彈性力學(xué)-平面問題的基本理論

1、第一節(jié)第一節(jié) 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題第二節(jié)第二節(jié) 平衡微分方程平衡微分方程第三節(jié)第三節(jié) 平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)第四節(jié)第四節(jié) 幾何方程幾何方程 剛體位移剛體位移第五節(jié)第五節(jié) 物理方程物理方程第六節(jié)第六節(jié) 邊界條件邊界條件第七節(jié)第七節(jié) 圣維南原理及其應(yīng)用圣維南原理及其應(yīng)用第八節(jié)第八節(jié) 按位移求解平面問題按位移求解平面問題第九節(jié)第九節(jié) 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題 相容方程相容方程第十節(jié)第十節(jié) 常應(yīng)力情況下的簡化常應(yīng)力情況下的簡化 應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù) 彈性力學(xué)平面問題共有應(yīng)力、應(yīng)變和彈性力學(xué)平面問題共有應(yīng)力、應(yīng)變和位移位移8 8個(gè)未知函數(shù)

2、，且均為個(gè)未知函數(shù)，且均為 。2-1平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 彈性力學(xué)空間問題共有應(yīng)力、應(yīng)變和彈性力學(xué)空間問題共有應(yīng)力、應(yīng)變和位移位移1515個(gè)未知函數(shù)，且均為個(gè)未知函數(shù)，且均為 ；zyxf,yxf,平面應(yīng)力 （4 4）約束約束作用于板邊，平行于板的中面，作用于板邊，平行于板的中面，沿板厚不變。沿板厚不變。 （3 3）面力面力作用于板邊，平行于板的中面，作用于板邊，平行于板的中面，沿板厚不變；沿板厚不變； （2 2）體力體力作用于體內(nèi)，平行于板的中面，作用于體內(nèi)，平行于板的中面，沿板厚不變；沿板厚不變；條件是：條件是： 第一種：平面應(yīng)力問題第一種：平面應(yīng)力問題 平面應(yīng)力 （1 1）等厚度的）

3、等厚度的薄板薄板； 坐標(biāo)系如圖選擇。平面應(yīng)力簡化為平面應(yīng)力問題：簡化為平面應(yīng)力問題： 故只有平面應(yīng)力故只有平面應(yīng)力 存在。存在。0,2zzyzxz(在V中) , 0,zyzxz 由于薄板很薄，應(yīng)力是連續(xù)變化的，由于薄板很薄，應(yīng)力是連續(xù)變化的，又無又無z向外力，可認(rèn)為：向外力，可認(rèn)為：平面應(yīng)力（1 1）兩板面上無面力和約束作用，故）兩板面上無面力和約束作用，故xyyx, , 所以歸納為平面應(yīng)力問題：所以歸納為平面應(yīng)力問題：a.a.應(yīng)力中只有平面應(yīng)力應(yīng)力中只有平面應(yīng)力 存在；存在；b.b.且僅為且僅為 。yxf,平面應(yīng)力xyyx, ,（2 2）由于板為等厚度，外力、約束沿）由于板為等厚度，外力、約

4、束沿z z向向不變，故應(yīng)力不變，故應(yīng)力 僅為僅為 。yxf,xyyx, ,如：弧形閘門閘墩計(jì)算簡圖：平面應(yīng)力深梁計(jì)算簡圖：Fyfyf因表面無任何面力，因表面無任何面力，0,0yxff 即：. 0,zyzxz平面應(yīng)力. 0,zyzxzAB例題例題1 1：試分析：試分析ABAB薄層中的應(yīng)力狀態(tài)。薄層中的應(yīng)力狀態(tài)。故接近平面應(yīng)力問題。故接近平面應(yīng)力問題。故表面上，有：故表面上，有：在近表面很薄一層內(nèi)：在近表面很薄一層內(nèi)： （2 2）體力體力作用于體內(nèi)，平行于橫截面，沿柱體作用于體內(nèi)，平行于橫截面，沿柱體長度方向不變；長度方向不變；平面應(yīng)變第二種：平面應(yīng)變問題第二種：平面應(yīng)變問題條件是：條件是： （1

5、 1）很長的）很長的常截面柱體常截面柱體； （3 3）面力面力作用于柱面，平行于橫截面，沿柱作用于柱面，平行于橫截面，沿柱體長度方向不變；體長度方向不變； （4 4）約束約束作用于柱面，平行于橫截面，沿柱作用于柱面，平行于橫截面，沿柱體長度方向不變。體長度方向不變。坐標(biāo)系選擇如圖：平面應(yīng)變oxzyozxy對稱面zy 故任何故任何z z 面（截面）均為對稱面。面（截面）均為對稱面。（平面位移問題）只有 ; , 0u,vw（平面應(yīng)變問題）只有 ., , 0,0, 00 xyyxzyzxzyzxzw 平面應(yīng)變（1 1）截面、外力、約束沿）截面、外力、約束沿z z 向不變，外力、約束向不變，外力、約束

6、 平行平行xyxy面，柱體非常長；面，柱體非常長；簡化為平面應(yīng)變問題：簡化為平面應(yīng)變問題：（2 2）由于截面形狀、體力、面力及約束沿）由于截面形狀、體力、面力及約束沿 向均不變，故應(yīng)力、應(yīng)變和位移均為向均不變，故應(yīng)力、應(yīng)變和位移均為 。yxf,z平面應(yīng)變 所以歸納為平面應(yīng)變問題：所以歸納為平面應(yīng)變問題： a.a.應(yīng)變中只有平面應(yīng)變分量應(yīng)變中只有平面應(yīng)變分量 存在；存在； b.b.且僅為且僅為 。平面應(yīng)變yxf,xyyx,例如：平面應(yīng)變隧道擋土墻oyxyox且僅為且僅為 。故只有故只有 ，本題中：本題中：0, 0zyzxz平面應(yīng)變yxf,xyyx,oxyz例題例題2 2：試分析薄板中的應(yīng)變狀態(tài)。

7、：試分析薄板中的應(yīng)變狀態(tài)。故為平面應(yīng)變問題。故為平面應(yīng)變問題。. 0,zyzx22平衡微分方程定義 平衡微分方程平衡微分方程-表示物體內(nèi)任一點(diǎn)的微分體的平衡條件。 在任一點(diǎn)（x，y）取出一微小的平行六面體 ,作用于微分體上的力：體力：體力： 。1dd yxyxff ,定義應(yīng)力：作用于各邊上，應(yīng)力：作用于各邊上， 并表示出正面上并表示出正面上 由坐標(biāo)增量引起由坐標(biāo)增量引起 的的應(yīng)力增量應(yīng)力增量。應(yīng)用的基本假定應(yīng)用的基本假定：連續(xù)性假定應(yīng)力用連續(xù)函數(shù)來表示。小變形假定用變形前的尺寸代替變 形后的尺寸。 列出平衡條件列出平衡條件：合力 = 應(yīng)力面積，體力體積； 以正向物理量來表示。平面問題中可列出3

8、個(gè)平衡條件。平衡條件平衡條件其中一階微量抵消，并除以 得： . 01dd1d1)dd(1d1)dd(, 0yxfxxyyyyxxFxyxyxyxxxxxyxdd0.(a)yxxxfxy0yF0.(b)yxyyfyx，同理可得：平衡條件平衡條件 , 0cM 當(dāng) 時(shí)，得切應(yīng)力互等定理,得,d21d21yyxxyxyxxyxy0d,dyx.(c)xyyx平衡條件平衡條件 適用的條件-連續(xù)性，小變形；xy說明說明對平衡微分方程的說明：對平衡微分方程的說明： 代表A中所有點(diǎn)的平衡條件， 因位（ ，）A； 應(yīng)力不能直接求出； 對兩類平面問題的方程相同。理論力學(xué)考慮整體 的平衡（只決定整體的運(yùn)動狀態(tài)）。 V

9、VVd說明說明比較:材料力學(xué)考慮有限體 的平衡（近似）。 彈性力學(xué)考慮微分體 的平衡（精確）。 當(dāng) 均平衡時(shí)，保證 ， 平衡；反之則不然。 VV說明說明Vd 所以彈力的平衡條件是嚴(yán)格的，并且是精確的。 理力（ V ）材力（ ）彈力（ ）bxhVd1dddyxVhV dxdy dx思考題思考題1.試檢查，同一方程中的各項(xiàng)，其量綱 必然相同（可用來檢驗(yàn)方程的正確性）。2.將條件 ,改為對某一角點(diǎn)的 ，將得出什么結(jié)果？3.微分體邊上的應(yīng)力若考慮為不均勻分布， 將得出什么結(jié)果？0cM0M 已知坐標(biāo)面上應(yīng)力 ， 求斜面上的應(yīng)力。問題的提出：2 23 3平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)問題

10、問題xyyx, ,求解：取出一個(gè)三角形微分體（包含 面， 面， 面）， 邊長).,(),(nnyxppppn.,mdsPAldsPBdsAB問題問題xy斜面應(yīng)力表示：斜面應(yīng)力表示：由平衡條件，并略去高階分量體力項(xiàng)，得(1)求求（ , , ）(a a)xpyp,xyyyyxxxlmpmlp斜面應(yīng)力斜面應(yīng)力其中：其中：l=cos(n,x), m=cos(n,y)。(2)求求（ ）將 向法向，切向投影，得nn ,),(yxppp 22222, (b)()().nxyxyxynyxyxxylpmpl m lmlpmplm lm斜面應(yīng)力斜面應(yīng)力 設(shè)某一斜面為主面，則只有由此建立方程，求出:, 0,nn(

11、3)求主應(yīng)力求主應(yīng)力斜面應(yīng)力斜面應(yīng)力. tan,222112221xyxyyxyx(c c)將x，y放在 方向，列出任一斜面上應(yīng)力公式，可以得出（設(shè) ）21, 21 . 45 ,2,2121的斜面上應(yīng)力成發(fā)生在與主nmaxminnmaxmin(4)求最大，最小應(yīng)力求最大，最小應(yīng)力最大，最小應(yīng)力最大，最小應(yīng)力說明：以上均應(yīng)用彈力符號規(guī)定導(dǎo)出。(d)幾何方程幾何方程表示任一點(diǎn)的微分線段 上形變與位移之間的關(guān)系。2 24 4幾何方程剛體位移幾何方程剛體位移定義定義變形前位置： 變形后位置： 各點(diǎn)的位置如圖。 通過點(diǎn)P(x,y)作兩正坐標(biāo)向的正坐標(biāo)向的微分線段, ,dyPBdxPA, , ,P A B

12、定義定義,P A B32sin,3!cos11,2!tan. 應(yīng)用基本假定：連續(xù)性；小變形。當(dāng)很小時(shí)，假定假定().xuudxuuxdxx.yvy假定假定由位移求形變：PA 線應(yīng)變PA 轉(zhuǎn)角PB 線應(yīng)變PB 轉(zhuǎn)角同理，tan.vdxvxdxxyu 適用于區(qū)域內(nèi)任何點(diǎn)，因?yàn)椋▁,y） A；對幾何方程的說明：. , ,yuxvyvxuxyyx所以平面問題的幾何方程平面問題的幾何方程為：說明說明 適用條件：a.連續(xù)性；b.小變形。 應(yīng)用小變形假定，略去了高階小量 線性的幾何方程； 幾何方程是變形后物體連續(xù)性條件 的反映和必然結(jié)果。 形變和位移之間的關(guān)系： 位移確定位移確定 形變完全確定：形變完全確定

13、： 從物理概念看，各點(diǎn)的位置確定，則微分線段上的形變確定 。 說明說明 從數(shù)學(xué)推導(dǎo)看，位移函數(shù)確定，則其導(dǎo)數(shù)（形變）確定 。 從物理概念看， ， 確定，物體還可作剛體位移。 從數(shù)學(xué)推導(dǎo)看， ， 確定，求位移是積分運(yùn)算，出現(xiàn)待定函數(shù)。形變確定，位移不完全確定形變確定，位移不完全確定： 形變與位移的關(guān)系形變與位移的關(guān)系由 ,兩邊對y積分，由 ,兩邊對x積分，例：若例：若 , ,求位移：求位移：0 xyyx0,(a)xyvuxy形變與位移的關(guān)系形變與位移的關(guān)系0 xxu0yyv).(0),(1yfyxu).(0),(2xfyxv代入第三式分開變量， 12d ( )d ( ) ( ).(b)ddfyf

14、xyx 因?yàn)閹缀畏匠痰谌綄θ我獾模▁，y）均應(yīng)滿足。當(dāng)x（y）變化時(shí)，式(b)的左，右均應(yīng)=常數(shù) ，由此解出 ?？傻眯巫兣c位移的關(guān)系形變與位移的關(guān)系21, ff , . (c)oouuyvvx 物理意義：00,vu形變與位移的關(guān)系形變與位移的關(guān)系表示物體繞原點(diǎn)的剛體轉(zhuǎn)動。表示x，y向的剛體平移，結(jié)論結(jié)論 形變確定，則與形變有關(guān)的位移可以形變確定，則與形變有關(guān)的位移可以確定，而與形變無關(guān)的剛體位移確定，而與形變無關(guān)的剛體位移則未定。則未定。須通過邊界上的約束條件來確定 。,oovu,oovu思考題思考題,cbaxyyx當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r(shí)， 試求出對應(yīng)的位移分量。物理方程表示（微分體上）應(yīng)力和形變

15、之間的物理關(guān)系。11(), ,11(), ,11(), .xxyzyzyzyyzxzxzxzzxyxyxyEGEGEG定義即為廣義胡克定律：25物理方程物理方程的說明物理方程的說明：說明說明 正應(yīng)力只與線應(yīng)變有關(guān)；切應(yīng)力只與切 應(yīng)變有關(guān)。 是線性的代數(shù)方程； 是總結(jié)實(shí)驗(yàn)規(guī)律得出的； 適用條件理想彈性體； 物理方程的兩種形式：物理方程的兩種形式： 應(yīng)變用應(yīng)力表示，用于 按應(yīng)力求解； 應(yīng)力用應(yīng)變（再用位移表示） 表示，用于按位移求解。)(f )(f說明說明平面應(yīng)力問題的物理方程：平面應(yīng)力問題的物理方程： 代入 ，得：在z方向0zyzxz11(), (),(a)2(1).xxyyyxxyxyEEE)

16、.( , 0yxzzE平面應(yīng)力 代入 得, 0zyzxz221(),11(),(b)12(1).xxyyyxxyxyEEE平面應(yīng)變問題的物理方程平面應(yīng)變問題的物理方程平面應(yīng)變在z方向，).(,0yxzz平面應(yīng)力物理方程平面應(yīng)變物理方程：.1 ,12EE變換關(guān)系變換關(guān)系：.1 ,)1()21(2EE平面應(yīng)變物理方程平面應(yīng)力物理方程：思考題 1.試證：由主應(yīng)力可以求出主應(yīng)變，且兩者方向一致。 2.試證：3個(gè)主應(yīng)力均為壓應(yīng)力，有時(shí)可以產(chǎn)生拉裂現(xiàn)象。 3.試證：在自重作用下，圓環(huán)（平面應(yīng)力問題）比圓筒（平面應(yīng)變問題）的變形大。 位移邊界條件位移邊界條件 設(shè)在 部分邊界上給定位移分量 和 ,則有),()

17、( ),()(svvsuuss（在 上)。（a）usus定義)(su)( sv 邊界條件邊界條件 表示在邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系。位移邊界條件2 26 6邊界條件邊界條件 若為簡單的固定邊， 則有位移邊界條件的說明：sus, 0 vu, 0)( , 0)(ssvuus（在 上）。（b） 它是在邊界上物體保持連續(xù)性的條 件，或位移保持連續(xù)性的條件。 它是函數(shù)方程，要求在 上每一點(diǎn) ， 位移與對應(yīng)的約束位移相等。在23 中，通過三角形微分體的平衡條件，導(dǎo)出坐標(biāo)面應(yīng)力與斜面應(yīng)力的關(guān)系式，應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件設(shè)在 上給定了面力分 量 , ,xyyyyxxxlmpmlp).( ),(

18、sfsfyxs（在A中）。（c）應(yīng)力邊界條件將此三角形移到邊界上，并使斜面與邊界面重合，則得應(yīng)力邊界條件:()( ), . (d)()( ),xyxsxyxysylmfssmlfs（在 上） 它是邊界上微分體的靜力平衡條件；說明應(yīng)力邊界條件的說明： 式（c）在A中每一點(diǎn)均成立，而 式（d）只能在邊界 s上成立； 它是函數(shù)方程，要求在邊界上每一點(diǎn)s 上均滿足，這是精確的條件； 所有邊界均應(yīng)滿足，無面力的邊界 （自由邊） 也必須滿足。 式（d）中， 按應(yīng)力符號規(guī)定， ， 按面力符號規(guī)定；yfxf 位移,應(yīng)力邊界條件均為每個(gè)邊界兩 個(gè)，分別表示 ， 向的條件；, 0yxffxy說明xyyx, ,若x

19、=a為正x 面，l = 1, m = 0, 則式(d)成為( ), (). (e)x ax x axxyyff當(dāng)邊界面為坐標(biāo)面時(shí)當(dāng)邊界面為坐標(biāo)面時(shí)，坐標(biāo)面yxbaxfyfxxfyfxyxxy若x=-b為負(fù)x 面，l = -1, m = 0 , 則式(d)成為( ), (). (f)xbx xbxxyyffyxbaxfyfxxfyfxyxxy應(yīng)力邊界條件的兩種表達(dá)式：應(yīng)力邊界條件的兩種表達(dá)式：兩種表達(dá)式 在同一邊界面上，應(yīng)力分量應(yīng)等于對 應(yīng)的面力分量（數(shù)值相等，方向一 致）。即在同一邊界面上,應(yīng)力數(shù)值應(yīng) 等于面力數(shù)值(給定),應(yīng)力方向應(yīng)同面 力方向(給定)。 在邊界點(diǎn)取出微分體，考慮其平衡條 件

20、，得式（d）或（e），（f ）； 在斜面上， 在坐標(biāo)面上，由于應(yīng)力與面力的符號規(guī)定不同，故式（e），（f ）有區(qū)別。例如：.)( ,)(yyxsxfpfps兩種表達(dá)式lh/2h/2qyxoyyxxyyyxx例1 列出邊界條件：1q0( )0 ( )0.x 0 x 0 x,u,v邊界()0, ()0.xx lxyx lxl,邊界() ()0.yhyxhyy22xhy,q,2l邊界1()0, ().yhyxhyy22hy,q2邊界yxoqqqqbbaa例2 列出邊界條件：xyyyxx顯然，邊界條件要求在 上， 也成拋物線分布。b()0, ()0.yyyxybyb 邊界：axx2()( ) , ()

21、0.xxaxyxaxayqb 邊界： 部分邊界上為位移邊界條件，另一部分邊界上為應(yīng)力邊界條件；混合邊界條件混合邊界條件：混合邊界條件： 同一邊界上，一個(gè)為位移邊界條件，另一個(gè)為應(yīng)力邊界條件。例3 列出 的邊界條件：ax .0)(, 0)(,axxyaxuaxyxoa思考題 oxy(c)(a)(d)(b)qxnyABAxyoAMygn1.若在斜邊界面上，受有常量的法向分布 壓力 作用，試列出應(yīng)力邊界條件， (思考題圖中（a）)。2.證明在無面力作用的0A邊上， 不等 于零（思考題圖中(b)）。3.證明在凸角A點(diǎn)附近，當(dāng)無面力作用 時(shí)，其應(yīng)力為零（思考題圖中 (c)）。qy4.試導(dǎo)出在無面力作用時(shí)

22、，AB邊界上的 之間的關(guān)系。 （思考題圖中（d）。5.試比較平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題的 基本方程和邊界條件的異同，并進(jìn)一步 說明它們的解答的異同。xyyx, , 彈性力學(xué)問題是微分方程的邊值問題。應(yīng)力，形變，位移等未知函數(shù)必須滿足A內(nèi)的方程和S上的邊界條件。主要的困難在于難以滿足邊界條件。 2 27 7圣維南原理及圣維南原理及其應(yīng)用其應(yīng)用 圣維南原理圣維南原理可用于簡化小邊界上的應(yīng)力邊界條件。 如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對同一點(diǎn)的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分量將有顯著的改變，但 遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。圣維南原理圣維南原理：圣維南原理：

23、圣維南原理1.圣維南原理只能應(yīng)用于一小部分邊界 （小邊界，次要邊界或局部邊界）；圣維南原理的說明：圣維南原理的說明：4.遠(yuǎn)處 指“近處”之外。3.近處 指面力變換范圍的一，二倍 的局部區(qū)域；2.靜力等效 指兩者主矢量相同，對 同一點(diǎn)主矩也相同；圣維南原理 圣維南原理表明，在小邊界小邊界上進(jìn)行面力的靜力等效變換后，只影響近處（局部近處（局部區(qū)域）區(qū)域）的應(yīng)力，對絕大部分彈性體區(qū)域的應(yīng)力沒有明顯影響。 圣維南原理推廣：如果物體一小部分邊界上的面力是一個(gè)平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，這個(gè)面力就只會使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而遠(yuǎn)處的應(yīng)力可以不計(jì)。例1 比較下列問題的應(yīng)力解答：hFF/2 F/2F

24、/2F/2FF/b3465421321 )(bh 6543214321 b例2 比較下列問題的應(yīng)力解答：推廣0 0 0 03412 0 02 01 圣維南原理的應(yīng)用：圣維南原理的應(yīng)用：1.推廣解答的應(yīng)用；2.簡化小邊界上的邊界條件。應(yīng)用圣維南原理在小邊界上的應(yīng)用：圣維南原理在小邊界上的應(yīng)用：lx 精確的應(yīng)力邊界條件如圖，考慮 小邊界， 上式是函數(shù)方程，要求在邊界上任一點(diǎn)，應(yīng)力與面力數(shù)值相等，方向一致，往往難以滿足。)(),(),(),(yfyxyfyxylxxyxlxx(a)在邊界 上，lx 在小邊界x=l上，用下列條件代替式(a)的條件： 在同一邊界在同一邊界 x=l 上，上， 應(yīng)力的主矢量

25、 = = 面力的主矢量（給定); 應(yīng)力的主矩(M) = = 面力的主矩（給定）.),(yxFF數(shù)值相等,方向一致.(b)圣維南原理圣維南原理的應(yīng)用的應(yīng)用積分的應(yīng)力邊界條件積分的應(yīng)力邊界條件 右端面力的主矢量，主矩的數(shù)值及方向，均已給定； 左端應(yīng)力的主矢量，主矩的數(shù)值及方向，應(yīng)與面力相同，并按應(yīng)力的方向規(guī)定確定正負(fù)號。具體列出具體列出3 3個(gè)積分的條件：個(gè)積分的條件：)( 1)(1)()(1)(1)()( 1)(1)(2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/ShhylxhhxyhhxlxhhxNhhxlxhhxFdyyfdyMydyyfydyFdyyfdy即： 應(yīng)力的主矢量，主矩的數(shù)值=

26、面力的主矢量，主矩的數(shù)值； 應(yīng)力的主矢量，主矩的方向=面力的主矢量，主矩的方向。 式中應(yīng)力主矢量，主矩的正方向應(yīng)力主矢量，主矩的正方向,正負(fù)號正負(fù)號的確定： 應(yīng)力的主矢量的正方向，即應(yīng)力的正方向， 應(yīng)力的主矩的正方向，即（正應(yīng)力） （正的矩臂）的方向。討論：討論： 1.如果只給出面力的主矢量，主矩如圖，則式(c)右邊直接代入面力的主矢量，主矩； 2.在負(fù) x 面， ，由于應(yīng)力，面力的符號規(guī)定不同，應(yīng)在式(c)中右端取負(fù)號； 3.積分的應(yīng)力邊界條件(b)或(c)雖是近似的，但只用于小邊界，不影響整體解答的精度。lx 精確的應(yīng)力邊界條件精確的應(yīng)力邊界條件 積分的應(yīng)力邊界條件積分的應(yīng)力邊界條件方程個(gè)

27、數(shù)方程個(gè)數(shù) 2 3方程性質(zhì)方程性質(zhì) 函數(shù)方程（難滿足）函數(shù)方程（難滿足） 代數(shù)方程（易滿足）代數(shù)方程（易滿足）精確性精確性 精確精確 近似近似適用邊界適用邊界 大，小邊界大，小邊界 小邊界小邊界比較：比較：思考題思考題1、為什么在大邊界（主要邊界）上，不能 應(yīng)用圣維南原理？2、試列出負(fù) 面上積分的應(yīng)力邊界條件， 設(shè)有各種面力作用，或面力的主矢量和主矩作用。x 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題，除物理方程的彈性系數(shù)須變換外，其余完全相同。因此，兩者的解答相似,只須將 進(jìn)行變換。以下討論平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題。1.1.平面問題的基本方程及邊界條件平面問題的基本方程及邊界條件,E平面問題2 28 8按位

28、移求解平面問題按位移求解平面問題 平面應(yīng)力問題0,0.yxxxyxyyfxyfyx 平面域平面域A內(nèi)的基本方程內(nèi)的基本方程: :平衡微分方程（在（在A內(nèi)）內(nèi)）, , .xyxyuvvuxyxy11(),(),2(1).xxyyyxxyxyEEE幾何方程物理方程（在（在A內(nèi)）內(nèi)）（在（在A內(nèi)）內(nèi)）應(yīng)力邊界條件 位移邊界條件 （在 上）（在 上）(),().xyxsxyxysylmfmlfs),(vuxyyxxyyxus( ),( ).ssuuvvS上邊界條件上邊界條件: 8個(gè)未知函數(shù) 必須滿足上述方程和邊界條件。 按位移求解按位移求解（位移法）取 ， 為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去形變和

29、應(yīng)力，導(dǎo)出只含 ， 的方程和邊界條件，從而求出 ， ；再求形變和應(yīng)力。2.2.解法解法消元法消元法 uvuvuv解法 按應(yīng)力求解按應(yīng)力求解（應(yīng)力法）取 為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去位移和形變，導(dǎo)出只含應(yīng)力的方程和邊界條件，從而求出應(yīng)力；再求形變和位移。xyyx, 這是彈力問題的兩種基本解法這是彈力問題的兩種基本解法。3. 按位移求解按位移求解uvu vu vu v 將其他未知函數(shù)用 ，表示： 形變用 ，表示幾何方程; 應(yīng)力先用形變來表示（物理方程）， 再代入幾何方程，用 ，表示: 取 ， 為基本未知函數(shù)；按位移求解2222()(),11()(),(a)11().2(1)2(1)xxy

30、yyxxyxyEEuvxyEEvuyxEEvuxy 在A中導(dǎo)出求 ，的基本方程將式(a) 代入平衡微分方程，22222222222211()0,122( ) (b)11()0.122xyEuuvfxyx yAEvvufyxx y u vu v上式是用 ，表示的平衡微分方程。位移邊界條件 （在 上）(d)（在 上）(c).)(,)(vvuussus.)(21)(1,)(21)(122ysxsfyuxvlxuyvmEfxvyumyvxulEs應(yīng)力邊界條件將式(a)代入應(yīng)力邊界條件， 在在S S上的邊界條件上的邊界條件 按位移求解時(shí)，按位移求解時(shí)， ， 必須滿足必須滿足A A內(nèi)的方程內(nèi)的方程(b)(

31、b)和邊界條件和邊界條件(c)(c)，(d)(d)。u vuvuv歸納：歸納：式(b)，(c)，(d)是求解 ， 的條件;也是校核 ， 是否正確的全部條件。 按位移求解（位移法）的優(yōu)缺點(diǎn)：按位移求解（位移法）的優(yōu)缺點(diǎn)： 求函數(shù)式解答困難，但在近似解法（變分法，差分法，有限單元法）中有著廣泛的應(yīng)用。 適用性廣可適用于任何邊界條件。例1 考慮兩端固定的一維桿件。圖(a)，只受重力作用， 。試用位移法求解。gffyx , 0 xoyloyxgg(a) (b)解：為了簡化，設(shè)位移 按位移求解，位移應(yīng)滿足式(b),(c),(d)。代入式(b),第一式自然滿足，第二式成為, 0).(, 0yvvu.222

32、2Egdyvdyvxoyloyxgg (a) (b) 均屬于位移邊界條件，代入 ，.22BAyyEgvly, 00( )0,yv0;B v得得( )0,y lv.2gAlE解出).2(2),2(2),(22ylgylEgylyEgvyy在 處，2ly. 0y代入 ，并求出形變和應(yīng)力，v思考題試用位移法求解圖(b)的位移和應(yīng)力。（1）取 為基本未知函數(shù)；基本方程xyyx,29 按應(yīng)力求解平面問題相容方程1.按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題（2）其他未知函數(shù)用應(yīng)力來表示: 位移用形變應(yīng)力表示，須通過積分，不僅表達(dá)式較復(fù)雜，而且包含積分帶來的未知項(xiàng)，因此位移邊界條件用應(yīng)力分量來表示時(shí)既復(fù)

33、雜又難以求解。故在按應(yīng)力求解時(shí)在按應(yīng)力求解時(shí)，只考慮全部為應(yīng)力邊界條件的問題只考慮全部為應(yīng)力邊界條件的問題, ,即 。 形變用應(yīng)力表示（物理方程）。)0,(usss按應(yīng)力求解 在A內(nèi)求解應(yīng)力的方程.22222yxxyxyyxvu(b) 從幾何方程中消去位移 ， ，得相容方相容方程（形變協(xié)調(diào)條件）程（形變協(xié)調(diào)條件）： 補(bǔ)充方程從幾何方程，物理方程中消去位移和形變得出 :平衡微分方程 （2個(gè)）。 (a) 代入物理方程，消去形變，并應(yīng)用平衡微分方程進(jìn)行簡化，便得用應(yīng)力表示的相容方程 ： 2()(1)(),(c)yxxyffxy .22222yx其中 (4) 應(yīng)力邊界條件假定全部邊界上均為應(yīng)力邊界條件

34、 。)0,(usss（1）A內(nèi)的平衡微分方程；（2）A內(nèi)的相容方程；（3）邊界 上的應(yīng)力邊界條件；（4）對于多連體，還須滿足位移的單值條 件（見第四章）。 歸納歸納：xyyx,ss （1）-（4）也是校核應(yīng)力分量是否正確的全部條件。 按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題 ，應(yīng)力 必須滿足下列條件：2.形變協(xié)調(diào)條件（相容方程）的物理意義形變協(xié)調(diào)對應(yīng)的位移存在位移必然連續(xù)；形變不協(xié)調(diào)對應(yīng)的位移不存在不是物體實(shí)際存在的形變微分體變形后不保持連續(xù)。 形變協(xié)調(diào)條件是與形變對應(yīng)的位移存在且連續(xù)的必要條件。 形變協(xié)調(diào)條件是位移連續(xù)性的必然結(jié)果。連續(xù)體位移連續(xù)幾何方程形變協(xié)調(diào)條件。點(diǎn)共點(diǎn)（連續(xù)），變形

35、后三連桿在 點(diǎn)共點(diǎn)，則三連桿的應(yīng)變必須滿足一定的協(xié)調(diào)條件。例1 三連桿系統(tǒng)，由于物體是連續(xù)的，變形前三連桿在 DD FDD1.試比較按位移求解的方法和按應(yīng)力求解的 方法，并與結(jié)構(gòu)力學(xué)中的位移法和力法作 比較。2.若 是否可能 成為彈性體中的形變？3.若 是否 可能為彈性體中的應(yīng)力？,)(,22xybabxayxyyx, 0, 022xyyxyxbyaxff思考題思考題 相容方程 (A) (a)1.常體力情況下按應(yīng)力求解的條件常體力情況下按應(yīng)力求解的條件0)(2yx0, 0yxyyxyxxfxyfyx(A) (b) 平衡微分方程 按應(yīng)力函數(shù)求解2 21010常體力情況下的簡化常體力情況下的簡化

36、應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù) 應(yīng)力邊界條件 ss .)( ,)(ysxyyxsyxxflmfml(S) (c)0,(usss 多連體中的位移單值條件。 (d) 在 - - 條件下求解 的全部條件(a)，(b)，(c)中均不包含彈性常數(shù)，故 與彈性常數(shù)無關(guān)。2.在常體力在常體力, ,單連體單連體, ,全部為應(yīng)力邊全部為應(yīng)力邊界條件（界條件（ ）下的應(yīng)力）下的應(yīng)力 特征：特征：ss xyyx,xyyx,xyyx,結(jié)論：結(jié)論：不同材料的應(yīng)力( )的理論解相 同，用試驗(yàn)方法求應(yīng)力時(shí)，也可以用不 同的材料來代替。xyyx,兩類平面問題的應(yīng)力解 相同，試 驗(yàn)時(shí)可用平面應(yīng)力的模型代替平面應(yīng)變的 模型。 xyyx, 3.

37、常體力下按應(yīng)力求解的簡化常體力下按應(yīng)力求解的簡化, , 0. (e)xxyyxyf xf y 22222, , . (f)xyxyyxx y 對應(yīng)的齊次微分方程的通解通解，艾里已求出為 非齊次微分方程(b)的任一特解特解，如?。?）常體力下平衡微分方程的通解通解是： 非齊次特解非齊次特解+ +齊次通解。齊次通解。. yxy,fxx,fy2xyy22yx22x所以滿足平衡微分方程的通解為平衡微分方程的通解為: :(g)為艾里應(yīng)力函數(shù)。如果，則A，B均可用一個(gè)函數(shù)表示，即說明：說明：).()(xfyyfx),()(ByAx. ,xfByfAa.導(dǎo)出艾里（Airy）應(yīng)力函數(shù) ，是應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)的相容性，

38、即d. 由 再去求應(yīng)力（式（g）,必然滿足平衡微分方程，故不必再進(jìn)行校核。c. 仍然是未知的。但已將按應(yīng)力 求解轉(zhuǎn)變?yōu)榘磻?yīng)力函數(shù) 求解，從3個(gè)未知函數(shù)減少至1個(gè)未知函數(shù) 。b.導(dǎo)出應(yīng)力函數(shù) 的過程，也就證明了 的存在性，故可以用各種方法去求解 。),(yx),(xyyx（2）應(yīng)力應(yīng)滿足相容方程（a），將式 （g）代入（a），得 2240. (h) ss （3）若全部為應(yīng)力邊界條件（ ）， 則應(yīng)力邊界條件也可用 表示。歸納：歸納：（1）A內(nèi)相容方程（h）；（2） 上的應(yīng)力邊界條件；（3）多連體中的位移單值條件連體。ss 求出 后，可由式（g）求得應(yīng)力。 在常體力下求解平面問題 ，可轉(zhuǎn)變?yōu)榘磻?yīng)力函

39、數(shù)按應(yīng)力函數(shù) 求解求解， 應(yīng)滿足:1，在常體力，單連體和全部為應(yīng)力邊界條件條件下，對于不同材料和兩類平面問題的， 和均相同。試問其余的應(yīng)力分量，應(yīng)變和位移是否相同？xyxy思考題2，對于按位移(u, v)求解，按應(yīng)力（ ， ， ）求解和按應(yīng)力函數(shù) 求解的方法，試比較其未知函數(shù)，應(yīng)滿足的方程和條件，求解的難易程度及局限性。xyxy 1例題2例題3例題4例題7例題5例題6例題例1 試列出圖中的邊界條件。SFMFyxl h/2 h/2q2)(lxq1q) 1,(hl(a)解: (a)在主要邊界 應(yīng)精確滿足下列邊界條件：. , 0 , 2/; 0 ,)( , 2/12qhylxqhyxyyxyy2/h

40、y在小邊界x = 0應(yīng)用圣維南原理，列出三個(gè)積分的近似邊界條件，當(dāng)板厚 時(shí)，1。sxhhxyxhhxxhhxFyMyyFyd)(,d)(,d)(02/2/02/2/02/2/在小邊界x = l，當(dāng)平衡微分方程和其它各邊界條件都已滿足的條件下，3個(gè)積分的邊界條件必然滿足，可以不必校核。(b) 在主要邊界x= 0, b，應(yīng)精確滿足下列邊界條件：。qlxgyxxyxxyx , 0 ; 0 , 0030FOxyqh(b)gy b/2 b/2) 1,(bh 在小邊界y = 0，列出3個(gè)積分的邊界條件，當(dāng)板厚 時(shí)，1。2d)(,43d)(,23d)(000000FxbFxxFxybyxybyyby 注意在

41、列力矩的條件時(shí)兩邊均是對原點(diǎn)o 的力矩來計(jì)算的。 對于y = h的小邊界可以不必校核。例例2 2 厚度 懸臂梁，受一端的集中力F的作用。已求得其位移的解答是 試檢查此組位移是否是圖示問題的解答。1。EIFlEIFxlEIFxEIFxyvyIGFhEIFlIGFyEIFyEIyFxu3262,)82(662323222332 h/2 h/2AxylFO) 1,(hl解： 此組位移解答若為圖示問題的解答，則應(yīng)滿足下列條件:(1) 區(qū)域內(nèi)用位移表示的平衡微分方程 (書中式218）;（2）應(yīng)力邊界條件（書中式219），在 所有受面力的邊界 上。其中在小邊 界上可以應(yīng)用圣維南原理，用3個(gè)積 分的邊界條件

42、來代替。（3）位移邊界條件（書中式214）。本 題在x = l的小邊界上，已考慮利用圣 維南原理，使3個(gè)積分的應(yīng)力邊界條 件已經(jīng)滿足。S 因此，只需校核下列三個(gè)剛體的約束條件： A點(diǎn)（ x = l及y = 0），.0),(xuvu 讀者可校核這組位移是否滿足上述條件，如滿足，則是該問題之解。CxycCxyyBxAybDyCByAxyaxyyxxyyxxyyx , 0 )(; , , )(; , , )(2223例例3 3 試考慮下列平面問題的應(yīng)變分量是否可能存在解：應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變 相容條件，即 （a）相容； （b）須滿足B = 0, 2A=C ； （c）不相容。只有C = 0

43、，則.22222yxxyxyyx2222( ) , , ;( ) (), (), ;xyxyxyxyaAxByCxDyExFybA xyB xyCxy例例4 4 在無體力情況下，試考慮下列應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在：解：彈性體中的應(yīng)力，在單連體中必須 滿足： （1）平衡微分方程； （2）相容方程； （3）應(yīng)力邊界條件（當(dāng) ）。SS （a）此組應(yīng)力滿足相容方程。為了滿足平 衡微分方程，必須A=-F, D=-E.此外，還應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件。（b）為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足 A + B = 0。 為了滿足平衡微分方程，其系數(shù)必須 滿足 A = B =-C/2。 上兩式是矛盾的，因此此組應(yīng)力

44、分量 不可能存在。例例5 5 若 是平面調(diào)和函數(shù)，即滿足拉普拉斯方程 試證明函數(shù) 都滿足重調(diào)和方程，因而都可以作為應(yīng)力函數(shù)使用。. 02 ffyxyfxff) ( , , ,22),(yxf40,解： 上述函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù)，均能滿足相 容方程（重調(diào)和方程），. 04 。xChqxyCyCyhqyyxhqxyy2),46(a)例例6 6 圖中的梁，受到如圖所示的荷載的作用，試用下列應(yīng)力表達(dá)式求解其應(yīng)力，202qh)202(22qhqlxy) 1,(hlloqql h/2 h/2解：本題是按應(yīng)力求解的，在應(yīng)力法中，應(yīng)力分量在單連體中必須滿足（1）平衡微分方程；（2）相容方程 ;（3）應(yīng)力邊界條件（在 上）。 將應(yīng)力分量（a）代入平衡微分方程和相容方程，兩者都能滿足。0)(2yxSS 再校核邊界條件，在主要邊界上，21316, 0, ()0, 243 ; 2xyhq hyxChqCh 即得312322, , (),28