回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(三)

1、2022-3-22鄭平正 制作鄭平正 制作3.1回歸分析的基回歸分析的基本思想及其初步本思想及其初步應(yīng)用（三）應(yīng)用（三）高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué) 選修選修2-3 第三章第三章 統(tǒng)計(jì)案例統(tǒng)計(jì)案例2022-3-22鄭平正 制作 比數(shù)學(xué)3中“回歸”增加的內(nèi)容數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)畫散點(diǎn)圖畫散點(diǎn)圖了解最小二乘法了解最小二乘法的思想的思想求回歸直線方程求回歸直線方程ybxa1. 用回歸直線方程用回歸直線方程解決應(yīng)用問題解決應(yīng)用問題選修2-3統(tǒng)計(jì)案例引入線性回歸模型引入線性回歸模型ybxae了解模型中隨機(jī)誤差項(xiàng)了解模型中隨機(jī)誤差項(xiàng)e產(chǎn)產(chǎn)生的原因生的原因了解相關(guān)指數(shù)了解相關(guān)指數(shù) R2 和模型擬和模型擬合的效果之間的關(guān)系合

2、的效果之間的關(guān)系了解殘差圖的作用了解殘差圖的作用利用線性回歸模型解決一類利用線性回歸模型解決一類非線性回歸問題非線性回歸問題5. 正確理解分析方法與結(jié)果正確理解分析方法與結(jié)果2022-3-22鄭平正 制作復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧1、線性回歸模型：、線性回歸模型：y=bx+a+e， (3)其中其中a和和b為模型的未知參數(shù)，為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差稱為隨機(jī)誤差。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)= (4) 2.2、數(shù)據(jù)點(diǎn)和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異、數(shù)據(jù)點(diǎn)和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異 是隨機(jī)誤差的效應(yīng)，稱是隨機(jī)誤差的效應(yīng)，稱 為為殘差殘差。)iiyy(iiieyy=3、對(duì)每名女大學(xué)生計(jì)算

3、這個(gè)差異，然后分別將所得、對(duì)每名女大學(xué)生計(jì)算這個(gè)差異，然后分別將所得的值平方后加起來，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為：的值平方后加起來，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為： 稱為稱為殘差平方和殘差平方和，它代表了隨機(jī)誤差的效應(yīng)。它代表了隨機(jī)誤差的效應(yīng)。21()niiiyy2022-3-22鄭平正 制作4、兩個(gè)指標(biāo)：兩個(gè)指標(biāo)：（1）類比樣本方差估計(jì)總體方差的思想，可以用作）類比樣本方差估計(jì)總體方差的思想，可以用作 為為 的估計(jì)量，的估計(jì)量， 越小，預(yù)報(bào)精度越高。越小，預(yù)報(bào)精度越高。22111( , )(2)22nieQ a b nnn22（2）我們可以用）我們可以用相關(guān)指數(shù)相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其來刻畫回歸的效果，其

4、計(jì)算公式是：計(jì)算公式是：222112211()()1()()nniiiiinniiiiyyyyRyyyy2022-3-22鄭平正 制作表表3-2列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。 在研究?jī)蓚€(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來粗略判斷它們是在研究?jī)蓚€(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來粗略判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。否線性相關(guān)，是否可以用回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。5、殘差分析與殘差圖的定義：、殘差分析與殘差圖的定義： 然后，我們可以通過殘差然后，我們可以通過殘差 來判斷模型擬合的效果，來判斷模型擬合的效果，

5、判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析這方面的分析工作稱為殘差分析。12,ne ee編號(hào)編號(hào)12345678身高身高/cm165165157170175165155170體重體重/kg4857505464614359殘差殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382 我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為樣作出

6、的圖形稱為殘差圖殘差圖。2022-3-22鄭平正 制作殘差圖的制作及作用殘差圖的制作及作用1 1、坐標(biāo)縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；、坐標(biāo)縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；2 2、若模型選擇的正確，殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)該分布在以橫、若模型選擇的正確，殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域；軸為心的帶形區(qū)域；3 3、對(duì)于遠(yuǎn)離橫軸的點(diǎn)，要特別注意。、對(duì)于遠(yuǎn)離橫軸的點(diǎn)，要特別注意。身高與體重殘差圖異常點(diǎn) 錯(cuò)誤數(shù)據(jù) 模型問題 幾點(diǎn)說明：幾點(diǎn)說明： 第一個(gè)樣本點(diǎn)和第第一個(gè)樣本點(diǎn)和第6個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集過程中是否有人為個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集過程中是否有人為的錯(cuò)誤。

7、如果數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)的錯(cuò)誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯(cuò)誤，則需要尋找其他的原因。據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯(cuò)誤，則需要尋找其他的原因。 另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計(jì)較合適，這另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計(jì)較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高。樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高。2022-3-22鄭平正 制作例例1 在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格在一段時(shí)間內(nèi)，某中商

8、品的價(jià)格x元和需求量元和需求量Y件之間件之間的一組數(shù)據(jù)為：的一組數(shù)據(jù)為：求出求出Y對(duì)的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。對(duì)的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價(jià)格價(jià)格x1416182022需求量需求量Y1210753解：解：18,7.4,xy555221111660,327,620,iiiiiiixyx y7.4 1.15 1828.1.a1.1528.1.yx 回歸直線方程為：51522155iiiiix yxybxx26205 18 7.41.15.16605 18 2022-3-22鄭平正 制作例例1 在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量元和需求量Y件

9、之件之間的一組數(shù)據(jù)為：間的一組數(shù)據(jù)為：求出求出Y對(duì)的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。對(duì)的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價(jià)格價(jià)格x1416182022需求量需求量Y1210753列出殘差表為列出殘差表為521()iiiyy0.3,521()iiyy53.2,5221521()1()iiiiiyyRyy 0.994因而，擬合效果較好。因而，擬合效果較好。iiyyiyy00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.42022-3-22鄭平正 制作例例2 關(guān)于關(guān)于x與與y有如下數(shù)據(jù)：有如下數(shù)據(jù)： 有如下的兩個(gè)線性模型：有如下的兩個(gè)線性模型：（1） ；（；（2） 試比較哪一個(gè)

10、擬合效果更好。試比較哪一個(gè)擬合效果更好。x24568y30406050706.517.5yx717.yx2022-3-22鄭平正 制作6 6、注意回歸模型的適用范圍：、注意回歸模型的適用范圍：（1）回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體。樣本數(shù)據(jù)）回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體。樣本數(shù)據(jù)來自哪個(gè)總體的，預(yù)報(bào)時(shí)也僅適用于這個(gè)總體。來自哪個(gè)總體的，預(yù)報(bào)時(shí)也僅適用于這個(gè)總體。（2）模型的時(shí)效性。利用不同時(shí)間段的樣本數(shù)據(jù)建立的模型，）模型的時(shí)效性。利用不同時(shí)間段的樣本數(shù)據(jù)建立的模型，只有用來對(duì)那段時(shí)間范圍的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報(bào)。只有用來對(duì)那段時(shí)間范圍的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報(bào)。（3）建立模型時(shí)自變量的取值范圍決定

11、了預(yù)報(bào)時(shí)模型的適用）建立模型時(shí)自變量的取值范圍決定了預(yù)報(bào)時(shí)模型的適用范圍，通常不能超出太多。范圍，通常不能超出太多。（4）在回歸模型中，因變量的值不能由自變量的值完全確定。）在回歸模型中，因變量的值不能由自變量的值完全確定。正如前面已經(jīng)指出的，某個(gè)女大學(xué)生的身高為正如前面已經(jīng)指出的，某個(gè)女大學(xué)生的身高為172cm，我們，我們不能利用所建立的模型預(yù)測(cè)她的體重，只能給出身高為不能利用所建立的模型預(yù)測(cè)她的體重，只能給出身高為172cm的女大學(xué)生的平均體重的預(yù)測(cè)值。的女大學(xué)生的平均體重的預(yù)測(cè)值。2022-3-22鄭平正 制作7、一般地，建立回歸模型的基本步驟為：、一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1

12、）確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解析變量，哪個(gè)變量是）確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解析變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量。預(yù)報(bào)變量。（2）畫出確定好的解析變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們）畫出確定好的解析變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）。之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）。（3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程關(guān)系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.（4）按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。）按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有

13、異常（個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性，等等），過存在異常，則過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。2022-3-22鄭平正 制作案例案例2 一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度和溫度x有關(guān)?，F(xiàn)有關(guān)?，F(xiàn)收集了收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于表中：組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于表中：（1 1）試建立產(chǎn)卵數(shù)）試建立產(chǎn)卵數(shù)y y與溫度與溫度x x之間的回歸方程；并之間的回歸方程；并預(yù)測(cè)溫度為預(yù)測(cè)溫度為2828o oC C時(shí)產(chǎn)卵數(shù)目。時(shí)產(chǎn)卵數(shù)目。（2 2）你所建立的模型

14、中溫度在多大程度上解釋了）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？產(chǎn)卵數(shù)的變化？ 溫度溫度xoC21232527293235產(chǎn)卵數(shù)產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)個(gè)7112124661153252022-3-22鄭平正 制作選變量選變量 解：選取氣溫為解釋變量解：選取氣溫為解釋變量x x，產(chǎn)卵數(shù)，產(chǎn)卵數(shù) 為預(yù)報(bào)變量為預(yù)報(bào)變量y y。畫散點(diǎn)圖畫散點(diǎn)圖假設(shè)線性回歸方程為假設(shè)線性回歸方程為 ：=bx+a選選 模模 型型分析和預(yù)測(cè)分析和預(yù)測(cè)當(dāng)當(dāng)x=28時(shí)，時(shí)，y =19.8728-463.73 93估計(jì)參數(shù)估計(jì)參數(shù)由計(jì)算器得：線性回歸方程為由計(jì)算器得：線性回歸方程為y=y=19.8719.87x x-463.

15、73-463.73 相關(guān)指數(shù)相關(guān)指數(shù)R R2 2= =r r2 20.8640.8642 2=0.7464=0.7464所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了74.64%的產(chǎn)卵數(shù)變化。的產(chǎn)卵數(shù)變化。探索新知探索新知050100150200250300350036912151821242730333639方案1當(dāng)當(dāng)x=28時(shí)，時(shí)，y =19.8728-463.73 93一元線性模型一元線性模型2022-3-22鄭平正 制作奇怪？奇怪？9366 ?模型不好？模型不好？2022-3-22鄭平正 制作 y=bx2+a 變換變換 y=bt+a非線性關(guān)系非線性關(guān)系 線性關(guān)系線性關(guān)系方

16、案2問題問題選用選用y=bx2+a ，還是，還是y=bx2+cx+a ？問題問題3-200-1000100200300400-40-30-20-10010203040 產(chǎn)卵數(shù)產(chǎn)卵數(shù)氣溫氣溫問題問題2如何求如何求a、b ？合作探究合作探究 t=x2二次函數(shù)模型二次函數(shù)模型2022-3-22鄭平正 制作方案2解答平方變換平方變換：令令t=xt=x2 2，產(chǎn)卵數(shù)，產(chǎn)卵數(shù)y y和溫度和溫度x x之間二次函數(shù)模型之間二次函數(shù)模型y=bxy=bx2 2+a+a就轉(zhuǎn)化為產(chǎn)卵數(shù)就轉(zhuǎn)化為產(chǎn)卵數(shù)y y和溫度的平方和溫度的平方t t之間線性回歸模型之間線性回歸模型y=bt+ay=bt+a溫度溫度2123252729

17、3235溫度的平方溫度的平方t44152962572984110241225產(chǎn)卵數(shù)產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)個(gè)711212466115325作散點(diǎn)圖，并由計(jì)算器得：作散點(diǎn)圖，并由計(jì)算器得：y y和和t t之間的線性回歸方程為之間的線性回歸方程為y=y=0.3670.367t t-202.54-202.54，相關(guān)指數(shù)，相關(guān)指數(shù)R R2 2= =r r2 20.8960.8962 2=0.802=0.802將將t=xt=x2 2代入線性回歸方程得：代入線性回歸方程得： y=y=0.3670.367x x2 2 -202.54 -202.54當(dāng)當(dāng)x x=28=28時(shí)時(shí)，y y=0.367=0.36728282 2

18、- -202.5485202.5485，且，且R R2 2=0.802=0.802，所以，二次函數(shù)模型中溫度解所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了釋了80.2%80.2%的產(chǎn)卵數(shù)變化。的產(chǎn)卵數(shù)變化。產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)0501001502002503003500150300450600750900 1050 1200 1350t2022-3-22鄭平正 制作問題問題 變換變換 y=bx+a非線性關(guān)系非線性關(guān)系 線性關(guān)系線性關(guān)系2110c xyc問題問題如何選取指數(shù)函數(shù)的底如何選取指數(shù)函數(shù)的底?-50050100150200250300350400450-10-50510152025303540產(chǎn)卵數(shù)產(chǎn)卵數(shù)氣

19、溫氣溫指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型方案3合作探究合作探究對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)2022-3-22鄭平正 制作方案3解答溫度溫度xoC21232527293235z=lgy0.851.041.321.381.822.062.51產(chǎn)卵數(shù)產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)個(gè)71121246611532500.40.81.21.622.42.8036912 15 18 21 24 27 30 33 36 39xz當(dāng)當(dāng)x=28x=28o oC C 時(shí)，時(shí)，y 44 y 44 ，指數(shù)回歸，指數(shù)回歸模型中溫度解釋了模型中溫度解釋了98.5%98.5%的產(chǎn)卵數(shù)的的產(chǎn)卵數(shù)的變化變化由計(jì)算器得：由計(jì)算器得：z z關(guān)于關(guān)于x x的線性回歸方程的線性回歸方

20、程為為z=0.118z=0.118x x-1.665 -1.665 ，相關(guān)指數(shù)相關(guān)指數(shù)R R2 2= =r r2 20.99250.99252 2=0.985=0.9850.118x-1.665 10y 對(duì)數(shù)變換：在對(duì)數(shù)變換：在 中兩邊取常用對(duì)數(shù)得中兩邊取常用對(duì)數(shù)得令令 ，則，則 就轉(zhuǎn)換為就轉(zhuǎn)換為z z=bx+a=bx+a22111221lglg( 10 )lglg10lglg10lgc xc xycccc xc xc2110c xyc12lg,lg,zy ac bc2110c xyc2022-3-22鄭平正 制作最好的模型是哪個(gè)最好的模型是哪個(gè)?-200-1000100200300400-4

21、0-30-20-10010203040 產(chǎn)卵數(shù)產(chǎn)卵數(shù)氣溫氣溫-50050100150200250300350400450-10-50510152025303540產(chǎn)卵數(shù)產(chǎn)卵數(shù)氣溫氣溫線性模型線性模型二次函數(shù)模型二次函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型2022-3-22鄭平正 制作比一比比一比函數(shù)模型函數(shù)模型相關(guān)指數(shù)相關(guān)指數(shù)R2線性回歸模型線性回歸模型0.7464二次函數(shù)模型二次函數(shù)模型0.802指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型0.985最好的模型是哪個(gè)最好的模型是哪個(gè)?2022-3-22鄭平正 制作用身高預(yù)報(bào)體重時(shí)，需要注意下列問題：用身高預(yù)報(bào)體重時(shí)，需要注意下列問題：1、回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體；、回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體；2、我們所建立的回歸方程一般都有時(shí)間性；、我們所建立的回歸方程一般都有時(shí)間性；3、樣本采集的范圍會(huì)影響回歸方程的適用范圍；、樣本采集的范圍會(huì)影響回歸方程的適用范圍；4、不能期望回歸方程得到的