中南大學(xué)數(shù)值分析

1、計 算 方 法數(shù)值分析Numerical Analysis潘建瑜潘建瑜華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系科學(xué)計算科學(xué)計算q 科學(xué)計算科學(xué)計算 Scientific Computing (計算科學(xué)計算科學(xué) Computational Science)l 使用數(shù)學(xué)、統(tǒng)計與計算器的技術(shù)，借助計算機高速計算的使用數(shù)學(xué)、統(tǒng)計與計算器的技術(shù)，借助計算機高速計算的能力，來解決現(xiàn)代科學(xué)、工程、經(jīng)濟或人文中的復(fù)雜問題能力，來解決現(xiàn)代科學(xué)、工程、經(jīng)濟或人文中的復(fù)雜問題 狹義的科學(xué)計算是針對某些特定的數(shù)學(xué)問題，設(shè)計有效的狹義的科學(xué)計算是針對某些特定的數(shù)學(xué)問題，設(shè)計有效的計算方法來求解，因此即為計算方法來求解，因此

2、即為數(shù)值計算數(shù)值計算/數(shù)值分析數(shù)值分析/計算方法計算方法u 科學(xué)計算是一門工具性、方法性、整合性的新學(xué)科，是各科學(xué)計算是一門工具性、方法性、整合性的新學(xué)科，是各種科學(xué)與工程計算領(lǐng)域（如：氣象、地震、核能技術(shù)、石油種科學(xué)與工程計算領(lǐng)域（如：氣象、地震、核能技術(shù)、石油探勘、航天工程、探勘、航天工程、 密碼解譯等）中不可缺少的工具密碼解譯等）中不可缺少的工具計算數(shù)學(xué)計算數(shù)學(xué)是科學(xué)計算的是科學(xué)計算的核心核心與與基礎(chǔ)基礎(chǔ)u 科學(xué)計算已成為當(dāng)今科學(xué)研究的三種基本手段之一，是數(shù)科學(xué)計算已成為當(dāng)今科學(xué)研究的三種基本手段之一，是數(shù)學(xué)將觸角伸向其他學(xué)科的橋梁。學(xué)將觸角伸向其他學(xué)科的橋梁?？茖W(xué)計算科學(xué)計算u 隨著計

3、算機的高速發(fā)展，數(shù)值計算方法已深入到各個科學(xué)隨著計算機的高速發(fā)展，數(shù)值計算方法已深入到各個科學(xué)研究領(lǐng)域，計算性交叉學(xué)科不斷涌現(xiàn)，如計算力學(xué)、計算物研究領(lǐng)域，計算性交叉學(xué)科不斷涌現(xiàn)，如計算力學(xué)、計算物理、計算化學(xué)、計算生物學(xué)、計算經(jīng)濟學(xué)等理、計算化學(xué)、計算生物學(xué)、計算經(jīng)濟學(xué)等 q 科學(xué)計算科學(xué)計算u 使用計算機進(jìn)行科學(xué)計算、數(shù)據(jù)處理及分析已成為人類科使用計算機進(jìn)行科學(xué)計算、數(shù)據(jù)處理及分析已成為人類科技活動的主要方法之一。技活動的主要方法之一。熟練地使用計算機進(jìn)行科學(xué)計算，熟練地使用計算機進(jìn)行科學(xué)計算，已成為科技工作者的一項基本技能已成為科技工作者的一項基本技能 科學(xué)計算科學(xué)計算q 利用計算機解決

4、實際問題通常分下面幾個過程：利用計算機解決實際問題通常分下面幾個過程：實際實際問題問題數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)模型模型數(shù)值數(shù)值方法方法程序程序設(shè)計設(shè)計上機上機實現(xiàn)實現(xiàn)應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例問：今有問：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？問上、中、下禾實一秉各幾何？ 九章算術(shù)九章算術(shù)3239xyz 2334xyz 2326xyz例：一個古老的數(shù)學(xué)問題例：一個古老的數(shù)學(xué)問題應(yīng)

5、用舉例應(yīng)用舉例1112111212222211nnnnnnnnaaaxbaaaxbaaaxb 線性方程組數(shù)值求解線性方程組數(shù)值求解 教材第五、六章教材第五、六章Axb 應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例例：人口預(yù)測例：人口預(yù)測表格中是我國表格中是我國1950年到年到2005年的人口數(shù)（見年的人口數(shù)（見中國統(tǒng)計年鑒），試預(yù)測未來的人口數(shù)中國統(tǒng)計年鑒），試預(yù)測未來的人口數(shù)插值與曲線擬合插值與曲線擬合 教材第二、三章教材第二、三章年份年份人口人口(萬萬)19505519619556146519606620719657253819708299219759242019809870519851058511990114331

6、99512112120001267432005130756應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例例：例：鋁制波紋瓦的長度問題鋁制波紋瓦的長度問題建筑上用的一種鋁制波紋瓦是由機器將一塊平整的鋁板壓建筑上用的一種鋁制波紋瓦是由機器將一塊平整的鋁板壓制而成。假若要求波紋瓦長制而成。假若要求波紋瓦長 4 英尺，每個波紋的高度英尺，每個波紋的高度(從中從中心線心線)為為 1 英寸，且每個波紋以近似英寸，且每個波紋以近似 2 英寸為一個周期。英寸為一個周期。求制做一塊波紋瓦所需鋁板的長度求制做一塊波紋瓦所需鋁板的長度 L。應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例這個問題就是要求由函數(shù)這個問題就是要求由函數(shù) f(x)=sin x給定的曲線從給定的曲線從

7、 x=0 到到 x=48 英寸間的弧長英寸間的弧長 L，即，即:數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分與數(shù)值微分 教材第四章教材第四章484822001( ) d1(cos ) dLfxxxx 上述積分為第二類橢圓積分，無法用普通方法來計算上述積分為第二類橢圓積分，無法用普通方法來計算應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例矩陣特征值計算矩陣特征值計算 教材第八章教材第八章例：例：Google 搜索引擎搜索引擎1998 年創(chuàng)立，目前市值近年創(chuàng)立，目前市值近2000億億G: Google Matrix, “the worlds largest matrix computation” x: PageRank vector “The

8、$25,000,000,000 Eigenvector” SIAM Review，2006Gx = x, eTx =1計算方法的任務(wù)計算方法的任務(wù)q 計算方法計算方法/數(shù)值分析的任務(wù)數(shù)值分析的任務(wù)u 設(shè)計求解各種實際問題的設(shè)計求解各種實際問題的高效可靠高效可靠的的數(shù)值方法數(shù)值方法l 有效：易于在計算機上實現(xiàn)有效：易于在計算機上實現(xiàn)l 可靠：收斂性穩(wěn)定性等有理論保證可靠：收斂性穩(wěn)定性等有理論保證l 高效：盡可能地節(jié)省計算時間和存儲空間高效：盡可能地節(jié)省計算時間和存儲空間對于同一問題，不同的算法在計算性能對于同一問題，不同的算法在計算性能上可能相差百萬倍或者更多！上可能相差百萬倍或者更多！u 對求

9、得的對求得的數(shù)值數(shù)值解的精度進(jìn)行評估解的精度進(jìn)行評估u 研究數(shù)值算法研究數(shù)值算法在計算機上在計算機上的的實現(xiàn)實現(xiàn)計算方法計算方法例：例：求解一個求解一個 n 階線性方程組，如果使用階線性方程組，如果使用克萊姆法則克萊姆法則，需，需要計算要計算 n+1 個個 n 階行列式，在不計加減運算情況下，至少階行列式，在不計加減運算情況下，至少需要需要 n!(n2-1) 次乘除運算。而使用高斯消去法，只需約次乘除運算。而使用高斯消去法，只需約2n3/3 次乘除運算次乘除運算用每秒運算用每秒運算 30 億次（主頻億次（主頻3.0G）的計算機求解時，大的計算機求解時，大約需要約需要10000年的時間年的時間

10、22020!(201) 9.710 l 當(dāng)當(dāng) n=20 時，時，如果使用高斯消去法，不到一秒鐘就能完成如果使用高斯消去法，不到一秒鐘就能完成 數(shù)值方法特點數(shù)值方法特點q 數(shù)值方法的特點數(shù)值方法的特點u 方法是近似的方法是近似的，所以求出的解是有誤差的，所以求出的解是有誤差的u 與計算機緊密結(jié)合：上機實現(xiàn)與計算機緊密結(jié)合：上機實現(xiàn)l 掌握一門語言：掌握一門語言：C 語言或語言或 Fortran 語言語言l 熟悉一種數(shù)學(xué)軟件：熟悉一種數(shù)學(xué)軟件：Matlab，Maple 或或 Mathematica課程信息課程信息數(shù)值分析數(shù)值分析（第五版）（第五版）q 教材教材：李慶揚等編著，清華大學(xué)出版社，李慶揚

11、等編著，清華大學(xué)出版社，2002008 8q 答疑時間答疑時間：周一晚上周一晚上 18:30 20:30地點地點：數(shù)學(xué)樓數(shù)學(xué)樓 213q 上機時間上機時間：周四周四 3、4 (雙周雙周) 地點地點：數(shù)學(xué)樓二樓數(shù)學(xué)樓二樓200機房機房q 上課時間上課時間：周一周一 1、2，周四，周四 3、4q 課程主頁：課程主頁：http:/ 第三種科學(xué)方法：計算機時代的科學(xué)計算第三種科學(xué)方法：計算機時代的科學(xué)計算 石鐘慈著，石鐘慈著，清華大學(xué)出版社，院士科普書系清華大學(xué)出版社，院士科普書系，2000l 科學(xué)計算導(dǎo)論科學(xué)計算導(dǎo)論（第（第 2 版）（英文影印版）版）（英文影印版） M.T. Heath 著，清華大

12、學(xué)出版社：著，清華大學(xué)出版社：McGraw-Hill，2001l 現(xiàn)代科學(xué)計算現(xiàn)代科學(xué)計算 蔡大用，白峰杉，科學(xué)出版社，蔡大用，白峰杉，科學(xué)出版社，2000l 數(shù)值線性代數(shù)數(shù)值線性代數(shù) 徐樹方徐樹方等，北京大學(xué)出版社，等，北京大學(xué)出版社，2000& 參考資料參考資料主要內(nèi)容主要內(nèi)容q 插值法插值法q 函數(shù)逼近函數(shù)逼近q 數(shù)值積分和數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分和數(shù)值微分q 線性方程組的直接解法和迭代解法線性方程組的直接解法和迭代解法q 非線性方程（組）的數(shù)值求解非線性方程（組）的數(shù)值求解q 矩陣特征值與特征向量的計算矩陣特征值與特征向量的計算q 常微分方程的數(shù)值解法常微分方程的數(shù)值解法所需知識所需知識l 微

13、積分微積分l 高等代數(shù)、線性代數(shù)高等代數(shù)、線性代數(shù)l 常微分方程常微分方程l Matlab 編程編程q 所需知識所需知識q 考試方式考試方式l 期末期末 60% l 平時平時 40%（期中考試，平時作業(yè)，上機表現(xiàn)，考勤）（期中考試，平時作業(yè)，上機表現(xiàn)，考勤）基本概念基本概念l 解析解、精確解、真解、真值解析解、精確解、真解、真值l 數(shù)值解、近似解數(shù)值解、近似解l 數(shù)值算法：求問題的數(shù)值算法：求問題的數(shù)值解數(shù)值解的方法的方法u 算法的可靠性包括：算法的可靠性包括：收斂性收斂性，穩(wěn)定性穩(wěn)定性，誤差估計誤差估計等等u 算法的評價（優(yōu)劣）算法的評價（優(yōu)劣）l 時間時間復(fù)雜度（計算機運行時間）復(fù)雜度（計算機運行時間）l 空間空間復(fù)雜度（所占用的計算機存儲空間）復(fù)雜度（所占用的計算機存儲空間）l 邏輯邏輯復(fù)雜度（影響程序開發(fā)的周期以及維護的難易程度）復(fù)雜度（影響程序開發(fā)的周期以及維護的難易程度）數(shù)學(xué)軟件數(shù)學(xué)軟件由于各種科學(xué)計算問題最后通常都?xì)w結(jié)為求解一些由