自行車輪飾物的運(yùn)動(dòng)軌跡問題

1、理工大學(xué)暑期數(shù)學(xué)建模強(qiáng)化訓(xùn)練專題四自行車輪飾物的運(yùn)動(dòng)軌跡問題學(xué)員：曹陽許佳利倪迪杭學(xué)院：通信工程學(xué)院時(shí)間： 2010.08.19精品文檔自行車輪飾物的運(yùn)動(dòng)軌跡問題摘要本文就自行車輪飾物的運(yùn)動(dòng)軌跡問題，采用解析幾何的方法建立數(shù)學(xué)模型，求出了自行車在各種不同形狀的道路上行駛時(shí)飾物和橢圓板中心的運(yùn)動(dòng)軌跡方程，并且利用 Matlab 軟件模擬仿真出了兩者的運(yùn)動(dòng)軌跡。對(duì)于問題 1 和問題 2，先運(yùn)用解析幾何方法求出自行車輪軸心的軌跡方程，而后利用飾物始終繞車輪軸心作圓周運(yùn)動(dòng)建立參數(shù)方程，求出飾物的軌跡方程。求出的曲線軌跡分別見圖 2、圖 4 和圖 5。對(duì)于問題 4，將“圓板”換為“橢圓板” ，通過設(shè)定參

2、數(shù)，結(jié)合坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的知識(shí)，將轉(zhuǎn)動(dòng)過程中橢圓板中心的坐標(biāo)用該參數(shù)表示， 求出了其運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程。其軌跡圖像見圖 8。關(guān)鍵詞 : 運(yùn)動(dòng)軌跡，解析幾何，拋物線，橢圓，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。1 歡迎下載精品文檔一、問題的提出為了改變平淡的自行車外表，給自行車添加一分美妙的動(dòng)感，同時(shí)，也為了增加騎車人的“安全系數(shù)” ，一些騎車人及自行車廠家在自行車的輻條上安裝一塊亮麗的飾物。當(dāng)有這種飾物的自行車在馬路上駛過時(shí)， 這種飾物就如游龍一樣，對(duì)街邊的行人閃過一道波浪形的軌跡。 這一波一閃的光亮游龍， 也默默地維護(hù)著騎車人的安全。建立數(shù)學(xué)模型解決以下問題：1、這軌跡是什么曲線？試畫出它的圖形。2、當(dāng)這自行車又在一個(gè)拋物線形

3、的拱橋上通過時(shí)，或是在一拱一拱的正弦曲線（例如山地摩托車賽場(chǎng)）上通過時(shí)，這飾物又畫出一條曲中有曲的軌跡，這軌跡是什么曲線？試畫出它的圖形。3、這種滾動(dòng)中圓盤中心的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？4、將問題中“圓板”換為“凸形板” （例如橢圓板）時(shí)，其滾動(dòng)軌跡會(huì)有什么結(jié)果？二、問題的分析對(duì)于問題 1、2，裝有飾物的自行車在馬路上行駛過程中，飾物會(huì)形成一道道曲線軌跡。而隨著路況的不同，如平坦的公路、拋物線形的拱橋、正弦曲線形的山地摩托車賽場(chǎng)等， 飾物會(huì)形成不同的曲線軌跡。 不管形狀的道路怎么樣， 不管曲線軌跡有多復(fù)雜，都可以先運(yùn)用解析幾何方法求出自行車輪軸心的軌跡方程，而后利用飾物始終繞車輪軸心作圓周運(yùn)動(dòng)建立參數(shù)

4、方程， 求出飾物的軌跡方程。飾物繞車輪軸心的參數(shù)方程是較易得到的， 故問題的關(guān)鍵在于求出不同形狀的道路上自行車輪軸心的軌跡方程。求出飾物的軌跡方程后，設(shè)定合理的參數(shù)，利用 Matlab 軟件就可以模擬仿真出飾物的曲線軌跡。對(duì)于問題 4，研究凸形板（橢圓板）中心的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)， 可以通過設(shè)定參數(shù)，將轉(zhuǎn)動(dòng)過程中橢圓板中心的坐標(biāo)通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換用參數(shù)表示，求出其運(yùn)動(dòng)軌跡方程，設(shè)定合理的參數(shù)，利用 Matlab 軟件就可以模擬仿真出橢圓板中心的曲線軌跡。三、模型假設(shè)1、自行車在行駛過程中車輪不打滑；2、自行車在行駛過程中速度保持不變；3、自行車在行駛過程中車輪始終與地面接觸。四、模型的建立及求解1、符號(hào)說明

5、R自行車輪的半徑r飾物距車輪軸心的距離B自行車車輪上的飾物自行車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)速度a,b定常量。2 歡迎下載精品文檔2、模型建立2.1模型 1（問題 1）2.1.1 模型的分析自行車在馬路上行駛時(shí)， 可以認(rèn)為馬路是平坦的， 因此自行車輪軸心的運(yùn)動(dòng)軌跡就是一條直線。 求出這條直線方程后聯(lián)立飾物繞車輪軸心的參數(shù)方程， 就可以容易的得到飾物的運(yùn)動(dòng)軌跡。 在檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性時(shí)， 可以利用圖像求出幾個(gè)特殊點(diǎn)的坐標(biāo)， 與利用軌跡方程求出的坐標(biāo)一一比較， 若兩者求出的坐標(biāo)都是相同的，則驗(yàn)證了模型的正確性。2.1.2 模型的建立與求解設(shè)自行車輪的半徑為 R ，車輪上的飾物 B 距離車輪軸心為 r 。以自行車輪上某一

6、點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系， 假設(shè)飾物 B 的初始位置在 y 軸上，其示意圖如圖 1 所示，則飾物 B 的初始坐標(biāo) B0 為 0,R r 。圖 1 自行車輪示意圖設(shè)自行車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)速度為，則自行車的速度為vR 。經(jīng)過時(shí)間 t 后，飾物 B 的繞自行車輪軸心旋轉(zhuǎn)需滿足參數(shù)方程：x r sin t，y r cos t。而自行車輪軸心的運(yùn)動(dòng)軌跡需滿足參數(shù)方程：x Rt，y R。所以，飾物 B 的坐標(biāo)應(yīng)滿足參數(shù)方程：xr sin t，Rtyr cos t。R根據(jù)一般自行車的規(guī)格， 取 R0.5m，r0.4m ，20rad / s ，使用 Matlab軟件畫出其圖像如圖2 所示：。3 歡迎下載精品文檔圖 2

7、飾物在平坦道路上的軌跡2.1.3 模型的驗(yàn)證用飾物 B 在特殊點(diǎn)的坐標(biāo)來驗(yàn)證模型。假設(shè)自行車沿正x 軸方向行駛，則自行車輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。飾物B 轉(zhuǎn)動(dòng)、和 3時(shí)的坐標(biāo)分別為 B1 、 B2 和 B3 。22飾物 B 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的圖像如圖 3 所示。2圖 3 B轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的圖像2由圖像我們可以得到B1 的縱坐標(biāo)為 R 。飾物 B 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，車輪中心經(jīng)過的2距離為R ，故 B1 的橫坐標(biāo)為Rr 。因此飾物 B 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的坐標(biāo)為222。4 歡迎下載精品文檔B1R, R r 。而把 tT帶入方程式求得的 B 的坐標(biāo) B1'R, Rr ，這2422與 B1 的坐標(biāo)是相同的。用同樣的方法，我們可以把飾物 B 轉(zhuǎn)動(dòng)

8、 和 3時(shí)的圖像作出，然后利用圖像求得飾物 B 轉(zhuǎn)動(dòng) 和 32和 3時(shí)的坐標(biāo)，這與由方程式計(jì)算出飾物B 轉(zhuǎn)動(dòng)22時(shí)的坐標(biāo)都是相同的。從而驗(yàn)證了我們的模型的正確性。2.2模型 2（問題 2）2.2.1 模型的分析當(dāng)這自行車在一個(gè)拋物線形的拱橋上通過時(shí)， 自行車輪軸心的軌跡是一個(gè)類拋物線。在求飾物的軌跡時(shí)，先利用拱橋的拋物線方程求出自行車輪軸心的軌跡，然后聯(lián)立飾物的坐標(biāo)的參數(shù)方程，就可以得到飾物的軌跡。當(dāng)這自行車在一拱一拱的正弦曲線上通過時(shí)， 使用類似的方法， 先求出自行車輪軸心的軌跡，然后確定飾物的軌跡。2.2.2 模型的建立與求解（1）當(dāng)這自行車在一個(gè)拋物線形的拱橋上通過時(shí)，設(shè)拱橋的拋物線方程

9、為：x1x0 ,y1ax02bx0 (a0, b0)。拋物線上任意一點(diǎn)的切線斜率k1 為：k1y1' |x x02ax0b ，則該點(diǎn)的法向量的斜率k2 為：k21 。k1假設(shè)自行車輪的軸心坐標(biāo)為(x2 , y2 ) ，則自行車輪的軸心的軌跡方程為：( y2y1 )2( x2x1) 2R2 ,y2y1 k2。x2x1解之得：。5 歡迎下載精品文檔x2x1R,k211k22y2y1R。11k22這就是自行車輪軸心的軌跡方程。拋物線上從原點(diǎn)到任意一點(diǎn)的距離為s ，則有：x01 ( y1' )2 dxs01k1 1 k12ln k11 k124a1 b 1 b2ln b1 b2。4a又

10、根據(jù)行駛路程與行駛時(shí)間之間的關(guān)系，有令 ut ，則：svtRt ，u s 。R而經(jīng)過時(shí)間 t 后，飾物 B 的繞自行車輪軸心旋轉(zhuǎn)需滿足參數(shù)方程：x r sin u，y r cosu。而自行車輪軸心的運(yùn)動(dòng)軌跡需滿足參數(shù)方程：x x2，y y2。所以，飾物 B 的坐標(biāo)應(yīng)滿足參數(shù)方程：xr sin ux2，yr cosuy2。這就是當(dāng)這自行車在一個(gè)拋物線形的拱橋上通過時(shí)飾物B 的運(yùn)動(dòng)軌跡方程。取 a0.05， b2 ， R0.5m ， r0.4m ，使用 Matlab 軟件畫出其圖像如圖4所示：。6 歡迎下載精品文檔圖 4 飾物在拋物線拱橋上的軌跡（2）當(dāng)這自行車在一拱一拱的正弦曲線上通過時(shí)，設(shè)正弦

11、曲線的方程為：x1x0 ,y1a sin bx0 (a0,b0)。正弦曲線上任意一點(diǎn)的切線斜率k1 為：k1y1' |x xab cosx0 ，0則該點(diǎn)的法向量的斜率k2 為：k21 。k1假設(shè)自行車輪的軸心坐標(biāo)為(x2 , y2 ) ，則自行車輪的軸心的軌跡方程為：( y2y1 )2( x2x1) 2R2 ,y2y1 k2。x2x1解之得：x2x1R,k211k22y2y1R。11k22這就是自行車輪軸心的軌跡方程。7 歡迎下載精品文檔設(shè)自行車在正弦曲線上行駛的距離為s ，則有：sx01 ( y1' )2 dx 。x '0這個(gè)定積分較為復(fù)雜，故在求解s 的時(shí)候，運(yùn)用微

12、積分的思想，將圖形等步長(zhǎng)微分成 n 份，對(duì)每一部分求出面積后累加即可得到s 的解。 n 越大，求出的 s就卻精確。故有：sx01( y1' )2 dx'x0nx0x0'1 (ab cos i ( x0x0')2。i1nn同樣令 ut ，根據(jù) svtRt ，得到飾物 B 的坐標(biāo)應(yīng)滿足參數(shù)方程：xr sin ux2，yr cosuy2。這就是當(dāng)這自行車在一拱一拱的正弦曲線上通過時(shí)飾物B 的運(yùn)動(dòng)軌跡方程。取 a1， b0.6， n100 ， R0.5m ， r0.4m ，使用 Matlab 軟件畫出其圖像如圖 5 所示：圖 5 飾物在正弦曲線上的軌跡2.3模型 3（問

13、題 4）2.3.1 模型的建立與求解將問題中的“圓板”換為“橢圓板”之后，考慮在水平道路上運(yùn)動(dòng)。設(shè)初始狀態(tài)時(shí)橢圓的方程為：y a22x1 a b 0 ，a2b2其參數(shù)形式為：xb sin,yaa cos 。8 歡迎下載精品文檔則橢圓中心的坐標(biāo)為O 0, a ，坐標(biāo)原點(diǎn)為 O1 0,0 ，如圖 6 所示。圖 6設(shè)橢圓轉(zhuǎn)動(dòng)任意角度后，橢圓中心為 O' x2 , y2，橢圓與 x 軸的切點(diǎn)為A x0 , y0 。嘗試通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，找出橢圓轉(zhuǎn)動(dòng)角度后 x2 和 y2 關(guān)于 的參數(shù)表達(dá)式，即：x2x2,y2y2。則過切點(diǎn) A x0 , y0的切線方程為：y0 ay ax0x。a2b21所以，該切

14、線的斜率 k2 為：k2a2 x0tan 。2y0ab從而可以推得：y0 aa2（1）x0 。b2 k2點(diǎn) A x0 , y0在橢圓上，故又滿足：y0 a22x01。（2）a2b2聯(lián)立（ 1）、（2）可以得到：。9 歡迎下載精品文檔x0b2k2,a2k22b2y0aa2。a2k2b22這樣就得到了 x0 和 y0 關(guān)于的參數(shù)表達(dá)式。由于點(diǎn) A x0 , y0 在橢圓上，亦滿足橢圓的參數(shù)方程：x0b sin0,y0aa cos 0。故得到：0arc cos 1y0 。a令直線 OA 與橢圓長(zhǎng)軸的夾角為，則有：tanx0。ay0故，arc tanx0。ay0令坐標(biāo)原點(diǎn) O1 和切點(diǎn) A 之間的弧長(zhǎng)

15、 O1 A為 s ，則有：s0b2 cos2 d 。a2 sin20運(yùn)用微積分的思想求解 s ，將圖形等步長(zhǎng)微分成 n 份，對(duì)每一部分求出面積后累加即可得到 s的解。 n 越大，求出的 s 就卻精確。故有：0a2 sin2b2 cos2ds0n220a2 sin i 0b2 cosi 0。i 1nnn切點(diǎn) A x0 , y0到橢圓中心 O 0, a 的距離 dx022y0 a 。觀察圖 7，容易得到橢圓中心 O '在坐標(biāo)軸中滿足：x2O1 A'O' A' sin,y2O ' A' cos。所以，橢圓中心 O ' 在橢圓轉(zhuǎn)動(dòng)過程當(dāng)中的軌跡方

16、程為：。10 歡迎下載精品文檔x2s d sin,y2d cos。圖 7取 a4.5 ， b2.5，使用 Matlab 軟件畫出其圖像如圖8 所示：圖 8 橢圓中心在水平道路上運(yùn)動(dòng)軌跡五、模型的評(píng)價(jià)本文通過對(duì)自行車運(yùn)動(dòng)過程中飾物以及圓板（凸形板）的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了詳細(xì)的分析，并通過一定的物理和數(shù)學(xué)思想及方法，借助于 MATLAB軟件模擬了問題中所需的各點(diǎn)的軌跡。 在解決問題二時(shí)， 我們巧妙地運(yùn)用了數(shù)值積分的方法， 把自行車在拋物線軌道上通過時(shí)飾物的軌跡方程求解出來， 從而模擬出了其軌跡。 對(duì)于問題四，我們?cè)O(shè)定了橢圓參數(shù)方程， 通過對(duì)其運(yùn)動(dòng)過程物理狀態(tài)的分析， 完成了對(duì)其中心軌跡的求解。本文的缺點(diǎn)在于

17、由于時(shí)間有限，對(duì)于問題 4 的求解，只考慮橢圓板在水平直線上的運(yùn)動(dòng)。11 歡迎下載精品文檔七、模型的推廣可以將問題 4 拓展為較為簡(jiǎn)單的凸形板在常見平滑曲線上的運(yùn)動(dòng)， 通過設(shè)定參數(shù)，結(jié)合坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的知識(shí)， 將轉(zhuǎn)動(dòng)過程中簡(jiǎn)單的凸形板中心的坐標(biāo)用該參數(shù)表示，從而求出其運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程。參考文獻(xiàn)1. 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 高等數(shù)學(xué) 第六版 上冊(cè)高等教育出版社 2007 年 4月出版。12 歡迎下載精品文檔附錄一圖 2 的程序：t=0:0.01:3;r=0.4;R=0.5;a=3;v=a*tw=v./Rx =-r*sin(w.*t)+w.*R.*t ;y =R-r*cos(w.*t); plot(x,y)

18、axis(0 7 0 1.2)附錄二圖 4 的程序：x0=-1:0.01:40;a=-0.05;b=2;R=0.5;r=0.4;x1=x0;y1=a*x0.2+b*x0k1=2*a*x0+b;plot(x1,y1)hold onk2=-1./k1;%法線的斜率 ;x2=R./(k2.*sqrt(1+(1./k2).2)+x1;y2=R./sqrt(1+(1./k2).2)+y1%plot(x2,y2)hold onu=1/R*(1/(4*a)*(k1.*sqrt(1+k1.2)+log(k1+sqrt(k1.2+1)-1/(4*a)*(b*sqrt(1+b2)+log(b+sqrt(1+b2)

19、;x=-r*sin(u)+x2;y=y2-r*cos(u);plot(x,y);axis(-2 45 0 30)圖5程序：x0=-2:0.01:18;a=1;b=0.6;R=0.5;。13 歡迎下載精品文檔r=0.4;x1=x0;y1=a*sin(b*x0);k1=a*b*cos(b*x0);plot(x1,y1)hold onk2=-1./k1;%法線的斜率 ;x2=R./(k2.*sqrt(1+(1./k2).2)+x1;y2=R./sqrt(1+(1./k2).2)+y1;%plot(x2,y2)hold onfor x3=-2:0.01:18s=0;for i=1:100s=s+sqrt(1+(a*b*cos(b*i*(x3+2)/100-2)2)*(x3+2)/100endu=s/Ry1=a*sin(b*x3);k1=a*b*cos(b*x3);k2=-1./k1;x2=R./(k2.*sqrt(1+(1./k2).2)+x3;y2=R./sqrt(1+(1./k2).2)+y1;x=-r*sin(u)+x2;y=y2-r*cos