歷屆奧數(shù)競(jìng)賽題講解精選

1、.螄羈肇羋蒃螁羃芇薆羆衿莆蚈蝿膈蒞莈羄肄莄蒀螇羀莃螞羃羆莃螅袆芄莂蒄蚈膀莁薇襖肆莀蠆蚇羂葿荿袂袈蒈蒁蚅膇蕆薃袀膃蕆螆蚃聿蒆蒅罿羅蒅薇螂芃蒄蝕羇腿蒃螂螀肅薂蒂羅羈腿薄螈袇膈蚆羄芆膇蒆螆膂膆薈肂肈膅蟻裊羄膅螃蚈芃膄蒃袃腿芃薅蚆肅節(jié)蚇袁羀芁莇蚄袆芀蕿袀芅艿螞螂膁艿螄羈肇羋蒃螁羃芇薆羆衿莆蚈蝿膈蒞莈羄肄莄蒀螇羀莃螞羃羆莃螅袆芄莂蒄蚈膀莁薇襖肆莀蠆蚇羂葿荿袂袈蒈蒁蚅膇蕆薃袀膃蕆螆蚃聿蒆蒅罿羅蒅薇螂芃蒄蝕羇腿蒃螂螀肅薂蒂羅羈腿薄螈袇膈蚆羄芆膇蒆螆膂膆薈肂肈膅蟻裊羄膅螃蚈芃膄蒃袃腿芃薅蚆肅節(jié)蚇袁羀芁莇蚄袆芀蕿袀芅艿螞螂膁艿螄羈肇羋蒃螁羃芇薆羆衿莆蚈蝿膈蒞莈羄肄莄蒀螇羀莃螞羃羆莃螅袆芄莂蒄蚈膀莁薇襖肆莀蠆蚇羂

2、葿荿袂袈蒈蒁蚅膇蕆薃袀膃蕆螆蚃聿蒆蒅罿羅蒅薇螂芃蒄蝕羇腿蒃螂螀肅薂蒂羅羈腿薄螈袇膈蚆羄芆膇蒆螆膂膆薈肂肈膅蟻裊羄膅螃蚈芃膄蒃袃腿芃薅蚆肅節(jié)蚇袁羀芁莇蚄袆芀蕿袀芅艿螞螂膁艿螄羈肇羋蒃螁羃芇薆羆衿莆蚈蝿膈蒞莈羄肄莄蒀螇羀莃螞羃羆莃螅袆芄莂蒄蚈膀 歷屆奧數(shù)競(jìng)賽題講解精選 1. 假設(shè)n是自然數(shù)，d是2n2的正約數(shù)證明：n2d不是完全平方【題說(shuō)】 1953年匈牙利數(shù)學(xué)奧林匹克題2 【證】 設(shè)2n2kd，k是正整數(shù)，如果 n2d是整數(shù) x的平方，那么k2x2k2（n2d）n2（k22k）但這是不可能的，因?yàn)閗2x2與n2都是完全平方，而由k2k22k（k1）2得出k22k不是平方數(shù)試證四個(gè)連續(xù)自

3、然數(shù)的乘積加上1的算術(shù)平方根仍為自然數(shù)【題說(shuō)】 1962年上海市賽高三決賽題 1【證】 四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積可以表示成n（n1）（n2）（n3）（n23n）（n28n2）（n23n1）21因此，四個(gè)連續(xù)自然數(shù)乘積加上1，是一完全平方數(shù)，故知本題結(jié)論成立-1.已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的算術(shù)級(jí)數(shù)，其中一項(xiàng)是完全平方數(shù)，證明：此級(jí)數(shù)一定含有無(wú)窮多個(gè)完全平方數(shù) 【題說(shuō)】 1963年全俄數(shù)學(xué)奧林匹克十年級(jí)題2算術(shù)級(jí)數(shù)有無(wú)窮多項(xiàng)【證】 設(shè)此算術(shù)級(jí)數(shù)公差是 d，且其中一項(xiàng) am2（mN）于是a（2kmdk2）d（mkd）2對(duì)于任何kN，都是該算術(shù)級(jí)數(shù)中的項(xiàng)，且又是完全平方數(shù) 2.求一個(gè)最大的完全平方數(shù)，

4、在劃掉它的最后兩位數(shù)后，仍得到一個(gè)完全平方數(shù)（假定劃掉的兩個(gè)數(shù)字中的一個(gè)非零）【題說(shuō)】 1964年全俄數(shù)學(xué)奧林匹克十一年級(jí)題 1【解】 設(shè) n2滿足條件，令n2100a2b，其中 0b100于是 n10a，即 n10a1因此bn2100a220a1由此得 20a1100，所以a4經(jīng)驗(yàn)算，僅當(dāng)a4時(shí)，n41滿足條件若n41則n2402422402100因此，滿足本題條件的最大的完全平方數(shù)為412-1.求所有的素?cái)?shù)p，使4p21和6p21也是素?cái)?shù) 【題說(shuō)】 1964年1965年波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克二試題 1【解】 當(dāng)p±1（mod 5）時(shí)，5|4p21當(dāng)p±2（mod 5）時(shí)，5|

5、6p21所以本題只有一個(gè)解p52.證明存在無(wú)限多個(gè)自然數(shù)a有下列性質(zhì)：對(duì)任何自然數(shù)n，zn4a都不是素?cái)?shù)【題說(shuō)】 第十一屆（1969年）國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克題1，本題由原民主德國(guó)提供【證】 對(duì)任意整數(shù)m1及自然數(shù)n，有n44m4（n22m2）24m2n2（n22mn2m2）（n22mn2m2）而 n22mn2m2n22mn2m2（nm）2m2m21故 n44m4不是素?cái)?shù)取 a4·24，4·34，就得到無(wú)限多個(gè)符合要求的 a -1.如果自然數(shù)n使得2n1和3n1都恰好是平方數(shù)，試問5n3能否是一個(gè)素?cái)?shù)？ 【題說(shuō)】 第十九屆（1993年）全俄數(shù)學(xué)奧林匹克九年級(jí)一試題1【解

6、】 如果2n1k2，3n1m2，則5n34（2n1）（3n1）4k2m2（2km）（2km）因?yàn)?n3（3n1）2m222m1，所以2km1（否則5n32km2m1）從而5n3（2km）（2km）是合數(shù) 2.能夠表示成連續(xù)9個(gè)自然數(shù)之和，連續(xù)10個(gè)自然數(shù)之和，連續(xù)11個(gè)自然數(shù)之和的最小自然數(shù)是多少？【題說(shuō)】 第十一屆（1993年）美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題6【解】 答495連續(xù)9個(gè)整數(shù)的和是第5個(gè)數(shù)的9倍；連續(xù)10個(gè)整數(shù)的和是第5項(xiàng)與第6項(xiàng)之和的5倍；連續(xù)11個(gè)整數(shù)的和是第6項(xiàng)的11倍，所以滿足題目要求的自然數(shù)必能被9、5、11整除，這數(shù)至少是495又495515259454654404150

7、3.021 試確定具有下述性質(zhì)的最大正整數(shù)A：把從1001至2000所有正整數(shù)任作一個(gè)排列，都可從其中找出連續(xù)的10項(xiàng)，使這10項(xiàng)之和大于或等于A【題說(shuō)】 第一屆（1992年）中國(guó)臺(tái)北數(shù)學(xué)奧林匹克題6【解】 設(shè)任一排列，總和都是1001100220001500500，將它分為100段，每段10項(xiàng)，至少有一段的和15005，所以A15005另一方面，將10012000排列如下：2000 1001 1900 1101 18001201 1700 1301 1600 14011999 1002 1899 1102 17991202 1699 1302 1599 1402 1901 1100 1801

8、 1200 17011300 1601 1400 1501 1300并記上述排列為a1，a2，a2000（表中第i行第j列的數(shù)是這個(gè)數(shù)列的第10（i1）j項(xiàng)，1i20，1j10）令 Siaiai1ai9（i1，2，1901）則S115005，S215004易知若i為奇數(shù)，則Si15005；若i為偶數(shù)，則Si15004綜上所述A15005-1. n為怎樣的自然數(shù)時(shí)，數(shù) 32n122n16n是合數(shù)？【題說(shuō)】 第二十四屆（1990年）全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克十一年級(jí)題5【解】 32n122n16n（3n2n）（3n12n1）當(dāng) nl時(shí)，3n2n1，3n12n11，所以原數(shù)是合數(shù)當(dāng) n1時(shí)，原數(shù)是素?cái)?shù)13&#

9、160;2. 求證：對(duì)任何正整數(shù)n，存在n個(gè)相繼的正整數(shù)，它們都不是素?cái)?shù)的整數(shù)冪【題說(shuō)】 第三十屆（1989年）國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克題5本題由瑞典提供【證】 設(shè)a（n1）！，則a2k（2kn1），被k整除而不被k2整除（因?yàn)閍2被k2整除而k不被k2整除）如果a2k是質(zhì)數(shù)的整數(shù)冪pl，則kpj（l、j都是正整數(shù)），但a2被p2j整除因而被pj1整除，所以a2k被pj整除而不被pj1整除，于是a2kpjk，矛盾因此a2k（2kn1）這n個(gè)連續(xù)正整數(shù)都不是素?cái)?shù)的整數(shù)冪-1. 求出五個(gè)不同的正整數(shù)，使得它們兩兩互素，而任意n（n5）個(gè)數(shù)的和為合數(shù) 【題說(shuō)】 第二十一屆（1987年）全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克十年級(jí)

10、題 1【解】 由n個(gè)數(shù)aii·n！1，i1，2，n組成的集合滿足要求因?yàn)槠渲腥我鈑個(gè)數(shù)之和為m·n！k（mN，2kn）由于n！1·2·· n是 k的倍數(shù)，所以m·n！k是 k的倍數(shù)，因而為合數(shù)對(duì)任意兩個(gè)數(shù)ai與 aj（ij），如果它們有公共的質(zhì)因數(shù)p，則p也是aiaj（ij）n！的質(zhì)因數(shù)，因?yàn)?ijn，所以p也是n！的質(zhì)因數(shù)但ai與n！互質(zhì)，所以ai與aj不可能有公共質(zhì)因數(shù)p，即ai、aj（ij）互素令n5，便得滿足條件的一組數(shù)：121，241，361，481，601 設(shè)正整數(shù) d不等于 2、5、13證明在集合2，5，13，

11、d中可以找到兩個(gè)不同元素a、b，使得ab1不是完全平方數(shù)【題說(shuō)】 第二十七屆（1986年）國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克題1本題由原聯(lián)邦德國(guó)提供【證】 證明2d1、5d1、13d1這三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不是完全平方數(shù)即可用反證法，設(shè)5d1x2 （1）5d1y2 （2）13d1z2 （3）其中x、y、z是正整數(shù)由（1）式知，x是奇數(shù)，不妨設(shè)x2n1代入有 2d1（2n1）2即d2n22n1 （4）（4）式說(shuō)明d也是奇數(shù)于是由（2）、（3）知y、Z是偶數(shù)，設(shè)y2p，z2q，代入（2）、（3）相減后除以4有2dq2p2（qp）（qp）因2d是偶數(shù)，即q2p2是偶數(shù)，所以p、q同為偶數(shù)或同為奇數(shù)，從而qp和qp都是偶

12、數(shù)，即2d是4的倍數(shù)，因此d是偶數(shù)這與d是奇數(shù)相矛盾，故命題正確-1.如果一個(gè)自然數(shù)是素?cái)?shù)，并且任意地交換它的數(shù)字，所得的數(shù)仍然是素?cái)?shù)，那么這樣的數(shù)叫絕對(duì)素?cái)?shù)求證：絕對(duì)素?cái)?shù)的不同數(shù)字不能多于3個(gè) 【題說(shuō)】 第十八屆（1984年）全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克八年級(jí)題 8【證】 若不同數(shù)字多于 3個(gè)，則這些數(shù)字只能是1、3、7、9不難驗(yàn)證1379、3179、9137、7913、1397、3197、7139除以7，余數(shù)分別為0、1、2、3、4、5、6因此對(duì)任意自然數(shù)M，104×M與上述7個(gè)四位數(shù)分別相加，所得的和中至少有一個(gè)被7整除，從而含數(shù)字1、3、7、9的數(shù)不是絕對(duì)素?cái)?shù)2.證明：如果p和p2都是大

13、于3的素?cái)?shù)，那么6是p1的因數(shù)【題說(shuō)】 第五屆（1973年）加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克題 3【證】 因?yàn)閜是奇數(shù)，所以2是p1的因數(shù)因?yàn)閜、p1、p2除以 3余數(shù)不同，p、p2都不被 3整除，所以p1被 3整除于是6是p1的因數(shù) 莁薇襖肆莀蠆蚇羂葿荿袂袈蒈蒁蚅膇蕆薃袀膃蕆螆蚃聿蒆蒅罿羅蒅薇螂芃蒄蝕羇腿蒃螂螀肅薂蒂羅羈腿薄螈袇膈蚆羄芆膇蒆螆膂膆薈肂肈膅蟻裊羄膅螃蚈芃膄蒃袃腿芃薅蚆肅節(jié)蚇袁羀芁莇蚄袆芀蕿袀芅艿螞螂膁艿螄羈肇羋蒃螁羃芇薆羆衿莆蚈蝿膈蒞莈羄肄莄蒀螇羀莃螞羃羆莃螅袆芄莂蒄蚈膀莁薇襖肆莀蠆蚇羂葿荿袂袈蒈蒁蚅膇蕆薃袀膃蕆螆蚃聿蒆蒅罿羅蒅薇螂芃蒄蝕羇腿蒃螂螀肅薂蒂羅羈腿薄螈袇膈蚆羄芆膇蒆螆膂膆薈肂肈膅蟻裊羄膅螃蚈芃膄蒃袃腿芃薅蚆肅節(jié)蚇袁羀芁莇蚄袆芀蕿