平行關(guān)系的性質(zhì)

1、第一章 立體幾何初步5平行平行關(guān)系關(guān)系理解教材新知應(yīng)用創(chuàng)新演練知識(shí)點(diǎn)一5.2平平行行關(guān)關(guān)系系的的性性質(zhì)質(zhì)把握熱點(diǎn)考向考點(diǎn)一考點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二考點(diǎn)三 問題問題1：如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直：如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線是否與這個(gè)平面內(nèi)所有直線平行嗎？線是否與這個(gè)平面內(nèi)所有直線平行嗎？ 提示：提示：不一定，直線與平面內(nèi)的直線平行或異面不一定，直線與平面內(nèi)的直線平行或異面 問題問題2：教室日光燈管所在直線與地面平行，如何在：教室日光燈管所在直線與地面平行，如何在地面做一條直線與燈管所在直線平行呢？地面做一條直線與燈管所在直線平行呢？ 提示：提示：過燈管所在直線作一個(gè)平面與地面相交

2、，交過燈管所在直線作一個(gè)平面與地面相交，交線與燈管所在直線平行線與燈管所在直線平行直線與平面平行的性質(zhì)直線與平面平行的性質(zhì)aab任意一個(gè)任意一個(gè)交線交線 問題問題1：分別位于兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線有什：分別位于兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線有什么位置關(guān)系？么位置關(guān)系？ 提示：提示：平行或異面平行或異面 問題問題2：兩個(gè)平面互相平行，其中一個(gè)平面內(nèi)：兩個(gè)平面互相平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面有什么位置關(guān)系？的直線與另一個(gè)平面有什么位置關(guān)系？ 提示：提示：平行平行 問題問題3：若一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面同時(shí)相交，：若一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面同時(shí)相交，則交線有什么位置關(guān)系？則交線有什么位置關(guān)系？ 提示：提示

3、：平行平行平面與平面平行的性質(zhì)平面與平面平行的性質(zhì)ab平行平行交線交線 1直線與平面平行的性質(zhì)定理可以簡記為直線與平面平行的性質(zhì)定理可以簡記為“線面線面平行，則線線平行平行，則線線平行”，這是直線與平面的平行關(guān)系到直，這是直線與平面的平行關(guān)系到直線與直線的平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化的依據(jù)線與直線的平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化的依據(jù) 2面面平行的性質(zhì)定理面面平行的性質(zhì)定理 (1)面面平行的性質(zhì)定理也是線線平行的判定定理面面平行的性質(zhì)定理也是線線平行的判定定理. (2)已知兩個(gè)平面平行，雖然一個(gè)平面內(nèi)的任何直已知兩個(gè)平面平行，雖然一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個(gè)平面，但是這兩個(gè)平面內(nèi)的直線并不線都平行于另一個(gè)平面，但是這

4、兩個(gè)平面內(nèi)的直線并不一定相互平行，它們可能是平行直線，也可能是異面直一定相互平行，它們可能是平行直線，也可能是異面直線，但不可能是相交直線線，但不可能是相交直線 例例1如果一條直線和兩個(gè)相交平面平行，那么如果一條直線和兩個(gè)相交平面平行，那么這條直線就和它們的交線平行這條直線就和它們的交線平行 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥首先把文字語言改為符號(hào)語言，寫出首先把文字語言改為符號(hào)語言，寫出已知和求證，利用直線和平面平行的性質(zhì)定理來證明已知和求證，利用直線和平面平行的性質(zhì)定理來證明精解詳析精解詳析已知已知a，a，b.求證：求證：ab.證明：證明：過過a作平面作平面，c，a，ac.過過a作平面作平面，d，a，ad.

5、由公理由公理4得得cd.d，c ，c.又又c，b，cb，又，又ca，ab. 一點(diǎn)通一點(diǎn)通 (1)直線與平面平行的性質(zhì)定理作為線線平行的依直線與平面平行的性質(zhì)定理作為線線平行的依據(jù)，可以用來證明線線平行據(jù)，可以用來證明線線平行 (2)運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理時(shí)，應(yīng)先確定線面平運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理時(shí)，應(yīng)先確定線面平行，再尋找過已知直線的平面與這個(gè)平面相交的交線，行，再尋找過已知直線的平面與這個(gè)平面相交的交線，然后確定線線平行，證題過程應(yīng)認(rèn)真領(lǐng)悟線線平行與然后確定線線平行，證題過程應(yīng)認(rèn)真領(lǐng)悟線線平行與線面平行的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系簡記為線面平行的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系簡記為“過直線，作平面，過直線，作平面，得交線，得

6、平行得交線，得平行”1已知直線已知直線l平面平面，直線，直線m，則直線，則直線l和和m的位的位 置關(guān)系是置關(guān)系是 () A相交相交B平行平行 C異面異面 D平行或異面平行或異面 解析：解析：l與與m平行或異面平行或異面 答案：答案：D2如圖，直線如圖，直線a平面平面，點(diǎn)，點(diǎn)A在在另一側(cè)，點(diǎn)另一側(cè)，點(diǎn) B、C、Da.線段線段AB，AC，AD分別交分別交于于 點(diǎn)點(diǎn)E，F(xiàn)，G.若若BD4，CF4，AF4， 則則EG_.答案：答案：23四邊形四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)是平行四邊形，點(diǎn)P是平面是平面 ABCD外一點(diǎn)，外一點(diǎn)，M是是PC的中點(diǎn)，在的中點(diǎn)，在DM上上 取一點(diǎn)取一點(diǎn)G，過，過G和和AP作平

7、面交平面作平面交平面BDM于于 GH，求證：，求證：APGH. 證明：證明：如圖，連接如圖，連接AC交交BD于于O，連接，連接MO. ABCD是平行四邊形，是平行四邊形， O是是AC的中點(diǎn)的中點(diǎn) 又又M是是PC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， APOM.根據(jù)直線和平面平行的判定定理，根據(jù)直線和平面平行的判定定理，則有則有PA平面平面BMD.平面平面PAHG平面平面BMDGH，根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)定理，根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)定理，PAGH. 例例2已知已知，A，C，B，D，直線，直線AB與與CD交于點(diǎn)交于點(diǎn)S，且，且SA8，SB9，CD34，求當(dāng)，求當(dāng)S在在，之間時(shí)之間時(shí)SC的長的長 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥已知

8、有面面平行，要使用面面平行已知有面面平行，要使用面面平行的性質(zhì)定理，需尋找與的性質(zhì)定理，需尋找與，都相交的第三個(gè)平面，而都相交的第三個(gè)平面，而AB與與CD相交確定一個(gè)平面，也正好與相交確定一個(gè)平面，也正好與，都相交，都相交，這樣就具備了使用面面平行的性質(zhì)定理的前提條件，這樣就具備了使用面面平行的性質(zhì)定理的前提條件，進(jìn)而可有結(jié)論線線平行，由此可把求進(jìn)而可有結(jié)論線線平行，由此可把求SC長度的問題放長度的問題放到一個(gè)平面中求解到一個(gè)平面中求解 一點(diǎn)通一點(diǎn)通 (1)已知面面平行問題可以考慮兩個(gè)轉(zhuǎn)化，即面面平已知面面平行問題可以考慮兩個(gè)轉(zhuǎn)化，即面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行和面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行行轉(zhuǎn)化為線面平

9、行和面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行 (2)面面平行的性質(zhì)定理的幾個(gè)有用推論面面平行的性質(zhì)定理的幾個(gè)有用推論 夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段相等夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段相等 經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行行. 兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例比例 如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行平面互相平行4若平面若平面平面平面，直線，直線a，點(diǎn)，點(diǎn)B，則在，則在內(nèi)過內(nèi)過 點(diǎn)點(diǎn)B的所有直線中的所有直線中 () A不一定存在與不一定存

10、在與a平行的直線平行的直線 B只有兩條與只有兩條與a平行的直線平行的直線 C存在無數(shù)條與存在無數(shù)條與a平行的直線平行的直線 D存在唯一一條與存在唯一一條與a平行的直線平行的直線 解析：解析：利用面面平行的性質(zhì)可知，利用面面平行的性質(zhì)可知，a和和B確定一個(gè)平面，確定一個(gè)平面， 該平面與該平面與的交線過的交線過B點(diǎn)，則交線與點(diǎn)，則交線與a平行，且唯一平行，且唯一 答案：答案：D5正方體正方體ABCDA1B1C1D1中，中，M是棱是棱AA1的中點(diǎn)，過的中點(diǎn)，過 C、M、D1作正方體的截面，則截面的形狀是作正方體的截面，則截面的形狀是_解析：解析：如圖，由面面平行的性質(zhì)知截面與如圖，由面面平行的性質(zhì)知

11、截面與平面平面AB1的交線的交線MN是是AA1B的中位線，的中位線，所以截面是等腰梯形所以截面是等腰梯形CD1MN.答案：答案：等腰梯形等腰梯形6如圖，正方體如圖，正方體ABCDABCD中，點(diǎn)中，點(diǎn)E在在 AB上，點(diǎn)上，點(diǎn)F在在BD上，且上，且BEBF. 求證：求證：EF平面平面BBCC.法二：法二：作作FHAD交交AB于于H，連接，連接HE.ADBC，F(xiàn)HBC，又又FH 平面平面BBCC，BC平面平面BBCC.FH平面平面BBCC.由由FHAD，可得，可得 又又BFBE，BDAB， 例例3如圖所示，已知如圖所示，已知P是是 ABCD所在所在平面外一點(diǎn)，平面外一點(diǎn)，M、N分別是分別是AB、PC

12、的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，平面平面PAD平面平面PBCl. (1)求證：求證：lBC； (2)MN與平面與平面PAD是否平行？試證明你的結(jié)論是否平行？試證明你的結(jié)論 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥利用線線平行得利用線線平行得BC平面平面PAD， 則得則得BCl. 利用線面平行，面面平行得利用線面平行，面面平行得MN平面平面PAD. 精解詳析精解詳析法一：法一：(1)證明：因?yàn)樽C明：因?yàn)锽CAD， BC 平面平面PAD，AD平面平面PAD， 所以所以BC平面平面PAD. 又因?yàn)橛忠驗(yàn)锽C平面平面PBC，平面，平面PBC平面平面PADl，所以所以BCl. (2)平行取平行取PD的中點(diǎn)的中點(diǎn)E，連接，連接AE，NE，可以證

13、得，可以證得NEAM且且NEAM. 可知四邊形可知四邊形AMNE為平行四邊形為平行四邊形 所以所以MNAE，MN 平面平面APD，AE平面平面APD所所以以MN平面平面APD. 法二：法二：(1)證明：由證明：由ADBC，AD 平面平面PBC，BC 平平面面PBC，所以，所以AD平面平面PBC. 又因?yàn)橛忠驗(yàn)锳D平面平面PAD，平面，平面PBC平面平面PADl， 所以所以lADBC. (2)設(shè)設(shè)Q是是CD的中點(diǎn)，連接的中點(diǎn)，連接NQ，MQ， 則則MQAD，MQ 平面平面PAD，AD平面平面PAD. 所以所以MQ平面平面PAD，同理，由，同理，由NQPD，可得，可得NQ平面平面 PAD，而，而MQNQQ， 所以平面所以平面MNQ平面平面PAD. MN平面平面MNQ，所以，所以MN平面平面PAD. 一點(diǎn)通一點(diǎn)通本題綜合運(yùn)用了線面平行的性質(zhì)和面面平本題綜合運(yùn)用了線面平行的性質(zhì)和面面平行的性質(zhì)，對于證明線線平行目前有如下幾種方法：行的性質(zhì)，對于證明線線平行目前有如下幾種方法： 定義法定義法 公理公理4. 線面平行的性質(zhì)定理線面平行的性質(zhì)定理 面面平行的性質(zhì)定理面面平行的性質(zhì)定理8正方形正方形ABCD與正方形與正方形ABEF所在平面相交于所在平面相交于AB， 在在AE、BD上各有一點(diǎn)上各有一點(diǎn)P、Q，且，且APDQ. 求證：求證：PQ平面平面