全同粒子的特性

1、7-5 全同粒子的特性全同粒子的特性 一、全同粒子一、全同粒子二、全同性原理二、全同性原理三、全同粒子體系的波函數(shù)與哈密頓及其特性三、全同粒子體系的波函數(shù)與哈密頓及其特性四、玻色子和費(fèi)米子四、玻色子和費(fèi)米子7-5 全同粒子的特性全同粒子的特性 一、全同粒子一、全同粒子 1 1全同粒子：全同粒子： 例如：例如：金屬中的電子、氫原子中的電子和氦原子中的電子等。金屬中的電子、氫原子中的電子和氦原子中的電子等。不論電子處于何種物質(zhì)中，在什么地方，內(nèi)稟性質(zhì)都一樣，故所有不論電子處于何種物質(zhì)中，在什么地方，內(nèi)稟性質(zhì)都一樣，故所有電子是全同粒子。電子是全同粒子。 再如：再如：質(zhì)子和中子，正、負(fù)電子，內(nèi)稟性質(zhì)

2、不完全相同（如帶質(zhì)子和中子，正、負(fù)電子，內(nèi)稟性質(zhì)不完全相同（如帶電狀態(tài)不同），它們不是全同粒子。電狀態(tài)不同），它們不是全同粒子。 2 2全同粒子體系：全同粒子體系： 例如：例如：金屬中的電子；氦原子中的電子；核中的質(zhì)子或中子的金屬中的電子；氦原子中的電子；核中的質(zhì)子或中子的集合。集合。 由兩個(gè)或兩個(gè)以上的全同粒子組成的體系。由兩個(gè)或兩個(gè)以上的全同粒子組成的體系。 所有固有（內(nèi)稟）性質(zhì)（靜止質(zhì)量、電荷、壽命、自旋、同位所有固有（內(nèi)稟）性質(zhì)（靜止質(zhì)量、電荷、壽命、自旋、同位旋、內(nèi)稟磁矩等）完全相同的微觀粒子。旋、內(nèi)稟磁矩等）完全相同的微觀粒子。 3 3全同粒子的不可區(qū)分性全同粒子的不可區(qū)分性 經(jīng)典

3、力學(xué)中的兩個(gè)全同粒子是可以區(qū)分的。經(jīng)典力學(xué)中的兩個(gè)全同粒子是可以區(qū)分的。例如同一牌子的解放牌汽車，它們不能在同一例如同一牌子的解放牌汽車，它們不能在同一時(shí)刻處于同一位置，由初始狀態(tài)和運(yùn)行軌道的時(shí)刻處于同一位置，由初始狀態(tài)和運(yùn)行軌道的記錄可以區(qū)分它們（建立檔案）。記錄可以區(qū)分它們（建立檔案）。 微觀全同粒子不可區(qū)分，同一時(shí)刻它們可微觀全同粒子不可區(qū)分，同一時(shí)刻它們可以處于同一位置。兩個(gè)全同粒子可用兩個(gè)波函以處于同一位置。兩個(gè)全同粒子可用兩個(gè)波函數(shù)表示，在運(yùn)動(dòng)過程中，兩個(gè)波函數(shù)會(huì)在空間數(shù)表示，在運(yùn)動(dòng)過程中，兩個(gè)波函數(shù)會(huì)在空間中發(fā)生重疊，在此區(qū)域內(nèi)無法區(qū)分這兩個(gè)粒子。中發(fā)生重疊，在此區(qū)域內(nèi)無法區(qū)分這

4、兩個(gè)粒子。只有當(dāng)波函數(shù)完全不重疊時(shí)，才可區(qū)分。只有當(dāng)波函數(shù)完全不重疊時(shí)，才可區(qū)分。 二、全同性原理二、全同性原理 全同性原理：全同性原理：全同粒子組成的體系中，任意交換兩個(gè)全同粒子，全同粒子組成的體系中，任意交換兩個(gè)全同粒子，體系的物理狀態(tài)保持不變。體系的物理狀態(tài)保持不變。 全同粒子的不可區(qū)分性導(dǎo)致了全同性原理。全同粒子的不可區(qū)分性導(dǎo)致了全同性原理。 例如：氦原子中有兩個(gè)電子，一個(gè)處于基態(tài)，一個(gè)處于第一激例如：氦原子中有兩個(gè)電子，一個(gè)處于基態(tài)，一個(gè)處于第一激發(fā)態(tài)，能量分別為發(fā)態(tài)，能量分別為 02212aeZEs2022222aeZEs體系的能量為體系的能量為 。 21EEE 若交換兩個(gè)電子的位

5、置和自旋，體系的能量不變。若交換兩個(gè)電子的位置和自旋，體系的能量不變。 三、全同粒子體系的波函數(shù)與哈密頓及其特性三、全同粒子體系的波函數(shù)與哈密頓及其特性 1 1全同粒子體系的波函數(shù)與哈密頓全同粒子體系的波函數(shù)與哈密頓 全同粒子體系的波函數(shù)和哈密頓分別為全同粒子體系的波函數(shù)和哈密頓分別為 ),.,(21tqqqN( ,)iiizqr S 用用 代表第代表第i個(gè)粒子的坐標(biāo)和自旋。個(gè)粒子的坐標(biāo)和自旋。 NijijiiiNqqWtqUtqqqH12221),(21),(2),.,( 2 2全同粒子體系的特性全同粒子體系的特性 引入引入交換（置換）算符交換（置換）算符 : : ijP),.,.,.,()

6、,.,.,.,(11tqqqqtqqqqPNijNjiij),.,.,.,(),.,.,.,(11tqqqqHtqqqqHPNijNjiij （1 1）交換體系中任一對(duì)全同粒子，體系的哈密頓不變。交換體系中任一對(duì)全同粒子，體系的哈密頓不變。 22111 (,.,.,., )( , )( ,)22NijijNijiiijiijP H qqqqtPU q tW q q 22111(, )(,)( ,.,.,., )22NjjjiijNjj iU q tW q qH qqqqt 11( ,.,.,., )( ,.,.,., )ijNjiNH qqqqtH qqqqt即體系的哈密頓具有交換對(duì)稱性。即體

7、系的哈密頓具有交換對(duì)稱性。 （2 2）體系的波函數(shù)具有確定的交換對(duì)稱性，且這種對(duì)稱性不體系的波函數(shù)具有確定的交換對(duì)稱性，且這種對(duì)稱性不隨時(shí)間改變。隨時(shí)間改變。 根據(jù)全同性原理，根據(jù)全同性原理， 與與 描寫同一狀態(tài)，它們之間至多差一個(gè)描寫同一狀態(tài)，它們之間至多差一個(gè)常數(shù)因子，即常數(shù)因子，即 ijP),.,.,.,(),.,.,.,(11tqqqqtqqqqPNjiNjiij),.,.,.,(),.,.,.,(1212tqqqqtqqqqPNjiNjiij又又 ),.,.,.,(),.,.,.,(112tqqqqtqqqqPNjiNjiij1于是于是 的本征值為的本征值為 ijP 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，

8、有 1,.),.,(.,.),.,(.,jiijqqqq則波函數(shù)是則波函數(shù)是交換對(duì)稱交換對(duì)稱的，用的，用 表示；表示； S 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 1 (.,.,.)(.,.,.)jiijqqqq 則波函數(shù)是則波函數(shù)是交換反對(duì)稱交換反對(duì)稱的，用的，用 表示。表示。 A 下面證明這種對(duì)稱性不隨時(shí)間改變。下面證明這種對(duì)稱性不隨時(shí)間改變。 由于由于 ijijPHHP所以所以 0,HPij則則 0ijijdPdPdtdt即宇稱算符的平均值不隨時(shí)間變化，它是守恒量。即宇稱算符的平均值不隨時(shí)間變化，它是守恒量。 結(jié)論：結(jié)論：描述全同粒子體系的波函數(shù)只能是對(duì)稱或反對(duì)稱的，它描述全同粒子體系的波函數(shù)只能是對(duì)稱或反

9、對(duì)稱的，它們的對(duì)稱性不隨時(shí)間發(fā)生改變。如果體系在某一時(shí)刻處于對(duì)稱狀態(tài)，們的對(duì)稱性不隨時(shí)間發(fā)生改變。如果體系在某一時(shí)刻處于對(duì)稱狀態(tài)，則它將永遠(yuǎn)處于對(duì)稱狀態(tài)；如果體系在某一時(shí)刻處于反對(duì)稱狀態(tài)，則它將永遠(yuǎn)處于對(duì)稱狀態(tài)；如果體系在某一時(shí)刻處于反對(duì)稱狀態(tài)，則它將永遠(yuǎn)處于反對(duì)稱狀態(tài)。則它將永遠(yuǎn)處于反對(duì)稱狀態(tài)。 四、玻色子和費(fèi)米子（四、玻色子和費(fèi)米子（Bosons和和Fermions） 因?yàn)槿Ｗ拥牟ê瘮?shù)具有確定的對(duì)稱性，對(duì)稱的波函數(shù)保持因?yàn)槿Ｗ拥牟ê瘮?shù)具有確定的對(duì)稱性，對(duì)稱的波函數(shù)保持交換不變號(hào)；反對(duì)稱的波函數(shù)保持交換變號(hào)。所以，微觀全同粒子交換不變號(hào)；反對(duì)稱的波函數(shù)保持交換變號(hào)。所以，微觀全同粒子

10、體系的波函數(shù)可按置換對(duì)稱分為兩類（迄今為止，無發(fā)現(xiàn)例外），體系的波函數(shù)可按置換對(duì)稱分為兩類（迄今為止，無發(fā)現(xiàn)例外），即：（即：（1 1）交換對(duì)稱；（）交換對(duì)稱；（2 2）交換反對(duì)稱。）交換反對(duì)稱。 （a a）凡自旋是）凡自旋是 或或 奇數(shù)倍的粒子組成的全同粒子體系，奇數(shù)倍的粒子組成的全同粒子體系，波函數(shù)具有交換反對(duì)稱性，服從費(fèi)米波函數(shù)具有交換反對(duì)稱性，服從費(fèi)米狄拉克（狄拉克（FermiDiracFermiDirac）統(tǒng)）統(tǒng)計(jì)，這類粒子稱為計(jì)，這類粒子稱為費(fèi)米子費(fèi)米子。 2/2/ （b b）凡自旋是零或）凡自旋是零或 的整數(shù)倍的粒子組成的全同粒子體系，波的整數(shù)倍的粒子組成的全同粒子體系，波函數(shù)具有交換