空間角與距離的計算與證明課件

1、空間角空間角 與距離的計算與距離的計算與證明與證明第一課時：第一課時：空間角空間角第一課時：第一課時：空間角空間角 課前導引課前導引 . 四面體中，、所成的角為四面體中，、所成的角為，、分別為、中點，若，則，、分別為、中點，若，則.第一課時：第一課時：空間角空間角 課前導引課前導引 . 四面體中，、所成的角為四面體中，、所成的角為，、分別為、中點，若，則，、分別為、中點，若，則. 解析解析 中，中，或或，則，則或或 . .32第一課時：第一課時：空間角空間角 課前導引課前導引 . 兩異面直線兩異面直線, 所成角為所成角為，過空，過空間一點作與、都成間一點作與、都成（或（或或或或或或或或或）的直

2、線，分別可作條）的直線，分別可作條. 兩異面直線兩異面直線, 所成角為所成角為，過空，過空間一點作與、都成間一點作與、都成（或（或或或或或或或或或）的直線，分別可作條）的直線，分別可作條.答案：、答案：、. 考點搜索考點搜索 . 掌握空間兩異面直線所成的角、掌握空間兩異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等概念；直線與平面所成的角、二面角等概念；. 能熟練地在圖形中找出相關的角能熟練地在圖形中找出相關的角并證明；并證明；. 能用向量方法和非向量方法進行能用向量方法和非向量方法進行計算；計算； 考點搜索考點搜索 鏈接高考鏈接高考 例例（全國卷）已知球的半徑為，、（全國卷）已知球的半徑為，、

3、三點都在球面上，且每兩點間的球面距三點都在球面上，且每兩點間的球面距離均為離均為 ，則球心到平面的距離為，則球心到平面的距離為 ( )2 36.D 32.C 33.B 31.A 鏈接高考鏈接高考 例例（全國卷）已知球的半徑為，、（全國卷）已知球的半徑為，、三點都在球面上，且每兩點間的球面距三點都在球面上，且每兩點間的球面距離均為離均為 ，則球心到平面的距離為，則球心到平面的距離為 ( )2 36.D 32.C 33.B 31.A 鏈接高考鏈接高考 例例（年天津卷）在棱長為的正方體（年天津卷）在棱長為的正方體中中，是底面的中中中，是底面的中心，、分別是、的中點心，、分別是、的中點. 那么異面直那

4、么異面直線和線和 所成的角的余弦值等于所成的角的余弦值等于 ( )1111DCBAABCD 1CC1FDD1C1A1B1ABCDOFE32.D 54.C515.B 510.A 例例（年天津卷）在棱長為的正方體（年天津卷）在棱長為的正方體中中，是底面的中中中，是底面的中心，、分別是、的中點心，、分別是、的中點. 那么異面直那么異面直線和線和 所成的角的余弦值等于所成的角的余弦值等于 ( )1111DCBAABCD 1CC1FDD1C1A1B1ABCDOFE32.D 54.C515.B 510.A 解析解析 利用空利用空間向量求解較簡便間向量求解較簡便. . 例例（年天津卷）在棱長為的正方體（年天

5、津卷）在棱長為的正方體中中，是底面的中中中，是底面的中心，、分別是、的中點心，、分別是、的中點. 那么異面直那么異面直線和線和 所成的角的余弦值等于所成的角的余弦值等于 ( )1111DCBAABCD 1CC1FDD1C1A1B1ABCDOFE32.D 54.C515.B 510.A 解析解析 利用空利用空間向量求解較簡便間向量求解較簡便. .例例 （湖南卷）已知是上、下底邊（湖南卷）已知是上、下底邊長分別為和，高為長分別為和，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸折成直二面的等腰梯形，將它沿對稱軸折成直二面角，角，3() 證明：證明：；() 求二面角的大小求二面角的大小.:,., ,: (1) 111

6、如如圖圖直直角角坐坐標標系系軸軸建建立立空空間間軸軸、軸軸、在在直直線線分分別別為為所所、為為原原點點故故可可以以即即角角的的平平面面角角是是所所折折成成的的直直二二面面由由題題設設知知證證明明zyxOOOBOAOOBOAAOBOOOBOOOA 法一法一 、則則相相關關各各點點的的坐坐標標是是)0 , 0 , 3(: A)3, 0 , 0(),3, 1 , 0(),0 , 3 , 0(1OCB., 0333)3, 3, 0()3, 1 , 3(111BOACBOACBOAC 所所以以從從而而 00),( .,)( .0333 )( 1111111OCnACnACOzyxnOACBOOACBOB

7、OACIOCBOOCBOII由由的的一一個個法法向向量量是是平平面面設設的的一一個個法法向向量量是是平平面面平平面面由由 111,: ,BOnBOnOACO 可可知知的的方方向向、由由的的大大小小為為設設二二面面角角)3, 0 , 1(:3,0033 nzyzyx得得取取.43arccos43,coscos1111的的大大小小是是即即二二面面角角OACOBOnBOnBOn 3tan.,.,: ) I ( 111111 OOOBBOOOBCOACOCOBCOAOOBOAAOBOOOBOOO內(nèi)內(nèi)的的射射影影在在面面是是平平面面從從而而即即直直二二面面角角的的平平面面角角是是所所折折成成的的所所以以

8、由由題題設設知知證證明明 法二法二 .:,30,601111BOACBOOCOCOBOO 由由三三垂垂線線定定理理得得從從而而33tan111 OOCOOCO.:,),(,.:,) I ( )II( 1111111ACFOAOCFOEFFOFACEFEEBOOCAOCBOBOOCBOAC 由由三三垂垂線線定定理理得得內(nèi)內(nèi)的的射射影影面面在在平平是是則則如如圖圖連連結(jié)結(jié)于于作作過過點點設設平平面面知知由由1,3, 3:.1111 COOOOAOACOFEO由由題題設設知知的的平平面面角角是是二二面面角角所所以以322121 OOOAAO.413sin,2330sin133211111111 FO

9、EOFEOOOEOACCOAOFO又又從從而而132121 COAOAC.43arcsin1的的大大小小是是即即二二面面角角OACO 例例（全國卷一）已知四棱錐的底面（全國卷一）已知四棱錐的底面為直角梯形，為直角梯形， 底面，且底面，且 ，是的中點，是的中點. () 證明：證明：面面面；面； () 求與求與所成的角；所成的角； PADAB,9021 () 求面與面所成二面角的大小求面與面所成二面角的大小. () 求面與面所成二面角的大小求面與面所成二面角的大小., .: : ) I ( PADCDPDADPADCDPDCD面面都都垂垂直直、兩兩條條相相交交直直線線內(nèi)內(nèi)與與面面因因而而由由三三垂

10、垂線線定定理理得得證證明明 法一法一 .,PCDPADPCDCD面面面面面面又又 5,2:,90:, 2,2:,/ )II( PBBEPEBRtPEBABCDPAACBEABAEBECBACAEPBACPBECABECABEB中中在在得得面面由由為為正正方方形形所所以以四四邊邊形形又又可可知知連連結(jié)結(jié)所所成成的的角角與與是是則則且且作作過過點點.510arccos,510cos所所成成的的角角為為與與PBACPBBEPBE .510arccos,510cos所所成成的的角角為為與與PBACPBBEPBE :., )III( 中中在在等等腰腰三三角角形形求求二二面面角角的的平平面面角角為為所所垂

11、垂足足為為作作AMCANBNCMAN , 2.56 25223,222 ABANACACCMMCAN).32arccos(322cos222 為為故故所所求求的的二二面面角角BNANABBNANANB 法二法二 如圖建立空間直角坐標系如圖建立空間直角坐標系, ,.,.,),0 , 1 , 0(),1 , 0 , 0( ) I ( PCDPADPCDDCPADDCPADADAPDCAPDCAP面面故故面面上上在在面面又又面面由由此此得得：內(nèi)內(nèi)的的兩兩條條相相交交直直線線是是平平面面與與且且所所以以證證明明：因因 .510|,cos, 2,5,2),1, 2 , 0(),0 , 1 , 1( II

12、)( PBACPBACPBACPBACPBACPBAC故故 () 在上取一點在上取一點(，), 則存在則存在使使,MCNC .21, 1,1),21, 0 , 1( zyxMC),1 ,1(zyxNC .54, 0210, 解解得得即即只只需需zxMCANMCAN. 0),52, 1 ,51(,54 MCANN能能使使點點坐坐標標為為時時可可知知當當 0),52, 1,51(),52, 1 ,51(, MCBNBNAN有有此此時時.,:0, 0為為所所求求二二面面角角的的平平面面角角所所以以得得由由ANBMCBNMCANMCBNMCAN ).32arccos(.32|),cos(.54,530

13、| ,530| 故故所所求求的的二二面面角角為為BNANBNANBNANBNANBNAN 方法論壇方法論壇 . 兩條異面直線所成的角：兩條異面直線所成的角：平移其中一條直線或者兩條直線，平移其中一條直線或者兩條直線，找出兩異面直線所成的角，然后解三角形；找出兩異面直線所成的角，然后解三角形；如果求出的是鈍角，則取其補角；如果求出的是鈍角，則取其補角；先求兩條異面直線的方向向量所成先求兩條異面直線的方向向量所成的角，但如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化的角，但如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成相應的銳角成相應的銳角. 或者說，若或者說，若，則這兩，則這兩條異面直線所成的角為條異面直線所成的角為 . 方法論

14、壇方法論壇 . 直線和平面所成的角：直線和平面所成的角：“一找二證三求一找二證三求”，三步都必須要，三步都必須要清楚地寫出來清楚地寫出來.向量法，先求直線的方向向量與向量法，先求直線的方向向量與平面的法向量所成的角平面的法向量所成的角 ，而所要求的，而所要求的角為角為.22 或或 . 平面與平面所成的角平面與平面所成的角:“一找二證三求一找二證三求”. 一找：找出這一找：找出這個二面角的平面角；二證：證明所找角個二面角的平面角；二證：證明所找角即為二面角的平面角；三求：解三角形即為二面角的平面角；三求：解三角形求角求角. 射影面積法：射影面積法：要注意所求角為要注意所求角為 或或 ；.cos原

15、原射射影影SS 向量法向量法: 先求兩個平面的法向量先求兩個平面的法向量所成的角為所成的角為 ，那么這兩個平面所成的，那么這兩個平面所成的二面角的平面角為二面角的平面角為或或 . 或者先求或者先求出二面角的平面角的兩邊的方向向量所出二面角的平面角的兩邊的方向向量所成的角成的角 ，而二面角的大小為，而二面角的大小為 或或 . 注意：注意：() 在求角時，若比較容易建在求角時，若比較容易建立坐標系，找出各點的坐標，則用向量立坐標系，找出各點的坐標，則用向量方法比較好；否則，用非向量方法比較方法比較好；否則，用非向量方法比較簡便簡便.() 用非向量方法求角時，要做到用非向量方法求角時，要做到“一找二

16、證三求一找二證三求”，在解題過程中一定，在解題過程中一定要出現(xiàn)形如要出現(xiàn)形如“ 就是所要求的角就是所要求的角”的的句子句子. 長郡演練長郡演練 組組.,60,45,. 5 111111的的大大小小求求二二面面角角三三角角形形底底面面是是正正中中三三棱棱柱柱CAABACAABACBAABC 長郡演練長郡演練 組組222246 2442,2,22. 2 ., 111 ikEBjkFCikEBFAACFEAABEkjiAAACAB則則則則設設底底面面邊邊長長為為于于于于并并作作、截截取取單單位位向向量量上上分分別別、在在射射線線 解析解析 .336arccos3363222,cos,222222 2

17、22423254411 的的大大小小為為所所以以二二面面角角所所以以CAABFCEBjkkijiFCEBjkFC第二課時：第二課時：空間距離空間距離 課前導引課前導引 第二課時：第二課時：空間距離空間距離 . 兩直角邊，兩直角邊，面，且面，且 ，則點到斜邊，則點到斜邊的距離為的距離為.59 課前導引課前導引 第二課時：第二課時：空間距離空間距離 . 兩直角邊，兩直角邊，面，且面，且 ，則點到斜邊，則點到斜邊的距離為的距離為. 簡評簡評 先利用三垂線定理找出點到先利用三垂線定理找出點到的垂線段的垂線段.59 課前導引課前導引 第二課時：第二課時：空間距離空間距離 . 兩直角邊，兩直角邊，面，且面

18、，且 ，則點到斜邊，則點到斜邊的距離為的距離為. 簡評簡評 先利用三垂線定理找出點到先利用三垂線定理找出點到的垂線段的垂線段.59 課前導引課前導引 第二課時：第二課時：空間距離空間距離 . 正四面體棱長為，動點、分別在正四面體棱長為，動點、分別在線段、上，則的線段、上，則的最小值是最小值是. . 正四面體棱長為，動點、分別在正四面體棱長為，動點、分別在線段、上，則的線段、上，則的最小值是最小值是. 簡評簡評 線段、的中點連線即為其公線段、的中點連線即為其公垂線段，而的最小值就是異面直線、的垂線段，而的最小值就是異面直線、的距離距離. . 正四面體棱長為，動點、分別在正四面體棱長為，動點、分別

19、在線段、上，則的線段、上，則的最小值是最小值是.a22 簡評簡評 線段、的中點連線即為其公線段、的中點連線即為其公垂線段，而的最小值就是異面直線、的垂線段，而的最小值就是異面直線、的距離距離. 鏈接高考鏈接高考 例例（年全國卷）已知球的半徑（年全國卷）已知球的半徑為，、三點都在球面上為，、三點都在球面上,且每兩點間的球面距離均為且每兩點間的球面距離均為 ，則球，則球心到平面的距離為心到平面的距離為( )2 36D. 32C. 33B. 31A. 鏈接高考鏈接高考 例例（年全國卷）已知球的半徑（年全國卷）已知球的半徑為，、三點都在球面上為，、三點都在球面上,且每兩點間的球面距離均為且每兩點間的球

20、面距離均為 ，則球，則球心到平面的距離為心到平面的距離為( )2 36D. 32C. 33B. 31A. 鏈接高考鏈接高考 例例（全國卷二）不共面的四個定（全國卷二）不共面的四個定點到平面的距離都相等，這樣的平面共點到平面的距離都相等，這樣的平面共有有 ( ) . 個個 . 個個 . 個個 . 個個 例例（全國卷二）不共面的四個定（全國卷二）不共面的四個定點到平面的距離都相等，這樣的平面共點到平面的距離都相等，這樣的平面共有有 ( ) . 個個 . 個個 . 個個 . 個個 例例（年江蘇卷）（年江蘇卷） 在棱長為的正方在棱長為的正方體中，是正方的中心，點在棱上，且體中，是正方的中心，點在棱上，

21、且. () 求直線與求直線與平面所成的平面所成的角的大小角的大小(結(jié)果用反結(jié)果用反三角函數(shù)值表示三角函數(shù)值表示)； () 設點在平面上的射影是設點在平面上的射影是,求證：求證：； () 求點到平面的距離求點到平面的距離.17174arctan,17174arctan,17174tan, 1, 4,4,)1( 11111111所所成成角角為為與與平平面面即即直直線線為為直直角角中中在在所所成成角角就就是是與與平平面面平平面面連連結(jié)結(jié)BBCCAPAPBBPAPAPBABPPBCRtCPCCCPCCAPBBBCCAPBBCCABBP 解析解析 ., )2( 111111111111111111111

22、11111111111APHDHDODAPDAPODAPCAAPAPCAODACAAAODAADCBAAACAODDCBADBCA 在在這這個個平平面面內(nèi)內(nèi)的的射射影影是是斜斜線線的的又又平平面面面面平平由由于于平平面面平平面面又又是是正正方方形形四四邊邊形形連連結(jié)結(jié).223,223, 3,45,90, )3( 1111111111111111距離為距離為的的到平面到平面即點即點中中在在的距離的距離到平面到平面就是點就是點平面平面平面平面平面平面于點于點作作過點過點中中在平面在平面連結(jié)連結(jié)ABDPPQPCQPCQPCPQCRtABDPPQDABCPQABPQBBCCPQBBCCABQBCPQP

23、BBCCBC 在線探究在線探究 . (高中數(shù)學教材第二冊下第頁高中數(shù)學教材第二冊下第頁) 已知已知正方體正方體的棱長為，求直線的棱長為，求直線與的距離與的距離. 在線探究在線探究 . (高中數(shù)學教材第二冊下第頁高中數(shù)學教材第二冊下第頁) 已知已知正方體正方體的棱長為，求直線的棱長為，求直線與的距離與的距離. 在線探究在線探究 分析：如果能找到分析：如果能找到與的公垂線段，與的公垂線段，則用非向量方法也可，只需解直角三角則用非向量方法也可，只需解直角三角形形. 下面提供向量的兩種解法下面提供向量的兩種解法. 法一法一 設為與設為與 的公垂線段的公垂線段, ,且，且， ，則則 ABCDABCDPQ

24、2/2)(QAAAPAPQ yxyyx2122 1243)2(22 yyyx31)322(43)2(22 yyx.33,33| ,31,322min的的距距離離為為與與即即直直線線時時當當ACDAPQxy ABCDABCDPQ 法二法二 如圖建立直如圖建立直角坐標系角坐標系. . 設為與設為與 的的公垂線段，點和坐標分公垂線段，點和坐標分別為，則別為，則 12)1(222212212 xxxxPQ31)31(23)21(222221 xxxABCDABCD(O)PQyxz.33,32,31min12 PQxx時時所所以以當當 方法論壇方法論壇 重點是點到平面的距離，直線到重點是點到平面的距離，

25、直線到平面的距離和兩個平面的距離可以轉(zhuǎn)平面的距離和兩個平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點到平面的距離，一個點到平面化成點到平面的距離，一個點到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個點到這的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個點到這個平面的距離個平面的距離. . 兩點的距離：兩點的距離： () 通常構造直角三角形解決；通常構造直角三角形解決； 方法論壇方法論壇 .)(,:)2( 22兩點的距離兩點的距離、求求則可利用則可利用和每兩個向量所成的角和每兩個向量所成的角的模的模若知道若知道向量法向量法BANBMNAMAB，NBMNAM .cos2,:)3( 2222公公式式則則由由此此變變形形而而來來離離而而異異面面直直線線上上兩兩

26、點點的的距距則則且且、上上的的射射影影分分別別為為在在棱棱、大大小小為為若若二二面面角角距距離離公公式式二二面面角角兩兩個個面面內(nèi)內(nèi)兩兩點點的的mabbaABmCDbBDaACDClBABAl . 兩條異面直線的距離兩條異面直線的距離: () 如果已經(jīng)找到或者容易找到兩如果已經(jīng)找到或者容易找到兩條異面直線的公垂線，則轉(zhuǎn)化成求公條異面直線的公垂線，則轉(zhuǎn)化成求公垂線段的長度；垂線段的長度； () 向量法：利用公式向量法：利用公式(其中、分別為兩條異面直線上的一點，其中、分別為兩條異面直線上的一點， 為這兩條異面直線的法向量）為這兩條異面直線的法向量）|nnABd n . 點到平面的距離點到平面的距離: ()“一找二證三求一找二證三求”. 一找：找