清華大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 強(qiáng)大數(shù)定理

1、第第5.45.4節(jié)節(jié) 強(qiáng)大數(shù)定律強(qiáng)大數(shù)定律一、以概率一、以概率1收斂收斂二、博雷爾強(qiáng)大數(shù)定律二、博雷爾強(qiáng)大數(shù)定律三、科爾莫戈羅夫強(qiáng)大數(shù)定律三、科爾莫戈羅夫強(qiáng)大數(shù)定律四、獨(dú)立同分布場合的強(qiáng)大數(shù)四、獨(dú)立同分布場合的強(qiáng)大數(shù) 定律定律一、以概率一、以概率1 1收斂收斂( )( )(lim( )( )1nnnP 如如果果對對隨隨機(jī)機(jī)變變量量、有有 義義（以以概概率率1 1收收斂斂） 定定5.2.55.2.5( )1( ),( )( )nn 則則稱稱以以概概率率 收收斂斂于于亦亦被被稱稱為為幾幾乎乎處處處處收收斂斂于于，簡簡記記為為首先回顧一下首先回顧一下5.2節(jié)關(guān)于以概率節(jié)關(guān)于以概率1收斂的概念收斂的概

2、念. .( )( )a sn 為了探討以概率為了探討以概率1收斂的內(nèi)在含義，需要以下定義：收斂的內(nèi)在含義，需要以下定義：定義定義 12,nA AA設(shè)設(shè), , 為為一一列列事事件件，記記1limnnnkn kAAlimnnnAA稱稱為為事事件件序序列列的的上上限限事事件件. . 記記1limnnnkn kAAlimnnnAA稱稱為為事事件件序序列列的的下下限限事事件件. . 上限事件與下限事件的含義與關(guān)系上限事件與下限事件的含義與關(guān)系 lim.limnnnnnnAAAA上上限限事事件件表表示示事事件件發(fā)發(fā)生生無無窮窮多多次次 下下限限事事件件表表示示事事件件至至多多只只有有有有限限個(gè)個(gè)不不發(fā)發(fā)生

3、生. .同時(shí)因?yàn)橥瑫r(shí)因?yàn)?1lim,(),limnnnnnkn kn Nnnnnn kkn kAANAAnNkAAA limlimnnnnAA因因而而極限事件極限事件limlimnnnnAA當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，記記limlimlimnnnnnnAAAlimnnnAA稱稱為為隨隨機(jī)機(jī)事事件件序序列列的的極極限限事事件件. .又因?yàn)橛忠驗(yàn)?1limlimnnnnnnkn kkn kAAAA同理同理limlimnnnnAA引理引理5.4.1 (博雷爾康特立引理博雷爾康特立引理) 1(),nnnAP A (1) (1) 若若隨隨機(jī)機(jī)事事件件序序列列滿滿足足則則 (lim)0,(lim)1nnnnPAPA1,()

4、nnnAP A ( (2 2) ) 若若隨隨機(jī)機(jī)事事件件序序列列相相互互獨(dú)獨(dú)立立 則則成成立立的的充充要要條條件件為為 (lim)1,(lim)0nnnnPAPA或或者者定理定理5.4.1. .( )( )( )( )a sPnn 反例反例(p298例一例一). .( )( )( )( )a sNOPnn 二、博雷爾強(qiáng)大數(shù)定律二、博雷爾強(qiáng)大數(shù)定律定理定理5.4.2(博雷爾博雷爾)nAn 設(shè)設(shè)是是事事件件 在在 次次獨(dú)獨(dú)立立試試驗(yàn)驗(yàn)Apn 中中的的出出現(xiàn)現(xiàn)次次數(shù)數(shù)，在在每每次次試試驗(yàn)驗(yàn)中中事事件件 出出現(xiàn)現(xiàn)的的概概率率為為 ，那那么么當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)， 1lim1nnnPpPpnn 或或者者 三、科爾莫

5、戈羅夫強(qiáng)大數(shù)定律三、科爾莫戈羅夫強(qiáng)大數(shù)定律1、定義、定義(強(qiáng)大數(shù)定律強(qiáng)大數(shù)定律)i 設(shè)設(shè)為為獨(dú)獨(dú)立立變變量量序序列列，若若11lim()01niiniPEn i 則則稱稱獨(dú)獨(dú)立立變變量量序序列列滿滿足足強(qiáng)強(qiáng)大大數(shù)數(shù)定定律律2、葛依克瑞尼不等式、葛依克瑞尼不等式 2,iiiD 若若是是獨(dú)獨(dú)立立隨隨機(jī)機(jī)變變量量序序列列，(1,2,), ()0niCm n nm 而而是是一一列列正正的的非非增增常常數(shù)數(shù)序序列列，則則對對任任意意的的正正整整數(shù)數(shù)，以以及及，均均有有12222211max()1()jjiimj nimnmjjjjj mPCECC 3、科爾莫戈羅夫不等式、科爾莫戈羅夫不等式 2,iiiD

6、 若若是是獨(dú)獨(dú)立立隨隨機(jī)機(jī)變變量量序序列列，(1,2,),0in 則則對對任任意意的的，均均有有22111max()jniijmj nijPE 科爾莫戈羅夫不等式是概率論中最重要的不等科爾莫戈羅夫不等式是概率論中最重要的不等式之一，當(dāng)式之一，當(dāng)n=1時(shí)，科爾莫戈羅夫不等式就退化為時(shí)，科爾莫戈羅夫不等式就退化為車貝曉夫不等式，而咯依克瑞尼不等式又是科爾車貝曉夫不等式，而咯依克瑞尼不等式又是科爾莫戈羅夫不等式的推廣莫戈羅夫不等式的推廣.4、科爾莫戈羅夫強(qiáng)大數(shù)定律、科爾莫戈羅夫強(qiáng)大數(shù)定律定理定理5.4.3 (科爾莫戈羅夫強(qiáng)大數(shù)定律科爾莫戈羅夫強(qiáng)大數(shù)定律) 21(1,2,3,),iiniDn 設(shè)設(shè)是是獨(dú)獨(dú)立立隨隨機(jī)機(jī)變變量量序序列列，且且則則11lim()01niiniPEn 四、獨(dú)立同分布場合的強(qiáng)大數(shù)定律四、獨(dú)立同分布場合的強(qiáng)大數(shù)定律定理定理5.4.4 (科爾莫戈羅夫科爾莫戈羅夫) (1,2,3,),ii 設(shè)設(shè)是是獨(dú)獨(dú)立立同同