(完整版)大一高數(shù)復(fù)習(xí)資料(免費(fèi))

1、高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第1頁(yè)（共9頁(yè)）第一章函數(shù)與極限第一節(jié)函數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)（高中函數(shù)部分相關(guān)知識(shí)）（）鄰域（去心鄰域）（）Ua,x|xaoUa,x10 xa第二節(jié)數(shù)列的極限數(shù)列極限的證明（）K題型已知數(shù)列xn，證明limAaxK證明N語(yǔ)言1.由xna化筒得ng,Ng2.即對(duì)0,Ng，當(dāng)nN時(shí)，始終有不等式xna成立，limxnax第三節(jié)函數(shù)的極限xx0時(shí)函數(shù)極限的證明（）K題型已知函數(shù)fx,證明limfxAXx0K證明語(yǔ)言1.由fxAg化筒得0 xxg2.即對(duì)0,始終有不等式limfxg，fxAA當(dāng)0成立，xx0時(shí),Xx0 x時(shí)函數(shù)極限的證明（)K題型已知函數(shù)fx,證明limfxAxK證明X語(yǔ)言1

2、.由fxA化W#xg,Xg2.即對(duì)0,Xg,當(dāng)|xX時(shí)，始終有不等式fxA成立，limxfxA第四節(jié)無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小與無(wú)窮大的本質(zhì)（）函數(shù)fx無(wú)窮小limfx0函數(shù)fx無(wú)窮大limfx高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第2頁(yè)（共9頁(yè)）無(wú)窮小與無(wú)窮大的相關(guān)定理與推論（）（定理三）假設(shè)fx為有界函數(shù)，gx為無(wú)窮小，則limfxgx0（定理四）在自變量的某個(gè)變化過程中，若fx為無(wú)窮大，則f1x為無(wú)窮小；反之，若fx為無(wú)窮小，且fx0,則f1x為無(wú)窮大K題型言十算：limfxgx（或x）xx01.fxM函數(shù)fx在xx0的任一去心鄰域Ux0,內(nèi)是有界的；（.fxM,函數(shù)fx在xD上有界；）2.limgxxx00即

3、函數(shù)gx是xx0時(shí)的無(wú)窮小；(?mgx0即函數(shù)gx是x時(shí)的無(wú)窮??；）3.由定理可知limfxgx0 xx(limfxxgx0)第五節(jié)極限運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則（）（定理一）加減法則（定理二）乘除法則關(guān)于多項(xiàng)式px、qx商式的極限運(yùn)算mm1pxa0 xaxam設(shè)：1qxb0 xnnxnbnnm則有l(wèi)imPnmqx禺0nmfx0gxgxfxlimgx0,fx0 xx0gx00gxfx0fx0（特別地，當(dāng)lim一（不定型）時(shí)，通常分xx0gx0子分母約去公因式即約去可去間斷點(diǎn)便可求解出極限值，也可以用羅比達(dá)法則求解）x求值limX3x2高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第3頁(yè)（共9頁(yè)）K求解示例解：因舄x3,

4、從而可得x3,所以原x31lim3x3x3x3limx3x解：limx2x32x1lim2x12x2xlim2x12x其中x3為函數(shù)倘若運(yùn)用羅比達(dá)法則求解0 x30 x3解：limlimx3x29Lx3的可去間斷點(diǎn)x9（詳見第三章第二節(jié)）lim2x1lim2x12x122T2x122x12xlim12x1T212x1TT12xlimx12,2T-12x12limx12x1e連續(xù)函數(shù)穿越定理（定理五）若函數(shù)x29（復(fù)合函數(shù)的極限求解）（）x是定義域上的連續(xù)函數(shù)，那2x2lim_2x12x1e么，limfx%flimxx%-3x3第七節(jié)等價(jià)無(wú)窮小()UsinUtanUarcsinUarctanUe

5、U1無(wú)窮小量的階（無(wú)窮小的比較）1.ln(1U)K求解示例li-r第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限第一個(gè)重要極限：sinxlim1x0 xx0,一,2sinxxtanx.limlimx0sinxx01lim1x0sinxxlimx0sinxx（特別地，limxx0sin(xx%)x。1)單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則（P57)(第二個(gè)重要極限：limx1xxe（般地，limfxgxlimflimfx0)夾迫準(zhǔn)則（P53）（）1x1sinx.limx0 xXlimgx苴中 xlimx2x2x1-122.-U1cosU2(乘除可替，加減不行)ln1xxln1xlim2x0 x解：因?yàn)閤0,即xIn1x3x0,所

6、以原式J1xxlimx0 xx3ln1xlim20 x2Jx1limx0 x3J1xlimx0 xx3第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)連續(xù)的定義（）limfxlimfxfxx0 xx0間斷點(diǎn)的分類（P67）（）xln1x3x13xo第-類間斷點(diǎn) （左右極限存在） 跳越間斷點(diǎn) （不等） 可去間斷點(diǎn) （相等）第二類間斷點(diǎn)-即河兀無(wú)窮間斷點(diǎn)（極限為）（特別地，可去間斷點(diǎn)能在分式中約去相應(yīng)公因式）K題型設(shè)函數(shù)fxex0axx0擇數(shù)a,使得K求解示例fx成為在R上的連續(xù)函數(shù)?f020e1ee1f0a0af0a應(yīng)該怎樣選2.由連續(xù)函數(shù)定義limfxlimfxf0e高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第4頁(yè)（共9頁(yè)）高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)

7、資料第5頁(yè)（共9頁(yè)）求yfx在xa處的切線與法線方程第九節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)零點(diǎn)定理（）K題型證明：方程fxgxC至少有一個(gè)根介于a與b之間K證明K題型求函數(shù)f1x的導(dǎo)數(shù)K求解示例由題可得fx為直接函數(shù)，其在定于域D上單調(diào)、可導(dǎo)，且fx0;f1x1.（建立輔助函數(shù)）函數(shù)xfxgxC在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；2.ab0（端點(diǎn)異號(hào)）3.由零點(diǎn)定理，在開區(qū)間a,b內(nèi)至少有一點(diǎn),使得0，即fgC0(01)4.這等式說明方程fxgxC在開區(qū)間a,b內(nèi)至少有一個(gè)根復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（）K題型設(shè)y|n嚴(yán)in、EJx2a2，求y解：y1arcsinx21r22e.xaarcsin/xHe第二章導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)

8、導(dǎo)數(shù)概念K題型3已知函數(shù)f xex1x0*在x0axbx0處可導(dǎo)，求a,bK求解示例30,f0e01e0121.f0e1f0af0bf0e012f0f0a12.由函數(shù)可導(dǎo)定義f0f0f0b2高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義（P83）（）a1,b2arcsinx21e.x22a1x212.x2a212xarcsin12Lx12xarcsinJx21.x212ae2arcsin/1e-=2xx2.x2a2xarcsin.；x21e.x22ax2122廠22xxa1.x1x2a21arcsinx21e-=第四節(jié)高階導(dǎo)數(shù)fn1n(或也dxny.n1dx求函數(shù)yln1x的n階導(dǎo)數(shù)()（或：過yfx圖像上點(diǎn)

9、a,fa處的切線與法線方程）K求解示例2311x121x、積與商的求導(dǎo)法則3.函數(shù)商的求導(dǎo)法則（定理三）高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第6頁(yè)（共9頁(yè)）函數(shù)和（差）、積與商的求導(dǎo)法則（）1.線性組合（定理一）：（uv）uv特別地，當(dāng)1時(shí)，有（uv）uv2.函數(shù)積的求導(dǎo)法則（定理二）：（uv）uvuvuuvuv2vv第三節(jié)反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則yn（1）n1（n1）!（1x）n第五節(jié)隱函數(shù)及參數(shù)方程型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)（等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)）（）K題型試求：方程yxey所給定的曲線C：yyx在點(diǎn)1e,1的切線方程與法線方程K求解示例由yxey兩邊對(duì)x求導(dǎo)即yxey化W#y1eyyy己十1e1e1.切線萬(wàn)

10、程：y1x1e1e反函數(shù)的求導(dǎo)法則（）1.yfxy|xafa2.切線方程：yfafaxa法線方程：yfa1xafa第二節(jié)函數(shù)的和（差）高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第7頁(yè)（共9頁(yè)）exxtyt法線方程：y11參數(shù)方程型函數(shù)的求導(dǎo)K題型設(shè)參數(shù)方程，求典dxx0,函數(shù)fx在閉區(qū)間間0,上可導(dǎo)，并且f2.由拉格朗日中值定理可得,0,x上連續(xù)，在開區(qū)x0,x使得等式d2ydx2ln1ln1dxtK求解示例1.也2.dxt第六節(jié)變化率問題舉例及相關(guān)變化率（不作要求）第七節(jié)函數(shù)的微分基本初等函數(shù)微分公式與微分運(yùn)算法則（）dyfxdx第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)中值定理引理（費(fèi)馬引理）（）羅爾定理（）K題型現(xiàn)假設(shè)

11、函數(shù)fx在0,上連續(xù)，在0,上可導(dǎo)，試證明：0,使得fcosfsin0成立K證明1.（建立輔助函數(shù)）令xfxsinx顯然函數(shù)x在閉區(qū)間0,上連續(xù)，在開區(qū)間0,上可導(dǎo)；2.又.0f0sin00fsin00即03.由羅爾定理知0,使得cos）證明不等式：當(dāng)x化ft!得In011x又-x1成立,11即證得：當(dāng)x1時(shí)，exex第二節(jié)羅比達(dá)法則運(yùn)用羅比達(dá)法則進(jìn)行極限運(yùn)算的基本步驟（）等價(jià)無(wú)窮小的替換（以簡(jiǎn)化運(yùn)算）判斷極限不定型的所屬類型及是否滿足運(yùn)用羅比達(dá)法則的三個(gè)前提條件1.2.1,-In1x1xx,A.屬于兩大基本不定型（fx則進(jìn)行您算：limxagx-）且滿足條件,0fxlimxagx（再進(jìn)行1、

12、2步驟，反復(fù)直到結(jié)果得出）B.不屬于兩大基本不定型型（轉(zhuǎn)乘為除，構(gòu)造分式）求值：limxlnxx0（轉(zhuǎn)化為基本不定型）解：Um0 xlnxlnxlim0lnxlim0lim0f拉格朗日中值定理（K題型K證明1.（建立輔助函數(shù)）令函數(shù)顯然函數(shù)fx在閉區(qū)間sin0成立1x1xx1,x上可導(dǎo)，并且fx2.由拉格朗日中值定理可得,1e1e成立,x1.ee1時(shí),1.limxax0（一般地，xm0Inx0,其中R）ex,則對(duì)x1,1,x上連續(xù)，在開區(qū)間xe；型（通分構(gòu)造分式，觀察分母）1求值：lim01sinx1,x使得等式K求解示例1解：limx0e,1sinxxlimx0ex,即證得:證明不等式：當(dāng)化

13、IK題型K證明1.（建立輔助函數(shù)）令函數(shù)x1時(shí)，x0時(shí)，In100 xsinxlimLx02xlim1x0sinxxsinx0cosx02xlimx0sinx2x00型（對(duì)數(shù)求極限法）fxln11limLx0cosx2xsinxlimx02高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第8頁(yè)（共9頁(yè)）高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第9頁(yè)（共9頁(yè)）K題型求值：limxxx0K求解示例解：設(shè)yxx,兩邊取對(duì)數(shù)得：lnylnxxxlnxInxTxlnx一lnx對(duì)對(duì)數(shù)取x0時(shí)的極限:limlnylimlim一x0 x0Lx011x-x1limlnylimlimx0,從而有l(wèi)imylimeyex0e1x01x0 x0 x0 x1型（對(duì)數(shù)求

14、極限法）1K題型求值：limcosxsinxxx0K求解示例解：令ycosxsinxx,兩邊取對(duì)數(shù)得lnyC0Sx,x0（1）0（2）0（3）通分獲得分式（通常伴有等價(jià)無(wú)窮小的替換）取倒數(shù)獲得分式（將乘積形式轉(zhuǎn)化為分式形式）取對(duì)數(shù)獲得乘積式（通過對(duì)數(shù)運(yùn)算將指數(shù)提前）第三節(jié)泰勒中值定理（不作要求）第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性連續(xù)函數(shù)單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）（）K題型試確定函數(shù)fx2x39x212x3的單調(diào)區(qū)間K求解示例1.函數(shù)fx在其定義域R上連續(xù)，且可導(dǎo)0010-fx6x218x12對(duì)lny求x0時(shí)的極限，limlnyx0lncosxsinxlimx0v00lncosxsinxlimLx0 xc

15、osxsinxlimx0cosxsinx1,從而可得limlnylimy=limeyex0eex0 x0 x,111,222,fx00fxZ極大值極小值Z2.令fx6x1x20,解得：x11,x223.（三行表）0型（對(duì)數(shù)求極限法）tanx一，1K題型求值：lim1x0 xK求解示例tanx，一.11解：令 y-，兩邊取對(duì)數(shù)得 lnytanxln-xx4.函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為,1,2,單調(diào)遞減區(qū)間為1,2K題型3證明：當(dāng)x0時(shí)，exx1K證明3x1.（構(gòu)建輔助函數(shù)）設(shè)xex1,（x0）2.xex10,（x0）x003.既證：1當(dāng)x0時(shí)，exx1K題型3證明：當(dāng)x0時(shí)，ln1xxlimx0l

16、nx1Llimx0lnx1limx0 x2secxtanxtanxtan2x0sin2x0limlimx0 xLx0sin2xxlimx02sinx1cosx0,1對(duì) lny 求 x0 時(shí)的極限，limlnylimtanxln-x0 x01limlny從而可得 limy=limeyex0e1x0 x0運(yùn)用羅比達(dá)法則進(jìn)行極限運(yùn)算的基本思路（）K證明1.（構(gòu)建輔助函數(shù)）設(shè)xln1xx,（x0）2.x10,（x0）1xx003.既證：當(dāng)x0時(shí)，ln1xx連續(xù)函數(shù)凹凸性（）K題型試討論函數(shù)y13x2x3的單調(diào)性、極值、凹凸性及拐點(diǎn)高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第10頁(yè)（共9頁(yè)）高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第11頁(yè)（共9

17、頁(yè)）1.3x26x3xx22.6x63xxx(,0)0(0,1)1(1,2)2(2,)y00y/zy1-(1,3)r5n3.y（四行表）2函數(shù)fx在其定義域-fx3x23令fx3x1x解得：x11（三行表）1,3上連續(xù)，且可導(dǎo)1.2.3.10,4.函數(shù)y13x單調(diào)遞增區(qū)間為（函數(shù)y為f013x21,極大值在x3單調(diào)遞增區(qū)間為（0,1）,（1,2）,0）,（2,x3的極小值在5;x11,111,3fx00fx極小值Z極大值1812,f12,f34.又.f.f痢八T第七節(jié)第八節(jié)18maxf12,fxmin函數(shù)圖形的描繪（不作要求）曲率（不作要求）方程的近似解（不作要求）x2時(shí)取到，為f23x在區(qū)間

18、（）上凸；x3的拐點(diǎn)坐標(biāo)為1,3最小值）D，如果XM的某個(gè)鄰oxUXM13x2函數(shù)y在區(qū)間（1,2）,（2,2函數(shù)y13x第五節(jié)函數(shù)的極值和最大、 函數(shù)的極值與最值的關(guān)系（設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)橛騏XM等式fx我們則稱函數(shù)值fXM；令XM則函數(shù)fxfxM，fx在點(diǎn)xM,fxM處有極大xM1,M2,xM3,.,xMn在閉區(qū)間a,b上的最大值M滿足:Mmaxfa,XMI,XM2,XM3,.,Sn,fb；x的定義域?yàn)镈,如果xm的某個(gè)鄰域oUxm,都適合不等設(shè)函數(shù)fUxm使得對(duì)x我們則稱函數(shù)fxm；令則函數(shù)fxmminffx在點(diǎn)xm,fxm處有極小值xm1,xm2,xm3,.xmn在閉區(qū)間a,b上的最

19、小值m滿足:a,xm1,xm2,xm3,.,xmn,fb；求函數(shù)fx3xx3在1,3上的最值第四章不定積分第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)原函數(shù)與不定積分的概念（）原函數(shù)的概念：假設(shè)在定義區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)為Fx，即當(dāng)自變量xI時(shí)，有FxdFxfxdx成立，貝U稱個(gè)原函數(shù)原函數(shù)存在定理：如果函數(shù)fx（）在定義區(qū)間x使得的導(dǎo)函數(shù)I上連續(xù),fx的一則在I上必存在可導(dǎo)函數(shù)F說：連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)不定積分的概念（）在定義區(qū)間I上,函數(shù)C的原函數(shù)稱為即表小為:fxdxF（可導(dǎo)必連續(xù)）fx的帶有任意常數(shù)項(xiàng)在定義區(qū)間I上的不定積分,fx稱為被積函數(shù)，fxdx稱x則稱為積分變量）（稱為積分號(hào)，為積分表達(dá)式，基本

20、積分表（）不定積分的線性性質(zhì)（分項(xiàng)積分公式）（）k1fxk2gxdxk1fxdxk2gxdx第二節(jié)換元積分法第一類換元法（湊微分）（）（dyfxdx的逆向應(yīng)用）xdxfxdx高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第12頁(yè)（共9頁(yè)）高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第13頁(yè)（共9頁(yè)）卡1】求dxaxK求解示例1解：dxaxdxxadx、2x1zdx1x一arctanaa第三節(jié)分部積分法分部積分法（）設(shè)函數(shù)ufx,vg分部積分公式可表示為:x具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其udvuvvduK求解示例1解：d2x1.2x1C第二類換元法（去根式）（）（dyfxdx的正向應(yīng)用）對(duì)于一次根式（a0,bR）：1d2x,2x1d2x2.2x1、axb：

21、令t.axb,于是t2bx,a則原式可化為t對(duì)于根號(hào)下平方和的形式（a0)：2x：令xatant(2t)2,xarctan,則原式可化為a對(duì)于根號(hào)下平方差的形式（aasect0)：a.Va2x2：令xasint(x于是tarcsin,則原式可化為aacostb.Jx2a2：令xasect(0a是tarccos,則原式可化為x12xK求解示例1解：dx2x1解：a2x2dx1tsin2t2atant；=dx（一次根式）1t2x1121x-t-22dxtdt.a2x2dx1,-tdtdtttasint(一t)22.xtarcsinadxacost2Ct2（三角換元）22.acostdtsintco

22、stC2a1cos2t2dt分部積分法函數(shù)排序次序：運(yùn)用分部積分法言十算不定積分的基本步驟：遵照分部積分法函數(shù)排序次序?qū)Ρ环e函數(shù)排序;就近湊微分：（v使用分部積分公式：“反、對(duì)、藉、三、指”dxdv)udvuvvdu展開尾項(xiàng)vduvudx,判斷a.若vudx是容易求解的不定積分，則直接言十算出答案（容易表示使用基本積分表、換元法與有理函數(shù)積分可以輕易求解出結(jié)果）；b.若vudx依舊是相當(dāng)復(fù)雜， 無(wú)法通過a中方法求解的不定積分，則重復(fù)、，直至出現(xiàn)容易求解的不定積分；若重復(fù)過程中出現(xiàn)循環(huán)，則聯(lián)立方程求解，但是最后要注意添上常數(shù)求exx2dxK求解示例解：exx2dx2x2xxedxxde2xexe

23、xdxx2ex2xdK求解示例解：exsinxdxxecosxxecosxxecosx即:x2xedxxeexsinxdxxedcosx2xex2excosxcosxdxxecosxdxecosxxxesinxsinxdex xesinxesinxdxxxx esinxdxecosxesinxx1xesinxdx-esinxcosx2第四節(jié)有理函數(shù)的不定積分有理函數(shù)（方Px設(shè)：Qx對(duì)于有理函數(shù)mpxaxnqxb0 xPx-,當(dāng)Px次數(shù)時(shí)，有理函數(shù)sinxsinxdm1a1xn1xambnx的次數(shù)小于QPx是真分式；當(dāng)Px的次數(shù)Qx高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第14頁(yè)（共9頁(yè)）高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第15

24、頁(yè)（共9頁(yè)）大于Qx的次數(shù)時(shí)，有理函數(shù)是假分式Qx有理函數(shù)（真分式）不定積分的求解思路（）Px將有理函數(shù)的分母Qx分拆成兩個(gè)沒有Qx公因式的多項(xiàng)式的乘積：kxa；其中一個(gè)多項(xiàng)式可以表示為一次因式二次質(zhì)因式而另一個(gè)多項(xiàng)式可以表示為l第五章定積分極其應(yīng)用第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)定積分的定義（）fxdxlimfixiIa0i1ii（fx稱為被積函數(shù)，fxdx稱為被積表達(dá)式，x則稱為積分變量，a稱為積分下限，b稱為積分上限,a,b稱為積分區(qū)間）px2p4q0）；定積分的性質(zhì)（）即：QxxQ2bfxdxaudu般地：mxn則參數(shù)aafxdx0aax2成則參數(shù)pb，qabkfxdxa（線性性質(zhì)）k1fxk

25、2gxbkfxdxabdxk1fxdxabk2gxdx八Px則設(shè)有理函數(shù)Qx的分拆和式為:（積分區(qū)間的可加性）bcbfxdxfxdxfxdxaacP2x2xpx若函數(shù)fx在積分區(qū)間a,b上滿足fx0,其中PxP2xM1xN1M2xN221xpxq2xpx2pxqb則fxdx0;a（推論一）若函數(shù)fx、函數(shù)gb足fxgx,貝Uab（推論二）fxdxax在積分區(qū)間a,b上滿bfxdxagxdx;bfxdxaMlxNlx2pxq1MI參數(shù)A1,A2,.,Ak,N1M2N2MlNl由待定系積分中值定理（不作要求）第二節(jié)微積分基本公式牛頓-萊布尼茲公式（）（定理三）若果函數(shù)Fx是連續(xù)函數(shù)fx在區(qū)間數(shù)法（比較法）求出得到分拆式后分項(xiàng)積分即可求解x2-dx（構(gòu)造法）12x.dxx1x1x