統(tǒng)計推斷包括參數(shù)估計和假設檢驗,即通過樣本統(tǒng)計量來估

1、 統(tǒng)計推斷包括參數(shù)估計和假設檢驗，即通過統(tǒng)計推斷包括參數(shù)估計和假設檢驗，即通過樣本統(tǒng)計量來估計和檢驗總體的參數(shù)。統(tǒng)計推斷樣本統(tǒng)計量來估計和檢驗總體的參數(shù)。統(tǒng)計推斷的目的在于認識未知的總體參數(shù)及其分布特征。的目的在于認識未知的總體參數(shù)及其分布特征。第六章第六章 參數(shù)估計與假設檢驗參數(shù)估計與假設檢驗 6.1 樣本及其分布樣本及其分布 6.2 點估計點估計 6.3 參數(shù)的區(qū)間估計參數(shù)的區(qū)間估計 6.4 樣本容量的確定樣本容量的確定 6.5 假設檢驗假設檢驗6.1 樣本及其分布樣本及其分布 參數(shù)估計的主要內(nèi)容是研究參數(shù)估計的主要內(nèi)容是研究如何通過樣本提如何通過樣本提供的信息估計總體的數(shù)字特征供的信息估

2、計總體的數(shù)字特征。 我們把被觀察對象的全體稱作我們把被觀察對象的全體稱作總體總體，把從總，把從總體中按照隨機原則抽出的個體組成的小群體體中按照隨機原則抽出的個體組成的小群體稱為稱為樣本樣本，而樣本中所包含的個體數(shù)稱為，而樣本中所包含的個體數(shù)稱為樣樣本容量本容量。1.總體和樣本總體和樣本12n12n12n12n設設X X是是一一個個隨隨機機變變量量，X X ，X ,.,XX ,.,X 是是一一組組相相互互獨獨立立與與X X具具有有相相同同分分布布的的隨隨機機變變量量，稱稱X X為為總總體體.X.X ，X ,.,XX ,.,X 為為來來自自總總體體的的簡簡單單隨隨機機樣樣本本，簡簡稱稱，n n為為

3、，稱稱樣樣本本觀觀察察值值樣樣為為本本樣樣本本容容量量樣樣本本值值。12n12n12n12n12n12n由由于于按按隨隨機機原原則則取取樣樣，在在試試驗驗之之前前，人人們們無無法法預預言言試試驗驗的的結(jié)結(jié)果果，所所以以X ,X ,.XX ,X ,.X 是是一一組組，而而在在試試驗驗之之后后，得得到到X ,X ,.XX ,X ,.X 的的一一組組觀觀察察值值x x隨隨機機變變量量,x ,.x ,x ,.x ,則則確確定定為為一一組組的的數(shù)數(shù)值值。2.抽樣分布有關(guān)的幾個定理：抽樣分布有關(guān)的幾個定理：11lim0,.)2 , 1()(,)(,.,1 . 61221niiniinXnPiXDXEXXX

4、，有則對任意的數(shù)學期望和方差：有相同的有限的同分布的隨機變量，且是獨立設（切比雪夫大數(shù)定律）定理這個定理說明了：從總體中抽取的簡單隨這個定理說明了：從總體中抽取的簡單隨機樣本得到的統(tǒng)計量機樣本得到的統(tǒng)計量 ，其抽樣分布的數(shù)，其抽樣分布的數(shù)學期望等于總體分布的數(shù)學期望。學期望等于總體分布的數(shù)學期望。X1lim, 02 . 6pnmPApAnmn有對于任意的試驗中發(fā)生的概率，則在每次是事件發(fā)生的次數(shù)，試驗中事件次是（貝努里大數(shù)定律）設定理這個定理說明了：當觀察次數(shù)這個定理說明了：當觀察次數(shù)n很大時，用很大時，用某隨機現(xiàn)象在大量觀察中發(fā)生的實際頻率來某隨機現(xiàn)象在大量觀察中發(fā)生的實際頻率來代替該現(xiàn)象發(fā)

5、生的真實概率差別是很小的。代替該現(xiàn)象發(fā)生的真實概率差別是很小的。）（正態(tài)分布。即）的服從參數(shù)為（則其均值態(tài)分布且每個隨機變量服從正是獨立同分布變量，：設定理nNnXnNXXXniin221221,X,1X).,(.,3 . 6這個定理說明了：對于這個定理說明了：對于n個獨立的且都服從相個獨立的且都服從相同的正態(tài)分布的隨機變量而言，它們的均值仍同的正態(tài)分布的隨機變量而言，它們的均值仍然服從正態(tài)分布，所改變的只是分布的參數(shù)。然服從正態(tài)分布，所改變的只是分布的參數(shù)。 定理定理6.3得出得出1111111()()()nnnniiiiiiiE XEXEXEXnnnn 22222111111()()()(

6、)nnniiiiiinD XDXDXD Xnnnnn 22iiii2i6.4,.,.011t2Lindeberg-LevyntixiXXxXnPxed1n定理（）設X是獨立同分布的隨機變量，而且E(X )、D（X）存在，D（X） ，則對一切 有E(X )limD中心極限定n理（X）ii()(),D XE Xn這個定理說明了：當n充分大時， X近似服從參數(shù)為的正態(tài)分布。6.2 點估計點估計1.1.若若參參數(shù)數(shù)的的估估計計量量滿滿足足E E（）， 則則稱稱是是的的無無偏偏性性 無無偏偏估估計計。一、點估計量的評價準則一、點估計量的評價準則無偏性、有效性、最小均方誤差、一致性無偏性、有效性、最小均方

7、誤差、一致性 簡單隨機樣本的樣本均值是總體期望的無偏估計簡單隨機樣本的樣本均值是總體期望的無偏估計.簡單隨機樣本的樣本方差是總體方差的無偏估計簡單隨機樣本的樣本方差是總體方差的無偏估計2221111()() )() 11nniiiiE SEXXEXXnn()D X22212,1()()()1()()nnininSXXE SD XnnE SD Xn如果統(tǒng)計量為則此時，1111()()()()()niniiiXE XEE XnE XE Xnnn12()()EE1 1抽抽樣樣分分布布2 2抽抽樣樣分分布布估計量估計量總體參數(shù)總體參數(shù)12121212比比更更緊緊密密地地分分布布在在總總體體參參數(shù)數(shù)周周

8、圍圍, , 比比有有效效. . 1212222212121212: :若若參參數(shù)數(shù), , 都都是是參參數(shù)數(shù) 的的估估計計量量，但但有有關(guān)關(guān)系系式式E E（）E E（）2.2.有有效效，則則稱稱比比性性無無偏偏有有效效。評價估計量好壞的標準評價估計量好壞的標準 無偏比有偏好無偏比有偏好 方差小的好方差小的好12121212如如果果E(E()=)=,E(,E() ), ,但但D(D() D() D() ) 怎么辦？12121212如如果果E(E()=)=,E(,E() ), ,但但D(D() D() D(),),這這時時可可以以用用估估計計量量的的均均方方誤誤差差（MSEMSE）為為評評價價準準則

9、則。具有最小的均方誤差的估計量是最優(yōu)的估計量具有最小的均方誤差的估計量是最優(yōu)的估計量( )2D2E(-E( )E()-)-(E( )MSE22=E -E( )+E( )-E()最小均方誤差最小均方誤差( )D22E()-E2( )( )DBias3.最小均方誤差MSE若有：若有：1222E() ()1的抽樣分布(無偏估計量)2的抽樣分布（有偏的估計量）33的抽樣分布（Var()最?。?E（ ）2E（ ）3E（ ）3()Bias估計量估計量總體參數(shù)總體參數(shù)132為無偏估計量，的方差最小，但MSE()最小4.一致性一致性0,lim 1xP當樣本容量趨于無窮大時，若估計量依概率收斂于待估參數(shù) ，即對

10、任意有則稱 為 的一致估計量。二、點估計方法二、點估計方法 如果在參數(shù)的估計中直接用樣本估計量之數(shù)值作為如果在參數(shù)的估計中直接用樣本估計量之數(shù)值作為待估總體參數(shù)的估計量，就是參數(shù)的點估計。待估總體參數(shù)的估計量，就是參數(shù)的點估計。 點估計方法：點估計方法：（1）極大似然估計）極大似然估計（MLE）（2）矩估計法）矩估計法求極大似然估計量的步驟求極大似然估計量的步驟:; );();,()();();,()( )(121121 niinniinxfxxxLLxpxxxLL或或?qū)懗鏊迫缓瘮?shù)寫出似然函數(shù)一一; );(ln)(ln);(ln)(ln )(11 niiniixfLxpL或或取對數(shù)取對數(shù)二二極

11、大似然估計法是由費舍爾引進的極大似然估計法是由費舍爾引進的., 0d)(lnd,d)(lnd )( 的的最最大大似似然然估估計計值值解解方方程程即即得得未未知知參參數(shù)數(shù)并并令令求求導導對對三三 LL 最大似然估計法也適用于分布中含有多個最大似然估計法也適用于分布中含有多個未知參數(shù)的情況未知參數(shù)的情況. 此時只需令此時只需令., 2 , 1, 0lnkiLi .), 2 , 1( ,iikik 的最大似然估計值的最大似然估計值數(shù)數(shù)即可得各未知參即可得各未知參個方程組成的方程組個方程組成的方程組解出由解出由 對數(shù)似然方程組對數(shù)似然方程組對數(shù)似對數(shù)似然方程然方程矩估計法矩估計法2 212n12n設設

12、x ,x .xx ,x .x 是是N(N(，) )的的一一個個樣樣本本，根根據(jù)據(jù)知知道道，因因此此用用樣樣本本的的，用用樣樣本本的的大大數(shù)數(shù)定定律律樣樣本本k k階階矩矩依依概概率率收收斂斂于于總總體體的的k k階階矩矩一一階階原原點點矩矩估估計計總總體體的的均均值值二二階階原原用用樣樣本本點點矩矩估估計計總總體體的的二二階階原原點點矩矩,L,k,L,k階階原原點點矩矩估估計計總總體體的的的的k k階階原原點點矩矩。222221111,()nniiiixxxxxnn有有 與與的的估估 量量: : 011lim()1nkkiniPXXn PkkA 6.3 參數(shù)的區(qū)間估計參數(shù)的區(qū)間估計1,.,(

13、; )01,111nxxf xP 設設是是抽抽自自密密度度為為的的一一個個樣樣本本，對對給給定定的的如如能能求求得得統(tǒng)統(tǒng)計計量量 和和 ，使使 （），則則稱稱為為 的的置置信信度度為為的的。和和 均均是是樣樣本本估估計計量量 的的函函數(shù)數(shù)，被被稱稱為為 的的置置信信下下限限和和置置信信上上限限，表表示示區(qū)區(qū)間間估估計計的的可可靠靠程程度度，置置信信為為顯顯為為置置信信區(qū)區(qū)度度間間著著性性水水平平。一、區(qū)間估計步驟一、區(qū)間估計步驟 1.確定待估參數(shù)和置信水平，置信度越高，置信區(qū)確定待估參數(shù)和置信水平，置信度越高，置信區(qū)間越大。間越大。 2.確定估計量，并找出估計量的抽樣分布。估計量確定估計量，并

14、找出估計量的抽樣分布。估計量的方差越小，在相同置信水平下，置信區(qū)間越短，的方差越小，在相同置信水平下，置信區(qū)間越短，精度越高。精度越高。 3.利用估計量的抽樣分布給出置信區(qū)間。利用估計量的抽樣分布給出置信區(qū)間。二、總體期望值的區(qū)間估計二、總體期望值的區(qū)間估計 一、單個正態(tài)總體一、單個正態(tài)總體21. 當1. 當已已知知時時， 的的置置信信區(qū)區(qū)間間22XZn的的1 1- -置信區(qū)間為：置信區(qū)間為：22(1)SXtnn的的1 1- -置信區(qū)間為：置信區(qū)間為：2 22.2.當當未未知知時時，的的置置信信區(qū)區(qū)間間 置信度越高，置信區(qū)間越大。置信度越高，置信區(qū)間越大。 估計量的方差越小，在相同置信水平下，

15、置信區(qū)間估計量的方差越小，在相同置信水平下，置信區(qū)間越短，精度越高。越短，精度越高。二、單個正態(tài)總體或總體分布未知二、單個正態(tài)總體或總體分布未知當當總總體體為為非非正正態(tài)態(tài)分分布布，或或不不知知總總體體分分布布形形式式時時，只只要要知知道道總總體體方方差差，根根據(jù)據(jù)Lindeberg-LevyLindeberg-Levy中中心心極極限限定定理理，當當n n很很大大X-E(X)X-E(X)時時，統(tǒng)統(tǒng)計計量量近近似似服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布D(X)D(X)n n例例6.15 6.15 設某金融機構(gòu)共有設某金融機構(gòu)共有80428042張應收帳單，根據(jù)過張應收帳單，根據(jù)過去記錄，收有應收帳單的標準差為

16、去記錄，收有應收帳單的標準差為3033.43033.4元?，F(xiàn)隨元。現(xiàn)隨機抽查了機抽查了250250張應收帳單，得平均收款為張應收帳單，得平均收款為33193319元，求元，求9898置信水平的平均應收款。置信水平的平均應收款。p205p20522222222解解：已已知知X X33193319元元，n n250250，1-1-0.980.98， 3033.4X3033.4X近近似似服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布， 置置信信X -Z,XX -Z,X區(qū)區(qū)間間為為：+Z+Znnnn三、兩個正態(tài)總體均值之差的估計三、兩個正態(tài)總體均值之差的估計121212121212121212121212121222221

17、21222221212222212121 112122 21.1.兩兩個個正正態(tài)態(tài)總總體體，且且取取X -XX -X 作作為為 - -的的點點估估計計量量，有有E(X -X )=E(X -X )= - -,D(X -X )=+,D(X -X )=+nnnn(X -X )-(X -X )- （ - -和和已已知知, ,）則則N(0, 1)N(0, 1)+ +nnnn1 12 22 22 22 22 21 12 21 12 21 12 21 12 22 22 21 12 21 12 2 - -置置信信區(qū)區(qū)間間為為：X X - - X X - - Z Z+ +, ,X X - - X X + + Z

18、 Z+ +n nn nn nn n222212122.2.兩兩個個正正態(tài)態(tài)總總體體，總總體體方方差差未未知知，但但已已知知12121212121212121212w w1212取取X -XX -X 為為 - -的的點點估估計計量量，則則（X -XX -X ） - - （ - -）t(n +n -2)t(n +n -2)1111S+S+nnnn1212121212w12w2 21212121212w12w2 21212可可得得 - -的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為：1111X -X -t (n +n -2)S+,X -X -t (n +n -2)S+,nnnn1111X -X +t (n +n -2)

19、S+X -X +t (n +n -2)S+nnnn222112212(1)(1)2nSnSnnwS3.任意兩個總體，且未知總體方差任意兩個總體，且未知總體方差 此問題的解決方法是，增大樣本容量，因為當樣本容量此問題的解決方法是，增大樣本容量，因為當樣本容量足夠大時，統(tǒng)計量服從標準正態(tài)分布。足夠大時，統(tǒng)計量服從標準正態(tài)分布。22111222()()SSXXnn近近似似服服從從標標準準正正態(tài)態(tài)分分布布四、總體比例的區(qū)間估計四、總體比例的區(qū)間估計樣本比例的抽樣分布樣本比例的抽樣分布已已知知在在n n重重貝貝努努里里試試驗驗中中，X X表表示示某某種種事事件件發(fā)發(fā)生生的的次次數(shù)數(shù)，X X即即為為事事件

20、件在在n n次次試試驗驗中中出出現(xiàn)現(xiàn)的的頻頻率率，即即比比例例。n nX XX X服服從從二二項項分分布布，顯顯然然也也服服從從二二項項分分布布。n n2222X11X11可可以以得得到到數(shù)數(shù)學學期期望望和和方方差差：E( )=E(X)=nP = PE( )=E(X)=nP = PnnnnnnX111X111D( )=D(X)=nP(1-P)=P(1-P)D( )=D(X)=nP(1-P)=P(1-P)nnnnnnnn1.單個總體比例的區(qū)間估計單個總體比例的區(qū)間估計N很大時，即很大時，即np5且且nq5時，二項分布可用正態(tài)分時，二項分布可用正態(tài)分布近似求解布近似求解.X1X1所所以以： N(P

21、, P(1-P)N(P, P(1-P)nnnn當試驗足夠多次時，有樣本比例p0,11ppZNppn 可以得到總體比例的置信區(qū)間可以得到總體比例的置信區(qū)間 由于在估計總體比例時，總體比例由于在估計總體比例時，總體比例P是未知數(shù)，可是未知數(shù)，可以用樣本比例代替。以用樣本比例代替。22(1)(1),PPPPpZpZnn例例6.15 6.15 某電視臺希望了解每日某電視臺希望了解每日“晚間新聞晚間新聞”欄目的欄目的收視率，隨機抽取了收視率，隨機抽取了400400人進行調(diào)查，結(jié)果表明了有人進行調(diào)查，結(jié)果表明了有71.271.2的人觀看了此節(jié)目，試估計該欄目收視率具有的人觀看了此節(jié)目，試估計該欄目收視率具

22、有9090可靠性的置信區(qū)間?？煽啃缘闹眯艆^(qū)間。2 22 2解解：因因為為n n4 40 00 0， p p = = 7 71 1. .2 2% %, ,n np p = = 2 28 88 8. .4 4 5 5且且n n( (1 1- - p p) )= =1 11 11 1. .6 6 5 5所所以以置置信信區(qū)區(qū)間間為為：p p( (1 1- - p p) )p p( (1 1- - p p) )p p- -Z Z, ,p p+ +Z Zn nn n= =( (0 0. .6 67 74 48 8, ,0 0. .7 74 49 92 2) )3.兩個總體比例之差的區(qū)間估計兩個總體比例之差

23、的區(qū)間估計12121212121211221212121122121212,()()()(1)(1)()()()(1)(1)(,)PPPPPPE PPE PE PPPPPPPD PPD PD PnnPPPPPPN PPnn利用來估計總體比例的分布為：11221212212112212212(1)(1)(,(1)(1)PPPPPPPPZnnPPPPPPZnn于是的置信區(qū)間為：2 21 1. .正正態(tài)態(tài)分分布布總總體體方方差差的的區(qū)區(qū)間間估估計計2 22 22 22 222222 21-1-222222222 222221-1-2222（n-1n-1）S S已已知知統(tǒng)統(tǒng)計計量量 (n-1),(n-

24、1),對對于于給給定定的的置置信信度度1-1-, ,（n-1n-1）S S有有:P:P (n-1)(n-1) (n-1) =1-(n-1) =1-（n-1n-1）S S（n-1n-1）S SPP =1-=1-五、總體方差的區(qū)間估計五、總體方差的區(qū)間估計22122.兩正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計221222122122212122221222SSFSSSS 1 11 12 22 2來來自自獨獨立立的的兩兩個個正正態(tài)態(tài)分分布布總總體體的的總總體體方方差差，和和樣樣本本方方差差和和，可可構(gòu)構(gòu)造造服服從從分分布布的的統(tǒng)統(tǒng)計計量量為為：( (n n - - 1 1) ) / /( (n n - - 1 1)

25、 )Y Y = =( (n n - - 1 1) ) / /( (n n - - 1 1) )22212212222111222222()()()()11()()SSSSSS 121212121-1-2222121212121-1-2222121212121-1-2222P Fn -1, n -1YFn -1, n -1=1-P Fn -1, n -1YFn -1, n -1=1-所所以以：P Fn -1, n -1Fn -1, n -1P Fn -1, n -1Fn -1, n -1P=1-P=1-Fn -1, n -1Fn -1, n -1Fn -1, n -1Fn -1, n -12 2

26、2 21 12 2所所以以兩兩正正態(tài)態(tài)總總體體方方差差比比 的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為：2211222211()()SSSS12121-22，F(xiàn)n -1,n -1Fn -1,n -1()122F n-1,n -1()121-2Fn-1,n-1()12F n -1,n -1126.4 樣本容量的確定樣本容量的確定如如果果估估計計的的可可靠靠程程度度(1-(1-) ) , ,則則置置信信區(qū)區(qū)間間 ( (- - ) ) 抽抽樣樣誤誤如如果果要要使使抽抽樣樣誤誤差差- - ，則則可可靠靠程程度度抽抽樣樣誤誤差差- -，是是由由樣樣本本的的隨隨機機誤誤差差造造成成的的。在在樣樣本本容容量量n n確確定定的

27、的情情況況下下: :所所以以可可靠靠程程度度(1-(1-) )不不變變，而而抽抽樣樣誤誤差差差差( (- - , ,- - 則則樣樣1-1-) ) , ,本本容容量量n n樣本容量樣本容量n的增大，要受到人力、物力、時間及總體的增大，要受到人力、物力、時間及總體條件等因素限制條件等因素限制根據(jù)需要來確定最佳的樣本容量。根據(jù)需要來確定最佳的樣本容量。決定樣本容量的因素決定樣本容量的因素 總體變異程度總體變異程度 允許誤差（允許誤差（ ）大?。┐笮?可靠性高低可靠性高低其他條件不變的情況下，方差大的總體，選擇大的樣其他條件不變的情況下，方差大的總體，選擇大的樣本容量；方差小的總體，選擇小的樣本容量

28、。本容量；方差小的總體，選擇小的樣本容量。高精確度估計，允許誤差小，選擇大的樣本容量；低高精確度估計，允許誤差小，選擇大的樣本容量；低精確度估計，允許誤差大，選擇小的樣本容量；精確度估計，允許誤差大，選擇小的樣本容量；可靠性高，樣本容量大；可靠性低，樣本容量小可靠性高，樣本容量大；可靠性低，樣本容量小簡單隨機樣本容量的確定簡單隨機樣本容量的確定 1.估計總體均值時的樣本容量估計總體均值時的樣本容量X X2222X X2 22 22 2X X設設 = X-= X-為為樣樣本本均均值值與與總總體體參參數(shù)數(shù)間間的的允允許許抽抽樣樣誤誤差差，則則已已知知總總體體方方差差，1-1-置置信信度度時時，置置

29、信信區(qū)區(qū)間間為為： X-ZX-Z X+Z X+Znnnn于于是是有有： = X-= X-Z Zn nZ Z 解解得得：n n（）樣本均值與總體參數(shù)樣本均值與總體參數(shù)的抽樣誤差的抽樣誤差 以上是假定抽樣方式為放回抽樣的計算公式，若以上是假定抽樣方式為放回抽樣的計算公式，若抽樣為不放回抽樣，則須考慮抽樣為不放回抽樣，則須考慮“修正因子修正因子” 此時的總體均值區(qū)間估計的極限誤差為：此時的總體均值區(qū)間估計的極限誤差為：n1NN/2,1NnrZNn22/2222/2()(1)()N ZnNrZ故樣本容量為： 2.估計總體比例時的樣本容量估計總體比例時的樣本容量2P PP P2 22 22 2P P設設

30、 = p-P= p-P 為為允允許許抽抽樣樣誤誤差差，則則1-1-置置信信度度時時，P(1-P)P(1-P)有有： = p-P = Z= p-P = Zn nZ P(1-P)Z P(1-P)解解得得：n n（）5.5 假設檢驗假設檢驗 單個總體均值和方差的假設檢驗單個總體均值和方差的假設檢驗 兩個總體均值和方差的假設檢驗兩個總體均值和方差的假設檢驗 總體比例的假設檢驗總體比例的假設檢驗第七章第七章 參數(shù)的假設檢驗參數(shù)的假設檢驗7.1 假設檢驗的基本原理和步驟假設檢驗的基本原理和步驟7.2 單個總體均值的假設檢驗單個總體均值的假設檢驗7.3 兩個總體均值的假設檢驗兩個總體均值的假設檢驗7.4 總體比例的假設檢驗總體比例的假設檢驗7.5 總體方差的假設檢驗總體方差的假設檢驗7.6 統(tǒng)計檢驗力統(tǒng)計檢驗力7.4 總體比例的假設檢驗總體比例的假設檢驗單個總體比例的假設檢驗單個總體