§3.1—復(fù)變函數(shù)積分的概念

1、 第三章第三章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分 積分法是研究復(fù)變函數(shù)性質(zhì)和解決實(shí)際問題的十分重要積分法是研究復(fù)變函數(shù)性質(zhì)和解決實(shí)際問題的十分重要方法方法. .解析函數(shù)的許多重要性質(zhì)如解析函數(shù)的許多重要性質(zhì)如“解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)連續(xù)解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)連續(xù)”及及“解析函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)存在解析函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)存在”這些表面上看來只與微分這些表面上看來只與微分學(xué)有關(guān)的命題，一般均要使用復(fù)積分學(xué)有關(guān)的命題，一般均要使用復(fù)積分. . 復(fù)變函數(shù)積分的概念、性質(zhì)和計(jì)算法復(fù)變函數(shù)積分的概念、性質(zhì)和計(jì)算法 Cauchuy-Goursat基本定理、復(fù)合閉路定理基本定理、復(fù)合閉路定理Cauchuy積分公式積分公式高階導(dǎo)數(shù)公式高

2、階導(dǎo)數(shù)公式解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系3.1 3.1 復(fù)變函數(shù)積分的概念復(fù)變函數(shù)積分的概念一、積分的定義一、積分的定義二、積分的性質(zhì)二、積分的性質(zhì)三、積分存在的條件及其計(jì)算法三、積分存在的條件及其計(jì)算法3.1 3.1 復(fù)變函數(shù)積分的概念復(fù)變函數(shù)積分的概念一、曲線的方向 設(shè)設(shè)C為為平面上給定的一條光滑平面上給定的一條光滑( (或按段光滑或按段光滑) )曲線曲線, ,如如果選定果選定C的兩個可能方向中的一個作為正方向的兩個可能方向中的一個作為正方向, ,那么稱那么稱C為為. .增大的方向?yàn)檎较?。默認(rèn)以參數(shù)，對于未指明方向的曲線ttiytxtz)()()() 1時(shí)針方向。增大方

3、向，同時(shí)也是逆其默認(rèn)正方向是例：閉合曲線，圓逆時(shí)針方向?yàn)檎?。對于閉合曲線，默認(rèn)以ttiRtRtzsincos)()2特別地：二、復(fù)變函數(shù)積分的定義定義：函數(shù)f(z)定義域?yàn)镈,曲線C在D內(nèi), 起點(diǎn)A,終 點(diǎn)B. 1）分割曲線C，A=z0, z1,., zk-1, zk,., zn=BAz1z1z2z2z3z3.zk-1zkzkDzkBxyO 2）在每個小弧段 上任取一點(diǎn) ,小弧段向量 ,作乘積：1-DkkkzzzkkzfD)(zzk-1zkkzAz1z1z2z2z3z3.zk-1zkzkDzkBxyOzk-1zk 3）求黎曼和(Riemann)4) 取極限 (是最長小弧段的長度) 稱此極限是函

4、數(shù)f(z)沿曲線C從A到B的積分，記為 若曲線是閉合的，記為 .Dnkkkzf1)(zDnkkkzf10)(limzCdzzf)(f(z)dzC lim0f(zk)Dzkk1n 注意：1、 函數(shù)在按段光滑的曲線上連續(xù)，則積分一定 存在。2、 若曲線C 就是x軸上的線段a, b，且復(fù)變函 數(shù)f(z)=u(x)時(shí)，dz=dx。復(fù)變函數(shù)積分就是 一元實(shí)變函數(shù)定積分。baCdxxudzzf)()(1)( )d( )d ;CCf zzf zz- -(2)( )d( )d ;() CCkf zzkf zzk為常數(shù)(3) ( )( )d( )d( )d ;CCCf zg zzf zzg zz12(4)( )

5、d:Cnf zzC CCC f(z)dzC1f(z)dzC2f(z)dzCn.三 積分的性質(zhì) 即：方向性，線性性質(zhì)，路徑可加性f(z)dzCf(z) dsCML.(5) (5) ( (估值定理估值定理) )設(shè)曲線設(shè)曲線 C的長度為的長度為L，函數(shù)，函數(shù)f(z)在在C 上滿足上滿足f(z) M, f(z)dzCf(z) dsML.C那么那么證明證明: :由于由于 f(zk)k1nDzkf(zk)Dzkk1n1()nkkkfszD兩邊取極限得兩邊取極限得MLsMnkkD1kzD是是 與與 兩點(diǎn)間的距離，兩點(diǎn)間的距離， 是兩點(diǎn)是兩點(diǎn)之間弧度的長度，則之間弧度的長度，則zkzk-1Dsk四、 積分存在

6、的條件極其計(jì)算設(shè)光滑曲線 由參數(shù)方程： 給出，正方向?yàn)閰?shù)增加的方向，設(shè) C( )( )i ( )zz tx ty t()t),(),()(,),(yxivyxuzfyixzkkkkkkz),(),(),(),()(,(),()(:kkkkkknknkkkkkkknkkkkkkknkkkyuxviyvxuyixivuzfz - - 1111則則:兩邊再取極限，即兩邊再取極限，即-CCCudyvdxiyvxuzzfddd)(公式法公式法( (一一) )：化復(fù)變函數(shù)積分為第二類曲線積分法：化復(fù)變函數(shù)積分為第二類曲線積分法積分存在的條件積分存在的條件：當(dāng)：當(dāng) 是連續(xù)函數(shù)而是連續(xù)函數(shù)而 是光滑曲是光滑

7、曲線時(shí)，積分線時(shí)，積分 是一定存在的是一定存在的.)(zfC( )Cf z dz 先利用自變量與函數(shù)的實(shí)部虛部先利用自變量與函數(shù)的實(shí)部虛部x,y,u,vx,y,u,v的形式將的形式將被積分式被積分式化為第二類曲線積分化為第二類曲線積分，再代入曲線的表達(dá)式，再代入曲線的表達(dá)式化成一元積分。化成一元積分。 - - ttztzftty itxtytxivtytxuttytytxutxtytxvittytytxvtxtytxuzzftyytxxCd)()(d)()()(),()(),(d)()(),()()(),(d)()(),()()(),(d)()()(分計(jì)算：分計(jì)算：時(shí)，按第二類曲線線積時(shí)，按第

8、二類曲線線積當(dāng)曲線是參數(shù)方程當(dāng)曲線是參數(shù)方程)( )( )( d)( )(d)(tiytxtzttztzfzzfC，其中，其中所以有公式法公式法( (二二) )：化復(fù)變函數(shù)積分為對參數(shù)：化復(fù)變函數(shù)積分為對參數(shù)t t的的一元函數(shù)積分一元函數(shù)積分例例1 1 . 43 : ,d 的直線段的直線段從原點(diǎn)到點(diǎn)從原點(diǎn)到點(diǎn)計(jì)算計(jì)算iCzzC 解：參數(shù)方程解法解：參數(shù)方程解法直線方程為直線方程為, 10,4,3 ttytx ,)43( , tizC 上上在在 ,d)43(dtiz .2)43(2i d)43(d102 ttizzC d)43(102 tti2(34 )d2Ciz z iCC-xdyydxydy

9、xdx積分與路積分與路徑無關(guān)徑無關(guān) idy)iy)(dx(xzdzCC 又解又解: 第二類曲線積分法第二類曲線積分法積分與路積分與路徑無關(guān)徑無關(guān)注：所以不論注：所以不論 C C 是怎樣的連接是怎樣的連接 原點(diǎn)到原點(diǎn)到 3+43+4i i 的的曲線，積分值與曲線路徑無關(guān)！曲線，積分值與曲線路徑無關(guān)！例例2 . , , ,d)(1 010為整數(shù)為整數(shù)徑的正向圓周徑的正向圓周為半為半為中心為中心為以為以求求nrzCzzzCn - -解解積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為),20(0 irezz - -Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 - - innerizxy

10、or0z 0izzre- , 0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n 20d i;2 i , 0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n - - 20d)sin(cos ninrin; 0 - - - -rzznzzz0d)(1 10所以所以 . 0, 0, 0,2nni-20innderi-20innderi. i1 1 (2) ; i1 (1) : C ,Re(z)dz 32C的折線再到軸到點(diǎn)從原點(diǎn)沿的弧段上從原點(diǎn)到點(diǎn)拋物線為其中：計(jì)例xxy算xyoi 11i2xy xyoi 11i2xy 解解(1)： 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為),10()(2 titttz,d)21(d,Re ttiztz 于是于是 CzzdRe 10d)21(titt1032322 tit;3221i 解解(2)： 積分路徑由兩段直線段構(gòu)成積分路徑由兩段直線段構(gòu)成xyoi 11i2xy x軸上直線段的參數(shù)方程為軸上直線段的參數(shù)方程為),10()( tttz1到到1+i直線段的參數(shù)方程為直線段的參數(shù)方程為),10(1)( tittz,dd,Re tztz 于是于是,dd, 1Re tizz 于是于是 CzzdRe 10dtt 10d1ti.21i 注：本題積分值與路徑有關(guān)注：本題積分值與路徑有關(guān)解解： 的方程為的方程為 由性質(zhì)由性質(zhì)5知知 例例4 4：設(shè)：設(shè) 為從原點(diǎn)到點(diǎn)為從原點(diǎn)