數(shù)分高代定理大全

1、數(shù)分高代定理大全?高等代數(shù)?第一章帶余除法 對于PX中任意兩個多項式f(x)與g(x)，其中g(shù)(x) 0，一定有Px 中的多項式 q(x),r(x)存在，使 f (x) q(x)g(x) r(x)成立，其中(r (x)(g(x)或者r(x) 0，并且這樣的q(x), r(x)是唯一決定的.定理1對于數(shù)域P上的任意兩個多項式f (x),g(x)，其中g(shù)(x) 0,g(x) | f (x)的 充分必要條件是g(x)除f (x)的余式為零.定理2對于Px中任意兩個多項式f (x)，g(x)，在Px中存在一個最大公因式d(x)，且d(x)可以表示成f (x)，g(x)的一個組合，即有Px中多項式u(x

2、),v(x) 使 d(x) u(x) f (x) v(x)g(x).定理3 Px中兩個多項式f (x)，g(x)互素的充分必要條件是有Px中的多項式u(x),v(x)使 u(x)f(x) v(x)g(x) 1 .定理 4 如果(f (x), g(x)1，且 f (x) |g(x)h(x)，那么 f (x) | h(x).定理5如果p(x)是不可約多項式，那么對于任意的兩個多項式f (x),g(x)，由P(x)| f (x)g(x) 一定推出 p(x) | f (x)或者 p(x) |g(x).因式分解及唯一性定理數(shù)域P上每一個次數(shù)1的多項式f (x)都可以唯一地分解成數(shù)域P上一些不可約多項式的

3、乘積.所謂唯一性是說，如果有兩個分解式f (x) P1(X)P2(X)Ps(x)q(x)q2(x)qt(x),那么必有s t，并且適當排列因式的次序后有Pi(x) Ciqi(x),i 1,2,s,其中Ci(i 1,2,s)是一些非零常數(shù).定理6如果不可約多項式p(x)是f (x)的k重因式(k 1),那么它是微商f (x)的k 1重因式.定理7余數(shù)定理用一次多項式x去除多項式f(x)，所得的余式是一個 常數(shù)，這個常數(shù)等于函數(shù)值f().定理8 Px中n次多項式(n 0)在數(shù)域P中的根不可能多于n個，重根按重數(shù) 計算定理9如果多項式f(x)，g(x)的次數(shù)都不超過n，而它們對n 1個不同的數(shù)1,

4、2，ni 有相同的值，即 f ( i) g( i),i1,2,n 1,那么 f(x) g(x).代數(shù)根本定理每個次數(shù)1的復系數(shù)多項式在復數(shù)域中有一根復系數(shù)多項式因式分解定理每個次數(shù)1的復系數(shù)多項式在復數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式的乘積實系數(shù)多項式因式分解定理每個次數(shù)1的實系數(shù)多項式在實數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式與二次不可約因式的乘積定理10高斯Gauss引理兩個本原多項式的乘積還是本原多項式定理11如果一非零的整系數(shù)多項式能夠分解成兩個次數(shù)較低的有理系數(shù)多項 式的乘積，那么它一定能分解成兩個次數(shù)較低的整系數(shù)多項式的乘積定理12設(shè)f (x) anXn an 1Xn 1ao是一個整系數(shù)多

5、項式，而 -是它的有理s根，其中r,s互素，那么必有s|an,r|a°.特別地，如果f (x)的首項系數(shù)an 1，那么f(x)的有理根是整根，而且是ao的因子定理13 艾森斯坦Eisenstein丨判別法設(shè)f (x) a“xn an 1xn 1ao是一個整系數(shù)多項式，如果有一個素數(shù)p，使得1. p I an ；2.Plan 1,an 2,，ao ；3. p2 | ao那么f(x)在有理數(shù)域上是不可約的第二章定理1對換改變排列的奇偶性.定理2任意一個n級排列與排列12n都可以經(jīng)過一系列對換互變，并且所作 對換的個數(shù)與這個排列有相同的奇偶性.如 耳23fn定理3設(shè)da21氐 a2n，Aj

6、表示元素aj的代數(shù)余子式，那么以下公式成anian 2ann立：akiAiak2Ai2aknAind,當 k i,0,當 k i.CiAja2l A2 janl Anjd,當 1j,0,當 ij.定理4克拉默法那么如果線性方程組aiixia12x2ainXnbi,a?i Xia?2 X2' a2nXnb2,an1X1an2X2-' amnXnbnaiiai2的系數(shù)矩陣Aa2i-a22-anian2的行列式d A0，那么該線性方程組有解,aina2nann并且解是唯一的，解可以通過系數(shù)表為Xid1,X2念,Xn 4,其中dj是把矩陣A中第j列換成方程組的常數(shù)項d ddbib,bn

7、所成的行列式，即aii兀i b| ai,j i叭dja21 a2,j 1 t>2 a2,j 1 a2n.,j1,2，n.定理5如果齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的行列式A0,那么它只有零解.換句話說，如果該方程組有非零解，那么必有A 0.定理6拉普拉斯定理設(shè)在行列式D中任意取定了 k(1 k n 1)個行.由這k行元素所組成的一切k級子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D.a11a12a1nS 5b1n定理7 兩個n級行列式D1a21a22a2n4+和d221b22b2n « 卜an1an2ann01%bnn的C22C1nC2n乘積等于一個n級行列式C，其中Cij是D1的第i行

8、元素分別與Cn2CnnD2的第j列的對應元素乘積之和:Cjai1bl jai2b2 j' ' ainbnj .a1 X*12X2CnXn0,a?1 Xa?2 X2a2nXn0,an1 X1an2X2annXn0第三章定理1在齊次線性方程組a1 x*12X2*1nXn0,a?1 xa?2 X2*2nXn0,an1 X1an2X2"*nnXn0中，如果s、n,那么它必有非零解定理2設(shè)S口2片與兒2r是兩個向量組，如果1向量組譏12凸可以經(jīng)幾門2廠',"線性表出，2r?s.那么向量組7化2凸必線性相關(guān).定理3 一向量組的極大線性無關(guān)組都含有相同個數(shù)的向量定

9、理4矩陣的行秩與列秩相等.定理5 n V n矩陣aiia12T 3a1n.a21a22T £32nA-an1an2ann的行列式為零的充分必要條件是A的秩小于n .定理6 一矩陣的秩是r的充分必要條件為矩陣中有一個r級子式不為零,時所有r +1級子式全為零.定理7線 性方程 組有解 判別 定理線性方程組a1 xa12x2Ta1nXn821X1822X2r .-a2nxn»有解的充分必要條件為丁它的系數(shù)矩陣an1 X1an2X2rannXnbna11厲2Ta1na11耳2a1n b.a21Aa22*a2n與增廣矩陣Aa21»a22a2nP有相同的秩。as1as2r

10、asnas1T s2asn Q定理8在齊次線性萬程組有非零解的情況卜，它有根底解糸，并且根底解系所含解的個數(shù)等于nr，這里r表示系數(shù)矩陣的秩.an X1a2 X2CnXnb,定理9如果r0 是方程組821X1822X2''a2nXnb2的一個特解，那么該方an1X1an2X2-'annXnbn程組的任一個解r都可以表成r -° +訃，其中是導出組a1 X312X2CnXn0,a?1 X*22 X2a2nXn0,的一個解.因此，對于方程組的任一個特解r0，當取an1 X1an2X2annXn0遍 它的導出組的全部解時，r r° I對就給出本方程組的全部

11、解第四章定理1設(shè)A,B是數(shù)域P上的兩個nxn矩陣，那么AB A|B ,即矩陣的乘 積的行列式等于它的因子的行列式的乘積.定理2設(shè)A是數(shù)域P上nx：m矩陣，b是數(shù)域P上mr矩陣，于是 秩(AB < min秩(A),秩(B)，即乘積的秩不超過各因子的秩.定理3矩陣A是可逆的充分必要條件是A非退化，而A 1 - (d - A 0).定理4 a是一個sn矩陣，如果p是ss可逆矩陣，q是n?；n可逆矩陣， 那么秩(A)=秩(PA)=秩(AQ).定理5任意一個SX n矩陣A都與一形式為的矩陣等價，它稱為矩陣 A的標 準形，主對角線上1的個數(shù)等于A的秩1的個數(shù)可以是零.定理6 n級矩陣A為可逆的充分必

12、要條件是它能表成一些初等矩陣的乘積：A Q1Q2 Qm第五章定理1 數(shù)域P上任意一個二次型都可以經(jīng)過非退化的線性替換變成平方和蘋2際久*.定理2在數(shù)域P上，任意一個對稱矩陣都合同于一對角矩陣.定理3任意一個復系數(shù)的二次型，經(jīng)過一適當?shù)姆峭嘶€性替換可以變成標 準形，且標準形是唯一的。定理4任意一個實數(shù)域上的二次型，經(jīng)過一適當?shù)姆峭嘶€性替換可以變成 標準形，且標準形是唯一的。定理5 1任一復對稱矩陣A都合同于一個下述形式的對角矩陣；,其中，對角線上i的個數(shù)r等于a的秩.2任一實對稱矩陣A都合同于一個下述形式的對角矩陣：，其中對角線上1的個數(shù)P及-1的個數(shù)r P r是A的秩都是唯一確定的，分別稱

13、為a的正、負慣性指數(shù)它們的差2p- r稱為A的符號差定理6 n元實二次型,召)是正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù)等于n .定理7實二次型n nf(Xix2,Xn) - 力刀 ajXjXj -XAXi1 j 1是正定的充分必要條件為矩陣A的順序主子式全大于零.定理8對于實二次型f(x,xn) xax其中a是實對稱的，以下條件等價：1f(x,x)是半正定的，2它的正慣性指數(shù)與秩相等，3有可逆實矩陣C ,使did2C AC一dn其中，d Oi 1,2;,r)4有實矩陣C使A CC，5A的所有主子式皆大于或等于零.第六章定理1 如果在線性空間V中有n個線性無關(guān)的向量1, 2廠n，且V中任一向量 都可

14、以用它們線性表出，那么V是n維的，而1, 2廠n就是V的一組基.定理2 如果線性空間V的非空子集合W對于V的兩種運算是封閉的，那么W就 是一個子空間.定理31兩個向量組生成相同子空間的充分必要條件是這兩個向量組等價.2H 1, 2,r)的維數(shù)等于向量組1, 2廠r的秩.定理4設(shè)W是數(shù)域P上n維線性空間V的一個m維子空間，1，2廠m是W的一 組基，那么這組向量必定可擴充為整個空間的基 .也就是說，在V中必定可以找到n m個向量ml，m2,，n，使得1，2，'"' n是V的一組基.定理5如果UM是線性空間V的兩個子空間，那么它們的交VZ 也是V的子空間定理6如果u,v2是

15、V的子空間，那么它們的和V, v2也是V的子空間.定理7 維數(shù)公式如果vm是線性空間V的兩個子空間，那么維Vi+維V=維V V2+維ViAV2.定理8和Vi V2是直和的充分必要條件是等式1 2 0,i Vi(i 1,2)只有在i全為零向量時才成立.定理9設(shè)V1,V2是V的子空間，令w V1 V2，那么w V V2的充分必要條件為維W=維v+維V2.定理10設(shè)U是線性空間V的一個子空間，那么一定存在一個子空間 W使V U W.定理11 V1，V2,Vs是V的一些子空間，下面這些條件是等價的：1 WVi是直和；2零向量的表法唯一；3Vi n Vj0 (i 1,2, ,s)；j i4維w=維(V)

16、定理12數(shù)域P上兩個有限維線性空間同構(gòu)的充分必要條件是它們有相同的維數(shù).第七章定理1設(shè)1, 2,，n是線性空間V的一組基，1, 2，n是V中任意n個向量.存在定理2設(shè)！，2,，n是數(shù)域P上n維線性空間V的一組基，在這組基下，每個線性變換對應一個n n矩陣.這個對應具有以下的性質(zhì)：1線性變換的和對應于矩陣的和；2線性變換的乘積對應于矩陣的乘積；3線性變換的數(shù)量乘積對應于矩陣的數(shù)量乘積；4可逆的線性變換與可逆矩陣對應，且逆變換對應于逆矩陣 .定理3設(shè)線性變換 在基仆2,，n下的矩陣是A，向量 在基1, 2,，n下的坐標是人必，人，那么 在基！，2,，n下的坐標 , 丫2 ,， 可以按公式y(tǒng)i洛y2

17、 a x2計算ynXn定理4 設(shè)線性空間V中線性變換 在兩組基1 , 2,，nI 61,2, n7下的矩陣分別為A和B，從基6到基7的過渡矩陣是X，于是B X 1AX. 定理5線性變換在不同基下所對應的矩陣是相似的；反過來，如果兩個矩陣相 似，那么它們可以看作同一個線性變換在兩組基下所對應的矩陣定理6相似的矩陣有相同的特征多項式.哈密爾頓一凱萊Hamilton-Caylay丨定理 設(shè)A是數(shù)域P上一個n n矩陣,f E A是A的特征多項式，那么 f(A) An (an a22 ann)An 1 (1)n AE O.定理7設(shè) 是n維線性空間V的一個線性變換， 的矩陣可以在某一組基下為對 角矩陣的充

18、分必要條件是，有n個線性無關(guān)的特征向量.定理8屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的.定理9如果1,，k是線性變換 的不同的特征值，而i1，片是屬于特征值i的 線性無關(guān)的特征向量，i 1,k，那么向量組11,，雞，k1,，krk也線性無關(guān).定理10設(shè) 是n維線性空間V的線性變換，！，2,，n是V的一組基，在這組基 下的矩陣是A，貝U1 的值域 V是由基像組生成的子空間，即V L( 1,2,:n).2 的秩A的秩.定理11設(shè) 是n維線性空間V的線性變換，那么 V的一組基的原像及1(0)的一組基合起來就是V的一組基.由此還有的秩 的零度n .定理12設(shè)線性變換 的特征多項式為f()，它可分解成一次因

19、式的乘積f( ) (1)2)""s)rS.那么V可分解成不變子空間的直和V U V2 - Vs ，其中 Vi1( i )r 0, V .定理13設(shè) 是復數(shù)域上線性空間V的一個線性變換，那么在V中必定存在一組基, 使 在這組基下的矩陣是假設(shè)爾當形矩陣.定理14每個n級復矩陣A都與一個假設(shè)爾當形矩陣相似.定理15數(shù)域P上n級矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件為 A的最小多項式 是P上互素的一次因式的乘積.第八章定理1 一個n n的-矩陣AP)是可逆的充分必要條件為行列式 AG)是一個非 零的數(shù).定理2 任意一個非零的SX n的-矩陣A0)都等價于以下形式的矩陣其中r?1d(M(

20、二1,2,r)是首相系數(shù)為1的多項式，且d")ld_a，(i=1,2,r-1).定理3等價的-矩陣具有相同的秩與相同的各級行列式因子.定理4-矩陣的標準形是唯一的.定理5兩個-矩陣等價的充分必要條件是它們有相同的行列式因子，或者，它 們有相同的不變因子定理6矩陣A0是可逆的充分必要條件是它可以表成一些初等矩陣的乘積.定理7設(shè)A,B是數(shù)域P上的兩個n X. n矩陣.A與b相似的充分必要條件是它們的 特征矩陣XE A和入E B等價.定理8兩個同級復數(shù)矩陣B相似的充分必要條件是它們有相同的初等因子定理9首先用初等變換化特征矩陣AE A為對角形式，然后將主對角線上的元 素分解成互不相同的一次

21、因式方幕的乘積， 那么所有這些一次因式的方幕相同的 按出現(xiàn)的次數(shù)計算就是A的全部初等因子.定理10每個n級矩陣的復數(shù)矩陣A都與一個假設(shè)爾當形矩陣相似，這個假設(shè)爾 當形矩陣除去其中假設(shè)爾當塊的排列次序外是被矩陣 A唯一決定的，它稱為A的 假設(shè)爾當標準形定理11設(shè)是復數(shù)域上線性空間V的線性變換，在V中必定存在一組基，使在 這組基下的矩陣是假設(shè)爾當形，并且這個假設(shè)爾當形矩陣除去其中假設(shè)爾當塊的 排列次序外是被唯一決定的.定理12復數(shù)矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是，A的初等因子全為一次的.定理13復數(shù)矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是，A的不變因子都沒有重 根.定理14 數(shù)域p上nxn方陣A在

22、p上相似于唯一的一個有理標準形，稱為 a的 有理標準形.定理15設(shè) 是數(shù)域P上n維線性空間的線性變換，那么在V中存在一組基，使 在 該基下的矩陣是有理標準形，并且這個有理標準形由 唯一決定，稱為 的有理 標準形.第九章定理1 n維歐式空間中任一個正交向量組都能擴充成一組正交基定理2對于n維歐式空間中任意一組基1, 2,，n，都可以找到一組標準正交基定理3兩個有限維歐式空間同構(gòu)的充分必要條件是它們的維數(shù)相同 定理4設(shè) 是n維歐式空間v的一個線性變換，于是下面四個問題是相互等價的：1 是正交變換；2 保持向量的長度不變，即對于-心；3如果1, 2,，n是標準正交基，那么'i，-'2

23、,'n也是標準正交基；4 在任一組標準正交基下的矩陣是正交矩陣.定理5如果子空間Vi,V2,Vs兩兩正交，那么和V1丨V2 一乂是直和.定理6 n維歐式空間v的每一個子空間Vi都有唯一的正交補.定理7 對于任意一個n級實對稱矩陣A，都存在一個n級正交矩陣t，使T At T 1AT成對角形.n n定理8任意一個實二次型aijxixj,aj =科i =1 j =1都可以經(jīng)過正交的線性替換變成平方和人yf入22丨 入yj，其中平方項的系數(shù) 入血入 就是矩陣A的特征多項式全部的根.第十章定理1設(shè)V是P上一個n維線性空間，1, 2，n是V的一組基，a1甩耳是P中任意n個數(shù)，存在唯一的V上線性函數(shù)

24、f使諂)a,i 1,2,n.定理2 L(V ,P)的維數(shù)等于V的維數(shù)，而且f1,f2,fn是L(V ,P)的一組基.定理3 設(shè)1, 2,，n及1, 2，n是線性空間V的兩組基，它們的對偶基分別為f1,f2,fn及9l,g2 ,gn .如果由1, 2/", n到1, 2,，n的過渡矩陣為A，那么由f1,f2/",fn到01滋,g的過渡矩陣為(A) 1.定理4 V是一個線性空間，v*是V的對偶空間的對偶空間.V到V*的映射是一個同構(gòu)映射.XTx定理5設(shè)V 是P上n維線性空間，f(、J)是V上對稱雙線性函數(shù)，那么存在V的一組基1, 2,，n，使在這組基下的度量矩陣為對角矩陣?數(shù)學

25、分析?第一、二章定理1.1確界原理設(shè)S為非空數(shù)集假設(shè)S有上界，那么S必有上確界；假設(shè)S 有下界，那么S必有下確界.定理2.1數(shù)列an收斂于a的充要條件是：an a為無窮小數(shù)列.收斂數(shù)列的性質(zhì)：定理2.2唯一性假設(shè)數(shù)列an收斂，那么它只有一個極限.定理2.3有界性假設(shè)數(shù)列an收斂，那么an為有界數(shù)列，即存在正數(shù) M ，使得對一切正整數(shù)n有an| M .定理2.4保號性假設(shè)lim an a 0或 0，那么對任何a (0,a)或a (a,0)，存在正數(shù)N，使得當n N有an a 或an a.定理2.5保不等式性設(shè)an與bn均為收斂數(shù)列.存在正數(shù)N。，使n N°時有 an bn，那么 lim

26、 an lim .nn定理2.6迫斂性設(shè)收斂數(shù)列an ， bn都以a為極限，數(shù)列cn滿足：存在正數(shù)N。，當n N0時有an Cn bn，那么數(shù)列Cn收斂，且lim Cn a.n定理2.7四那么運算法那么假設(shè)an與bn收斂，那么數(shù)列an bn， an bn，an bn也都是收斂數(shù)列，且有l(wèi)im( an bn) lim an lim bnnnnlim(an bn) lim an lim bn特別當bn為常數(shù)C時有Iim(an c) lim an c, lim can climan.nnnn假設(shè)在假設(shè)bn 0及l(fā)im bn 0 ,那么色也是收斂數(shù)列，且有l(wèi)im lim lim bn . nbnn g

27、 n / n定理2.8數(shù)列an收斂的充要條件是：an的任何非平凡子列都收斂.定理2.9單調(diào)有界定理在實數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限.定理2.10柯西收斂法那么數(shù)列an收斂的充要條件是：對任何給定的0 ,存在正整數(shù)N，使得當n,m N時有a. am.第三章定理 3.1 lim f(x) A lim f(x) lim f(x) A.X Xox X)x Xo函數(shù)極限的性質(zhì)：定理3.2唯一性假設(shè)極限lim f(x)存在，那么此極限是唯一的.x x)定理3.3局部有界性假設(shè)lim f (x)存在，那么f在X。的某空心鄰域U0(x0)內(nèi)有X X0界.定理3.4局部保號性假設(shè)lim f (x) A 0或0

28、，那么存在任何正數(shù)r A或X X0r A丨存在U。(冷)，使得對一切x U °(x°)有f (x) r 0或 f (x) r 0 丨.定理3.5(保不等式性)設(shè)lim f (x)與lim g(x)都存在，且在某鄰域x U°(x°)有xxx X0f(x) g(x),那么 lim f(x) lim g(x).x x0X x0定理3.6迫斂性設(shè)lim f (x) lim g(x) A，且在某x U 0(x0;)內(nèi)有X X0X X0f (x) h(x) g(x)，那么有 lim h(x) A .X x0定理3.7四那么運算法那么假設(shè)極限lim f(x)與lim

29、g(x)都存在，貝U函數(shù)f g，xx)x X)f g當XX。時極限也存在，且1Xinnj f(x) g(x)lim f (x)X X0Xing(x);2rlim f(x)g(x) lim f (x) lim g(x)；x x0x xoXX。且有又假設(shè)lim g(x) 0 ,貝U f g當xx°存在，X xlimx Xof(x)g(x)limX xof(xXinog(x)Xo定理3.8歸結(jié)原那么設(shè)f在x U 0(x0;)內(nèi)有定義.lim f (x)存在的充要條件X xo是：對任何含于x UO(Xo；)內(nèi)且以Xo為極限的數(shù)列Xn，極限lim f (Xn)都存在且相等.X X定理3.9設(shè)函

30、數(shù)f在點Xo的某空心右鄰域U °(xo)有定義.lim f (x) A的充要X X)條件是：對任何以Xo為極限的遞減數(shù)列XnU o(Xo)，有l(wèi)im f(xn) A.定理3.io設(shè)f為定義在U o(x。)上的單調(diào)有界函數(shù)，那么右極限lim f(x)存在.X xo定理3.11柯西準那么設(shè)函數(shù)f在Uo(xo；)內(nèi)有定義.lim f(x)存在的充要條X Xo件是：任給 o，存在正數(shù) ，使得對任何x，x U o(Xo；)有 I f(X) f(X )|.定理3.12設(shè)函數(shù)f,g,h在Uo(x)內(nèi)有定義，且有f(x)g(x)(xXo).i 丨假設(shè) lim f (x) h(x) A，那么 lim

31、g(x)h(x) A ；XX)XX)ii 丨假設(shè) lim h(x) b ,貝q limB .x xo f (x)x 冷 g(x)定理3.13i丨設(shè)f在Uo(Xo)內(nèi)有定義且不等于0.假設(shè)f為xxo時的無窮小量，那么1為xXo時的無窮大量.1ii假設(shè)g為xXo時的無窮大量，貝U 為xXo時的無窮小量.g第四章定理4.1函數(shù)f在點X。連續(xù)的充要條件是：f在點X。既是右聯(lián)系，又是左聯(lián)系.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：定理4.2局部有界性假設(shè)函數(shù)f在點xo連續(xù)，那么f在某U(x。)內(nèi)有界.定理4.3局部保號性假設(shè)函數(shù)f在點X。連續(xù)，那么f(x。)0或0，那么對任何正數(shù)r f (xo)或rf(xo)，存在某U(x。)

32、，使得對一切x U (x。)有 f (x ) r或 f (x ) r 丨.定理4.4四那么運算假設(shè)函數(shù)f和g在點xo連續(xù)，那么f g，f g，仃g g(xo) 0 也都在點X。連續(xù).定理4.5假設(shè)函數(shù)f在點Xo連續(xù)，g在點Uo連續(xù)，Uof (Xo)，那么復合函數(shù)g“ f在點Xo連續(xù).定理4.6最大、最小值定理假設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，那么f在a,b上 有最大值和最小值.定理4.7介值性定理設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a) f(b).假設(shè)u為介于f (a)與f(b)之間的任何實數(shù)f(a) u f (b)或 f(a) u f(b)，那么至少存在一點 Xo a,b，使得 f(x。)u.

33、定理4.8假設(shè)函數(shù)f在a,b上嚴格單調(diào)并連續(xù)，那么反函數(shù)f 1在其定義域f(a), f (b)或 f(b), f(a)上連續(xù).定理4.9一致連續(xù)性定理 設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間a,b上連續(xù)那么f在a,b上一致 連續(xù).定理4.10設(shè)a 0，為任意實數(shù)，那么有a a a ,(a ) a .定理4.12 切根本初等函數(shù)都是其定義域上的連續(xù)函數(shù) 定理4.13任何初等函數(shù)都是在其定義區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)第五章定理5.1假設(shè)函數(shù)f在點X?？蓪В敲磃在點X。連續(xù).定理5.2假設(shè)函數(shù)y f (x )在點x。的某鄰域內(nèi)有定義，那么f(X。)存在的充要條件是 f(X。)與 f(X。)都存在，且 f (x。) f (Xo).

34、定理5.3費馬定理設(shè)函數(shù)f在點X。的某鄰域內(nèi)有定義，且在點X?？蓪?假設(shè)點X。為f的極值點，那么必有f (x。)Q .定理5.4達布定理假設(shè)函數(shù)f在a,b上可導，且f (a) f (b)，k為介于f (a)，f (b)之間任一實數(shù)，那么至少存在一點a,b，使得f ( ) k.定理5.5假設(shè)函數(shù)u(x )和v(x )在點x?？蓪?，那么函數(shù)f (x) u(x) v(x )在點x。可導，且f(X。) u(x。)v(x。).定理5.6假設(shè)函數(shù)u(x )和v(x )在點X。可導，那么函數(shù)f(x) u(x) v(x )在點x。可導，且 f(X。)U(Xo)V(X。)U(Xo)V(X。).定理5.7假設(shè)函數(shù)

35、u(x )和v(x )在點X?？蓪?，且v(x。)Q，那么f (x)叢幻在點X。 v(x)可導，且f(X。)u (XMx。) U(Xo)v(X。)vx。2定理5.8設(shè)y f (x)為x (y)的反函數(shù)，假設(shè) (y)在點y。的某鄰域內(nèi)連續(xù)，嚴格單調(diào)且(y。)。，那么f(x)在點x。x。(y。)可導，且f x。1(y。)定理5.10函數(shù)f在點Xo可微的充要條件是函數(shù)f在點Xo可導，而且y A x ( x)中的 A等于 f(X。).第六章定理6.1羅爾中值定理假設(shè)函數(shù)f滿足如下條件:if在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；iif在開區(qū)間a,b內(nèi)可導； iii f(a) f(b)，那么在a,b內(nèi)至少存在一點 ，使得f

36、 ( ) o.定理6.2拉格朗日中值定理假設(shè)函數(shù)f滿足如下條件:if在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；iif在開區(qū)間a,b內(nèi)可導;那么在a,b內(nèi)至少存在一點，使得f()f(b) f(a)b a定理6.3設(shè)f(x)在區(qū)間I上可導，那么f(x)在區(qū)間I上遞增減的充要條件是f (x) o o定理6.4假設(shè)函數(shù)f在a,b內(nèi)可導，那么f在a,b內(nèi)嚴格遞增遞減的充要條件是：i對一切 x a,b，有 f (x) o f (x) o；ii在a,b內(nèi)的任何子區(qū)間上f (x)不恒為o.i丨在a,b上都連續(xù);ii在a,b內(nèi)都可導;iii f (x)和g (x)不同時為零；IVg(a) g(b),f(b) f(a).g(b) g

37、(a)'(xo)內(nèi)兩者都可導，且g (x)0 ;那么存在a,b，使得課定理6.6假設(shè)函數(shù)f和g滿足:ilim f (x) lim g(x) 0 ；XX。X 冷ii在點xo的某空心鄰域Uiii lim丄兇 A A可為實數(shù)，也可為 或，x 冷 g (x)那么 |im |im3 A.x xo g(x) x xo g (x)定理6.7假設(shè)函數(shù)f和g滿足：ilim f (x) lim g(x) ；X X。x xoii :在X。的某右鄰域U 0(x。)內(nèi)兩者都可導，且g(x) 0 ；iii lim丄兇 A A可為實數(shù)，也可為 或，x xo g (x)那么Hm 3 lim丄血a.x xo g(x)

38、x xo g (x)定理6.8假設(shè)函數(shù)f在點X。存在直至n階導數(shù)，那么f (x) Tn(x)(x xo f)，即f (x) f(X0) f(X0)(X X0)f(X0)2!(xX0)2嚴(X X0)n(x X°)n)n!定理6.9泰勒定理假設(shè)函數(shù)f在a,b上存在直至n階的連續(xù)導函數(shù)，在a,ba,b，使得f (Xo)/2f()(Xo)n f ( ) /n 1f(X)f(Xo)f(Xo)(XXo)-(XXo)- (XXo)(XX。)2!n!(n 1)!定理6.10極值的第一充分條件設(shè)f在點Xo連續(xù)，在某鄰域U o(Xo；)內(nèi)可導.i假設(shè)當 X (Xo,Xo)時 f(x) 0,當 X (X

39、o,Xo)時 f (x) o，那么f在點Xo取得極小值.ii假設(shè)當 X (Xo,Xo)時 f(x) o，當 X (Xo,Xo)時 f(x) o，那么f在點Xo取得極大值.定理6.11極值的第二充分條件設(shè)f在Xo的某鄰域U(Xo；)內(nèi)存在一階可導，在X Xo處二階可導，且f (x) o，f (x) o.i丨假設(shè)f (x) o ,那么f在點Xo取得極大值.ii :假設(shè)f (X) o，那么f在點Xo取得極小值.定理6.12 :極值的第三充分條件設(shè)f在Xo的某鄰域內(nèi)存在直到n 1階導函數(shù)，在 Xo 處 n 階可導，且 fg(xo) o(k 1,2,，n 1)， f(n)(x°) o 那么i丨

40、當n為偶數(shù)時，f在點xo取得極值，且當f(X。)o時取得極大值，宀(心o時取得極小值.ii當n為奇數(shù)時，f在點xo處不取得極值.定理6.13設(shè)f為區(qū)間I上的可導函數(shù)，那么下述判斷互相等價：1 f為I上的凸函數(shù)；2 f為I上的增函數(shù)；3 對 I 上的任意兩點 X1,X2，有 f(X2) f(xj f (xJ(X2 xj.定理6.14設(shè)f為區(qū)間I上的二階可導函數(shù)，那么在I上f為凸凹函數(shù)的充要條件是 f (x) o : f (x) o :, x I .定理6.15假設(shè)f在xo二階可導，那么(Xo, f(x。)為曲線y f(x)的拐點的必要條 件是f (x)0.定理6.16設(shè)f在X?？蓪?，在某鄰域U(

41、x。)內(nèi)二階可導.假設(shè)在U(X。)和U(X。)上 f (x)的符號相反，那么(xo,f(x。)為曲線y f(x)的拐點.第七章定理7.1區(qū)間套定理假設(shè)an,bn是一個區(qū)間套，那么在實數(shù)系中存在唯一的一點，使得an,bn ， n 1,2,，即 anbn， n 1,2,，定理7.2魏爾斯特拉斯聚點定理實軸上的任一有界無限點集S至少有一個聚 占八、定理7.3海涅-博雷爾有限覆蓋定理設(shè)H為閉區(qū)間a,b的一個無限開覆 蓋，那么從H中可選出有限個開區(qū)間來覆蓋a,b .有界性定理 假設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，那么f在a,b上有界.最大、最小值定理 假設(shè)函數(shù)f在區(qū)間a,b上連續(xù)，那么f在a,b上有最大值和

42、 最小值.介值性定理 設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a) f(b).假設(shè)u介于f (a)與f(b)之間的任意實數(shù)f(a) u f(b)或f(a) u f(b):，那么存在 x。a,b，使得 f(x。)u.一致連續(xù)性定理 假設(shè)函數(shù)f在區(qū)間a,b上連續(xù)，那么f在區(qū)間a,b上一致連續(xù).第八章定理8.1假設(shè)函數(shù)f在區(qū)間I上的連續(xù)，那么f在I上存在原函數(shù)F ,F (x) f(x),x I .定理8.2設(shè)F是f在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，貝Ui F C 也是 f 在 I 上的原函數(shù)，其中 C 為任意常量函數(shù)；ii f 在 I 上的任意兩個原函數(shù)之間，只可能差一個常數(shù) .定理8.3假設(shè)函數(shù)f與g在區(qū)間I上

43、都存在原函數(shù)，Ok?為兩個任意常數(shù)，那么k1 f k2g在 I 上 也 存 在 原 函 數(shù) ， 且k1 f(x) k2g(x)dx k1 f ( x)dx k2 g(x)dx.定理8.4換元積分法設(shè)g(u)在,上有定義，u (x)在a,b上可導，且(x)， x a,b ，并記 f(x) g( (x) (x).i丨假設(shè)g(u)在 , 存在原函數(shù)G(u)，那么f (x)在a,b也存在原函數(shù) F(x)， F(x) G( (x) C即 f(x)dx g( (x) (x)dx g(u)du G(u) C G( (x) C .ii :又假設(shè)(x)0，x a,b，那么上述命題i丨可逆，即當f(x)在a,b 存在原函數(shù) F(x)時，g(u)在 ,也存在原函數(shù) G(u)，且G(u) F( 1(u) C ，即 g(u)du g( (x) (x)dx f(x)dx F(x) C F( 1(u) C.定理8.5 分部積分法假設(shè)u(x)與v(x)可導，不定積分 u(x)v(x)dx存在，那么u(x)v(x)dx 存在，并有 u(x)v(x)dx u(x)v(x) u(x)v(x)dx.第九章定理9.1假設(shè)函數(shù)f在a,b上連續(xù)，且存在原函數(shù)F ,即F (x) f(x) , x a,b，