第二講 留數(shù)的計(jì)算

1、第二講第二講 留數(shù)及留數(shù)的計(jì)算規(guī)則留數(shù)及留數(shù)的計(jì)算規(guī)則1、留數(shù)的定義、留數(shù)的定義2、留數(shù)的計(jì)算法則、留數(shù)的計(jì)算法則3、留數(shù)定理、留數(shù)定理4、思考與練習(xí)、思考與練習(xí)1. 留數(shù)的定義留數(shù)的定義注：由連續(xù)變形原理，留數(shù)與注：由連續(xù)變形原理，留數(shù)與C的選取無關(guān)。的選取無關(guān)。由留數(shù)定義由留數(shù)定義),(Re2)(0zzfsidzzfC 其其中中C為為簡簡單單正正向向閉閉曲曲線線，且且)(zf在在 及及 內(nèi)內(nèi)只只有有 CC0z一個(gè)奇點(diǎn)。一個(gè)奇點(diǎn)。定義： 設(shè)定義： 設(shè))(zf以有限點(diǎn)以有限點(diǎn)0z為孤立奇點(diǎn)， 即在點(diǎn)為孤立奇點(diǎn)， 即在點(diǎn) 0z的某去的某去心鄰域心鄰域rzz |00內(nèi)解析，則稱積分內(nèi)解析，則稱積分

2、 Cdzzfi)(21 為為)(zf在點(diǎn)在點(diǎn)0z的留數(shù)，記作的留數(shù)，記作),(Re0zzfs。其中其中 為去為去心鄰域心鄰域rzz |00內(nèi)任意繞內(nèi)任意繞 簡單正向閉曲線。簡單正向閉曲線。 C0z由洛朗展式定理由洛朗展式定理dzzzzficCnn 10)()(21 所以所以 Cdzzfic)(211 從而從而10),(Re czzfs注：上式表明求一點(diǎn)處的留數(shù)只需將函數(shù)在該點(diǎn)注：上式表明求一點(diǎn)處的留數(shù)只需將函數(shù)在該點(diǎn)去心去心鄰域鄰域內(nèi)展成洛朗級數(shù)，那么該級數(shù)內(nèi)展成洛朗級數(shù)，那么該級數(shù)負(fù)一次冪的系數(shù)負(fù)一次冪的系數(shù)即即為函數(shù)在該點(diǎn)留數(shù)值。為函數(shù)在該點(diǎn)留數(shù)值。例例1 1、 計(jì)計(jì)算算下下列列函函數(shù)數(shù)在

3、在0 z的的留留數(shù)數(shù)。 1 1) )zzsin 2 2) )1(12zz 3 3) )zz1sin2 設(shè)設(shè))(zf在在rzz |00內(nèi)的洛朗展式為內(nèi)的洛朗展式為 nnnzzczf)()(0解：解：內(nèi)內(nèi)解解析析在在 |0sin)()1zzzzf由洛朗展式由洛朗展式 ! 31)! 3(1sin)(23zzzzzzzf知知00),(Re1 czfs內(nèi)內(nèi)解解析析在在1|0)1(1)()22 zzzzf由洛朗展式由洛朗展式 111)1(1)1(1)(2222zzzzzzzzf知知10),(Re1 czfs內(nèi)解析內(nèi)解析在在 |01sin)()32zzzzf由洛朗展式由洛朗展式)! 51! 311(1sin

4、)(5322 zzzzzzzf 3! 51! 31zzz知知61! 310),(Re zfs若我們能先知道奇點(diǎn)的類型，對求留數(shù)更為有利。若我們能先知道奇點(diǎn)的類型，對求留數(shù)更為有利。若若0z是是)(zf的的可可去去奇奇點(diǎn)點(diǎn)，那那么么01 c，所所以以 0),(Re0 zzfs。 若若0z本本性性奇奇點(diǎn)點(diǎn)，那那就就往往往往只只能能把把)(zf在在0z展展開開成成洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)的的方方法法來來求求1 c。 2、留數(shù)的計(jì)算法則、留數(shù)的計(jì)算法則設(shè)設(shè)0z是是)(zf的的m級極點(diǎn)級極點(diǎn)， ,)()()()()(0101012020 zzcczzczzczzczfmm那么由洛朗展式定理那么由洛朗展式定理以以

5、mzz)(0 乘上式的兩端，得乘上式的兩端，得 ,)()()()()(00101010 mmmmmzzczzczzcczfzz兩兩邊邊求求1 m階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，得得 1011)!1()()(cmzfzzdzdmmm(含含有有正正冪冪的的項(xiàng)項(xiàng))。 在在0z是極點(diǎn)的情形，下面幾個(gè)在特殊情況下求是極點(diǎn)的情形，下面幾個(gè)在特殊情況下求 的的規(guī)則，都是很有用的規(guī)則，都是很有用的. 1 c規(guī)規(guī)則則 II 如如果果0z為為)(zf的的一一級級極極點(diǎn)點(diǎn)，那那么么 規(guī)規(guī)則則 I 如如果果0z為為)(zf的的m級級極極點(diǎn)點(diǎn)，那那么么 )()(lim),(Re000zfzzzzfszz )()(lim)!1(1),(R

6、e01100zfzzdzdmzzfsmmmzz 令令0zz ，兩端求極限，兩端求極限， 1011)!1()()(lim0 cmzfzzdzdmmmzz),(Re)!1(0zzfsm 由此我們得由此我們得特別特別 時(shí)時(shí) 1 m若若)(zf具具有有)()(zQzP形形式式，)(),(zQzP解解析析，且且滿滿足足 , 0)(, 0)(, 0)(000 zQzQzP那么在那么在0zz 因?yàn)橐驗(yàn)?z是是)(zQ的的一一級級零零點(diǎn)點(diǎn)， )()()()()()(10zPzzzzPzQzf 所以所以)()()(0zzzzQ 其其中中)(z 在在0z解解析析。 注注意意到到)()(zPz 在在0z解解析析且且

7、不不等等于于 0 0， 所以所以0z為為)(1zf的的一級零點(diǎn)一級零點(diǎn)， 從從而而為為)(zf的的一一級級極極點(diǎn)點(diǎn)。 根據(jù)規(guī)則根據(jù)規(guī)則 II, )()(lim),(Re000zfzzzzfszz )()()()(lim)(lim)()(lim00000000zQzPzzzQzQzPzfzzzzzzzz 所所 以以 0)(0 zQ由由000)()()()()(zzzQzQzPzfzz 得得從而有下述從而有下述)()(),(Re000zQzPzzfs 規(guī)規(guī)則則 III 設(shè)設(shè) )()()(zQzPzf ，)(zP及及)(zQ在在 都都 解解析析，如如果果, 0)(, 0)(, 0)(000 zQzQ

8、zP那那么么 為為)(zf的的一一級級極極點(diǎn)點(diǎn)，而而 0z0z解：解：,0cos)()13一一個(gè)個(gè)奇奇點(diǎn)點(diǎn)只只有有 zzzzf為為3級極點(diǎn)。級極點(diǎn)。所以所以21cos! 210),(Re0 zzzfs從而從而原式原式izfsi 0),(Re2一個(gè)奇點(diǎn)，一個(gè)奇點(diǎn)，內(nèi)只有內(nèi)只有在在 zzzzzf1|sin1)()21)(sin, 0|sin,1|1 zzzzzz所以所以 110),(Re1 zfs例例 2 2、計(jì)計(jì)算算下下列列積積分分, ,曲曲線線取取正正向向 1) 2)1) 2) dzzzz 1|3cos 1|sin1 zdzzz由由于于 01cos)0(, 0sin(0)00 zzzPzP0)

9、cos1()0(, 0)sin-(0)00 zzzPzzP因因此此0 z是是zz sin-的的 3 級級零零點(diǎn)點(diǎn)，從從而而0 z是是)(zf的的 3級級極極點(diǎn)點(diǎn)。應(yīng)應(yīng)用用規(guī)規(guī)則則 I，得得 例例 3、 求求函函數(shù)數(shù)6sin)()()(zzzzQzPzf 在在0 z處處的的留留數(shù)數(shù)。 解：解： 方法方法一一利用利用計(jì)算計(jì)算法則法則 sinlim)!13(10 ,sin-Res632206zzzzdzdzzzz 從而從而 原式原式=izfsi2),(Re2 方方法法二二利利用用羅羅朗朗展展開開式式 ).sin(lim2!13220zzzdzdz )! 51! 31(1sin-5366 zzzzzz

10、zz,! 513!13 zz.! 510 ,sinRes16 czzz-所以所以 后面將是一個(gè)復(fù)雜的求導(dǎo)求極限過程。后面將是一個(gè)復(fù)雜的求導(dǎo)求極限過程。對本題來說，這不是一種好方法。對本題來說，這不是一種好方法。對照方法一，方法二簡單的多！對照方法一，方法二簡單的多！公公式式仍仍然然有有效效。 觀觀察察法法則則 I 的的推推導(dǎo)導(dǎo)過過程程，不不難難發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)，如如果果函函數(shù)數(shù))(zf的的極極點(diǎn)點(diǎn)0z的的級級數(shù)數(shù)不不是是m，它它的的實(shí)實(shí)際際級級數(shù)數(shù)要要比比 低低， m 方方法法三三 ( (巧巧用用法法則則 I I) ) )sin(lim)!16(10 ,sinRes665506zzzzdzdzzz-z

11、 取取m=6, 則則! 51)cos(lim! 510 zz一一般般來來說說， 在在應(yīng)應(yīng)用用法法則則 I I 時(shí)時(shí)， 為為了了計(jì)計(jì)算算方方便便不不要要將將 取取的的比比實(shí)實(shí)際際的的級級數(shù)數(shù)高高。 但但本本題題表表明明某某些些時(shí)時(shí)候候 取取的的比比實(shí)實(shí)際際的的級級數(shù)數(shù)高高反反而而使使計(jì)計(jì)算算方方便便。 mm總之，求函數(shù)一點(diǎn)的留數(shù)一定要根據(jù)實(shí)際情況選擇適當(dāng)總之，求函數(shù)一點(diǎn)的留數(shù)一定要根據(jù)實(shí)際情況選擇適當(dāng)方法靈活處理。方法靈活處理。定定理理一一（留留數(shù)數(shù)定定理理） 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(zf區(qū)區(qū)域域 D 內(nèi)內(nèi)除除有有限限個(gè)個(gè)孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)外外處處處處解解析析。C 是是 D 內(nèi)內(nèi)包包圍圍諸諸奇奇點(diǎn)點(diǎn)的的一

12、一條條正正向向簡簡單單閉閉曲曲線線，那那么么 nkkCzzfsidzzf1),(Re2)( 3、留數(shù)定理、留數(shù)定理把在把在 C 內(nèi)的孤立奇點(diǎn)內(nèi)的孤立奇點(diǎn)), 2 , 1(nkzk 用互不包含用互不包含的正向簡單閉曲線的正向簡單閉曲線kC圍繞起圍繞起來（如圖），那么根據(jù)復(fù)合來（如圖），那么根據(jù)復(fù)合閉路定理有閉路定理有 nCCCCdzzfdzzfdzzfdzzf)()()()(21證明：證明：Dz1 z3 z2 z4 z5 CC1C2C4C3C5等等式式兩兩邊邊除除以以i 2，得得 ),(Re),(Re)(2121zzfszzfsdzzfiC ,Renzzfs nkkCzzfsidzzf1),(R

13、e2)( 即即例例 4：計(jì)計(jì)算算積積分分dzzzeCz 12，C 為為正正向向圓圓周周：2 z。 解解： 由于由于 1)(2 zzezfz有兩個(gè)一級極點(diǎn)有兩個(gè)一級極點(diǎn)+1，1，而這兩，而這兩個(gè)極點(diǎn)都在圓周個(gè)極點(diǎn)都在圓周2 z 內(nèi)，所以內(nèi)，所以 ,1),(Re1),(Re212 zfszfsidzzzeCz 由由規(guī)規(guī)則則 II，得得 21lim1)1(lim1),(Re121ezzezzezzfszzzz 21lim1)1(lim1),(Re1121 ezzezzezzfszzzz因因 此此 12)22(2112icheeidzzzeCz 注、我們也可以用規(guī)則注、我們也可以用規(guī)則 III來求留數(shù)

14、：來求留數(shù)：;221),(Re1ezzezfszz 這比用規(guī)則這比用規(guī)則II要簡單些。要簡單些。 例例 5：計(jì)算積分：計(jì)算積分dzzzC 14，C 為正向圓周：為正向圓周：2 z。 被被積積函函數(shù)數(shù)1)(4 zzzf有有四四個(gè)個(gè)一一級級極極點(diǎn)點(diǎn)i , 1都都在在圓圓周周2 z 內(nèi)內(nèi)，所所以以 解：解： ),(Re),(Re1),(Re1),(Re214izfsizfszfszfsidzzzC 23414)()(zzzzQzP 由規(guī)則由規(guī)則III，故，故. 041414141214 idzzzC 例例 6 計(jì)計(jì)算算積積分分 Czdzzze2)1( 為為正正向向圓圓周周：. 2| z 解解 0 z

15、為為被被積積函函數(shù)數(shù)的的一一級級極極點(diǎn)點(diǎn)，1 z為為二二級級極極點(diǎn)點(diǎn)， 1)1(lim)1(lim),0(Res2020 zezzezzfzzzz)1()1(lim1)!-(21),1(Res221 zzezdzdzfzz. 0)1(lim)(lim211z zzezedzdzzz所以所以 ),1(Res),0(iRes2zfzf dzzzeC221)-(i.20)i(12 解：解：圍圍線線內(nèi)內(nèi)zezzzf11)( 有有兩兩個(gè)個(gè)奇奇點(diǎn)點(diǎn)0, 1 zz 1 z為為1級極點(diǎn)級極點(diǎn)eezzzzfszz 111lim1),(Re310 z為本性奇點(diǎn)，為本性奇點(diǎn)，的的洛洛朗朗展展式式為為在在0 z 003!1)(nnnnznzzzf zzz)! 21! 111(11)! 51! 41(43 ezze11)322(例例 7 7 求求 Cdzezzz113，其其中中 為為正正向向閉閉曲曲線線2| z。 C所所以以 380),(Re ezfs 原原式式= =0),(Re1),(Re2zfsxfsi ieei 316