第三章間接平差

1、 誤差理論與測(cè)量平差誤差理論與測(cè)量平差主 編：夏春林副 主 編：錢(qián)建國(guó)、張恒璟參 編：李偉東、文曄編寫(xiě)高校：遼寧工程技術(shù)大學(xué) 吉林建筑大學(xué) 大連理工大學(xué)城市學(xué)院第三講第三講 間接平差間接平差【學(xué)習(xí)要點(diǎn)及目標(biāo)】1.了解間接平差原理；2.熟悉間接平差計(jì)算步驟及方法；3.熟悉誤差方程；4.熟悉誤差精度評(píng)定步驟。3.1 間接平差原理在介紹間接平差原理之前，先看一個(gè)具體的測(cè)角三角形內(nèi)角平差問(wèn)題。例3-1 在一個(gè)三角形中，同精度獨(dú)立觀測(cè)了3個(gè)內(nèi)角，角度觀測(cè)值見(jiàn)第2章例2-1。1122LxLx31212180180LLLxx在三角形內(nèi)角平差問(wèn)題中，總的觀測(cè)數(shù)n=3，必要觀測(cè)數(shù)t=2。選定兩個(gè)未知數(shù)，例如以觀

2、測(cè)值L1、L2的平差值為未知數(shù)，有則將3個(gè)角度觀測(cè)值的平差值用觀測(cè)值加上改正數(shù)表示，即3.1 間接平差原理11122233121 8 0LvxLvxLvxx方程等號(hào)左側(cè)僅保留觀測(cè)值的改正數(shù)v，其他各項(xiàng)移至等號(hào)右側(cè)則有1112223123180vxLvxLvxxL 3.1 間接平差原理222123m invvv222123vvv以上3個(gè)方程，共有5個(gè)待求量，分別是3個(gè)觀測(cè)值的改正數(shù)，2個(gè)未知數(shù)，可知方程個(gè)數(shù)少于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，方程組有無(wú)窮多個(gè)解。下面利用最小二乘原理，求解未知數(shù)的最優(yōu)估值。當(dāng)觀測(cè)值等精度時(shí)，有令自由極值函數(shù)3.1 間接平差原理1112312212322() 2(180) ( 1)0

3、2() 2(180) ( 1)0 xLxxLxxLxxLx 是每一個(gè)觀測(cè)值的改正數(shù)v的函數(shù)，由方程組可知v又是所選的兩個(gè)未知數(shù)x的函數(shù)，因此自由極值函數(shù)是未知數(shù)x的函數(shù)，v是中間變量。對(duì)兩個(gè)未知數(shù)分別求偏導(dǎo)數(shù)并令其為0，則有則3.1 間接平差原理123112322180021800 xxLLxxLL1212216656 440219150 160 xxxx化簡(jiǎn)得將三角形內(nèi)角觀測(cè)值代入以上方程組得3.1 間接平差原理124 72 10 47 21 43 6xx11223124721 047214 361806024 20LxLxLLL兩個(gè)未知數(shù)，兩個(gè)方程，具有唯一解： 故三角形內(nèi)角的平差值為總結(jié)

4、：在上述測(cè)量平差問(wèn)題中，有3個(gè)觀測(cè)值，其中有兩個(gè)必要觀測(cè)值，選定兩個(gè)未知數(shù)，用求自由極值的方法，求出觀測(cè)值的最優(yōu)估值，這種平差方法稱(chēng)為間接平差(或參數(shù)平差法)。3.1.1 間接平差公式推導(dǎo)1nLX0XXx xL L VLBXd在一個(gè)測(cè)量平差問(wèn)題中，有n個(gè)觀測(cè)值，其中有t個(gè)必要觀測(cè)值，選定t個(gè)獨(dú)立的未知參數(shù)，將每個(gè)觀測(cè)值的平差值分別表達(dá)成這t個(gè)參數(shù)的函數(shù)，建立函數(shù)模型，按最小二乘原理，用求自由極值的方法解出參數(shù)的最或然值，從而求得各觀測(cè)值的平差值這種平差方法稱(chēng)為間接平差(或參數(shù)平差法)。設(shè)觀測(cè)向量為已知其協(xié)因數(shù)陣Q=P-1，必要觀測(cè)數(shù)為t，選定t個(gè)獨(dú)立的未知參數(shù)其近似值為X0，有稱(chēng)為未知參數(shù)的改

5、正數(shù)，觀測(cè)值L與改正數(shù)V之和具體平差問(wèn)題，可列出n個(gè)平差值方程為(3-1) 3.1.1 間接平差公式推導(dǎo)其純量形式可表示為111111221122211222221122 ttttnnnnnttnLvb Xb Xb XdLvb Xb Xb XdLvb XbXb Xd(3-2)1212tiiiiitiLvb Xb Xb Xdi即 =1,2,3,ni=1,2,3,n3.1.1 間接平差公式推導(dǎo)TT121211TT121211nnnntntnLLLvvvXXXddd，LVXd111212122212ttntnnntbbbbbbbbbB令 則平差值方程的矩陣形式為L(zhǎng)VB Xd (3-3)3.1.1 間

6、接平差公式推導(dǎo)0XXx0()lLBXdVB xl x將代入，并令 得誤差方程式為按最小二乘原理，式(3-5)的必須滿足V TPV = min的要求，因?yàn)閠個(gè)參數(shù)為獨(dú)立量，故可按數(shù)學(xué)上求函數(shù)自由極值的方法，得(3-4)(3-5)TTT220V PVVV PV PBxx3.1.1 間接平差公式推導(dǎo)T0BP V xTT0BP B xBP l轉(zhuǎn)置后得以上所得的式(3-5)和式(3-6)中的待求量是n個(gè)觀測(cè)值的改正數(shù)V和t個(gè)未知參數(shù)的改正數(shù)解此基礎(chǔ)方程，一般是將式(3-5)代入式(3-6)，先消去V，得(3-6)，而方程個(gè)數(shù)也是n+t個(gè) 有唯一解，稱(chēng)此兩式為間接平差的基礎(chǔ)方程。 (3-7) 令TTbb1

7、,tt tNB PBWB Pl3.1.1 間接平差公式推導(dǎo)bb0NxW x1bbxNW上式可簡(jiǎn)寫(xiě)成 式中，系數(shù)陣Nbb為滿秩方陣，即R(Nbb)=t，有唯一解，式(3-8)稱(chēng)為間接平差的法方程。解之，得(3-8)(3-9) 或T1T()xBP BBP l (3-10)3.1.1 間接平差公式推導(dǎo) xLLV0XXx將求出的，代入誤差方程式(3-5)，即可求得改正數(shù)V， 從而平差結(jié)果為(3-11) 法方程式的純量形式為11 11221121 1222221 122000ttttttttttN xN xN xWN xN xN xWN xN xN xW (3-12) 3.1.1 間接平差公式推導(dǎo)當(dāng)P為

8、對(duì)角陣時(shí)，法方程系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的計(jì)算式分別為 1nijkkikjkNp b bi,j=1,2,t (3-13) 1nikki kkWp b li,j=1,2,t (3-14)當(dāng)P為非對(duì)角陣時(shí)，法方程系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的計(jì)算式分別為11nnijkm kimjkmNp b b11nnikm ki mkmWp b l(3-15) (3-16) 3.1.2 間接平差的計(jì)算步驟(1) 根據(jù)平差問(wèn)題的性質(zhì)，選擇t個(gè)獨(dú)立量作為參數(shù)，并確定觀測(cè)值的權(quán)陣P。(2) 將每一個(gè)觀測(cè)量的平差值分別表達(dá)成所選參數(shù)的函數(shù)，若函數(shù)非線性要將其線性化，列出誤差方程式(3-5)。(3) 由誤差方程系數(shù)B和自由項(xiàng)l組成法方程式(3-8)

9、，法方程個(gè)數(shù)等于參數(shù)的個(gè)數(shù)t。(4) 解算法方程，求出參數(shù)，計(jì)算參數(shù)的平差值。(5) 由誤差方程計(jì)算V，求出觀測(cè)量平差值。(6) 評(píng)定精度。3.1.2 間接平差的計(jì)算步驟例3-2 水準(zhǔn)網(wǎng)平差，已知點(diǎn)高程和觀測(cè)值見(jiàn)第2章例2-2，試按間接平差法求待定點(diǎn)P1、P2的高程平差值和各段觀測(cè)高差的平差值。解 (1) 依題意知，必要觀測(cè)數(shù)t=2，分別選P1、P2兩點(diǎn)的平差高程作為未知參數(shù) 3.1.2 間接平差的計(jì)算步驟確定觀測(cè)值的獨(dú)立權(quán)陣為 111 / 21P(2) 列出每一個(gè)觀測(cè)值的平差值與未知數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式為11A21B32142ChXHhXHhXXhXH3.1.2 間接平差的計(jì)算步驟 3.1.2

10、 間接平差的計(jì)算步驟3.1.2 間接平差的計(jì)算步驟(3) 組成法方程，其中系數(shù)矩陣和常數(shù)項(xiàng)為 (4) 解算法方程為3.1.2 間接平差的計(jì)算步驟未知參數(shù)的改正數(shù)1210 xxx(mm) 未知參數(shù)的平差值，即待定點(diǎn)的平差高程為 1201110222144.499(m)145.851(m)PPHXXxHXXx3.1.2 間接平差的計(jì)算步驟 (5) 計(jì)算觀測(cè)值的平差值為 3.2 誤差方程式 按間接平差法進(jìn)行平差計(jì)算，第一步就是列出誤差方程。為此，要確定平差問(wèn)題中參數(shù)的個(gè)數(shù)、參數(shù)的選擇以及誤差方程的建立等。 在間接平差中，待定參數(shù)的個(gè)數(shù)必須等于必要觀測(cè)的個(gè)數(shù)t，而且要求這t個(gè)參數(shù)必須是獨(dú)立的，關(guān)于必要

11、觀測(cè)個(gè)數(shù)的確定問(wèn)題，在第2章中已有詳細(xì)論述。 參數(shù)的選取應(yīng)該選剛好個(gè)而又函數(shù)獨(dú)立的一組量作為參數(shù)，即可以選直接觀測(cè)量的平差值為參數(shù)，也可以選非直接觀測(cè)量的平差值為參數(shù)，或者二者兼而有之。在水準(zhǔn)網(wǎng)中，常選取待定點(diǎn)的平差高程作為參數(shù)，也可選取點(diǎn)間的平差高差作為參數(shù)，但要注意參數(shù)的獨(dú)立性。在平面控制網(wǎng)、GPS網(wǎng)中，一般選取未知點(diǎn)的二維坐標(biāo)或三維坐標(biāo)作為未知參數(shù)，也可以選取觀測(cè)值的平差值作為未知數(shù)，同樣要注意參數(shù)之間的獨(dú)立性。至于應(yīng)選擇其中哪些量作為參數(shù)，則應(yīng)按實(shí)際需要和是否便于計(jì)算而定。 3.2.1 水準(zhǔn)網(wǎng)誤差方程式 在水準(zhǔn)網(wǎng)中，若有高程已知的水準(zhǔn)點(diǎn)，則t等于待定點(diǎn)的個(gè)數(shù)；若無(wú)已知點(diǎn)，則假定其中一點(diǎn)

12、高程已知，以作為全網(wǎng)高程的基準(zhǔn)，此時(shí)t仍等于網(wǎng)中待定點(diǎn)的個(gè)數(shù)。下面以選取網(wǎng)中待定點(diǎn)的平差高程為未知參數(shù)，分析水準(zhǔn)網(wǎng)誤差方程式的列式方法。 在一個(gè)水準(zhǔn)網(wǎng)中，j、k是某一段觀測(cè)高差的起、終點(diǎn)，且為兩個(gè)待定高程點(diǎn)，根據(jù)水準(zhǔn)網(wǎng)推算出兩點(diǎn)的近似高程為Xj0、Xk0，從j觀測(cè)至k點(diǎn)的觀測(cè)高差為hjk，選定兩點(diǎn)的平差高程為未知參數(shù)、 ，則觀測(cè)高差的平差值方程為jkkjhXX(3-17) 00() ()jkkkjjhvXxXx 3.2.1 水準(zhǔn)網(wǎng)誤差方程式 移項(xiàng)后，得 kjv x x l (3-18) 式中， 00jkjklhXX若高差的某一端點(diǎn)為已知點(diǎn)，則端點(diǎn)的未知參數(shù)改正數(shù)為0。從誤差方程式可以看出，系數(shù)

13、矩陣B的元素只能有1、-1、0這3個(gè)數(shù)字的任意兩兩組合構(gòu)成。若將起點(diǎn)近似高程加上觀測(cè)高差稱(chēng)為終點(diǎn)的觀測(cè)高程，則自由項(xiàng)l等于終點(diǎn)的觀測(cè)高程減去終點(diǎn)的近似高程。3.2.2 測(cè)角網(wǎng)誤差方程式 這里討論測(cè)角網(wǎng)中選擇待定點(diǎn)的平差坐標(biāo)為未知參數(shù)時(shí)，誤差方程的線性化問(wèn)題。先介紹坐標(biāo)改正數(shù)與坐標(biāo)方位角改正數(shù)之間的關(guān)系。 在圖3-1中，j、k是兩個(gè)待定點(diǎn)，它們的近似坐標(biāo)為 。根據(jù)這些近似坐標(biāo)可以計(jì)算j、k兩點(diǎn)間的近似坐標(biāo)方位角 和近似邊長(zhǎng) 。設(shè)這兩點(diǎn)平差坐標(biāo)的改正數(shù)為 ，則有0000jjkkXYXY、0000jjkkXYXY、0000jjkkX Y X Y、 、 、0jk0jk0jkS0jkSjjkkxyxy、

14、 、 、3.2.2 測(cè)角網(wǎng)誤差方程式 設(shè)由坐標(biāo)改正數(shù)引起的坐標(biāo)方位角的改正數(shù)為jk，即 0jkjkjk現(xiàn)求坐標(biāo)改正數(shù) (3-19) jjkkx y x y、 、與坐標(biāo)方位角改正數(shù) jkjk之間的線性關(guān)系。 根據(jù)圖3-1可以寫(xiě)出 0000() ()arctan() ()kkjjjkkkjjYyYyXxXx將上式右端按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)并取至一階項(xiàng)，得 3.2.2 測(cè)角網(wǎng)誤差方程式00000000arctankjjkjkjkjkjkjjkkkjjjkkYYxyxyXXXYXY等式中右邊第一項(xiàng)就是由近似坐標(biāo)算得的近似坐標(biāo)方位角 0jk對(duì)照式(3-19)知 0000jkjkjkjkjkjjkkjjkkxyx

15、yXYXY(3-20) 3.2.2 測(cè)角網(wǎng)誤差方程式 式中 0000200020020020200000()()()()1kjjkkjkjjkkjkjjkjkjkjYYXXYYYXXYYSXYYXX同理可得 002000200020()()()j kj kj kjj kj kj kkj kj kj kkXSYYSXXSY3.2.2 測(cè)角網(wǎng)誤差方程式 將上列結(jié)果代入式(3-20)，并顧及全式的單位得 000002020202()()()()jkjkjkjkjkjjkkjkjkjkjkYXYXxyxySSSS (3-21) 或?qū)懗?0000000sincossincosjkjkjkjkjkjjkk

16、jkjkjkjkxyxySSSS (3-22) 3.2.2 測(cè)角網(wǎng)誤差方程式 以上兩式就是坐標(biāo)改正數(shù)與坐標(biāo)方位角改正數(shù)間的一般關(guān)系式，稱(chēng)為坐標(biāo)方位角改正數(shù)方程。其中以“為單位。平差計(jì)算時(shí)，可按不同的情況靈活應(yīng)用上式。例如： (1) 若某邊的兩端均為待定點(diǎn)，則坐標(biāo)改正數(shù)與坐標(biāo)方位角改正數(shù)間的關(guān)系式就是式(3-21)或式(3-22)。此時(shí)，與前的系數(shù)絕對(duì)值相等； 與 前的系數(shù)絕對(duì)值也相等。 jxkxjyky(2) 若測(cè)站點(diǎn)j為已知點(diǎn)，則0jjxy，得000202()()jkjkjkkkjkjkYXxySS (3-23) 3.2.2 測(cè)角網(wǎng)誤差方程式，得 若照準(zhǔn)點(diǎn)k為已知點(diǎn)，則 0kkxy00020

17、2()()jkjkjkjjjkjkYXxySS (3-24) (3) 若某邊的兩個(gè)端點(diǎn)均為已知點(diǎn)，則 0jjkkx y x y ，得 0jk (4) 同一條邊的正反坐標(biāo)方位角的改正數(shù)相等，它們與坐標(biāo)改正數(shù)的關(guān)系式也一樣，這是因?yàn)?00002020202()()()()kjkjkjkjkjkkjjjkjkjkjkYXYXxyxySSSS 3.2.2 測(cè)角網(wǎng)誤差方程式 對(duì)照式(3-21)，顧及 據(jù)此，實(shí)際計(jì)算時(shí)，只要對(duì)每條待定邊計(jì)算一個(gè)坐標(biāo)方位角改正數(shù)方程即可。對(duì)于角度觀測(cè)值Li(圖3-2)來(lái)說(shuō)，其觀測(cè)方程為 iijkjhLv(3-25) (3-26) (3-27) 3.2.2 測(cè)角網(wǎng)誤差方程式

18、根據(jù)這個(gè)角的3個(gè)端點(diǎn)具體情況靈活運(yùn)用式(3-21)，并代入式(3-27)，即得線性化后的角度誤差方程式。例如，j、h、k點(diǎn)都是未知點(diǎn)時(shí)，式(3-27)為3.2.2 測(cè)角網(wǎng)誤差方程式 (3-28) 3.2.2 測(cè)角網(wǎng)誤差方程式 式(3-28)即為線性化后的角度觀測(cè)值的誤差方程式。綜上所述，對(duì)于角度觀測(cè)的三角網(wǎng)，采用間接平差，選擇待定點(diǎn)的平差坐標(biāo)為未知參數(shù)時(shí)，列誤差方程的步驟如下。 (1) 計(jì)算各待定點(diǎn)的近似坐標(biāo)X0，Y0。(2) 由待定點(diǎn)的近似坐標(biāo)和已知點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算各待定邊的近似坐標(biāo)方位角0和近似邊長(zhǎng)S0。(3) 列出各待定邊的坐標(biāo)方位角改正數(shù)方程，并計(jì)算其系數(shù)。(4) 按照式(3-28)、式(

19、3-26)列出角度誤差方程。 3.2.3 測(cè)邊網(wǎng)誤差方程式 現(xiàn)在討論在測(cè)邊網(wǎng)平差中，選擇待定點(diǎn)的平差坐標(biāo)為未知參數(shù)時(shí)，誤差方程的線性化問(wèn)題。 在圖3-3中，測(cè)得待定點(diǎn)間的邊長(zhǎng)Li，選定待定點(diǎn)的坐標(biāo)平差值 為未知參數(shù)，令 3.2.3 測(cè)邊網(wǎng)誤差方程式由圖3-3可寫(xiě)出邊長(zhǎng)平差值方程為 22()()iiikjkjL L vXXY Y 按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，得 00000()()jkjkiijkkjkjjkjkXYLvSxxyySS(3-29) 3.2.3 測(cè)邊網(wǎng)誤差方程式 (3-30) (3-31) (3-32) 3.2.3 測(cè)邊網(wǎng)誤差方程式 式(3-31)或式(3-32)等號(hào)右邊前4項(xiàng)之和是由坐標(biāo)改正數(shù)

20、引起的邊長(zhǎng)改正數(shù)。式(3-31)或式(3-32)就是測(cè)邊網(wǎng)坐標(biāo)平差時(shí)誤差方程式的一般形式，它是在假設(shè)兩端點(diǎn)都是待定點(diǎn)的情況下導(dǎo)出的。具體計(jì)算時(shí)，可按不同情況靈活運(yùn)用。若某邊的兩端點(diǎn)均為待定點(diǎn)，則式(3-31)就是該觀測(cè)邊的誤差方程。式中，與 的系數(shù)的絕對(duì)值相等， 與 的系數(shù)的絕對(duì)值也相等。常數(shù)項(xiàng)等于該邊的觀測(cè)值減去其近似值。jxkxjyky(3-33) 3.2.3 測(cè)邊網(wǎng)誤差方程式 (3-34) 若j、k均為已知點(diǎn)，則該邊為固定邊(不觀測(cè))，故對(duì)該邊不需要列誤差方程。(3) 某邊的誤差方程，按j到k方向列出或按k到j(luò)方向列出的結(jié)果相同。3.2.4 導(dǎo)線網(wǎng)誤差方程式 在導(dǎo)線網(wǎng)中，有兩類(lèi)觀測(cè)值，即

21、邊長(zhǎng)觀測(cè)值和角度觀測(cè)值，所以導(dǎo)線網(wǎng)也是一種邊角同測(cè)網(wǎng)。導(dǎo)線網(wǎng)中角度觀測(cè)值的誤差方程，其組成與測(cè)角網(wǎng)坐標(biāo)平差的誤差方程相同，邊長(zhǎng)觀測(cè)的誤差方程，其組成與測(cè)邊網(wǎng)坐標(biāo)平差的誤差方程相同，因此導(dǎo)線網(wǎng)中觀測(cè)值的誤差方程列式與上述測(cè)角、測(cè)邊網(wǎng)相同。由于在導(dǎo)線網(wǎng)中有邊、角兩類(lèi)觀測(cè)值，所以，確定兩類(lèi)觀測(cè)值的權(quán)是平差中的重要環(huán)節(jié)。設(shè)先驗(yàn)單位權(quán)方差為 20，測(cè)角中誤差為 i，測(cè)邊中誤差為 iS，則定權(quán)公式為 (3-35) 3.2.4 導(dǎo)線網(wǎng)誤差方程式 當(dāng)角度為等精度觀測(cè)時(shí)， 12n。定權(quán)時(shí)一般令 220，即以測(cè)角中誤差為導(dǎo)線網(wǎng)平差中的先驗(yàn)單位 權(quán)中誤差，由此即得 (3-36) 22iS為了確定邊、角觀測(cè)的權(quán)，必須

22、已知和3.2.4 導(dǎo)線網(wǎng)誤差方程式 3.2.5 GNSS網(wǎng)誤差方程式 在GPS測(cè)量時(shí)，可以得到兩點(diǎn)之間的基線向量觀測(cè)值，它是在WGS-84坐標(biāo)系下的三維坐標(biāo)差(Xij，Yij，Zij)，用這些基線向量構(gòu)成的網(wǎng)稱(chēng)為GPS網(wǎng)，平差該網(wǎng)時(shí)一般采用間接平差。設(shè)GPS網(wǎng)中某一基線向量觀測(cè)值為(Xij，Yij，Zij)，平差時(shí)選GPS網(wǎng)中各待定點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)平差值 ()iiiXYZ， ，為參數(shù)，并取相應(yīng)的近似值 000()iiiXYZ， ，則有 000iiiiiiiiiXXxYYyZzZ(3-37) 3.2.5 GNSS網(wǎng)誤差方程式 按照間接平差列出誤差方程的方法，每個(gè)基線向量可以列出3個(gè)誤差方程，有

23、ijijijXjiijijYjiijjiZVXXXYVYYZZZV(3-38) 顧及式(3-37)，基線向量的誤差方程為 000000()()()ijijijXjiijjiYjiijjijiijjiZVxxXXXVyyYYYzzZZZV (3-39) 3.2.5 GNSS網(wǎng)誤差方程式 (3-40) 3.2.5 GNSS網(wǎng)誤差方程式 則編號(hào)為K的基線向量的誤差方程為 (3-41) (3-42) 當(dāng)網(wǎng)中有m個(gè)待定點(diǎn)、n條基線向量時(shí)，則整個(gè)GPS網(wǎng)的誤差方程為333 1313 1nmnmnVB xl(3-43) 3.2.5 GNSS網(wǎng)誤差方程式 關(guān)于觀測(cè)值隨機(jī)模型的確定，一般形式仍然為 22100D

24、QP(3-44) 用兩臺(tái)GPS接收機(jī)在一個(gè)時(shí)段內(nèi)只能得到一條觀測(cè)基線向量(Xij，Yij，Zij)，它們的協(xié)方差陣直接由軟件給出，設(shè)為222ijijijijijijijijijXXYXZijYYZZ對(duì)稱(chēng)D(3-45) 3.2.5 GNSS網(wǎng)誤差方程式 不同基線向量之間認(rèn)為是獨(dú)立的，因此，對(duì)整個(gè)GPS網(wǎng)而言，式(3-44)中的D是塊對(duì)角陣，即13 323 33 3000000gDDDD(3-46) 矩陣中各個(gè)D的下角編號(hào)1,2,g為各觀測(cè)基線向量號(hào)，對(duì)應(yīng)式(3-45)中的Dij。3.2.5 GNSS網(wǎng)誤差方程式 對(duì)于多臺(tái)GPS接收機(jī)測(cè)量的隨機(jī)模型的組成，其原理同上，全網(wǎng)的D也是一個(gè)塊對(duì)角陣，只是

25、對(duì)角塊陣是多個(gè)同步基線向量的協(xié)方差陣。根據(jù)式(3-44)可得觀測(cè)基線向量的權(quán)陣為 210PD(3-47) 式中 20可任意選取。 3.3 精精 度度 評(píng)評(píng) 定定間接平差與條件平差雖采用了不同的函數(shù)模型，但它們是在相同的最小二乘原理下進(jìn)行的，所以兩種方法的平差結(jié)果總是相等的，這是因?yàn)樵跐M足V TPV = min條件下的V是唯一確定的，故平差值 不因方法不同而異。LL V3.3.1 單位權(quán)中誤差單位權(quán)中誤差單位權(quán)方差 的估值 ，計(jì)算式仍然是V TPV除以其自由度，即TT20rn tV PVV PV (3(3-48)8)中誤差為中誤差為T(mén)0 ntVP V(3(3-49)9)TV PV 的計(jì)算除了將V

26、代入直接計(jì)算外，還可以按式(3-50)計(jì)算，即20203.3.1 單位權(quán)中誤差單位權(quán)中誤差(3(3-50)50)3.3.2 協(xié)因數(shù)陣 根據(jù)前面的定義和有關(guān)說(shuō)明知，根據(jù)前面的定義和有關(guān)說(shuō)明知，3.3.2 協(xié)因數(shù)陣式中對(duì)角線上的子矩陣，就是各基本向量的自協(xié)因數(shù)陣，非對(duì)角線上的子矩陣為兩兩向量間的互協(xié)因數(shù)陣?，F(xiàn)分別推求如下。其基本思想是把各量表達(dá)成協(xié)因數(shù)已知量(觀測(cè)向量L或自由項(xiàng)l)的函數(shù)，上述各量的關(guān)系式已知為3.3.2 協(xié)因數(shù)陣3.3.2 協(xié)因數(shù)陣3.3.2 協(xié)因數(shù)陣由表3-1可知，平差值 與改正數(shù)V的互協(xié)因數(shù)陣為零，說(shuō)明 統(tǒng)計(jì)不相關(guān)，這是一個(gè)很重要的結(jié)果。3.3.3 參數(shù)與參數(shù)函數(shù)的中誤差參數(shù)

27、與參數(shù)函數(shù)的中誤差 i由前面的討論知，未知參數(shù)的協(xié)因數(shù)陣為(3(3-55)55)其中對(duì)角線元素iiX XQ是未知參數(shù)iX的自協(xié)因數(shù)，故參數(shù)iX的中誤差為3.3.3 參數(shù)與參數(shù)函數(shù)的中誤差參數(shù)與參數(shù)函數(shù)的中誤差 在間接平差中，解算法方程后首先求得的是t個(gè)未知參數(shù)。有了這些參數(shù)，便可根據(jù)它們來(lái)計(jì)算該平差問(wèn)題中任意量的平差值(最或然值)。因?yàn)榫W(wǎng)中任何一個(gè)量的平差值都可以表達(dá)為所選未知參數(shù)的函數(shù)。下面從一般情況來(lái)討論如何求參數(shù)函數(shù)的中誤差的問(wèn)題。設(shè)間接平差問(wèn)題中參數(shù)的函數(shù)為3.3.3 參數(shù)與參數(shù)函數(shù)的中誤差參數(shù)與參數(shù)函數(shù)的中誤差(3(3-58) 8) (3(3-59)9)(3(3-60)60)(3(3

28、-61)61)3.3.3 參數(shù)與參數(shù)函數(shù)的中誤差參數(shù)與參數(shù)函數(shù)的中誤差例3-3 在圖3-4中，A、B為已知水準(zhǔn)點(diǎn)，高程無(wú)誤差，各高差測(cè)段的路線長(zhǎng)度為：S1=1，S2=2，S3=2，S4=1，單位km。觀測(cè)高差互相獨(dú)立。試求：待定點(diǎn)P1、P2平差高程的協(xié)因數(shù)。3.3.3 參數(shù)與參數(shù)函數(shù)的中誤差參數(shù)與參數(shù)函數(shù)的中誤差 根據(jù)水準(zhǔn)路線定權(quán)方法iiCPS ，令C=2，即以2km觀測(cè)高差為單位權(quán)觀測(cè)值，2iiPS ，可得 P1=2，P2=1，P3=1，P4=2觀測(cè)高差互相獨(dú)立，構(gòu)成觀測(cè)值的獨(dú)立權(quán)陣為3.3.3 參數(shù)與參數(shù)函數(shù)的中誤差參數(shù)與參數(shù)函數(shù)的中誤差3.3.3 參數(shù)與參數(shù)函數(shù)的中誤差參數(shù)與參數(shù)函數(shù)的中

29、誤差3.4 間接平差特例間接平差特例直接平差直接平差 對(duì)同一個(gè)待定量進(jìn)行多次獨(dú)立觀測(cè)，求該量的平差值并評(píng)定精度的平差，稱(chēng)為直接平差。實(shí)際上它是間接平差中只有一個(gè)未知參數(shù)的特殊情況。3.4.1 平差原理平差原理設(shè)對(duì)某待定量 進(jìn)行n次不同精度的觀測(cè)，觀測(cè)值為權(quán)陣為 ，且它為對(duì)角陣，對(duì)角線元素分別為P1,P2, X,1nL，,nnPXPn ，按間接平差選該量的平差值為參數(shù) ，可以列出誤差方程為組成法方程為3.4.1 平差原理平差原理 解得由此可見(jiàn)，直接平差的結(jié)果就是觀測(cè)值的加權(quán)平均值。為方便計(jì)算，通常取參數(shù)的近似值0X，有0XXx ，則誤差方程為式中3.4.1 平差原理平差原理 3.4.1 平差原理

30、平差原理特別地，當(dāng)各觀測(cè)值等精度時(shí)，取權(quán)全為1，則與式(3-64)、 式(3-68)相對(duì)應(yīng)的待定量的平差值為或者式(3-69)說(shuō)明，當(dāng)觀測(cè)值等精度獨(dú)立時(shí)，直接平差的結(jié)果就是觀測(cè)值的算術(shù)平均值。3.4.2 精度評(píng)定精度評(píng)定3.4.2 精度評(píng)定精度評(píng)定3.4.2 精度評(píng)定精度評(píng)定即當(dāng)對(duì)某量作n次同精度觀測(cè)時(shí)，其平差值為觀測(cè)值的算術(shù)平均值，算術(shù)平均值的權(quán)為單個(gè)觀測(cè)值權(quán)的n倍。例3-4 如圖3-5所示的水準(zhǔn)網(wǎng)中，A、B、C為已知點(diǎn)，P為待定高程點(diǎn)，已知HA=121.910，HB=122.870，HC=26.890，單位為m。各段觀測(cè)高差和路線長(zhǎng)度為h1=3.552m，h2=2.605m，h3=1.42

31、5 m；S1=2km，S2=6km，S3=3km。試求：(1) P點(diǎn)的平差高程；(2) P點(diǎn)平差高程的中誤差。3.4.2 精度評(píng)定精度評(píng)定3.4.2 精度評(píng)定精度評(píng)定3.4.2 精度評(píng)定精度評(píng)定3.5 間接平差算例3.5.1 水準(zhǔn)網(wǎng)間接平差算例 例3-5 第2章例2-3所示的水準(zhǔn)網(wǎng)，按間接平差求：(1) 待定點(diǎn)B、C的高程平差值。(2) 待定點(diǎn)B、C平差高程的中誤差。(3) 各段高差平差值的中誤差。解 (1) n=5，t=2，選待定點(diǎn)B、C的高程平差值為未知參數(shù)。列觀測(cè)值的平差值方程，即 3.5.1 水準(zhǔn)網(wǎng)間接平差算例3.5.1 水準(zhǔn)網(wǎng)間接平差算例代入具體數(shù)值，自由項(xiàng)l以mm為單位，有 3.5

32、.1 水準(zhǔn)網(wǎng)間接平差算例 m 3.5.1 水準(zhǔn)網(wǎng)間接平差算例 (2) 高程平差值的中誤差。單位權(quán)中誤差為3.5.1 水準(zhǔn)網(wǎng)間接平差算例 (3) 高差平差值的中誤差。平差高差的協(xié)因數(shù)陣為3.5.2 測(cè)角網(wǎng)間接平差算例例3-6 測(cè)角網(wǎng)見(jiàn)第2章例2-4，試按間接平差法，求：(1) 待定點(diǎn)C、D的坐標(biāo)平差值；(2) C、D點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差；(3) 角度平差值的中誤差；(4) CD邊平差邊長(zhǎng)的相對(duì)中誤差。解 (1) t=4，選取C、D兩點(diǎn)的平差坐標(biāo)作為未知參數(shù)。0CCC0CCCXXxYYy0DDD0DDDXXxYYy令未知參數(shù)的改正數(shù)向量TCCDDxyxyx。 3.5.2 測(cè)角網(wǎng)間接平差算例(3-1) 本

33、例計(jì)算過(guò)程中，角度改正數(shù)以為單位， 長(zhǎng)度以m為單位。 推算各邊的近似邊長(zhǎng)和近似坐標(biāo)方位角：在ABC和BCD中，分別由前方交會(huì)公式，計(jì)算C、D兩點(diǎn)的近似坐標(biāo)如下(計(jì)算過(guò)程見(jiàn)例2-4)：按已知點(diǎn)坐標(biāo)和未知點(diǎn)的近似坐標(biāo)推算各邊的近似邊長(zhǎng)和近似坐標(biāo)方位角，見(jiàn)表3-2。 3.5.2 測(cè)角網(wǎng)間接平差算例表3-2 近似邊長(zhǎng)和方位角方 向近似邊長(zhǎng)/m近似坐標(biāo)方位角/()CA118.4833150.222940CB115.9370217.284137CD112.1936277.475533DB114.6632159.1521433.5.2 測(cè)角網(wǎng)間接平差算例反算已知邊AB的邊長(zhǎng)和方位角 SAB=129.5788

34、m，AB=2745153.43 列各待定邊的坐標(biāo)方位角改正數(shù)方程，其中0 3.5.2 測(cè)角網(wǎng)間接平差算例列各個(gè)觀測(cè)角度的平差值方程為 3.5.2 測(cè)角網(wǎng)間接平差算例將各個(gè)邊的坐標(biāo)方位角改正數(shù)方程代入角度平差值方程，寫(xiě)成誤差方程的形式，即3.5.2 測(cè)角網(wǎng)間接平差算例其中自由項(xiàng)l(單位：)：3.5.2 測(cè)角網(wǎng)間接平差算例誤差方程式系數(shù)矩陣B6400CACA00CACA00CBCB00CBCB0000CBCACACB0000CBCACACB0000CBCBDBDB0000CBCBDBDB0000CDCDCDDB000CDCDCDsincos00sincos00sinsincoscos00sinco

35、ssincossincossinsinSSSSSSSSSSSSSSSB00CDDB000DBDBCD000000CDCBCBCDCDCD000000CDCBCBCDCDCDcoscossinsincoscossincosSSSSSSSSS3.5.2 測(cè)角網(wǎng)間接平差算例代入具體數(shù)值，有組成并求解法方程bb NxW3.5.2 測(cè)角網(wǎng)間接平差算例3.5.2 測(cè)角網(wǎng)間接平差算例改正數(shù)V和角度平差值代入各個(gè)矩陣的值，得待定點(diǎn)坐標(biāo)平差值0XXx代入具體數(shù)值，可得(單位：m) 3.5.2 測(cè)角網(wǎng)間接平差算例(2) 待定點(diǎn)平差坐標(biāo)的中誤差。驗(yàn)后單位權(quán)中誤差3.5.2 測(cè)角網(wǎng)間接平差算例 (3) 角度平差值的中

36、誤差。觀測(cè)值的平差值的協(xié)因數(shù)陣為 3.5.2 測(cè)角網(wǎng)間接平差算例因?yàn)楦鱾€(gè)內(nèi)角是同精度觀測(cè)， 由2 0LLLLDQ可得各個(gè)內(nèi)角平差值的中誤差 3.5.2 測(cè)角網(wǎng)間接平差算例 (4) CD邊的邊長(zhǎng)相對(duì)中誤差。CD平差邊長(zhǎng)的函數(shù)式為 22CDCDCD()()SXXYY全微分，得權(quán)函數(shù)式 0000CDDCCDCCDCDDCDdcossincossinSxyxy3.5.2 測(cè)角網(wǎng)間接平差算例3.5.2 測(cè)角網(wǎng)間接平差算例 3.5.3 測(cè)邊網(wǎng)間接平差算例 例3-7 測(cè)邊網(wǎng)，見(jiàn)第2章例2-5，試按間接平差法，求：(1) 待定點(diǎn)C、D的平差坐標(biāo)。(2) C、D兩點(diǎn)平差坐標(biāo)的中誤差。(3) 各個(gè)邊長(zhǎng)平差值的中誤

37、差和相對(duì)中誤差。(4) CD邊平差后方位角的中誤差。解 (1) n=5，t=4，選取C、D兩點(diǎn)的平差坐標(biāo)為未知參數(shù)。3.5.3 測(cè)邊網(wǎng)間接平差算例 獨(dú)立權(quán)陣 P=Q-1=I未知參數(shù)的改正數(shù)向量為T(mén)CCDD x y x yxC、D兩點(diǎn)近似坐標(biāo)計(jì)算，采用邊長(zhǎng)交會(huì)公式，同例2-5，單位為m。3.5.3 測(cè)邊網(wǎng)間接平差算例 推算各邊近似邊長(zhǎng)。由已知點(diǎn)坐標(biāo)和C、D兩點(diǎn)的近似坐標(biāo)反算AC、AD、BC、BD、CD各邊近似邊長(zhǎng)，單位為m。結(jié)果為：00000123451850.5121041.8361664.2301673.3081096.8076LLLLL，列邊長(zhǎng)誤差方程式001ACCACC1002ADDAD

38、D2003BCCBCC3004BDDBDD400005CDCCDCCDDCDD5cossincossincossincossincossincossinvxylvxylvxylvxylvxyxyl 3.5.3 測(cè)邊網(wǎng)間接平差算例 (mm)3.5.3 測(cè)邊網(wǎng)間接平差算例誤差方程式系數(shù)矩陣為 00ACAC00ADAD00BCBC00BDBD0000CDCDCDCDcossin0000cossincossin0000cossincossincossinB代入具體數(shù)值，有 0.241010.970520.00.00.00.00.292440.956280.470600.882350.00.00.00.

39、00.916660.399660.684420.729090.684420.72909 B3.5.3 測(cè)邊網(wǎng)間接平差算例 其中：3.5.3 測(cè)邊網(wǎng)間接平差算例 3.5.3 測(cè)邊網(wǎng)間接平差算例 邊長(zhǎng)觀測(cè)值的改正數(shù) 3.5.3 測(cè)邊網(wǎng)間接平差算例 (2) 待定點(diǎn)平差坐標(biāo)的中誤差。 驗(yàn)后單位權(quán)中誤差 3.5.3 測(cè)邊網(wǎng)間接平差算例 待定點(diǎn)平差坐標(biāo)分量的中誤差CCCCC CDDDDDD000017.18mm7.99mm11.79mm10.96mmXXXYY YXXXYYYQQQQ 3.5.3 測(cè)邊網(wǎng)間接平差算例 (3) 邊長(zhǎng)平差值的精度。 邊長(zhǎng)平差值的協(xié)因數(shù)陣1Tbb0.686070.275100.1

40、61940.253440.221900.275100.758920.141910.222100.194450.161940.141910.916460.130740.114470.253440.222100.130740.795390.179140.221900.194450.114470.179140.84315LLQBN B3.5.3 測(cè)邊網(wǎng)間接平差算例 則各個(gè)邊長(zhǎng)平差值的中誤差與相對(duì)中誤差K 3.5.3 測(cè)邊網(wǎng)間接平差算例 同理，可得 345345110.40mm15994619.69mm17262619.98mm109902LLLKKK，(4) CD邊方位角平差值的中誤差。 CD邊方位

41、角的函數(shù)式 DCCDDCarctanYYXX3.5.3 測(cè)邊網(wǎng)間接平差算例 3.5.3 測(cè)邊網(wǎng)間接平差算例 3.5.4 邊角網(wǎng)間接平差算例 例3-8 邊角網(wǎng)如圖3-6所示，已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，觀測(cè)角度與觀測(cè)邊長(zhǎng)為：A(0.0，0.0)，B(0.0，1000.0)，單位為m；1=600005，2=595958，3=600000，S=999.99m； 已知：=2，=1cm，令單位權(quán)中誤差0=。試按間接平差法，求：(1) 待定點(diǎn)P的平差坐標(biāo)。(2) P點(diǎn)平差坐標(biāo)的中誤差。(3) 觀測(cè)值的平差值的中誤差。3.5.4 邊角網(wǎng)間接平差算例 3.5.4 邊角網(wǎng)間接平差算例 解 (1) n=4，t=2，選定待

42、定點(diǎn)P的平差坐標(biāo)為未知參數(shù)。，令未知參數(shù)的改正數(shù)向量為 TPP x yx觀測(cè)值向量為 L=1 2 3 ST 根據(jù)題意，定權(quán)時(shí)令角度觀測(cè)值為單位權(quán)觀測(cè)值 取長(zhǎng)度單位為m，角度單位為， 3.5.4 邊角網(wǎng)間接平差算例 在ABP中，由前方交會(huì)公式，得P點(diǎn)近似坐標(biāo)為 3.5.4 邊角網(wǎng)間接平差算例 由A、B、P 3點(diǎn)的坐標(biāo)推算各邊近似方位角和近似邊長(zhǎng)為 3.5.4 邊角網(wǎng)間接平差算例 將各邊坐標(biāo)方位角改正數(shù)方程代入角度平差值方程，得角度誤差方程式為3.5.4 邊角網(wǎng)間接平差算例 3.5.4 邊角網(wǎng)間接平差算例代入具體數(shù)值，有(自由項(xiàng)以為單位) 列邊長(zhǎng)誤差方程式為 3.5.4 邊角網(wǎng)間接平差算例 其中：

43、3.5.4 邊角網(wǎng)間接平差算例 3.5.4 邊角網(wǎng)間接平差算例 (2) 待定點(diǎn)P的坐標(biāo)中誤差。驗(yàn)后單位權(quán)中誤差3.5.4 邊角網(wǎng)間接平差算例 (3) 觀測(cè)值平差值的中誤差。觀測(cè)值平差值的協(xié)因數(shù)陣為3.5.4 邊角網(wǎng)間接平差算例 3.5.5 GNSS網(wǎng)間接平差算例 例3-9 GPS網(wǎng)平差。圖3-7所示為一簡(jiǎn)單GPS網(wǎng)，網(wǎng)中A1點(diǎn)三維坐標(biāo)已知，見(jiàn)表3-3，其余3個(gè)點(diǎn)為待定點(diǎn)，參數(shù)個(gè)數(shù)t=9。用兩臺(tái)GPS接收機(jī)觀測(cè)，測(cè)得5條基線向量，見(jiàn)表3-4，n=15，每個(gè)基線向量中3個(gè)坐標(biāo)差觀測(cè)值相關(guān)，由于只用兩臺(tái)GPS接收機(jī)觀測(cè)，所以各觀測(cè)基線向量相互獨(dú)立，試按間接平差法平差該網(wǎng)。 3.5.5 GNSS網(wǎng)間接

44、平差算例 表3-3 已知點(diǎn)信息(單位:m) 點(diǎn) 名XYZA11974638.73404590014.81903953144.9235表3-4 觀測(cè)基線信息 XYZ2.320999E007 5.097008E007 1.339931E006 4.371401E007 1.109356E006 1.008592E006對(duì)稱(chēng)1.044894E006 2.396533E006 6.341291E006 2.319683E006 5.902876E006 6.035577E006對(duì)稱(chēng)5.850064E007 1.329620E006 3.362548E006 1.252374E006 3.069820E

45、006 3.019233E006對(duì)稱(chēng)3.5.5 GNSS網(wǎng)間接平差算例 3.5.5 GNSS網(wǎng)間接平差算例 解 (1) 設(shè)A2、A3、A4點(diǎn)的三維坐標(biāo)平差值為參數(shù)，即 T222333444XYZXYZXYZX取參數(shù)的近似值3.5.5 GNSS網(wǎng)間接平差算例3.5.5 GNSS網(wǎng)間接平差算例15 15249.5360.2088.8541.9471.63105.7900071.4300016.0719.2800011.7312.6818.38000000169.8300000039.6046.1200000030.1830.4646.4400000000049.0500000000012.8917

46、.590000000007.4714.1921.3500000000000對(duì)稱(chēng)P17.74000000000004.865.21000000000002.883.365.12468.4142112.6840152.553479.5936116.2839173.580549.050212.88527.472814.185312.885217.586814.18531對(duì)稱(chēng)7.745122.79477.472814.185321.346510.351017.550126.4702169.833639.600230.183017.73514.85992.8782259.003039.600246.11

47、8330.46494.85995.20793.364860.533770.606630.183030.464946.44302.878232223334440.02530.08010.06650.01850.05120.08870.29140.0649.36485.123744.795746.508669.95130.0405xyzxyzxyz3.5.5 GNSS網(wǎng)間接平差算例3.5.5 GNSS網(wǎng)間接平差算例 (4) 平差結(jié)果(單位：m) T2223033444197342004653951407.20441974825.70334591232.20133950235.82171974909.19844590518.02123951265.9923XYZXYZXYZXT3.5