折疊問題專題

1、折疊問題專題【軸對稱（折疊）思考層次全貌】1 .全等變換：對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等.2 .對稱軸性質(zhì)：對稱軸上的點到對應(yīng)點的距離相等，對應(yīng)點所連線段被對稱軸垂直平分.3 .組合搭配：矩形背景下常出現(xiàn)等腰三角形、兩次折疊常出現(xiàn)直角，60角、折疊會出現(xiàn)圓弧等.4 .作圖：核心是找到對應(yīng)點，作對應(yīng)點連線的垂直平分線（折痕），補全圖形.【要求】讀一讀操作要領(lǐng)，按照操作要領(lǐng)去做題，思路受阻時回頭再看操作要領(lǐng)，做完題對照操作要領(lǐng)思考一步步是如何進行操作的；做題時，需要執(zhí)行讀題標注（如目標、條件），觀察特征，驗證取舍等動作.【第一次訓(xùn)練】操作要領(lǐng)：遇折疊，考慮全等變換；找折痕（對稱軸），利用對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角

2、相等轉(zhuǎn)移條件，表達線段長，利用勾股定理（或相似、三角函數(shù)）建方程；做題時常借助背景圖形提供的角度、線段長，對條件進行轉(zhuǎn)移、表達.【例題11如圖，將邊長為8cm的正方形ABC時疊，使點D落在BC邊的中點E處，點A落在點F處，折痕為MN則線段CN的長為cm分析思路：1 .讀題標注、轉(zhuǎn)化；正方形，折疊，中點，目標，如右圖所示2 .背景圖形；邊長為8的正方形；3 .分析條件，組合特征；折疊是全等變換-對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等;EN=DN+NC=DNhNC=8,轉(zhuǎn)移，表達-設(shè)CN=x,則EN=DN=4 .求解目標：勾股定理列方程在RtA中，勾股定理列方程為,解得x=即CN=cm【配套小練習】練習1:如圖，

3、有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cmiBC=8cm點D在BC邊上，將直角邊AC沿直線A所疊，點C恰好落在斜邊AB上的點E處，則線段CD的長為.練習2:如圖，折疊長方形的一邊AD,使點D落在BC邊上的點F處，若A&dcmBC=5cm貝UEF的長為.【第二次訓(xùn)練】操作要領(lǐng)：折疊屬于全等變換，找折痕，利用對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等轉(zhuǎn)移條件，表達線段長，利用勾股定理建方程；上述思路進行不下去時，從“對稱軸上的點到對應(yīng)點的連線距離相等”，從折痕與背景圖形的交點處入手，結(jié)合所求目標，連接對應(yīng)線段，表達求解；或者考慮“折痕”為對稱軸，“對應(yīng)點所連線段被對稱軸垂直平分”，利用垂直平分（題目中會出現(xiàn)全

4、等或相似）解題.（這兩條性質(zhì)可以逐一嘗試）【例題2】如圖，將長為4cm,寬為2cm的長方形紙片ABCDff疊，使點B落在CD邊的中點E處，壓平后得到折痕MN則線段AM勺長為.1 .讀題標注、轉(zhuǎn)化；長方形，折疊，中點，目標，如右圖所示2 .背景圖形；長為4,寬為2的長方形，DE=EC=1,E是定點；3 .分析條件，組合特征；折疊是全等變換-對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；上方：AM=MF彳1M所在的直角三角形無相關(guān)線段長信息，求解不出來；下方：BN=EN+NC=BNfNC=4,在RtA中，勾股定理能夠求BN（NENCfO,但跟目標無關(guān)，先不進行計算；4 .求解目標；方式一：考慮折疊性質(zhì)”對稱軸上的點到對

5、應(yīng)點的連線距離相等"，連接MB和ME則MB=ME可以用來表達列方程求解；如圖所示轉(zhuǎn)移表達-設(shè)AM=x,則Dg；在RtA中，BM2（用含x的代數(shù)式表示）；在RtA中，ME2（用含x的代數(shù)式表示）；建立方程為,解得x=,即A附.方式二：考慮折疊性質(zhì)”對應(yīng)點所連線段被對稱軸垂直平分”，連接BE,則被垂直平分；如圖所示過點M作MGLBC于點G,則AMGM,且相似比為1:2,由CE的長，可求GN的長，結(jié)合A附BG=BNGN（BN可通過第3條中的分析求出）即可求出AM的長.中間用到一個很重要的結(jié)論：“十字結(jié)構(gòu)”會出現(xiàn)全等或相似.而折疊中的垂直平分經(jīng)常會提供十字結(jié)構(gòu)，以下是一般的“十字結(jié)構(gòu)”的圖形

6、和結(jié)論.AB2ABCFDCgAABFABE/3ABCF【配套小練習】-練習3和練習4均要求用折疊的兩種性質(zhì)解題（每種圖中展示一種方法）練習3:如圖，四邊形ABCLM邊長為9的正方形紙片，將該紙片折疊，使點B落在CD邊上的點B'處，點A的對應(yīng)點為A',折痕為MN若B'C3,則AM的長為.練習4:如圖，將正方形紙片ABCDSMNW疊，使點D',點C落在C'處.若AB=6,AD=2,則MN勺長為D落在邊AB上，對應(yīng)點為,BN的長為練習5:B重合,如圖，在長方形ABCDK折痕為EF,則EF的長為.AB=3,AD=9,將此長方形折疊，使點D與點.（要求用”對應(yīng)點的

7、連線被對稱軸垂直平分”解題，有其余方法可自行嘗試）練習6:如圖，長方形紙片ABCDAB=5,BC=10,CD上有一點E,ED=2,AD上有一點P,PD=3,過P作PLAD交BC于F,將紙片折疊，使P點與E點重合，折痕與PF交于Q點，與AD交于點G,則PQ的長是（）（要求用“對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分”解題，有其余方法可自行嘗試）A.5B.3C.gD.7242練習7:如圖，將邊長為12cm的正方形ABCDff疊，使得A點落在邊CD上的E點，然后壓平得折痕FG,若GF的長為13cm,則線段CE的長為.【第三次訓(xùn)練】操作要領(lǐng)：當上述兩種思路都進行不下去的時候考慮背景提供的條件，如長方形中折疊會出現(xiàn)

8、等腰三角形（以折痕為底）；（原理是：平行+角平分線出現(xiàn)等腰三角形）【例題3】用長方形下的折疊會出現(xiàn)等腰三角形，快速求BF的長如圖，在長方形ABC時，AB=3,AD=9,將此長方形折疊，使點D與點B重合,折痕為EF,則BF的長為.拓展：請在右上圖中補全（例題2）長方形下的折疊出現(xiàn)的等腰三角形，在圖上進行體現(xiàn)，并用此思路嘗試求AM的長；如圖，將長為4cm,寬為2cm的長方形紙片ABCDff疊，使點B落在CDa的中點E處，壓平后得到折痕MN則線段AM的長為.【配套小練習】練習8:如圖，長方形ABCg,AB=15cm點E在AD上，且AE=9cn）連接EC,將長方形ABC*直線BE翻折，點A恰好落在EC

9、上的點A'處，則A'C=cm練習9:已知一個長方形紙片OABCO上6,點P為AB邊上一點，AP=2,將4OAP沿OP折疊，點A落在點A'處，延長PA'交邊OCf點D,經(jīng)過點P再次折疊紙片,使點B落在邊OC上的點D處，則AB的長為.練習10:如圖，四邊形ABCM邊長為9的正方形紙片，將該紙片折疊，使點B落在CD邊上的點B'處，點A的對應(yīng)點為A',折痕為MN若B'C3,則AM的長為.（請用長方形下的折疊會出現(xiàn)等腰三角形，解題）【第四次訓(xùn)練】折疊作圖訓(xùn)練及計算求解 題目中給出已知的對應(yīng)點，直接作垂直平分線，找折痕； 題目中沒有直接給出的對應(yīng)點，

10、而是給出對應(yīng)點滿足的條件；此時往往“折痕過定點”，題目往往會產(chǎn)生圓（圓?。?，通過作圓弧找到對應(yīng)點的位置，再作垂直平分線找折痕.練習11:如圖，在矩形ABCM,已知AB=12,AD=8,如果將矩形沿直線l翻折后，點A落在邊CD的中點E處，直線l分別與邊AB,AD交于點M,N,那么MN的長為.AE練習12:在矩形ABCM,AB=4,BC=3,點P在線段AB上.若將DARftDP折疊，使點A落在對角線AC上的A'處，則AP的長為.練習13:如圖，矩形ABCM,AB=2,AD=6,AF=BE=2,點G是線段AD上的動點,將矩形ABCD&直線E的疊.當點C的對應(yīng)點C落在四邊形ABEF寸角線所在直線上時，求AC的長為.的直線翻折.若點B恰好落在AD上,那么折痕的長度為OBOCCO練習15:在矩形ABCg,BC=6,CD=8,點P在線段AB上（不含端點A,B）任意一點.若將PBCftPC折疊，使點B的對應(yīng)點B'落在矩形ABCD寸角線上時，BP的長為:用你學(xué)到的內(nèi)容，嘗試用