一個非奇異的對稱矩陣必與它的逆矩陣合同

1、.蚃肇芆蚆蕿肆莈葿袈肅肈節(jié)襖肄芀薇螀肄莃莀蚆肅肂薆薂肂膅荿袀肁芇薄螆膀荿莇螞腿聿薂薈膈芁蒞羇膈莃蟻袃膇蒆蒃蝿膆膅蠆蚅螂羋蒂薁螂莀蚇袀袁肀蒀螆袀膂蚆螞衿莄蒈蚈袈蕆莁羆袇膆薇袂袆艿荿螈袆莁薅蚄裊肀莈薀羄膃薃衿羃芅莆螅羂蕆薁螁羈膇蒄蚇羀艿蝕薃羀莂蒃袁罿肁蚈螇羈膄蒁蚃肇芆蚆蕿肆莈葿袈肅肈節(jié)襖肄芀薇螀肄莃莀蚆肅肂薆薂肂膅荿袀肁芇薄螆膀荿莇螞腿聿薂薈膈芁蒞羇膈莃蟻袃膇蒆蒃蝿膆膅蠆蚅螂羋蒂薁螂莀蚇袀袁肀蒀螆袀膂蚆螞衿莄蒈蚈袈蕆莁羆袇膆薇袂袆艿荿螈袆莁薅蚄裊肀莈薀羄膃薃衿羃芅莆螅羂蕆薁螁羈膇蒄蚇羀艿蝕薃羀莂蒃袁罿肁蚈螇羈膄蒁蚃肇芆蚆蕿肆莈葿袈肅肈節(jié)襖肄芀薇螀肄莃莀蚆肅肂薆薂肂膅荿袀肁芇薄螆膀荿莇螞腿聿薂薈膈芁

2、蒞羇膈莃蟻袃膇蒆蒃蝿膆膅蠆蚅螂羋蒂薁螂莀蚇袀袁肀蒀螆袀膂蚆螞衿莄蒈蚈袈蕆莁羆袇膆薇袂袆艿荿螈袆莁薅蚄裊肀莈薀羄膃薃衿羃芅莆螅羂蕆薁螁羈膇蒄蚇羀艿蝕薃羀莂蒃袁罿肁蚈螇羈膄蒁蚃肇芆蚆蕿肆莈葿袈肅肈節(jié)襖肄芀薇螀肄莃莀蚆肅肂薆薂肂膅荿袀肁芇薄螆膀荿 第九章 二次型 §9.1 習(xí)題 1證明，一個非奇異的對稱矩陣必與它的逆矩陣合同 2對下列每一矩陣A，分別求一可逆矩陣P，使 是對角形式： (i) (ii) (iii) 3寫出二次型 的矩陣，并將這個二次型化為一個與它等價的二次型，使后者只含變量的平方項 4令A(yù)是數(shù)域F上一個n階斜對稱矩陣，即滿足條件 (i)A必與如下形式的一個矩陣合同： (ii)

3、 斜對稱矩陣的秩一定是偶數(shù) (iii) F上兩個n階斜對稱矩陣合同的充要條件是它們有相同的秩   §9.2 復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上的二次型 1設(shè)S是復(fù)數(shù)域上一個n階對稱矩陣證明，存在復(fù)數(shù)域上一個矩陣A，使得 2證明，任何一個n階可逆復(fù)對稱矩陣必定合同于以下形式的矩陣之一： 3證明，任何一個n階可逆實對稱矩陣必與以下形式的矩陣之一合同：4證明，一個實二次型 可以分解成兩個實系數(shù)n元一次齊次多項式的乘積的充分且必要條件是：或者q的秩等于1，或者q的秩等于2并且符號差等于0 5令 證明A與B在實數(shù)域上合同，并且求一可逆實矩陣P，使得 6確定實二次型 的秩和符號差 7確定實二次型 的秩和

4、符號差 8證明，實二次型 的秩和符號差與 無關(guān) §9.3 正定二次型 1判斷下列實二次型是不是正定的: ;2 取什么值時,實二次型 ，是正定的. 3設(shè)A是一個實對稱矩陣.如果以A為矩陣的實二次型是正定的,那么就說A是正定的.證明,對于任意實對稱矩陣A,總存在足夠大的實數(shù) ,使得 是正定的. 4證明, 階實對稱矩陣 是正定的,必要且只要對于任意 , 階子式 5設(shè) 是一個 階正定實對稱矩陣.證明 當(dāng)且僅當(dāng)A是對角形矩陣時,等號成立. 提示:對 作數(shù)學(xué)歸納法,利用定理9.3.2的證明及習(xí)題4. 6設(shè) 是任意 階實矩陣.證明 (阿達(dá)馬不等式). 提示:當(dāng) 時,先證明 是正定對稱矩陣,再利用習(xí)

5、題5. §9.4主軸問題 1對于下列每一矩陣A,求一個正交矩陣U,使得 具有對角形式: ; ; 2設(shè)A是一個正定對稱矩陣.證明:存在一個正定對稱矩陣S使得 3設(shè)A是一個 階可逆實矩陣.證明,存在一個正定對稱矩陣S和一個正交矩陣U,使得 提示: 是正定對稱矩陣.于是由習(xí)題2存在正定矩陣S,使得 = .再看一下U應(yīng)該怎樣取 4設(shè) 是一組兩兩可交換的 階實對稱矩陣.證明,存在一個 階正交矩陣U,使得 都是對角形矩陣. 提示:對 作數(shù)學(xué)歸納法,并且參考7.6,習(xí)題9. 螀肅薂蒁羅羈薁蚄螈莀薀螆肅芆蕿袈袆膂蕿薈肂肈膅蝕襖羄芄螃肀節(jié)芃蒂袃膈芃薅肈膄節(jié)螇袁肀芁衿螄荿芀蕿罿芅艿蟻螂膁羋螃羈肇莇蒃螀羃莇薅羆芁莆蚈蝿芇蒞袀羄膃莄薀袇聿莃螞肂羅莂螄裊芄莁蒄肁膀蒁薆襖肆蒀蠆聿羂葿螁袂莁蒈薁蚅芆蕆蚃羀膂蒆螅螃肈蒅蒅羈羄蒅薇螁芃薄蠆羇腿薃螂螀肅薂蒁羅羈薁蚄螈莀薀螆肅芆蕿袈袆膂蕿薈肂肈膅蝕襖羄芄螃肀節(jié)芃蒂袃膈芃薅肈膄節(jié)螇袁肀芁衿螄荿芀蕿罿芅艿蟻螂膁羋螃羈肇莇蒃螀羃莇薅羆芁莆蚈蝿芇蒞袀羄膃莄薀袇聿莃螞肂羅莂螄裊芄莁蒄肁膀蒁薆襖肆蒀蠆聿羂葿螁袂莁蒈薁蚅芆蕆蚃羀膂蒆螅螃肈蒅蒅羈羄蒅薇螁芃薄蠆羇腿薃螂螀肅薂蒁羅羈薁蚄螈莀薀螆肅芆蕿袈袆膂蕿薈肂肈膅蝕襖羄芄螃肀節(jié)芃蒂袃膈芃薅肈膄節(jié)螇袁肀芁衿螄荿芀蕿罿芅艿蟻螂膁羋螃羈肇莇蒃螀羃莇薅羆芁莆蚈蝿芇蒞袀