常見(jiàn)不等式通用解法

1、WORD格式常見(jiàn)不等式通用解法總結(jié)一、根底的一元二次不等式，可化為類(lèi)似一元二次不等式的不等式根底一元二次不等式如 2x2x60 ， x22x 1 0，對(duì)于這樣能夠直接配方或者因式分解的根底一元二次不等式，重點(diǎn)關(guān)注解區(qū)間的“形狀 。當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)大于0，不等號(hào)為小于或小于等于號(hào)時(shí)，解區(qū)間為兩根的中間。2 x2x 60的解為 (3,2)2當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)大于0，不等號(hào)為大于或大于等于號(hào)時(shí)，解區(qū)間為兩根的兩邊。x22x 10的解為 (,12) (12, )當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)小于0 時(shí)，化成二次項(xiàng)系數(shù)大于0 的情況考慮?？苫癁轭?lèi)似一元二次不等式的不等式換元x19x，令 tx2如 323 ，原不等式就變?yōu)?t3t

2、2 0 ，再算出 t 的X圍，進(jìn)而算出x 的X圍又如 x2ax43，令 tx2，再對(duì) a 進(jìn)展分類(lèi)討論來(lái)確定不等式的解集2含參數(shù)的一元二次不等式解法步驟總結(jié)：序號(hào)步驟首先判定二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，為 0那么1化為一元一次不等式，再分類(lèi)討論二次項(xiàng)系數(shù)非0，將其化為正的，討論2 判別式的正負(fù)性，從而確定不等式的解集假設(shè)可以直接看出兩根，或二次式可以因3 式分解，那么無(wú)需討論判別式，直接根據(jù)不同的參數(shù)值比較兩根大小4綜上，寫(xiě)出解集2ax 10 ，首先發(fā)現(xiàn)二次項(xiàng)系數(shù)大于0，而且此不等式無(wú)法直接看出兩根，如不等式 x所以，討論a 24 的正負(fù)性即可。0, R此不等式的解集為0, xR | xa20,(,

3、aa24 ) ( aa24 , )22又如不等式 x2(a2a)xa 30 ，發(fā)現(xiàn)其可以通過(guò)因式分解化為(x a )(x a 2 ) 0 ，所以只需要判定a 2和 a 的大小即可。a0 or a1, xR| xa此不等式的解集為 0a 1,(, a2 )( a,)a0 or a1,(, a)(a 2 , )專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式又如不等式ax22( a 1)x 4 0，注意：有些同學(xué)發(fā)現(xiàn)其可以因式分解，就直接寫(xiě)成( ax2)( x 2)0 ，然后開(kāi)場(chǎng)判斷兩根2和 2 的大小關(guān)系，這樣做是有問(wèn)題的。a事實(shí)上， 這個(gè)題目中并沒(méi)有說(shuō)此不等式一定是一元二次不等式，所以參數(shù) a 是有可能為0 的。討論

4、完a0 的情況再討論 a 0 和 a0 的情況。所以此不等式的解集應(yīng)該是：a0,(,2)a0,(2,2)aa1,(2(2,), )aa1, xR | x20a1,(,2) (2 ,)a注意， a0 和 a0 時(shí)解區(qū)間的狀況不同，一種為中間，一種為兩邊。二、數(shù)軸標(biāo)根法又名穿針引線(xiàn)法解不等式這種問(wèn)題的一般形式是 ( x a1 )( xa2 )( x a3 ).( xan )0 或, , 步驟：將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)式，一段為0，另一端為一次因式的乘積注意！系數(shù)為正或二次不可約因式 二次項(xiàng)系數(shù)為正 。畫(huà)出數(shù)軸如下，并從最右端上方起，用曲線(xiàn)自右向左一次由各根穿過(guò)數(shù)軸。記數(shù)軸上方為正，下方為負(fù)，根據(jù)不等式的符

5、號(hào)寫(xiě)出解集。例如，求不等式 (x 1)(x 2)( x3)(x4)0 的解集，畫(huà)出圖如下，發(fā)現(xiàn)解集為(,1) (2,3)(4,)21O1234561234為什么數(shù)軸標(biāo)根法是正確的呢？對(duì)于不等式(x1)(x2)( x3)( x4)0 來(lái)說(shuō)，要滿(mǎn)足四項(xiàng)相乘為正，說(shuō)明四項(xiàng)均正，解集為(4,) 兩正兩負(fù)，只能是( x1),( x2) 正，( x3),( x4) 負(fù)，此時(shí)解集為(2,3) 四項(xiàng)均負(fù)，解集為(,1) 。綜上，解集為這三種情況的并集。當(dāng)不等式左側(cè)有奇數(shù)項(xiàng)的時(shí)候同理。由此可知，遇到奇數(shù)個(gè)一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)的情況，如果不把系數(shù)化為正的，結(jié)果一定是錯(cuò)誤的。注意，這種方法要靈活使用，假設(shè)不等式為( x

6、1)2 (x 2)( x 3)( x 4) 0 ，使用數(shù)軸標(biāo)根法得到的解集顯然和上述不一樣，因?yàn)?x1)2是偶次項(xiàng)，必然非負(fù)，所以在“穿針引線(xiàn)時(shí)，可以忽略，或者可以記住口訣“奇穿偶不穿。(x1)2 ( x2)( x3)( x4)0 的示意圖見(jiàn)下。專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式0.5O0.511.522.533.544.5三、解分式不等式分式不等式的解題思路，前面講了一些不等式的求解，都是講不等式的一邊化為0，另一邊為含 x 的多項(xiàng)式。 把一個(gè)分式不等式經(jīng)過(guò)移項(xiàng)和通分處理，最終總能化為f ( x)0或g ( x), , 的形式，此時(shí)解f ( x) g( x) 0就可以解出原不等式的解集。特別地，假設(shè)要

7、解f ( x)0 ，那么解f ( x) g( x)0即可。g (x)g (x)0例如2 x81，移項(xiàng)化簡(jiǎn)得x23x20 ，使用穿針引線(xiàn)法得到解集為x2x6x2x6 x | x2或1x2或 x3 ，一定要注意 分母不為零，而分子可以為零。例：一道比較復(fù)雜的題，求a( x 1)1(a1) 的解集，現(xiàn)寫(xiě)出此題的完整解題過(guò)程。x2解：原不等式通過(guò)移項(xiàng)通分可化為 (a1)x( a2)0 ，由于a1，所以可以進(jìn)一步化x2(a1)(xa2)a2a10 ，兩根為2 。為和x2a1當(dāng) a1時(shí)，解集為兩根的兩邊， 顯然有 a22 ，所以此時(shí)解集為 ( , a2) (2, )a1a1當(dāng) a1時(shí)，解集為兩根中間，此時(shí)

8、必須根據(jù)a的取值判斷兩根X圍。當(dāng)0a1時(shí)， a22 ，此時(shí)解集為 (2, a2)a1a1當(dāng) a0時(shí)， a22 ，此時(shí)解集為a1當(dāng) a0時(shí)， a22 ，此時(shí)解集為 (a2 ,2)a1a1至此， a 的所有值都討論完畢，所以這道題討論到這樣就完畢了當(dāng)然，如果這道題不給a1的限制條件，只需要再討論一下a1時(shí)的解集情況即可。補(bǔ)充內(nèi)容：一類(lèi)經(jīng)典但易錯(cuò)的分式不等式問(wèn)題求11的解集x專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式求 11 的解集x求 11的解集x求 11的解集x求 312的解集x解答： (0,1) ( ,0)(1,) ( 1,0)(, 1)(0,11)(,)(, )，注32意的區(qū)別四、絕對(duì)值不等式對(duì)于含有絕對(duì)值的

9、不等式，解題思想為直接脫去絕對(duì)值符號(hào)f (x)g ( x)g ( x)f (x)g( x) ， f ( x)g ( x)f ( x)g (x)或 f ( x)g ( x)構(gòu)造函數(shù)，數(shù)形結(jié)合在不等式的一端有多個(gè)絕對(duì)值時(shí)，使用零點(diǎn)分段法分類(lèi)討論分類(lèi)討論思想隨處可見(jiàn)平方法不等式兩邊都是非負(fù)時(shí)才能用，慎用例：圖形法某經(jīng)典問(wèn)題，解不等式1a ，先畫(huà)出 f ( x) 111的圖像如下，然后分xx類(lèi)討論 a 的取值，通過(guò)觀(guān)察 y f (x) 和y a的圖像，來(lái)確定不等式的解集情況。4.543.5專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式1f(x) =1xg(x ) = 132.521.510.5專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式654

10、3211234560.511.52當(dāng) a0時(shí)， yf ( x) 的圖像在ya 的圖像上方，除了點(diǎn)(1,1)，此時(shí)顯然不等式無(wú)解當(dāng) a1時(shí)， yf ( x) 的圖像與y1，此時(shí)的解集為1a 的圖像交點(diǎn)為( ,1)( , )22當(dāng) 0a1 時(shí)，y f (x)的圖像與y a 的圖像交點(diǎn)橫坐標(biāo)為11，此時(shí)解集為1,a 1 a(11),1a 1a專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式當(dāng) a1時(shí)， yf ( x) 的圖像與ya 的圖像交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1 ,1，此時(shí)解集為1a 1a(1),(1,),a11a當(dāng)然此題使用f (x) g ( x)g (x)f ( x) g ( x) 也可以做， 化成a 11a ，只是在x討論的時(shí)

11、候需要細(xì)心，考慮到a 的所有取值。絕對(duì)值不等式的零點(diǎn)分段法，以及特別的做題技巧例如 x1x2 5 ，發(fā)現(xiàn)不等號(hào)左邊有兩個(gè)絕對(duì)值，所以應(yīng)該根據(jù)兩個(gè)不同的零點(diǎn)分段討論當(dāng) x1時(shí)，原不等式化為 2x15，解得 x2當(dāng)2x1時(shí)，原不等式化為35，顯然無(wú)解當(dāng) x2時(shí)，原不等式化為12x5，解得 x 3綜上，原不等式的解集為三種情況下的并集注意，為什么是并集而不是交集？，(, 32,)技巧：可以將絕對(duì)值看成距離，也就是將 x 1看成數(shù)軸上點(diǎn) x 到點(diǎn) 1 的距離， 將 x 2看成 x 到-2的距離，假設(shè)畫(huà)出數(shù)軸，發(fā)現(xiàn)位于區(qū)間2,1 的點(diǎn)綠色點(diǎn)到區(qū)間端點(diǎn)的距離之和為 3，位于區(qū)間 2,1 之外的點(diǎn)到區(qū)間端點(diǎn)的距離之和大于3，特別地，在2處和-3處距離之和為5，所以令 x 繼續(xù)遠(yuǎn)離區(qū)間 2,1 ，發(fā)現(xiàn)距離之和大于5。2-21也就是說(shuō) x1x 2 的取值X圍是 3,同理，遇到減號(hào)的情況，例如x 3x1 ，發(fā)現(xiàn)其取值X圍是4,4此技巧常用于填空題，既可以求不等式解集，又可以求參數(shù)的X圍。例 1：假設(shè)存在實(shí)數(shù)x 使得不等式 x 1 xa 1 成立，那么 a 的取值X圍是？答案 2,0 例 2：不等式 x2 x 1 2 的解集是？答案 (,1 2五、無(wú)理不等式無(wú)理不等式能出的考題較少，主要是要