(完整版)考研極限試題(卷)

1、“考研數(shù)學(xué)”一一做到更好，追求最好南工程考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)材料之一主編：楊降龍楊帆劉建新翁連貴吳業(yè)軍FJ數(shù)學(xué)近幾年來，隨著高等教育的大眾化、普及化，相當(dāng)多的大學(xué)本科畢業(yè)生由于就業(yè)的壓力，要想找到白己理想的工作比較困難，這從客觀上促使越來越多的大學(xué)畢業(yè)生選擇考研繼續(xù)深造，希望能學(xué)到專業(yè)的知識(shí)，取得更高的學(xué)歷，以增強(qiáng)白己的競(jìng)爭(zhēng)能力； 同時(shí)還有相當(dāng)多的往屆大學(xué)畢業(yè)生由于種種的原因希望通過讀研來更好地實(shí)現(xiàn)白我。這些年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明：應(yīng)屆與往屆的考生基本各占一半。白 1981989 9年起，研究生入學(xué)數(shù)學(xué)考試實(shí)行全國(guó)統(tǒng)一命題，其命題的范圍與內(nèi)容嚴(yán)格按照國(guó)家考試中心制定的“數(shù)學(xué)考試大綱”，該考試大綱除了在 19

2、961996 年實(shí)施了一次重大的修補(bǔ)以外，從 19971997 年起一直沿用至今，但期間也進(jìn)行了幾次小規(guī)模的增補(bǔ)。 因此要求考生能及時(shí)了解掌握當(dāng)年數(shù)學(xué)考試大綱的變化，并能按大綱指明的“了解”，“理解”，“掌握”的不同考試要求系統(tǒng)有重點(diǎn)的復(fù)習(xí)。通常研究生入學(xué)數(shù)學(xué)考試與在校大學(xué)生的期末考試相比，考試的深度與難度都將大大的增加，命題者往往將考試成績(jī)的期望值設(shè)定在 8080（按總分 15150 0分）左右命題，試題涉及的范圍大，基礎(chǔ)性強(qiáng)，除了需要掌握基本的計(jì)算能力、運(yùn)算技巧外，還需掌握一些綜合分析技能（包括各學(xué)科之間的綜合）。這使得研究生數(shù)學(xué)入學(xué)考試的競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng)，淘汰率很高。為了我院學(xué)生的考研需要，我們

3、編寫了這本輔導(dǎo)講義。該講義共分三個(gè)部分，編寫時(shí)嚴(yán)格按照考試大綱，含蓋面廣、量大，在突出重點(diǎn)的同時(shí)，注重于基本概念的理解及基本運(yùn)算能力的培養(yǎng)，力求給同學(xué)們做出有效的指導(dǎo)。第一章函數(shù)極限與連續(xù)考試內(nèi)容函數(shù)的概念及其表示，函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性及周期性，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)、隱函數(shù)，基本初等函數(shù)的圖形與性質(zhì)，初等函數(shù)的建立，數(shù)列極限與函數(shù)極限的性質(zhì)，函數(shù)的左右極限，無窮小與無窮大的關(guān)系，無窮小的性質(zhì)及無窮小的比較，極限的四則運(yùn)算，極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限，函數(shù)連續(xù)的概念，函數(shù)間斷點(diǎn)的類型，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。考試要求1、理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問題中的

4、函數(shù)關(guān)系。2、了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性及周期性的概念，注意這些問題與其它概念的結(jié)合應(yīng)用。3、理解復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)的概念，了解隱函數(shù)、反函數(shù)的概念。4、掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。5、理解極限、左右極限的概念，以及極限存在與左右極限的關(guān)系。6、掌握極限的性質(zhì)與四則運(yùn)算。7、掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限；掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。8、理解無窮小、無窮大的概念；掌握無窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無窮小計(jì)算極限。9、掌握利用羅必達(dá)法則求不定式極限的方法。10、理解函數(shù)連續(xù)性的概念，會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。11、理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最值存在、介值定理），并

5、會(huì)利用這些性質(zhì)。1 1 函數(shù)、函數(shù)的概念二、函數(shù)的性質(zhì)：有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性;三、函數(shù)的運(yùn)算（重要考點(diǎn)）：四則運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算（復(fù)合函數(shù)）、逆運(yùn)算（反函數(shù)）；四、函數(shù)的分類：初等函數(shù)、非初等函數(shù)。1、（88）已知f（x）2ex,f(x)x,且（x）0,求（x）及定義域。2、(92)已知f(x)sinx,f(x)x2，求（x）定義域。、r一1、3、設(shè)f（）xx(1.x21),0,f(x)。4、f(sinx1)sinxsin12sin3,求f(x)。5、(97)g(x)x,x,f(x)x,0工,0,求gf(x)。16、設(shè)f(x)1,x,00，求ff(x)。7、(90)f(x)1,0,求ff

6、(x)。2x8、求y2x0的反函數(shù)。12x2,x19、(96)設(shè)函數(shù)f(x)x3,1x2,12x16,x2(1)寫出f(x)的反函數(shù)g(x)的表達(dá)式；(2)g(x)是否有間斷點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)，若有，指出這些點(diǎn)。C,a,b,c為常數(shù)，且ab,試證：f(x)為奇函數(shù)。x211、xR,f(x)W足：2f(x)f(1x)x,求f(x)。2 2 極限110、設(shè)f(x)滿足：af(x)bf()x12、設(shè)f(x)連續(xù)，且f(x)sinxx2limf(x)，求f(x),limf(x)。13、(89)設(shè)f(x)連續(xù)，且f(x)1x20f(x)dx，求f(x)。14、(97)設(shè)f(x)11x210f(x)dx,求10

7、f(x)dx。、定義及性質(zhì)(1)唯一性；(2)局部有界性；(3)局部保號(hào)性(i)若 f(x)0,(或 f(x)0),且 limf(x)Axx0則 A0(或 A0);(ii)若 limf(x)Axx0oo0)，則 U(x,),xU3,),f(x)0(或 f(x)0);、求極限的方法(重點(diǎn))4、（1）用等價(jià)無窮小計(jì)算極限x0時(shí)，常見的等價(jià)無窮小有sinx,tanx,ln(1x),ex1,arcsinx,arctanxx,121cosxx,(1x)1x(0).2注意：x的廣泛的代表性sinu,tanu,ln(1u),eu1,arcsinu,arctanuu1cosu1u2,(1u)1u等2(2)有界

8、函數(shù)乘無窮小仍為無窮小。5、用羅必達(dá)法則設(shè)(1)limf(x)0(),limF(x)0(),(xx或x1、用定義證明和觀察法如limarctanxxlimarctanxx1limex0 x02、用極限的四則運(yùn)算法則和函數(shù)的連續(xù)性3、用兩個(gè)重要極限:sinxsinu、i)lim1(或lim。1)注意比較如下幾個(gè)極限sinxlimxxsinxi0 xlimxsinx1,xm0 xsin;ii)lim(11)xxxe,lim(1ne,1x般形式：忡0（11u)u1.lim(1)uuu通常對(duì)于含三角函數(shù)的9型極限用i）,對(duì)于1型極限用ii）。0(2)在Xo的某個(gè)去心鄰域內(nèi)(當(dāng)X充分大時(shí))f(x),F(

9、x)可導(dǎo)，且F(x)0f(x)(3)lim(A()F(x)則limlim旦A()F(x)F(x)基本類型有0和一。對(duì)于0,，可以通過初等變形轉(zhuǎn)化為0和一。對(duì)于1,0,0,通過取對(duì)數(shù)再用羅必達(dá)法則。6、用變量代換注意：該方法要視極限的具體形式而定，如：在計(jì)算xx0的極限時(shí)，如果被求極限中含有xx0的因式時(shí)，可以令xx0=t；在計(jì)算x的極限中，如果被求極限中含有,則可令-t。在研究xx生數(shù)學(xué)入學(xué)考試中不常出現(xiàn)7、用極限存在的二個(gè)準(zhǔn)則i)夾逼(兩邊夾)定理；ii)單調(diào)有界定理：?jiǎn)握{(diào)遞增(減)有上界(下界)的數(shù)列必有極限。8、利用導(dǎo)數(shù)定義(ch.2)9、用定積分定義(ch.3)當(dāng)已知函數(shù)f(x)可積時(shí)

10、，有l(wèi)imf(Kn1nMglim1f(ax)dx=0aa0f(x)dxlim10f(ax)dx=a1f(x)dxalimnf(a包爭(zhēng)八ni1nnf(x)dxf(ann10、用微分和積分中值定理(ch.2)11、用Taylor公式(ch.2)注意：下面幾類極限一般要討論左右極限:分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限;xx時(shí)，與絕對(duì)值或開偶次方根有關(guān)的極限;三、無窮小階的比較均為無窮小，且不為(C)一定不存在,(D)不一定存在。一x一.一esinxxx時(shí)，含有形如a1京因式的極限。(1)lim/0時(shí)，則稱是的高階無窮小，或稱是的低階無窮小，記(2)lim與為同階無窮小，特別當(dāng)c1時(shí)，稱與0()。等價(jià)無窮小。(3

11、)lim/kc0時(shí)，則稱是的k階無窮小。注意：無窮小的比較是在數(shù)學(xué)考試中一個(gè)經(jīng)?？嫉目键c(diǎn)，尤其在數(shù)二、三、四中。其主要考法有已知函數(shù)f(x)與另一已知函數(shù)g(x)是同階無窮小,求f(x)中所含的參數(shù);當(dāng)函數(shù)f(x)滿足什么條件時(shí)，是xn的同階(高階)無窮小;將給出的幾個(gè)無窮小按其階從小到大排列。(一)極限的計(jì)算1、(00)設(shè)對(duì)任意的x,總有(x)f(x)g(x),且limg(x)(x)0,則xlimf(x):x(A)存在且等于零,(B)存在但不一定為零,tanxx(2)lim2；2、(1)lim；x0 xcosxsinx213sinxxcos-(3)(97)I羿(1cosx)|n(iX)12e

12、xsinx4、(1)(00)limj-)。(2)(05)(數(shù)二、四)1exx12cosxx6、(1)(04)求極限lim二()1；0 x13x0（二）關(guān)于數(shù)列極限：3、（1）lxm01x.1tanx.1x1sinx.1tanx.1sinx(2)(99)lim2x0 xln(1x)x25、(1)lim(1xex；(2)Jimx(Jx2100 x)。/、/、，.arctanxx(4)(00)limq-2x*3)忡。(2)(93)肺絲二點(diǎn)；x5x3xx0(xt)f(t)dt0，求極限limx0 xx0f(xt)dtarctanxsinx7、(1)(99)1xm0(/1xtanx2.一(2)(94)l

13、imxxln(1x1)。x8、(1)(03)1lim(cosx)ln(1x0 x2)；(2)limx1a=1b3x(a,b,c0)。10、(03)設(shè)an,bn,cn均為非負(fù)數(shù)列，且lima”n0,limbn1,nlim&,則必有:n(99、（05）設(shè)函數(shù)f（x）連續(xù)，且f（0）(A)anbn對(duì)任意n成立;(B)bnCn對(duì)任意n成立;(C)極限limanCn不存在;n(D)極限limbnCn不存在。n11、(98)設(shè)數(shù)列Xn與yn滿足lim(Xnyn)0,則下列判斷正確的是:(A)若Xn 發(fā)散,則yn必發(fā)散,(B)若Xn無界，貝Uyn必有界,12、13、14、(C)若Xn有界,(1)(9

14、8)lim(n(3)Xi(96)15、(97)16、設(shè)X1則yn必為無窮小,ntan】)”；n(2)(02)limnn2na1】nlnn(12a)、2,X2.2X10，Xn1設(shè)a2,an2,Xn12,.,Xn6Xn12(an12一，(nXn1，一，一(D)若一為無窮小，則1)。求limxnon,證明|imXn存在并求之。1、)，證明：liman存在。anyn必為無窮小。1),求limXnon17、(06)設(shè)數(shù)列Xn滿足0X1,Xn1證明：(1)limXn存在，并求該極限；sinXn,n1,2,(2)計(jì)算limn12Xn1XnXnD:同階但不等價(jià)無窮小18、lim(n1n2119、(95)lim

15、()nn2n12n2n2n2nn)(三)極限中常數(shù)的確定sinx,20、(04)右lim(cosxx0eab)21、(1)(97)設(shè)X。時(shí)，etanxex與xn是同階無窮小，貝Un(2)(96)設(shè)x1ax。時(shí)，f(x)e為x的二階無分小，求a,b。(3)(05數(shù)二)當(dāng)x0時(shí),2.(x)kx與(x)J1xarcsinxJcosx是等價(jià)無窮小，則(4)設(shè)1cosxf(x)0.2.sintdt,g(x)5x6一一.，則當(dāng)x0時(shí)f(x)是g(x)的()6A：低階無窮小高階無窮小(5)(06)試確定常數(shù)A,B,C,使得(1/3,-2/3,1/6)C:等價(jià)無窮小ex(1BxCx2)1Axo(x3)axsi

16、nx3xdt22、(98)求a,b,c,使limx0c,(c0)。,、atanxb(1cosx)_2223、(94)設(shè)lim2,ac0,則有：x0cln(12x)d(1ex)(A)b4d,(B)b4d,(C)a4c,(D)a4c。24、(1)(01)設(shè)當(dāng)x0時(shí)，(1cosx)ln(1x2)是比xsinxn高階的無窮小，而xsinxn是比x2(ex1)局階的無窮小，則正整數(shù)n等于：(A)1,(B)2,(C)3,(D)4。(2)(01)已知f(x)在(，)內(nèi)可導(dǎo)，且limf(x)e,xcxlim()limf(x)f(x1),求c的值。xxcx25、(02)設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)具有一階連

17、續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)0,f(0)0,若af(h)bf(2h)f(0)在h0時(shí)是比h高階的無窮小，試確定a、b的值。26、(02)設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)0,f(0)0,f(0)0,證明：存在惟一的一組實(shí)數(shù)1,2,3,使得2f(2h)3f(3h)f(0)是比h2高階的無窮小。當(dāng)h0時(shí)，1f(h)27、lim(vax3成2xxa,b。3 3 連續(xù)與間斷一、f(x)在點(diǎn)X0連續(xù)(重點(diǎn)):limf(x)f(X0)或Ijmy0。初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，分段函數(shù)分界點(diǎn)的連續(xù)性要用定義討論。二、若f(x)在點(diǎn)a不連續(xù)，稱a為f(x)的間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)分兩類：第一類間斷點(diǎn)(

18、左、右極限都存在)：可去間斷點(diǎn)(左、右極限都相等)和跳躍間斷點(diǎn)(左、右極限不相等)第二類間斷點(diǎn)：無窮間斷點(diǎn)(至少有一側(cè)極限為無窮大)，振蕩間斷點(diǎn)等。注意：這一部分在數(shù)三、四中是一個(gè)?？嫉目键c(diǎn)，主要以已知連續(xù)性或間斷點(diǎn)的類型確定參數(shù)，計(jì)算題中以討論間斷點(diǎn)類型并補(bǔ)充定義使其連續(xù)為主；在數(shù)一、二中一般不單獨(dú)以單個(gè)概念出題，通常會(huì)跟函數(shù)的建立、極限、微分方程等概念結(jié)合考查。三、閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)有以下性質(zhì)：1)最值定理：閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取到最大值M和最小值m(必有界)；更一般地：我們可以得到如下結(jié)論設(shè)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，且Jimf(x)及Jimf(x)都存在，則f(x)在(a,b)

19、內(nèi)有界。2)介值定理：閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取到介于最小值和最大值M之間的任一數(shù)；3)零點(diǎn)定理：設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，f(a)與f(b)異號(hào)，則至少有一點(diǎn)(a,b),使得f( )0。推廣的零點(diǎn)定理：設(shè)f(x)在區(qū)間(,)上連續(xù)，且limf(x)x(),limf(x)x(),則至少存在一點(diǎn)()，使f()0例題tanx1ex0.xarcsin1(02)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，則a=o22xaex0為何值時(shí)，x0是f(x)的可去間斷點(diǎn)?3、(00)設(shè)函數(shù)f(x)二T在(,ae)內(nèi)連續(xù)，且limxf(x)0,則常數(shù)a、b滿足(A)a0,b0,(B)a0,b0,(C)a0,b0,(D)a0,b0

20、.4、(05)設(shè)f(x)V，則()ex11(A)x0,x1都是f(x)的第一類間斷點(diǎn)。(B)x0,x1都是f(x)的第二類間斷點(diǎn)。(C)x0是f(x)的第二類間斷點(diǎn)，x1是f(x)的第二類間斷點(diǎn)(D)x0是f(x)的第二類間斷點(diǎn)，x1是f(x)的第一類間斷點(diǎn)5、(04)設(shè) f(x)lim(n21)x，貝Uf(x)的間斷點(diǎn)為xnnx1一1x6、(98)設(shè)f(x)|im，討論f(x)的間斷點(diǎn)，結(jié)論為：(A)不存在間斷點(diǎn)，(B)存在間斷點(diǎn)x1,ln(1ax3)xarcsinxx06x0，問a為何值時(shí),ax2exax1x0_一xxsin-42(03)設(shè)函數(shù)f(x)f(x)在x0處連續(xù);(C)存在間斷點(diǎn)

21、x0,(D)存在間斷點(diǎn)x1。f(x)f(xl)。12、證明：方程xpqcosx0恰有一個(gè)實(shí)根，其中p,q為常數(shù)，且0q17、下列命題中正確的是(A)設(shè)函數(shù)f(x)在xX0處連續(xù),g(x)在xX0處不連續(xù)，則f(x)+g(x)在x(B)f(x),g(x)都在xx處不連續(xù)，則f(x)+g(x)在xx處必不連續(xù)(C)設(shè)函數(shù)f(x)在xx0處連續(xù)，g(x)在xx0處不連續(xù)，則f(x)g(x)在x(D)f(x),g(x)都在xx處不連續(xù)，則f(x)g(x)在xx處必不連續(xù)x8、(98)求f(x)(1x)E(x在(0,2)內(nèi)的間斷點(diǎn)及類型。x處必不連續(xù)x處必不連續(xù)(exe)tanx9、(07)函數(shù)f(x)

22、1在x(ee)上的第一類間斷點(diǎn)是x(A)0;(B)1;(C)2;(D)F10、設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，且a2f(x)b2,求證:a,b,使f()11、f(x)在0,1上非負(fù)連續(xù)，f(0)f(1)0，證明：對(duì)lR(0l1),x0,1，使13、設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，aXIx?b,試證，對(duì)兩個(gè)正數(shù)t與t2,一定使tf(x)t2f(x2)(t1t2)f(C)。(本題的證明思想應(yīng)掌握，并應(yīng)能將結(jié)論推廣到更為一般的情況)點(diǎn)ca,b,14、(04)函數(shù)f(x)xsin(x2)_、，-UJ 在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界:x(x1)(x2)2(A)(-1,0);(B)(0,1);(D)(2,3)。單元練習(xí)1、求函

23、數(shù)f(x)寸sin(七&)的定義域2、函數(shù)f(x)ln(1ex)的定義域?yàn)?、若f(x)的定義域?yàn)?0,1)，則函數(shù)f(ex1)的定義域?yàn)?、f(x)_1xsinxecosx(A)有界函數(shù)(B)單調(diào)函數(shù)(C)周期函數(shù)(D)偶函數(shù)5、xnn為奇數(shù),則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，xn是無窮大量(B)無窮小量(C)有界變量(D)無界變量6、設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且f(x)x0f(t)dt，則f(x)=7、當(dāng)x0時(shí)，下列四個(gè)無窮小量中，哪一個(gè)是比其它三個(gè)更高階的無窮小(A)x2(B)寸1x21(C)xtanx2(D)1cosx8、設(shè)f(x),g(x)在x0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，且當(dāng)x0時(shí)f(x)是g(x)高階的無窮小，貝U當(dāng)x0時(shí)，of(t)sintdt是tg(t)dt的(A)低階無窮小(B)高階無窮小(C)同階但不等價(jià)無窮小(D)等價(jià)無窮小/、5xsintsinx9、(x)0一弓*，(x)0(11tdt，則當(dāng)x0時(shí)(x)是(x)的(A)低階無窮小(B)高階無窮小(C)同階但不等價(jià)無窮小(D)等價(jià)無窮小10、已知2ln(1x)(ax成)limX0.J1、12、lim()x0 xex113、ljm(Jn3/