數(shù)學(xué)建模課件第六講微分方程模型

1、第六講微分方程模型第六講微分方程模型( (一一) )6.1 傳染病模型傳染病模型6.2 為什么要用三級(jí)火箭發(fā)射人造衛(wèi)星為什么要用三級(jí)火箭發(fā)射人造衛(wèi)星6.1 傳染病模型傳染病模型歐洲人征服美洲歐洲人征服美洲: : 靠的不是槍炮靠的不是槍炮, ,而是一連串而是一連串的的瘟疫瘟疫。1518151815261526年天花流行，年天花流行，1530-15311530-1531年爆發(fā)麻疹，年爆發(fā)麻疹，15461546年斑疹年斑疹傷寒、傷寒、1558-15591558-1559年流感。年流感。 90%90%的美洲原住民死于的美洲原住民死于這些這些疾病。疾病。第一次世界大戰(zhàn)期間第一次世界大戰(zhàn)期間：隨著軍隊(duì)的行

2、程，流感隨之在全球范隨著軍隊(duì)的行程，流感隨之在全球范圍內(nèi)爆發(fā)并導(dǎo)致大約圍內(nèi)爆發(fā)并導(dǎo)致大約40004000萬(wàn)人口死亡。萬(wàn)人口死亡。第二次世界大戰(zhàn)第二次世界大戰(zhàn)期間：期間：伊姆法爾戰(zhàn)役，是日軍在印度對(duì)英軍伊姆法爾戰(zhàn)役，是日軍在印度對(duì)英軍實(shí)施的一次進(jìn)攻性戰(zhàn)役。該地區(qū)流行瘧疾、痢疾、傷寒、霍實(shí)施的一次進(jìn)攻性戰(zhàn)役。該地區(qū)流行瘧疾、痢疾、傷寒、霍亂等傳染病，近亂等傳染病，近1010萬(wàn)人的軍隊(duì)只剩下萬(wàn)余名官兵。萬(wàn)人的軍隊(duì)只剩下萬(wàn)余名官兵。在曠日持久的戰(zhàn)爭(zhēng)中，疾病減員常常數(shù)倍于戰(zhàn)傷減員，傳在曠日持久的戰(zhàn)爭(zhēng)中，疾病減員常常數(shù)倍于戰(zhàn)傷減員，傳染病引發(fā)的軍人死亡數(shù)常常超過(guò)戰(zhàn)斗死亡數(shù)。染病引發(fā)的軍人死亡數(shù)常常超過(guò)戰(zhàn)斗

3、死亡數(shù)。問(wèn)題問(wèn)題 描述傳染病的傳播過(guò)程描述傳染病的傳播過(guò)程 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 預(yù)報(bào)傳染病高峰到來(lái)的時(shí)刻預(yù)報(bào)傳染病高峰到來(lái)的時(shí)刻 預(yù)防傳染病蔓延的手段預(yù)防傳染病蔓延的手段問(wèn)題分析問(wèn)題分析影響傳染病傳播的因素影響傳染病傳播的因素: 傳染者的數(shù)量及分布傳染者的數(shù)量及分布, 被傳播者數(shù)量被傳播者數(shù)量, 傳播形式傳播形式, 傳播能力傳播能力, 免疫能力免疫能力人群分為三類人群分為三類: 易感類易感類(S類類)、傳播類傳播類(I類類)、 排除類排除類(R類類)目標(biāo)目標(biāo): 通過(guò)分析這三類人群的變化情況來(lái)研通過(guò)分析這三類人群的變化情況來(lái)研究傳染病的傳播規(guī)律及預(yù)防措施究傳染病的傳

4、播規(guī)律及預(yù)防措施基本假設(shè)基本假設(shè) 總?cè)藬?shù)不變總?cè)藬?shù)不變, 不考慮生死和遷移不考慮生死和遷移 傳播方式為接觸傳播方式為接觸, 人員均勻分布人員均勻分布sidtdi1)()(titsSI模型模型只分已感染者和未感染者只分已感染者和未感染者模型模型假設(shè)假設(shè)1) 總?cè)藬?shù)總?cè)藬?shù)N不變不變, 病人和健康人的比例病人和健康人的比例分別為分別為)(),(tsti 2) 每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為 , 且且使接觸的健康人致病使接觸的健康人致病模型模型建立建立ttNitstittiN)()()()(0)0()1(iiiidtdiLogistic 模型模型日接日接觸率觸率初始時(shí)初始時(shí)刻病人

5、刻病人比例比例1/2tmii010t011ln(1)mittm 為傳染病高峰到來(lái)時(shí)刻為傳染病高峰到來(lái)時(shí)刻 tm 1it未考慮未考慮: 病人可以治愈病人可以治愈!?設(shè)設(shè)t=tm, di/dt最大最大相應(yīng)的解為相應(yīng)的解為當(dāng)當(dāng)i=1/2時(shí)時(shí), di/dt最大最大 i(t)t圖形圖形011( )1(1)tii teSIS模型模型傳染病無(wú)免疫性傳染病無(wú)免疫性: 病人治愈成為健康人病人治愈成為健康人, 健康人健康人可再次被感染可再次被感染假設(shè)假設(shè)3) 病人每天治愈的比例為病人每天治愈的比例為 ttNittitNstittiN)()()()()(模模型型建建立立/ 日接觸率日接觸率1/ 感染期感染期 一個(gè)感

6、染期內(nèi)一個(gè)感染期內(nèi)每每個(gè)病人的有效接觸人個(gè)病人的有效接觸人數(shù)數(shù), 稱為稱為接觸數(shù)接觸數(shù)0)0()1(iiiiidtdi)11 (iidtdi日日治治愈率愈率1,01,11)(ii0i0接觸數(shù)接觸數(shù) =1 閾值閾值1()i t 感染期內(nèi)感染期內(nèi)有效接觸感有效接觸感染的健康者人數(shù)不超染的健康者人數(shù)不超過(guò)病人數(shù)過(guò)病人數(shù)1-1/ i0idi/dt01 10ti 11-1/ i0t 1di/dt 1/ i(t)先升后降至先升后降至0s01/ i(t)單調(diào)降至單調(diào)降至0P2P4P3S0箭頭表示箭頭表示相軌線的方向相軌線的方向1/ 閾值閾值預(yù)防傳染病蔓延的手段預(yù)防傳染病蔓延的手段 (日接觸率日接觸率) 衛(wèi)生

7、水平衛(wèi)生水平 (日日治愈率治愈率) 醫(yī)療水平醫(yī)療水平 傳染病不蔓延的條件傳染病不蔓延的條件: s01/ 降低降低 s0提高提高 r0 1000ris提高閾值提高閾值 1/ , 群體免疫群體免疫 降低降低 (= / )6.2 為什么要用三級(jí)火箭來(lái)發(fā)射人造衛(wèi)星為什么要用三級(jí)火箭來(lái)發(fā)射人造衛(wèi)星中國(guó)長(zhǎng)征運(yùn)載火箭中國(guó)長(zhǎng)征運(yùn)載火箭長(zhǎng)征一號(hào)為三級(jí)火箭，主要用于發(fā)射長(zhǎng)征一號(hào)為三級(jí)火箭，主要用于發(fā)射近地軌道小型近地軌道小型有效載荷，有效載荷，1970年年4月月24日將中國(guó)第一顆人造地球日將中國(guó)第一顆人造地球衛(wèi)星衛(wèi)星“東方紅一號(hào)東方紅一號(hào)”送入近地軌道，使中國(guó)成為世界送入近地軌道，使中國(guó)成為世界上第五個(gè)能自主發(fā)射

8、衛(wèi)星的國(guó)家上第五個(gè)能自主發(fā)射衛(wèi)星的國(guó)家長(zhǎng)征二號(hào)系列為兩級(jí)長(zhǎng)征二號(hào)系列為兩級(jí)火箭，火箭，主要用于發(fā)射主要用于發(fā)射近地軌道近地軌道衛(wèi)星和飛船衛(wèi)星和飛船長(zhǎng)征三號(hào)系列為三級(jí)火箭，主要用于發(fā)射長(zhǎng)征三號(hào)系列為三級(jí)火箭，主要用于發(fā)射高軌道衛(wèi)高軌道衛(wèi)星星長(zhǎng)征四號(hào)系列長(zhǎng)征四號(hào)系列為為三級(jí)火箭，主要用于發(fā)射三級(jí)火箭，主要用于發(fā)射風(fēng)云氣象風(fēng)云氣象衛(wèi)星和資源衛(wèi)星衛(wèi)星和資源衛(wèi)星等等三級(jí)火箭三級(jí)火箭結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖 p 為什么不能用一級(jí)火箭為什么不能用一級(jí)火箭, ,而必須用多級(jí)火而必須用多級(jí)火 箭來(lái)發(fā)射人造衛(wèi)星箭來(lái)發(fā)射人造衛(wèi)星? ?p 為什么一般都采用三級(jí)火箭系統(tǒng)？為什么一般都采用三級(jí)火箭系統(tǒng)？問(wèn)題問(wèn)題(1) (1) 衛(wèi)星能

9、在軌道上運(yùn)動(dòng)的最低速度衛(wèi)星能在軌道上運(yùn)動(dòng)的最低速度 為什么不能用一級(jí)火箭發(fā)射人造衛(wèi)星為什么不能用一級(jí)火箭發(fā)射人造衛(wèi)星? ?(i) (i) 衛(wèi)星軌道為過(guò)地球中心的某一平面上的圓，衛(wèi)衛(wèi)星軌道為過(guò)地球中心的某一平面上的圓，衛(wèi)星在此軌道上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)星在此軌道上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)(ii) (ii) 地球是固定于空間中的均勻球體，其它星球地球是固定于空間中的均勻球體，其它星球?qū)πl(wèi)星的引力忽略不計(jì)。對(duì)衛(wèi)星的引力忽略不計(jì)。假設(shè)假設(shè)分析分析根據(jù)牛頓第三定律，地球?qū)πl(wèi)星的引力為根據(jù)牛頓第三定律，地球?qū)πl(wèi)星的引力為2GMmFr 在地面有在地面有2GMmmgR 得得2GMgR 2RFmgr 故故 衛(wèi)星所受到的引力即它

10、作勻速衛(wèi)星所受到的引力即它作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力圓周運(yùn)動(dòng)的向心力, 故：故： 2mvFr 從而從而gvRr R為地球半徑為地球半徑約為約為6400公里公里 衛(wèi)星離地面高度衛(wèi)星離地面高度 (公里公里)衛(wèi)星速度衛(wèi)星速度 (公里公里/秒秒)10020040060080010007.807.697.587.477.377.86設(shè)設(shè)g=9.81g=9.81米米/ /秒秒2 2，得，得: : (2)(2)火箭推進(jìn)力及速度的分析火箭推進(jìn)力及速度的分析火箭重力及空氣阻力均不計(jì)火箭重力及空氣阻力均不計(jì) 記火箭在時(shí)刻記火箭在時(shí)刻 t 的質(zhì)量和速度分別為的質(zhì)量和速度分別為m(t) 和和(t) , 有有 記火箭噴出的

11、氣體相對(duì)于火箭的速度為記火箭噴出的氣體相對(duì)于火箭的速度為u (常數(shù)常數(shù)), 由動(dòng)量守恒定理：由動(dòng)量守恒定理：()( )()dmm ttm ttotdt ( ) ( )() ()()( ( )dmm t v tm tt v tttotv tudt 得得dvdmmudtdt 由此解得：由此解得：00( )ln( )mv tvum t0和和m0一定的情況下一定的情況下, 火箭速度火箭速度(t)由由u及質(zhì)量比決定及質(zhì)量比決定 假設(shè)假設(shè)分析分析連續(xù)可微連續(xù)可微函數(shù)函數(shù)dmm-dmvu-v(3)(3)目前技術(shù)條件下一級(jí)火箭末速度的上限目前技術(shù)條件下一級(jí)火箭末速度的上限現(xiàn)將火箭現(xiàn)將火箭衛(wèi)星系統(tǒng)的質(zhì)量分成三部

12、分：衛(wèi)星系統(tǒng)的質(zhì)量分成三部分：(i) mp (有效負(fù)載有效負(fù)載, 如衛(wèi)星如衛(wèi)星) (ii) mf (燃料質(zhì)量燃料質(zhì)量)(iii) mS (結(jié)構(gòu)質(zhì)量結(jié)構(gòu)質(zhì)量, 如外殼、燃料容器及推進(jìn)器如外殼、燃料容器及推進(jìn)器)最終質(zhì)量為最終質(zhì)量為 mP+mS, 初始速度為初始速度為0, 所以末速度：所以末速度：0lnpsmvumm 目前目前, u只能達(dá)到只能達(dá)到3公里公里/秒秒, mS(mf+mS)/10,即使發(fā)射空即使發(fā)射空殼火箭，其末速度也不超殼火箭，其末速度也不超過(guò)過(guò)7.0公里公里/秒秒目前根本不可能用一級(jí)火箭發(fā)射人造衛(wèi)星目前根本不可能用一級(jí)火箭發(fā)射人造衛(wèi)星火箭推進(jìn)力在加速火箭推進(jìn)力在加速整個(gè)火箭時(shí)，其實(shí)

13、整個(gè)火箭時(shí)，其實(shí)際效益越來(lái)越低。際效益越來(lái)越低。00( )ln( )mv tvum t如果結(jié)構(gòu)質(zhì)量在燃料燃如果結(jié)構(gòu)質(zhì)量在燃料燃燒過(guò)程中也不斷減少燒過(guò)程中也不斷減少, ,末速度能達(dá)到要求嗎？末速度能達(dá)到要求嗎？0lnpsmvumm 理想火箭模型理想火箭模型假設(shè)：假設(shè)：記結(jié)構(gòu)質(zhì)量記結(jié)構(gòu)質(zhì)量 mS 在在 mS+mf 中占的比例為中占的比例為，假設(shè)，假設(shè)火箭能隨時(shí)拋棄無(wú)用的結(jié)構(gòu)，即結(jié)構(gòu)質(zhì)量與燃料質(zhì)量火箭能隨時(shí)拋棄無(wú)用的結(jié)構(gòu)，即結(jié)構(gòu)質(zhì)量與燃料質(zhì)量以以與（與（1）的比例同時(shí)減少。）的比例同時(shí)減少。 理想火箭與一級(jí)火箭最大的區(qū)別在于，當(dāng)火箭燃料理想火箭與一級(jí)火箭最大的區(qū)別在于，當(dāng)火箭燃料耗盡時(shí)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量也逐

14、漸拋盡，它的最終質(zhì)量為耗盡時(shí)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量也逐漸拋盡，它的最終質(zhì)量為mP ( ) ( )() ()( )(1)( ( )()dmdmm t v tm tt v tttv tt v tuotdtdt 由動(dòng)量守恒得由動(dòng)量守恒得得得(1)dvdmmudtdt 0( )(1) ln( )mv tum t 只要只要m0 0足夠大，可足夠大，可以使衛(wèi)星達(dá)到任意以使衛(wèi)星達(dá)到任意速度速度考慮到空氣阻力和重力等因素，估計(jì)發(fā)射衛(wèi)星要考慮到空氣阻力和重力等因素，估計(jì)發(fā)射衛(wèi)星要使使=10.5公里公里/秒才行，如果取秒才行，如果取u =3u =3 ， =0.1 ，則，則可推算出可推算出m0/ mp約為約為51 ，即發(fā)射一噸

15、重的衛(wèi)星大，即發(fā)射一噸重的衛(wèi)星大約需要約需要50噸重的理想火箭噸重的理想火箭 。最終速度：最終速度：0(1) lnpmvum 理想過(guò)程的實(shí)際逼近理想過(guò)程的實(shí)際逼近多級(jí)火箭衛(wèi)星系統(tǒng)多級(jí)火箭衛(wèi)星系統(tǒng)記火箭級(jí)數(shù)為記火箭級(jí)數(shù)為n，當(dāng)?shù)?，?dāng)?shù)趇級(jí)火箭的燃料燒盡時(shí)，第級(jí)火箭的燃料燒盡時(shí)，第i+1級(jí)火箭立即自動(dòng)點(diǎn)火，并拋棄第級(jí)火箭立即自動(dòng)點(diǎn)火，并拋棄第i級(jí)火箭。用級(jí)火箭。用mi表示表示第第i級(jí)火箭的質(zhì)量，級(jí)火箭的質(zhì)量，mP表示有效負(fù)載。表示有效負(fù)載。（i）設(shè)各級(jí)火箭具有相同的設(shè)各級(jí)火箭具有相同的, 即第即第i級(jí)火箭中級(jí)火箭中mi為結(jié)為結(jié) 構(gòu)質(zhì)量構(gòu)質(zhì)量,（1）mi為燃料質(zhì)量。為燃料質(zhì)量。（ii）設(shè)每級(jí)初始質(zhì)量

16、與其負(fù)載質(zhì)量之比保持不變?cè)O(shè)每級(jí)初始質(zhì)量與其負(fù)載質(zhì)量之比保持不變, 并記比值為并記比值為k。如二級(jí)火箭中如二級(jí)火箭中m1=k(m2+mP), m2=kmP假設(shè)假設(shè)考慮二級(jí)火箭：考慮二級(jí)火箭：當(dāng)?shù)谝患?jí)火箭燃燒完時(shí)當(dāng)?shù)谝患?jí)火箭燃燒完時(shí), , 其末速度為：其末速度為：12112lnppmmmvummm 當(dāng)?shù)诙?jí)火箭燃盡時(shí)，末速度為：當(dāng)?shù)诙?jí)火箭燃盡時(shí)，末速度為：2122212122lnlnppppppmmmmmmmvvuummmmmmm00( )ln( )mv tvum t代入代入m2=kmP, m1=k(m2+mP), u=3公里公里/秒秒, =0.1, 可得可得 1222122113ln0.10.

17、111PPPPmmmmmmmmmm 2113ln6ln0.110.11kkkk 要使要使2 2=10.5=10.5公里公里/ /秒，則應(yīng)使秒，則應(yīng)使: : 10.5615.750.11kek 即即k11.2，而，而: 12149PPmmmm 類似地，可以推算出三級(jí)火箭：類似地，可以推算出三級(jí)火箭： 1232333123233lnPPPPPPmmmmmmmmmummmmmmmmm 在同樣假設(shè)下在同樣假設(shè)下: 33113ln9ln0.110.11kkkk 要使要使3=10.5公里公里/秒秒, 則則(k+1)/(0.1k+1)3.21, k3.25, 而而（m1+ m2+ m3+ mP）/ mP77 三級(jí)火箭比三級(jí)火箭比二級(jí)火箭幾二級(jí)火箭幾乎省了一半乎省了一半由于工藝的復(fù)雜性及每級(jí)火箭都需配備一個(gè)推進(jìn)由于工藝的復(fù)雜性及每級(jí)火箭都需配備一個(gè)推進(jìn)器，所以使用四級(jí)或四級(jí)以上火箭是不合算的，三器，所以使用四級(jí)或四級(jí)以上火箭是不合算的，三級(jí)火箭提供了一個(gè)最好的方案級(jí)火箭提供了一個(gè)最好的方案若燃料的價(jià)錢(qián)很便宜而推進(jìn)器的價(jià)錢(qián)很貴且制作若燃料的價(jià)錢(qián)很便宜而推進(jìn)器的價(jià)錢(qián)很貴且制作工藝非常