彈性力學-平面問題的基本理論

1、第一節(jié)第一節(jié) 平面應力問題和平面應變問題平面應力問題和平面應變問題第二節(jié)第二節(jié) 平衡微分方程平衡微分方程第三節(jié)第三節(jié) 平面問題中一點的應力狀態(tài)平面問題中一點的應力狀態(tài)第四節(jié)第四節(jié) 幾何方程幾何方程 剛體位移剛體位移第五節(jié)第五節(jié) 物理方程物理方程第六節(jié)第六節(jié) 邊界條件邊界條件第七節(jié)第七節(jié) 圣維南原理及其應用圣維南原理及其應用第八節(jié)第八節(jié) 按位移求解平面問題按位移求解平面問題第九節(jié)第九節(jié) 按應力求解平面問題按應力求解平面問題 相容方程相容方程第十節(jié)第十節(jié) 常應力情況下的簡化常應力情況下的簡化 應力函數(shù)應力函數(shù) 彈性力學平面問題共有應力、應變和彈性力學平面問題共有應力、應變和位移位移8 8個未知函數(shù)

2、，且均為個未知函數(shù)，且均為 。2-1平面應力問題和平面應變問題 彈性力學空間問題共有應力、應變和彈性力學空間問題共有應力、應變和位移位移1515個未知函數(shù)，且均為個未知函數(shù)，且均為 ；zyxf,yxf,平面應力 （4 4）約束約束作用于板邊，平行于板的中面，作用于板邊，平行于板的中面，沿板厚不變。沿板厚不變。 （3 3）面力面力作用于板邊，平行于板的中面，作用于板邊，平行于板的中面，沿板厚不變；沿板厚不變； （2 2）體力體力作用于體內(nèi)，平行于板的中面，作用于體內(nèi)，平行于板的中面，沿板厚不變；沿板厚不變；條件是：條件是： 第一種：平面應力問題第一種：平面應力問題 平面應力 （1 1）等厚度的）

3、等厚度的薄板薄板； 坐標系如圖選擇。平面應力簡化為平面應力問題：簡化為平面應力問題： 故只有平面應力故只有平面應力 存在。存在。0,2zzyzxz(在V中) , 0,zyzxz 由于薄板很薄，應力是連續(xù)變化的，由于薄板很薄，應力是連續(xù)變化的，又無又無z向外力，可認為：向外力，可認為：平面應力（1 1）兩板面上無面力和約束作用，故）兩板面上無面力和約束作用，故xyyx, , 所以歸納為平面應力問題：所以歸納為平面應力問題：a.a.應力中只有平面應力應力中只有平面應力 存在；存在；b.b.且僅為且僅為 。yxf,平面應力xyyx, ,（2 2）由于板為等厚度，外力、約束沿）由于板為等厚度，外力、約

4、束沿z z向向不變，故應力不變，故應力 僅為僅為 。yxf,xyyx, ,如：弧形閘門閘墩計算簡圖：平面應力深梁計算簡圖：Fyfyf因表面無任何面力，因表面無任何面力，0,0yxff 即：. 0,zyzxz平面應力. 0,zyzxzAB例題例題1 1：試分析：試分析ABAB薄層中的應力狀態(tài)。薄層中的應力狀態(tài)。故接近平面應力問題。故接近平面應力問題。故表面上，有：故表面上，有：在近表面很薄一層內(nèi)：在近表面很薄一層內(nèi)： （2 2）體力體力作用于體內(nèi)，平行于橫截面，沿柱體作用于體內(nèi)，平行于橫截面，沿柱體長度方向不變；長度方向不變；平面應變第二種：平面應變問題第二種：平面應變問題條件是：條件是： （1

5、 1）很長的）很長的常截面柱體常截面柱體； （3 3）面力面力作用于柱面，平行于橫截面，沿柱作用于柱面，平行于橫截面，沿柱體長度方向不變；體長度方向不變； （4 4）約束約束作用于柱面，平行于橫截面，沿柱作用于柱面，平行于橫截面，沿柱體長度方向不變。體長度方向不變。坐標系選擇如圖：平面應變oxzyozxy對稱面zy 故任何故任何z z 面（截面）均為對稱面。面（截面）均為對稱面。（平面位移問題）只有 ; , 0u,vw（平面應變問題）只有 ., , 0,0, 00 xyyxzyzxzyzxzw 平面應變（1 1）截面、外力、約束沿）截面、外力、約束沿z z 向不變，外力、約束向不變，外力、約束

6、 平行平行xyxy面，柱體非常長；面，柱體非常長；簡化為平面應變問題：簡化為平面應變問題：（2 2）由于截面形狀、體力、面力及約束沿）由于截面形狀、體力、面力及約束沿 向均不變，故應力、應變和位移均為向均不變，故應力、應變和位移均為 。yxf,z平面應變 所以歸納為平面應變問題：所以歸納為平面應變問題： a.a.應變中只有平面應變分量應變中只有平面應變分量 存在；存在； b.b.且僅為且僅為 。平面應變yxf,xyyx,例如：平面應變隧道擋土墻oyxyox且僅為且僅為 。故只有故只有 ，本題中：本題中：0, 0zyzxz平面應變yxf,xyyx,oxyz例題例題2 2：試分析薄板中的應變狀態(tài)。

7、：試分析薄板中的應變狀態(tài)。故為平面應變問題。故為平面應變問題。. 0,zyzx22平衡微分方程定義 平衡微分方程平衡微分方程-表示物體內(nèi)任一點的微分體的平衡條件。 在任一點（x，y）取出一微小的平行六面體 ,作用于微分體上的力：體力：體力： 。1dd yxyxff ,定義應力：作用于各邊上，應力：作用于各邊上， 并表示出正面上并表示出正面上 由坐標增量引起由坐標增量引起 的的應力增量應力增量。應用的基本假定應用的基本假定：連續(xù)性假定應力用連續(xù)函數(shù)來表示。小變形假定用變形前的尺寸代替變 形后的尺寸。 列出平衡條件列出平衡條件：合力 = 應力面積，體力體積； 以正向物理量來表示。平面問題中可列出3

8、個平衡條件。平衡條件平衡條件其中一階微量抵消，并除以 得： . 01dd1d1)dd(1d1)dd(, 0yxfxxyyyyxxFxyxyxyxxxxxyxdd0.(a)yxxxfxy0yF0.(b)yxyyfyx，同理可得：平衡條件平衡條件 , 0cM 當 時，得切應力互等定理,得,d21d21yyxxyxyxxyxy0d,dyx.(c)xyyx平衡條件平衡條件 適用的條件-連續(xù)性，小變形；xy說明說明對平衡微分方程的說明：對平衡微分方程的說明： 代表A中所有點的平衡條件， 因位（ ，）A； 應力不能直接求出； 對兩類平面問題的方程相同。理論力學考慮整體 的平衡（只決定整體的運動狀態(tài)）。 V

9、VVd說明說明比較:材料力學考慮有限體 的平衡（近似）。 彈性力學考慮微分體 的平衡（精確）。 當 均平衡時，保證 ， 平衡；反之則不然。 VV說明說明Vd 所以彈力的平衡條件是嚴格的，并且是精確的。 理力（ V ）材力（ ）彈力（ ）bxhVd1dddyxVhV dxdy dx思考題思考題1.試檢查，同一方程中的各項，其量綱 必然相同（可用來檢驗方程的正確性）。2.將條件 ,改為對某一角點的 ，將得出什么結果？3.微分體邊上的應力若考慮為不均勻分布， 將得出什么結果？0cM0M 已知坐標面上應力 ， 求斜面上的應力。問題的提出：2 23 3平面問題中一點的應力狀態(tài)平面問題中一點的應力狀態(tài)問題

10、問題xyyx, ,求解：取出一個三角形微分體（包含 面， 面， 面）， 邊長).,(),(nnyxppppn.,mdsPAldsPBdsAB問題問題xy斜面應力表示：斜面應力表示：由平衡條件，并略去高階分量體力項，得(1)求求（ , , ）(a a)xpyp,xyyyyxxxlmpmlp斜面應力斜面應力其中：其中：l=cos(n,x), m=cos(n,y)。(2)求求（ ）將 向法向，切向投影，得nn ,),(yxppp 22222, (b)()().nxyxyxynyxyxxylpmpl m lmlpmplm lm斜面應力斜面應力 設某一斜面為主面，則只有由此建立方程，求出:, 0,nn(

11、3)求主應力求主應力斜面應力斜面應力. tan,222112221xyxyyxyx(c c)將x，y放在 方向，列出任一斜面上應力公式，可以得出（設 ）21, 21 . 45 ,2,2121的斜面上應力成發(fā)生在與主nmaxminnmaxmin(4)求最大，最小應力求最大，最小應力最大，最小應力最大，最小應力說明：以上均應用彈力符號規(guī)定導出。(d)幾何方程幾何方程表示任一點的微分線段 上形變與位移之間的關系。2 24 4幾何方程剛體位移幾何方程剛體位移定義定義變形前位置： 變形后位置： 各點的位置如圖。 通過點P(x,y)作兩正坐標向的正坐標向的微分線段, ,dyPBdxPA, , ,P A B

12、定義定義,P A B32sin,3!cos11,2!tan. 應用基本假定：連續(xù)性；小變形。當很小時，假定假定().xuudxuuxdxx.yvy假定假定由位移求形變：PA 線應變PA 轉(zhuǎn)角PB 線應變PB 轉(zhuǎn)角同理，tan.vdxvxdxxyu 適用于區(qū)域內(nèi)任何點，因為（x,y） A；對幾何方程的說明：. , ,yuxvyvxuxyyx所以平面問題的幾何方程平面問題的幾何方程為：說明說明 適用條件：a.連續(xù)性；b.小變形。 應用小變形假定，略去了高階小量 線性的幾何方程； 幾何方程是變形后物體連續(xù)性條件 的反映和必然結果。 形變和位移之間的關系： 位移確定位移確定 形變完全確定：形變完全確定

13、： 從物理概念看，各點的位置確定，則微分線段上的形變確定 。 說明說明 從數(shù)學推導看，位移函數(shù)確定，則其導數(shù)（形變）確定 。 從物理概念看， ， 確定，物體還可作剛體位移。 從數(shù)學推導看， ， 確定，求位移是積分運算，出現(xiàn)待定函數(shù)。形變確定，位移不完全確定形變確定，位移不完全確定： 形變與位移的關系形變與位移的關系由 ,兩邊對y積分，由 ,兩邊對x積分，例：若例：若 , ,求位移：求位移：0 xyyx0,(a)xyvuxy形變與位移的關系形變與位移的關系0 xxu0yyv).(0),(1yfyxu).(0),(2xfyxv代入第三式分開變量， 12d ( )d ( ) ( ).(b)ddfyf

14、xyx 因為幾何方程第三式對任意的（x，y）均應滿足。當x（y）變化時，式(b)的左，右均應=常數(shù) ，由此解出 ?？傻眯巫兣c位移的關系形變與位移的關系21, ff , . (c)oouuyvvx 物理意義：00,vu形變與位移的關系形變與位移的關系表示物體繞原點的剛體轉(zhuǎn)動。表示x，y向的剛體平移，結論結論 形變確定，則與形變有關的位移可以形變確定，則與形變有關的位移可以確定，而與形變無關的剛體位移確定，而與形變無關的剛體位移則未定。則未定。須通過邊界上的約束條件來確定 。,oovu,oovu思考題思考題,cbaxyyx當應變?yōu)槌Ａ繒r， 試求出對應的位移分量。物理方程表示（微分體上）應力和形變

15、之間的物理關系。11(), ,11(), ,11(), .xxyzyzyzyyzxzxzxzzxyxyxyEGEGEG定義即為廣義胡克定律：25物理方程物理方程的說明物理方程的說明：說明說明 正應力只與線應變有關；切應力只與切 應變有關。 是線性的代數(shù)方程； 是總結實驗規(guī)律得出的； 適用條件理想彈性體； 物理方程的兩種形式：物理方程的兩種形式： 應變用應力表示，用于 按應力求解； 應力用應變（再用位移表示） 表示，用于按位移求解。)(f )(f說明說明平面應力問題的物理方程：平面應力問題的物理方程： 代入 ，得：在z方向0zyzxz11(), (),(a)2(1).xxyyyxxyxyEEE)

16、.( , 0yxzzE平面應力 代入 得, 0zyzxz221(),11(),(b)12(1).xxyyyxxyxyEEE平面應變問題的物理方程平面應變問題的物理方程平面應變在z方向，).(,0yxzz平面應力物理方程平面應變物理方程：.1 ,12EE變換關系變換關系：.1 ,)1()21(2EE平面應變物理方程平面應力物理方程：思考題 1.試證：由主應力可以求出主應變，且兩者方向一致。 2.試證：3個主應力均為壓應力，有時可以產(chǎn)生拉裂現(xiàn)象。 3.試證：在自重作用下，圓環(huán)（平面應力問題）比圓筒（平面應變問題）的變形大。 位移邊界條件位移邊界條件 設在 部分邊界上給定位移分量 和 ,則有),()

17、( ),()(svvsuuss（在 上)。（a）usus定義)(su)( sv 邊界條件邊界條件 表示在邊界上位移與約束，或應力與面力之間的關系。位移邊界條件2 26 6邊界條件邊界條件 若為簡單的固定邊， 則有位移邊界條件的說明：sus, 0 vu, 0)( , 0)(ssvuus（在 上）。（b） 它是在邊界上物體保持連續(xù)性的條 件，或位移保持連續(xù)性的條件。 它是函數(shù)方程，要求在 上每一點 ， 位移與對應的約束位移相等。在23 中，通過三角形微分體的平衡條件，導出坐標面應力與斜面應力的關系式，應力邊界條件應力邊界條件設在 上給定了面力分 量 , ,xyyyyxxxlmpmlp).( ),(

18、sfsfyxs（在A中）。（c）應力邊界條件將此三角形移到邊界上，并使斜面與邊界面重合，則得應力邊界條件:()( ), . (d)()( ),xyxsxyxysylmfssmlfs（在 上） 它是邊界上微分體的靜力平衡條件；說明應力邊界條件的說明： 式（c）在A中每一點均成立，而 式（d）只能在邊界 s上成立； 它是函數(shù)方程，要求在邊界上每一點s 上均滿足，這是精確的條件； 所有邊界均應滿足，無面力的邊界 （自由邊） 也必須滿足。 式（d）中， 按應力符號規(guī)定， ， 按面力符號規(guī)定；yfxf 位移,應力邊界條件均為每個邊界兩 個，分別表示 ， 向的條件；, 0yxffxy說明xyyx, ,若x

19、=a為正x 面，l = 1, m = 0, 則式(d)成為( ), (). (e)x ax x axxyyff當邊界面為坐標面時當邊界面為坐標面時，坐標面yxbaxfyfxxfyfxyxxy若x=-b為負x 面，l = -1, m = 0 , 則式(d)成為( ), (). (f)xbx xbxxyyffyxbaxfyfxxfyfxyxxy應力邊界條件的兩種表達式：應力邊界條件的兩種表達式：兩種表達式 在同一邊界面上，應力分量應等于對 應的面力分量（數(shù)值相等，方向一 致）。即在同一邊界面上,應力數(shù)值應 等于面力數(shù)值(給定),應力方向應同面 力方向(給定)。 在邊界點取出微分體，考慮其平衡條 件

20、，得式（d）或（e），（f ）； 在斜面上， 在坐標面上，由于應力與面力的符號規(guī)定不同，故式（e），（f ）有區(qū)別。例如：.)( ,)(yyxsxfpfps兩種表達式lh/2h/2qyxoyyxxyyyxx例1 列出邊界條件：1q0( )0 ( )0.x 0 x 0 x,u,v邊界()0, ()0.xx lxyx lxl,邊界() ()0.yhyxhyy22xhy,q,2l邊界1()0, ().yhyxhyy22hy,q2邊界yxoqqqqbbaa例2 列出邊界條件：xyyyxx顯然，邊界條件要求在 上， 也成拋物線分布。b()0, ()0.yyyxybyb 邊界：axx2()( ) , ()

21、0.xxaxyxaxayqb 邊界： 部分邊界上為位移邊界條件，另一部分邊界上為應力邊界條件；混合邊界條件混合邊界條件：混合邊界條件： 同一邊界上，一個為位移邊界條件，另一個為應力邊界條件。例3 列出 的邊界條件：ax .0)(, 0)(,axxyaxuaxyxoa思考題 oxy(c)(a)(d)(b)qxnyABAxyoAMygn1.若在斜邊界面上，受有常量的法向分布 壓力 作用，試列出應力邊界條件， (思考題圖中（a）)。2.證明在無面力作用的0A邊上， 不等 于零（思考題圖中(b)）。3.證明在凸角A點附近，當無面力作用 時，其應力為零（思考題圖中 (c)）。qy4.試導出在無面力作用時

22、，AB邊界上的 之間的關系。 （思考題圖中（d）。5.試比較平面應力問題和平面應變問題的 基本方程和邊界條件的異同，并進一步 說明它們的解答的異同。xyyx, , 彈性力學問題是微分方程的邊值問題。應力，形變，位移等未知函數(shù)必須滿足A內(nèi)的方程和S上的邊界條件。主要的困難在于難以滿足邊界條件。 2 27 7圣維南原理及圣維南原理及其應用其應用 圣維南原理圣維南原理可用于簡化小邊界上的應力邊界條件。 如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對同一點的主矩也相同），那么，近處的應力分量將有顯著的改變，但 遠處所受的影響可以不計。圣維南原理圣維南原理：圣維南原理：

23、圣維南原理1.圣維南原理只能應用于一小部分邊界 （小邊界，次要邊界或局部邊界）；圣維南原理的說明：圣維南原理的說明：4.遠處 指“近處”之外。3.近處 指面力變換范圍的一，二倍 的局部區(qū)域；2.靜力等效 指兩者主矢量相同，對 同一點主矩也相同；圣維南原理 圣維南原理表明，在小邊界小邊界上進行面力的靜力等效變換后，只影響近處（局部近處（局部區(qū)域）區(qū)域）的應力，對絕大部分彈性體區(qū)域的應力沒有明顯影響。 圣維南原理推廣：如果物體一小部分邊界上的面力是一個平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，這個面力就只會使近處產(chǎn)生顯著的應力，而遠處的應力可以不計。例1 比較下列問題的應力解答：hFF/2 F/2F

24、/2F/2FF/b3465421321 )(bh 6543214321 b例2 比較下列問題的應力解答：推廣0 0 0 03412 0 02 01 圣維南原理的應用：圣維南原理的應用：1.推廣解答的應用；2.簡化小邊界上的邊界條件。應用圣維南原理在小邊界上的應用：圣維南原理在小邊界上的應用：lx 精確的應力邊界條件如圖，考慮 小邊界， 上式是函數(shù)方程，要求在邊界上任一點，應力與面力數(shù)值相等，方向一致，往往難以滿足。)(),(),(),(yfyxyfyxylxxyxlxx(a)在邊界 上，lx 在小邊界x=l上，用下列條件代替式(a)的條件： 在同一邊界在同一邊界 x=l 上，上， 應力的主矢量

25、 = = 面力的主矢量（給定); 應力的主矩(M) = = 面力的主矩（給定）.),(yxFF數(shù)值相等,方向一致.(b)圣維南原理圣維南原理的應用的應用積分的應力邊界條件積分的應力邊界條件 右端面力的主矢量，主矩的數(shù)值及方向，均已給定； 左端應力的主矢量，主矩的數(shù)值及方向，應與面力相同，并按應力的方向規(guī)定確定正負號。具體列出具體列出3 3個積分的條件：個積分的條件：)( 1)(1)()(1)(1)()( 1)(1)(2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/ShhylxhhxyhhxlxhhxNhhxlxhhxFdyyfdyMydyyfydyFdyyfdy即： 應力的主矢量，主矩的數(shù)值=

26、面力的主矢量，主矩的數(shù)值； 應力的主矢量，主矩的方向=面力的主矢量，主矩的方向。 式中應力主矢量，主矩的正方向應力主矢量，主矩的正方向,正負號正負號的確定： 應力的主矢量的正方向，即應力的正方向， 應力的主矩的正方向，即（正應力） （正的矩臂）的方向。討論：討論： 1.如果只給出面力的主矢量，主矩如圖，則式(c)右邊直接代入面力的主矢量，主矩； 2.在負 x 面， ，由于應力，面力的符號規(guī)定不同，應在式(c)中右端取負號； 3.積分的應力邊界條件(b)或(c)雖是近似的，但只用于小邊界，不影響整體解答的精度。lx 精確的應力邊界條件精確的應力邊界條件 積分的應力邊界條件積分的應力邊界條件方程個

27、數(shù)方程個數(shù) 2 3方程性質(zhì)方程性質(zhì) 函數(shù)方程（難滿足）函數(shù)方程（難滿足） 代數(shù)方程（易滿足）代數(shù)方程（易滿足）精確性精確性 精確精確 近似近似適用邊界適用邊界 大，小邊界大，小邊界 小邊界小邊界比較：比較：思考題思考題1、為什么在大邊界（主要邊界）上，不能 應用圣維南原理？2、試列出負 面上積分的應力邊界條件， 設有各種面力作用，或面力的主矢量和主矩作用。x 平面應力問題與平面應變問題，除物理方程的彈性系數(shù)須變換外，其余完全相同。因此，兩者的解答相似,只須將 進行變換。以下討論平面應力問題平面應力問題。1.1.平面問題的基本方程及邊界條件平面問題的基本方程及邊界條件,E平面問題2 28 8按位

28、移求解平面問題按位移求解平面問題 平面應力問題0,0.yxxxyxyyfxyfyx 平面域平面域A內(nèi)的基本方程內(nèi)的基本方程: :平衡微分方程（在（在A內(nèi)）內(nèi)）, , .xyxyuvvuxyxy11(),(),2(1).xxyyyxxyxyEEE幾何方程物理方程（在（在A內(nèi)）內(nèi)）（在（在A內(nèi)）內(nèi)）應力邊界條件 位移邊界條件 （在 上）（在 上）(),().xyxsxyxysylmfmlfs),(vuxyyxxyyxus( ),( ).ssuuvvS上邊界條件上邊界條件: 8個未知函數(shù) 必須滿足上述方程和邊界條件。 按位移求解按位移求解（位移法）取 ， 為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去形變和

29、應力，導出只含 ， 的方程和邊界條件，從而求出 ， ；再求形變和應力。2.2.解法解法消元法消元法 uvuvuv解法 按應力求解按應力求解（應力法）取 為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去位移和形變，導出只含應力的方程和邊界條件，從而求出應力；再求形變和位移。xyyx, 這是彈力問題的兩種基本解法這是彈力問題的兩種基本解法。3. 按位移求解按位移求解uvu vu vu v 將其他未知函數(shù)用 ，表示： 形變用 ，表示幾何方程; 應力先用形變來表示（物理方程）， 再代入幾何方程，用 ，表示: 取 ， 為基本未知函數(shù)；按位移求解2222()(),11()(),(a)11().2(1)2(1)xxy

30、yyxxyxyEEuvxyEEvuyxEEvuxy 在A中導出求 ，的基本方程將式(a) 代入平衡微分方程，22222222222211()0,122( ) (b)11()0.122xyEuuvfxyx yAEvvufyxx y u vu v上式是用 ，表示的平衡微分方程。位移邊界條件 （在 上）(d)（在 上）(c).)(,)(vvuussus.)(21)(1,)(21)(122ysxsfyuxvlxuyvmEfxvyumyvxulEs應力邊界條件將式(a)代入應力邊界條件， 在在S S上的邊界條件上的邊界條件 按位移求解時，按位移求解時， ， 必須滿足必須滿足A A內(nèi)的方程內(nèi)的方程(b)(

31、b)和邊界條件和邊界條件(c)(c)，(d)(d)。u vuvuv歸納：歸納：式(b)，(c)，(d)是求解 ， 的條件;也是校核 ， 是否正確的全部條件。 按位移求解（位移法）的優(yōu)缺點：按位移求解（位移法）的優(yōu)缺點： 求函數(shù)式解答困難，但在近似解法（變分法，差分法，有限單元法）中有著廣泛的應用。 適用性廣可適用于任何邊界條件。例1 考慮兩端固定的一維桿件。圖(a)，只受重力作用， 。試用位移法求解。gffyx , 0 xoyloyxgg(a) (b)解：為了簡化，設位移 按位移求解，位移應滿足式(b),(c),(d)。代入式(b),第一式自然滿足，第二式成為, 0).(, 0yvvu.222

32、2Egdyvdyvxoyloyxgg (a) (b) 均屬于位移邊界條件，代入 ，.22BAyyEgvly, 00( )0,yv0;B v得得( )0,y lv.2gAlE解出).2(2),2(2),(22ylgylEgylyEgvyy在 處，2ly. 0y代入 ，并求出形變和應力，v思考題試用位移法求解圖(b)的位移和應力。（1）取 為基本未知函數(shù)；基本方程xyyx,29 按應力求解平面問題相容方程1.按應力求解平面應力問題按應力求解平面應力問題（2）其他未知函數(shù)用應力來表示: 位移用形變應力表示，須通過積分，不僅表達式較復雜，而且包含積分帶來的未知項，因此位移邊界條件用應力分量來表示時既復

33、雜又難以求解。故在按應力求解時在按應力求解時，只考慮全部為應力邊界條件的問題只考慮全部為應力邊界條件的問題, ,即 。 形變用應力表示（物理方程）。)0,(usss按應力求解 在A內(nèi)求解應力的方程.22222yxxyxyyxvu(b) 從幾何方程中消去位移 ， ，得相容方相容方程（形變協(xié)調(diào)條件）程（形變協(xié)調(diào)條件）： 補充方程從幾何方程，物理方程中消去位移和形變得出 :平衡微分方程 （2個）。 (a) 代入物理方程，消去形變，并應用平衡微分方程進行簡化，便得用應力表示的相容方程 ： 2()(1)(),(c)yxxyffxy .22222yx其中 (4) 應力邊界條件假定全部邊界上均為應力邊界條件

34、 。)0,(usss（1）A內(nèi)的平衡微分方程；（2）A內(nèi)的相容方程；（3）邊界 上的應力邊界條件；（4）對于多連體，還須滿足位移的單值條 件（見第四章）。 歸納歸納：xyyx,ss （1）-（4）也是校核應力分量是否正確的全部條件。 按應力求解平面應力問題按應力求解平面應力問題 ，應力 必須滿足下列條件：2.形變協(xié)調(diào)條件（相容方程）的物理意義形變協(xié)調(diào)對應的位移存在位移必然連續(xù)；形變不協(xié)調(diào)對應的位移不存在不是物體實際存在的形變微分體變形后不保持連續(xù)。 形變協(xié)調(diào)條件是與形變對應的位移存在且連續(xù)的必要條件。 形變協(xié)調(diào)條件是位移連續(xù)性的必然結果。連續(xù)體位移連續(xù)幾何方程形變協(xié)調(diào)條件。點共點（連續(xù)），變形

35、后三連桿在 點共點，則三連桿的應變必須滿足一定的協(xié)調(diào)條件。例1 三連桿系統(tǒng)，由于物體是連續(xù)的，變形前三連桿在 DD FDD1.試比較按位移求解的方法和按應力求解的 方法，并與結構力學中的位移法和力法作 比較。2.若 是否可能 成為彈性體中的形變？3.若 是否 可能為彈性體中的應力？,)(,22xybabxayxyyx, 0, 022xyyxyxbyaxff思考題思考題 相容方程 (A) (a)1.常體力情況下按應力求解的條件常體力情況下按應力求解的條件0)(2yx0, 0yxyyxyxxfxyfyx(A) (b) 平衡微分方程 按應力函數(shù)求解2 21010常體力情況下的簡化常體力情況下的簡化

36、應力函數(shù)應力函數(shù) 應力邊界條件 ss .)( ,)(ysxyyxsyxxflmfml(S) (c)0,(usss 多連體中的位移單值條件。 (d) 在 - - 條件下求解 的全部條件(a)，(b)，(c)中均不包含彈性常數(shù)，故 與彈性常數(shù)無關。2.在常體力在常體力, ,單連體單連體, ,全部為應力邊全部為應力邊界條件（界條件（ ）下的應力）下的應力 特征：特征：ss xyyx,xyyx,xyyx,結論：結論：不同材料的應力( )的理論解相 同，用試驗方法求應力時，也可以用不 同的材料來代替。xyyx,兩類平面問題的應力解 相同，試 驗時可用平面應力的模型代替平面應變的 模型。 xyyx, 3.

37、常體力下按應力求解的簡化常體力下按應力求解的簡化, , 0. (e)xxyyxyf xf y 22222, , . (f)xyxyyxx y 對應的齊次微分方程的通解通解，艾里已求出為 非齊次微分方程(b)的任一特解特解，如?。?）常體力下平衡微分方程的通解通解是： 非齊次特解非齊次特解+ +齊次通解。齊次通解。. yxy,fxx,fy2xyy22yx22x所以滿足平衡微分方程的通解為平衡微分方程的通解為: :(g)為艾里應力函數(shù)。如果，則A，B均可用一個函數(shù)表示，即說明：說明：).()(xfyyfx),()(ByAx. ,xfByfAa.導出艾里（Airy）應力函數(shù) ，是應用偏導數(shù)的相容性，

38、即d. 由 再去求應力（式（g）,必然滿足平衡微分方程，故不必再進行校核。c. 仍然是未知的。但已將按應力 求解轉(zhuǎn)變?yōu)榘磻瘮?shù) 求解，從3個未知函數(shù)減少至1個未知函數(shù) 。b.導出應力函數(shù) 的過程，也就證明了 的存在性，故可以用各種方法去求解 。),(yx),(xyyx（2）應力應滿足相容方程（a），將式 （g）代入（a），得 2240. (h) ss （3）若全部為應力邊界條件（ ）， 則應力邊界條件也可用 表示。歸納：歸納：（1）A內(nèi)相容方程（h）；（2） 上的應力邊界條件；（3）多連體中的位移單值條件連體。ss 求出 后，可由式（g）求得應力。 在常體力下求解平面問題 ，可轉(zhuǎn)變?yōu)榘磻?/p>

39、數(shù)按應力函數(shù) 求解求解， 應滿足:1，在常體力，單連體和全部為應力邊界條件條件下，對于不同材料和兩類平面問題的， 和均相同。試問其余的應力分量，應變和位移是否相同？xyxy思考題2，對于按位移(u, v)求解，按應力（ ， ， ）求解和按應力函數(shù) 求解的方法，試比較其未知函數(shù)，應滿足的方程和條件，求解的難易程度及局限性。xyxy 1例題2例題3例題4例題7例題5例題6例題例1 試列出圖中的邊界條件。SFMFyxl h/2 h/2q2)(lxq1q) 1,(hl(a)解: (a)在主要邊界 應精確滿足下列邊界條件：. , 0 , 2/; 0 ,)( , 2/12qhylxqhyxyyxyy2/h

40、y在小邊界x = 0應用圣維南原理，列出三個積分的近似邊界條件，當板厚 時，1。sxhhxyxhhxxhhxFyMyyFyd)(,d)(,d)(02/2/02/2/02/2/在小邊界x = l，當平衡微分方程和其它各邊界條件都已滿足的條件下，3個積分的邊界條件必然滿足，可以不必校核。(b) 在主要邊界x= 0, b，應精確滿足下列邊界條件：。qlxgyxxyxxyx , 0 ; 0 , 0030FOxyqh(b)gy b/2 b/2) 1,(bh 在小邊界y = 0，列出3個積分的邊界條件，當板厚 時，1。2d)(,43d)(,23d)(000000FxbFxxFxybyxybyyby 注意在

41、列力矩的條件時兩邊均是對原點o 的力矩來計算的。 對于y = h的小邊界可以不必校核。例例2 2 厚度 懸臂梁，受一端的集中力F的作用。已求得其位移的解答是 試檢查此組位移是否是圖示問題的解答。1。EIFlEIFxlEIFxEIFxyvyIGFhEIFlIGFyEIFyEIyFxu3262,)82(662323222332 h/2 h/2AxylFO) 1,(hl解： 此組位移解答若為圖示問題的解答，則應滿足下列條件:(1) 區(qū)域內(nèi)用位移表示的平衡微分方程 (書中式218）;（2）應力邊界條件（書中式219），在 所有受面力的邊界 上。其中在小邊 界上可以應用圣維南原理，用3個積 分的邊界條件

42、來代替。（3）位移邊界條件（書中式214）。本 題在x = l的小邊界上，已考慮利用圣 維南原理，使3個積分的應力邊界條 件已經(jīng)滿足。S 因此，只需校核下列三個剛體的約束條件： A點（ x = l及y = 0），.0),(xuvu 讀者可校核這組位移是否滿足上述條件，如滿足，則是該問題之解。CxycCxyyBxAybDyCByAxyaxyyxxyyxxyyx , 0 )(; , , )(; , , )(2223例例3 3 試考慮下列平面問題的應變分量是否可能存在解：應變分量存在的必要條件是滿足形變 相容條件，即 （a）相容； （b）須滿足B = 0, 2A=C ； （c）不相容。只有C = 0

43、，則.22222yxxyxyyx2222( ) , , ;( ) (), (), ;xyxyxyxyaAxByCxDyExFybA xyB xyCxy例例4 4 在無體力情況下，試考慮下列應力分量是否可能在彈性體中存在：解：彈性體中的應力，在單連體中必須 滿足： （1）平衡微分方程； （2）相容方程； （3）應力邊界條件（當 ）。SS （a）此組應力滿足相容方程。為了滿足平 衡微分方程，必須A=-F, D=-E.此外，還應滿足應力邊界條件。（b）為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足 A + B = 0。 為了滿足平衡微分方程，其系數(shù)必須 滿足 A = B =-C/2。 上兩式是矛盾的，因此此組應力

44、分量 不可能存在。例例5 5 若 是平面調(diào)和函數(shù)，即滿足拉普拉斯方程 試證明函數(shù) 都滿足重調(diào)和方程，因而都可以作為應力函數(shù)使用。. 02 ffyxyfxff) ( , , ,22),(yxf40,解： 上述函數(shù)作為應力函數(shù)，均能滿足相 容方程（重調(diào)和方程），. 04 。xChqxyCyCyhqyyxhqxyy2),46(a)例例6 6 圖中的梁，受到如圖所示的荷載的作用，試用下列應力表達式求解其應力，202qh)202(22qhqlxy) 1,(hlloqql h/2 h/2解：本題是按應力求解的，在應力法中，應力分量在單連體中必須滿足（1）平衡微分方程；（2）相容方程 ;（3）應力邊界條件（在 上）。 將應力分量（a）代入平衡微分方程和相容方程，兩者都能滿足。0)(2yxSS 再校核邊界條件，在主要邊界上，21316, 0, ()0, 243 ; 2xyhq hyxChqCh 即得312322, , (),28