即時(shí)位姿的函數(shù)。舉例說(shuō)明：舉例說(shuō)明： 簡(jiǎn)單的旋轉(zhuǎn)機(jī)器人和斯坦福機(jī)械手臂簡(jiǎn)單的旋轉(zhuǎn)機(jī)器人和斯坦福機(jī)械手臂 區(qū)別：構(gòu)型不同區(qū)別：構(gòu)型不同 結(jié)果：要產(chǎn)生類似（相同）的機(jī)械手速度，所要求的關(guān)結(jié)果：要產(chǎn)生類似（相同）的機(jī)械手速度，所要求的關(guān) 節(jié)速度會(huì)有所不同。節(jié)速度會(huì)有所不同。由此可

26、知：由此可知： 對(duì)于上述的任何一種機(jī)器人，手臂是否能夠完全地伸展對(duì)于上述的任何一種機(jī)器人，手臂是否能夠完全地伸展 以及能否指向任意方位，都需要將其轉(zhuǎn)化為不同的關(guān)節(jié)以及能否指向任意方位，都需要將其轉(zhuǎn)化為不同的關(guān)節(jié) 速度從而產(chǎn)生相同的手的速度。速度從而產(chǎn)生相同的手的速度。 我們可以通過(guò)雅克比矩陣建立關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)與手運(yùn)動(dòng)之間的我們可以通過(guò)雅克比矩陣建立關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)與手運(yùn)動(dòng)之間的 聯(lián)系，如下所示：聯(lián)系，如下所示：654321ddddddzyxdzdydx雅克比機(jī)器人機(jī)器人手機(jī)器人手沿沿x,y,z軸軸的微分運(yùn)的微分運(yùn)動(dòng)動(dòng)機(jī)器人手繞機(jī)器人手繞x,y,z軸的微軸的微分旋轉(zhuǎn)分旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)的微分運(yùn)微分運(yùn)動(dòng)動(dòng)D D J

27、雅克比矩陣雅克比矩陣3.8 雅克比矩陣的計(jì)算雅克比矩陣的計(jì)算a、雅克比矩陣的每一個(gè)元、雅克比矩陣的每一個(gè)元素是對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程對(duì)素是對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程對(duì)其中一個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)其中一個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)雅克比矩陣的含義：jjiijjiijixxfYxxxxfxfxfxfxfxfYYY或211121211121b、D中的第一個(gè)元素是中的第一個(gè)元素是dx，它表示第一個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程必須，它表示第一個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程必須沿沿x軸的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)然也就是軸的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)然也就是Px。換句話說(shuō)，。換句話說(shuō)，Px表示手的坐標(biāo)表示手的坐標(biāo)系沿系沿x軸的運(yùn)動(dòng)，它的導(dǎo)數(shù)為軸的運(yùn)動(dòng)，它的導(dǎo)數(shù)為dx。同樣，。同樣，dy和和dz也是如此。也是如此。若考

28、慮用若考慮用 表示的矩陣，對(duì)相應(yīng)的元素表示的矩陣，對(duì)相應(yīng)的元素Px，Py和和Pz求微分就得到求微分就得到dx,dy和和dz。 654321DJDddddddzyxdzdydx或雅克比機(jī)器人paon，回憶第二章一道例題10000010000011111CSSCA1000010000222222222aSCSaCSCA1000010000333333333aSCSaCSCA1000001000444444444aSCSaCSCA10000010000055555CSSCA10000100000066666CSSCA用用D-H法建立坐標(biāo)系并求出變化矩陣法建立坐標(biāo)系并求出變化矩陣1)()(122323

29、423422323423412232342341aSaSaSaCaCaCSaCaCaCCpppzyx求出總變化矩陣：求出總變化矩陣：1000)()()()()()()()(22323423452346234652346523422323423415152341651623465234165162346523412232342341515234165162346523416516234652341654321aSaSaSSSCCCCSCCSaCaCaCSCCSCSSSCCSCCCSSSCSSCCCSaCaCaCCCSSCCSSSCSCCCCCSSSSCCCCAAAAAATHR我們（關(guān)心）取簡(jiǎn)單旋

30、轉(zhuǎn)臂機(jī)器人的正動(dòng)力學(xué)方程的最后我們（關(guān)心）取簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)臂機(jī)器人的正動(dòng)力學(xué)方程的最后一列為：一列為：00)(:)2(66221)(:16615542341144323423411332232342341122223234234111144234133234234122232342341123234234112232342341JPJPaSCJPaSaSCJPaSaSaSCJPaCaCaCSJpdaSCdaSaSCdaSaSaSCdaCaCaCSdpdpxdpxdpxdpaCaCaCCppxxxxxxxxxx的第一列為由此，得到雅可比矩陣求導(dǎo)得對(duì) 對(duì)于下面兩行也可以同樣處理。但是，因?yàn)闆](méi)有哪個(gè)方程可

31、以普遍適用于繞三條軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。因此我們需要用不同的方法對(duì)他們進(jìn)行計(jì)算。 事實(shí)上，相對(duì)于最后一個(gè)坐標(biāo)系T6的雅克比矩陣的計(jì)算要比相對(duì)于第一個(gè)坐標(biāo)系簡(jiǎn)單的多。因此，我們將用下面的方法進(jìn)行計(jì)算。 DJDTT66將相對(duì)于最后一個(gè)坐標(biāo)系的速度方程寫(xiě)成： 此時(shí)，意味著，用相同關(guān)節(jié)的微分運(yùn)動(dòng)來(lái)左乘最后一個(gè)坐標(biāo)系的雅克比矩陣，則可得到機(jī)器人首相對(duì)于最后一個(gè)坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)。我們可以用以下簡(jiǎn)單的方程來(lái)計(jì)算最后一個(gè)坐標(biāo)系的雅克比矩陣：方程的微分運(yùn)動(dòng)關(guān)系可以寫(xiě)成：654321666156514641363126222116121166666666666666666666ddddddJJJJJJJJJJJJJJdddT

32、TTTTTTTTTTTTTzTyTxTzTyTxT 假設(shè)假設(shè)A1,A2An的任意組合可以用相應(yīng)的的任意組合可以用相應(yīng)的n,o,a,p矩陣表矩陣表示，則矩陣中相應(yīng)的元素可以用來(lái)計(jì)算雅可比矩陣。示，則矩陣中相應(yīng)的元素可以用來(lái)計(jì)算雅可比矩陣。 如果所考慮的關(guān)節(jié)如果所考慮的關(guān)節(jié)i為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，那么：為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，那么：ziTxyyxiTnJpnpnJ4166)(ZiTxyyxiToJpopoJ5266)(ziTxyyxiTaJpapaJ6366)( 如果所考慮的關(guān)節(jié)如果所考慮的關(guān)節(jié)i為滑動(dòng)關(guān)節(jié)，那么：為滑動(dòng)關(guān)節(jié)，那么：04166iTziTJnJ05266iTziTJoJ06366iTziTJaJ元素。雅可

33、比矩陣的第二行的求出簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)機(jī)器人的用它的具體計(jì)算如下列用對(duì)于上面兩式，對(duì)第1)()(1:,2232342342232342341223234234166565646546365436265432616543216061aSaSaSaCaCaCSaCaCaCCpzpypxATAATAAATAAAATAAAAATAAAAAATTii例：例：整理得：分計(jì)算：表達(dá)式進(jìn)行如下的求微行元素，必須對(duì)式中的關(guān)于雅可比矩陣的第二解：)()()()()(2223232343242341122323423416622112232342341daSddaSdddaSSdaCaCaCCdpdpdpdpdpaCaCaC

34、Sppyyyyyyx00)()()()(6266652555442341424143323423413233322232342341222221223234234112111dJdpdJdpdaSSdJdpdaSaSSdJdpdaSaSaSSdJdpdaCaCaCCdJdpyyyyyy411166JJTT和可比矩陣中的求簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)機(jī)器人的雅6234652344223234234652232342341651623465234122323423416516234652341122323423452346234652346234652342232342341515234165162346523416

35、516234652341223234234151523416516234652341651623465234165432166)()()()()()(1000)()()()()()()()(SCCCSnJaCaCaCCSaCaCaCCSSCSSCCCSaCaCaCSCSSSSCCCCpnpnJaSaSaSSSCCCCSSCCCSaCaCaCSCCSCSSSCCSCCCSSSCSSCCCSaCaCaCCCSSCCSSSCSCCCCCSSSSCCCCAAAAAATziTxyyxiTHR例題例題3.9 建立雅可比矩陣和微分算子之間的關(guān)聯(lián)建立雅可比矩陣和微分算子之間的關(guān)聯(lián) 在討論過(guò)雅可比矩陣和微分算子

36、之后，我們將二者聯(lián)系到一起。 假設(shè)機(jī)器人的關(guān)節(jié)移動(dòng)一個(gè)微分量，由式3.10以及已知的雅可比矩陣可以計(jì)算出D矩陣，它包括了 的值(機(jī)器人手的微分運(yùn)動(dòng))。先求微分算子。然后計(jì)算dT，由此來(lái)確定機(jī)器人手的新位姿。這樣，機(jī)器人關(guān)節(jié)的微分運(yùn)動(dòng)就與機(jī)器人手坐標(biāo)系聯(lián)系起來(lái)了。zyxdzdydx,10002010310051 . 001622TRRP置。經(jīng)微分運(yùn)動(dòng)后手的新位構(gòu)型，求運(yùn)動(dòng)，這個(gè)機(jī)器人具有具體數(shù)值以及一組微分的雅可比矩陣的器人手的坐標(biāo)系和這時(shí)給定如下的五自由度機(jī)1000101010000400010200003J01 . 005. 01 . 01 . 054321ddddd例題：例題：10001

37、. 201085. 21001 . 5001100020103100500100001 . 0001 . 015. 00001 . 001 . 0000001 . 0001 . 015. 00001 . 001 . 0000000001 . 004 . 015. 03 . 001 . 005. 01 . 01 . 01000101010000400010200003666ORIGINALTdTTdzxydyxzdxyzzyxdzdydxJDD解：3.10 雅可比矩陣求逆雅可比矩陣求逆 為了計(jì)算機(jī)器人關(guān)節(jié)上的微分運(yùn)動(dòng)(或速度)以得到所需要的手的微分運(yùn)動(dòng)(或速度)，需要計(jì)算雅可比矩陣的逆，并且將它

38、用于下列方程： DJDDJJDJDJDDJJDJJDDTTTTTT666666111111類似的 這就是說(shuō)，知道了雅可比矩陣的逆，就可以計(jì)算出每個(gè)關(guān)節(jié)需要以多快的速度運(yùn)動(dòng)，才能使機(jī)器人的手產(chǎn)生所期望的微分運(yùn)動(dòng)獲達(dá)到期望的速度。實(shí)際上，微分運(yùn)動(dòng)分析的主要目的是分析而不是進(jìn)行計(jì)算。 我們知道，雅可比矩陣中所有元素的實(shí)際值都是時(shí)變的，我們知道，雅可比矩陣中所有元素的實(shí)際值都是時(shí)變的，因此，雖然雅可比矩陣的符號(hào)方程相同，但他們的數(shù)值改變因此，雖然雅可比矩陣的符號(hào)方程相同，但他們的數(shù)值改變了。所以我們?yōu)榱四軌蛟诿棵雰?nèi)計(jì)算出足夠多的精確關(guān)節(jié)速了。所以我們?yōu)榱四軌蛟诿棵雰?nèi)計(jì)算出足夠多的精確關(guān)節(jié)速度，需要保證

39、計(jì)算過(guò)程非常高效和快速，否則，結(jié)果將是不度，需要保證計(jì)算過(guò)程非常高效和快速，否則，結(jié)果將是不精確的。精確的。 常用的雅可比矩陣求逆的方法是，可以用逆動(dòng)力學(xué)方程常用的雅可比矩陣求逆的方法是，可以用逆動(dòng)力學(xué)方程來(lái)計(jì)算關(guān)節(jié)的速度。來(lái)計(jì)算關(guān)節(jié)的速度。 方法如下：方法如下：11111111111111111111111)(180)arctan(0SpCpCdpSdpdCdpSdpSpCpddSpCdpdCpSdpCpSpppCpSpyxyxyxyxyyxxyxxyyx和)()(2)()(222)()(0000)()()()()(43223444234432234411111142341133323223222423424234113234112342341111112344322344322341111112341143223423411234dddCadpaSpdddSadCpdpSdSpdpCaCSpCpdSaaaaaaaSpaCSpCpCdpdadodndpda