實(shí)變函數(shù)與泛函分析點(diǎn)集

1、第三節(jié) 開集、閉集第二章 點(diǎn)集1.開集、閉集lP0為 E的接觸點(diǎn)：lP0為 E的聚點(diǎn)：lP0為 E的內(nèi)點(diǎn)：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得)(, 00),(0pEOp有EEEEEEEEE等價(jià)于故的孤立點(diǎn)全體由于說明：1.）要證E是開集,只要證 2.）要證E是閉集，只要證)(顯然因?yàn)镋EEE)(顯然因?yàn)榛駿EEEEEEE 若E = E , 則稱E為開集開集（E中每個(gè)點(diǎn)都為內(nèi)點(diǎn)) 若 ,則稱E為閉集閉集（與E緊挨的點(diǎn)不跑到E外）例：開區(qū)間(a,b)為開集說明：要證E是開集，只要證 )(顯然因?yàn)镋EEEabx),(),(baOx 證明：任取x(a,b),取=min|x-a|,|x-b|

2、, 則 ,從而x是（a,b）的內(nèi)點(diǎn)，故(a,b)是開集。例：閉區(qū)間a,b為閉集說明： 要證E是閉集，只要證()( ) ()ccccEEEEEEEEEE或或或因?yàn)轱@然a b xcxbaO,),( 證明：任取xa,bc,取=min|x-a|,|x-b|, 則 ,從而x不是a,b的接觸點(diǎn)，從而a,b的接觸點(diǎn)都在a,b內(nèi)，從而a,b是閉集。2.閉集為對極限運(yùn)算封閉對極限運(yùn)算封閉的點(diǎn)集.結(jié)論結(jié)論：A為閉集為閉集當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)A中的任意收斂點(diǎn)列任意收斂點(diǎn)列n 收斂于收斂于A中的點(diǎn)中的點(diǎn).為E的接觸點(diǎn)接觸點(diǎn)的充要條件為存在E中點(diǎn)列pn, 使得或p0是E的聚點(diǎn)聚點(diǎn)的充要條件為存在E中的互異的點(diǎn)所成的點(diǎn)列pn

3、, 使得0limppnn0limppnn若 （或 ）,則稱E為閉集。 （與E接近的點(diǎn)不跑到E外）EE EE TH1: E為為開集開集為開集，即從而EEE)(EOOxy),() ,(則) ,(yOEEOx),()(ExE)(EE ),(xOEOx),(, 0使得Ex),(xOy),(yxd TH2: E為閉集為閉集)(,0),(xEOx有),(xO( , )( , )( , )0,( )(min( , ), ( , )xxxOExd x xd x xOO 知有當(dāng)時(shí),有x）) , (xOE( , )( )xxOExxE取，由)(EE)(Ex E為閉集E( ,)( ,)( , )0,( )(min(

4、 ,),( ,)xxxOExd x xd x xOO 知有當(dāng)時(shí),有x）為閉集可得利用EEEEEEEEEE)()()() , (xO),(xOE)(),(xEOx) (EE 3.開集與閉集的對偶性開集與閉集的對偶性lP0為 E的接觸點(diǎn)：lP0為 E的聚點(diǎn)：lP0為 E的內(nèi)點(diǎn)：lP0為 E的外點(diǎn)：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得)(, 00),(0pEOp有cppEOEO),(),(00, 0即使得b.1.)若E為開集，則Ec為閉集; 2.)若E為閉集，則Ec為開集。ccccEEEE)()()()(a.1.）開集的余集是閉集 lP0為 E的接觸點(diǎn)：lP0為 E的內(nèi)點(diǎn)：EOp),(0,

5、 0有EOp),(0, 0使得CECE 從而x不是Ec的接觸點(diǎn)， 也即Ec的接觸點(diǎn)一定在Ec內(nèi)， 從而 ，即Ec為閉集。 EOExx),(, 0,使得證明：設(shè)E為開集，即( , )cxOE 從而2.）閉集的余集是開集lP0為 E的接觸點(diǎn)：lP0為 E的內(nèi)點(diǎn)：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得EE 證明：設(shè)E為閉集，即cxE 任取 ，假如x不是Ec的內(nèi)點(diǎn)， 則x的任一鄰域內(nèi)至少有一個(gè)屬于E的點(diǎn)，cxE 從而x為E的接觸點(diǎn)，由為閉集可知x在E內(nèi)， 這與 矛盾，所以Ec中的點(diǎn)都為Ec的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)，即Ec為開集。4.性質(zhì) a. 空集，空集，Rn為開集;b. 任意多個(gè)開集之并開集之并仍為開集；

6、c. 有限個(gè)開集之交開集之交仍為開集。注：無限多個(gè)開集的交開集的交不一定為開集，如：En=(0,1+1/n),Rn中只有空集和Rn既開又閉開又閉.存在大量既不開又不閉的集合，如：E=0,1)A B1.）開集的性質(zhì)2.）閉集的性質(zhì)）閉集的性質(zhì)a.空集，Rn為閉集；b.任意多個(gè)閉集之交閉集之交仍為閉集；c.有限個(gè)閉集之并閉集之并仍為閉集。()ccAA注：無限多個(gè)閉集的并不一定為閉集，如：En=0,1-1/n()ccAA若E為開集，則Ec為閉集;若E為閉集，則Ec為開集5. R中有關(guān)緊性的兩個(gè)結(jié)論Weierstrass定理： 若E是Rn中的一個(gè)有界有界的無限無限集，則E至少有一個(gè)聚點(diǎn).點(diǎn)列a1 ,

7、a2 , a3 , a4 , a1 = (a11, a12, a13, ,a1n) a2 = ( a21, a22, a23, , a2n) a3 = ( a31, a32, a33, ,a3n) l注：對無限維空間不一定成立。 Heine-Borel有限覆蓋定理 設(shè)F為有界閉有界閉集，若開集簇 覆蓋F（ 即 ）， 則 中存在有限個(gè)存在有限個(gè)開集U1 ，U2， ,Un，它同樣覆蓋F.:IiUiiIiUF:IiUi注：比較下面幾種不同的證法周民強(qiáng)，實(shí)變函數(shù) p-36尤承業(yè)，基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué) p-52熊金城，點(diǎn)集拓?fù)渲v義 p-2021.教材 p-42注：1. 逆命題也成立 2.F為有界、閉集在TH中缺一不可(eg.)(3.)可數(shù)覆蓋定理設(shè)F為Rn中一 集合，若開集簇 覆蓋F（ 即 ）， 則 中存在可數(shù)個(gè)可數(shù)個(gè)開集U1 ，U2， ,Un ， ，它同樣覆蓋F.:IiUiiIiUF:IiUi提示：利用空間中以有理點(diǎn)為中心，正有理數(shù)為半徑的圓全體為可數(shù)集可數(shù)集，開集中的點(diǎn)都為內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)，以及有理點(diǎn)全體在Rn中稠密和有理數(shù)全體是R的稠密集稠密集(4.)緊性有關(guān)概念n1.緊集的概念（P43）n2n3.自密集定義.n