《彈性力學(xué)》習(xí)題庫(kù)

1、彈性力學(xué)彈性力學(xué)習(xí)題庫(kù)習(xí)題庫(kù)第第1章章第第2章章第第3章章第第1章章 習(xí)題習(xí)題1-21-41-71-8習(xí)題習(xí)題 1-2 一般的混凝土構(gòu)件和鋼筋混凝土構(gòu)件能否一般的混凝土構(gòu)件和鋼筋混凝土構(gòu)件能否作為理想彈性體？一般的巖質(zhì)地基和土質(zhì)作為理想彈性體？一般的巖質(zhì)地基和土質(zhì)地基能否作為理想彈性體？地基能否作為理想彈性體？答：答：一般的混凝土構(gòu)件可以作為理想的彈性一般的混凝土構(gòu)件可以作為理想的彈性體，而鋼筋混凝土構(gòu)件不可以作為理想的彈體，而鋼筋混凝土構(gòu)件不可以作為理想的彈性體；一般的巖質(zhì)地基不可以作為理想彈性性體；一般的巖質(zhì)地基不可以作為理想彈性體，而土質(zhì)地基可以作為理想的體，而土質(zhì)地基可以作為理想的 彈

2、性體。彈性體。習(xí)題習(xí)題 1-4 應(yīng)力和面力的符號(hào)規(guī)定有什么區(qū)別？應(yīng)力和面力的符號(hào)規(guī)定有什么區(qū)別？答：答：應(yīng)力的符號(hào)規(guī)定：當(dāng)作用面的外法線(xiàn)指向坐標(biāo)應(yīng)力的符號(hào)規(guī)定：當(dāng)作用面的外法線(xiàn)指向坐標(biāo)軸的正方向時(shí)（即正面時(shí)），這個(gè)面上的應(yīng)力（不軸的正方向時(shí)（即正面時(shí)），這個(gè)面上的應(yīng)力（不論是正應(yīng)力還是切應(yīng)力）以沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎?，論是正?yīng)力還是切應(yīng)力）以沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。相反，當(dāng)作用面的外法線(xiàn)沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。相反，當(dāng)作用面的外法線(xiàn)指向坐標(biāo)軸的負(fù)方向時(shí)（即負(fù)面時(shí)）這個(gè)面上的應(yīng)指向坐標(biāo)軸的負(fù)方向時(shí)（即負(fù)面時(shí)）這個(gè)面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸的負(fù)向?yàn)檎?，正向?yàn)樨?fù)。力就以沿坐標(biāo)軸的負(fù)向?yàn)檎?/p>

3、，正向?yàn)樨?fù)。面力的符號(hào)規(guī)定：當(dāng)面力的指向沿坐標(biāo)軸的正方向面力的符號(hào)規(guī)定：當(dāng)面力的指向沿坐標(biāo)軸的正方向時(shí)為正，沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向時(shí)為負(fù)。時(shí)為正，沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向時(shí)為負(fù)。 試分別試分別畫(huà)出正面和負(fù)面上的正的應(yīng)力和正的面力的畫(huà)出正面和負(fù)面上的正的應(yīng)力和正的面力的方向。方向。xy負(fù)面負(fù)面正面正面習(xí)題習(xí)題 1-4 試分別畫(huà)出試分別畫(huà)出正面和負(fù)面上的正的應(yīng)力和正的面力的方向。正面和負(fù)面上的正的應(yīng)力和正的面力的方向。xyyxyxyxxxyyyx負(fù)面負(fù)面正面正面yfxfxfyfxfyfxfyf應(yīng)力和面力的符號(hào)規(guī)定有什么區(qū)別？應(yīng)力和面力的符號(hào)規(guī)定有什么區(qū)別？習(xí)題習(xí)題 1-7 試畫(huà)出圖試畫(huà)出圖1-4中矩形薄板的正的

4、體力，面力中矩形薄板的正的體力，面力和應(yīng)力的方向。和應(yīng)力的方向。xyOzxfyfyfxfxfyfxfyfxfyfyxyxyxxxyyyxxyOzyfxf習(xí)題習(xí)題 1-8 試畫(huà)出圖試畫(huà)出圖1-5中的三角形薄板的正的面力和中的三角形薄板的正的面力和體力的方向。體力的方向。xyxfyfxfyfxfyfyfxfOz第第2章章 題庫(kù)題庫(kù)例題例題習(xí)題習(xí)題第第2章章 例題例題2.12.22.32.42.62.72.82.9習(xí)題課習(xí)題課例例如果某一問(wèn)題中，如果某一問(wèn)題中， ，只存在，只存在平面應(yīng)力分量平面應(yīng)力分量 ，且它們不沿，且它們不沿z方向變化，方向變化，僅為僅為x、y的函數(shù)，試考慮此問(wèn)題是否就是平面應(yīng)力

5、的函數(shù)，試考慮此問(wèn)題是否就是平面應(yīng)力問(wèn)題？問(wèn)題？0zzxzy,xyxy 例例 2.1.1答：答：平面應(yīng)力問(wèn)題，就是作用在物體上的外力，約平面應(yīng)力問(wèn)題，就是作用在物體上的外力，約束沿束沿 z 向均不變化，只有平面應(yīng)力分量向均不變化，只有平面應(yīng)力分量 ，且僅為且僅為 x，y 的函數(shù)的彈性力學(xué)問(wèn)題，因此，此問(wèn)題的函數(shù)的彈性力學(xué)問(wèn)題，因此，此問(wèn)題是平面應(yīng)力問(wèn)題。是平面應(yīng)力問(wèn)題。,xyxy 圖圖 2-14xzOy例例 2.1.2（本章習(xí)題（本章習(xí)題2 21 1）如圖如圖2 21414，試分析說(shuō)明，在不受任何面力作，試分析說(shuō)明，在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中，其應(yīng)力狀態(tài)接近用的空間體表面附近的

6、薄層中，其應(yīng)力狀態(tài)接近于平面應(yīng)力的情況。于平面應(yīng)力的情況。答：答：在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中，可以認(rèn)為在該薄層的上下表面都無(wú)面力，且在中，可以認(rèn)為在該薄層的上下表面都無(wú)面力，且在薄層內(nèi)所有各點(diǎn)都有薄層內(nèi)所有各點(diǎn)都有 ，只存在平，只存在平面應(yīng)力分量面應(yīng)力分量 ，且它們不沿，且它們不沿z方向變化，僅方向變化，僅為為x、y的函數(shù)。可以認(rèn)定此問(wèn)題是平面應(yīng)力問(wèn)題。的函數(shù)?？梢哉J(rèn)定此問(wèn)題是平面應(yīng)力問(wèn)題。0zzxzy,xyxy qoxyqqozyqoxyzqoyq q zoxy q zoy q zz如圖所示的幾種受力體是否是平面問(wèn)題？若是，如圖所示的幾

7、種受力體是否是平面問(wèn)題？若是，則是平面應(yīng)力問(wèn)題，還是平面應(yīng)變問(wèn)題？則是平面應(yīng)力問(wèn)題，還是平面應(yīng)變問(wèn)題？平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題非平面問(wèn)題非平面問(wèn)題例例 2.1.3例例2.2.12.2.1：如圖所示單位寬度薄板懸梁，跨度為如圖所示單位寬度薄板懸梁，跨度為l l，其，其上表面承受三角形分布載荷作用，體力不計(jì)。試根據(jù)上表面承受三角形分布載荷作用，體力不計(jì)。試根據(jù)材料力學(xué)中的應(yīng)力表達(dá)式，由平衡微分材料力學(xué)中的應(yīng)力表達(dá)式，由平衡微分方程導(dǎo)出另兩個(gè)應(yīng)力分量。方程導(dǎo)出另兩個(gè)應(yīng)力分量。yxlhq330 x2例例 2.2.10)(32230yxyyxyfxyxfyxlhq02330 xy

8、xxxfyxyxlhq)()(2330 xgyxfxylhqy)(32230 xfyxlhqxy解解:(1):(1)將將 代入平衡微分方程第一式代入平衡微分方程第一式x(2)(2)將將 代入平衡微分方程第二式代入平衡微分方程第二式xy45xyO30ABC0000例例2.3.1：在負(fù)載結(jié)構(gòu)中，某點(diǎn)：在負(fù)載結(jié)構(gòu)中，某點(diǎn)O處的等厚平行四面體各面的處的等厚平行四面體各面的受力情況如圖所示（平面應(yīng)力狀態(tài)）。試求（受力情況如圖所示（平面應(yīng)力狀態(tài)）。試求（1）主應(yīng)力的）主應(yīng)力的大小及方向（大小及方向（2）沿與水平面成）沿與水平面成30傾角的微面上的全應(yīng)力傾角的微面上的全應(yīng)力和正應(yīng)力。和正應(yīng)力。 例例 2.3

9、.1CB面上面上0, 0 xyy先求應(yīng)力分量先求應(yīng)力分量 ：xyyx,45xyO30ABC0000例例 2.3.1先求應(yīng)力分量先求應(yīng)力分量 ：xyyx,xyxynmllm)()(2222 ,224545ooml)0(210 x02xAB面上面上:方向向量方向向量:45xyO30ABC0000（1）求主應(yīng)力的大小及方向）求主應(yīng)力的大小及方向) 12(1arctg例例 2.3.100, 0,2xyyx02 , 1)21 (xyx11tan222122xyyxyx45xyO30ABC0000（2）沿與水平面成）沿與水平面成30傾角的微面上的全應(yīng)力和正傾角的微面上的全應(yīng)力和正應(yīng)力。應(yīng)力。 0021,2

10、32yxpp例例 2.3.12/3 , 2/13030oomlmlpmlpyxyyxyxxxyyxnlmml2220231n例例2.4.1：當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r(shí)當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r(shí)，e ex =a, , e ey =b , , g gxy =c ，試求對(duì)應(yīng)的位移分量。試求對(duì)應(yīng)的位移分量。例例 2.4.1cyuxvbyvaxu , , byxfvaxyfu21 ,cxvyu cxvyu, 例例2.4.1：當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r(shí)當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r(shí)，e ex =a, , e ey =b , , g gxy =c ，試求對(duì)應(yīng)的位移分量。試求對(duì)應(yīng)的位移分量。例例 2.4.1 byxfvaxyfu21 ,cxvyu cdxxdf

11、xbyxfdyydfyaxyf2211 例例2.4.1：當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r(shí)當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r(shí)，e ex =a, , e ey =b , , g gxy =c ，試求對(duì)應(yīng)的位移分量。試求對(duì)應(yīng)的位移分量。xcbyvvyaxuu)( ,00例例 2.4.1 byxfvaxyfu21 , cdxxdfxbyxfdyydfyaxyf2211 xcvxfyuyf0201例例 2.6.1試列出圖示問(wèn)題的邊界條件。試列出圖示問(wèn)題的邊界條件。yaxxyaxyxaxxyaxxflmfml)()()()(; 0, 1 ml0, 0yxff(2),xa00 xx axyx a000,0 xxuvxyahhq0,x (1)例例

12、 2.6.1(3),yh 0yyhyxyhq qhyxyhyyhyxyhyx0) 1(0) 1(0; 1, 0mlqffyx , 0 xyahhq例例 2.6.1(4),yh00yy hxyy h 00) 1(0) 1(0hyxyhyyhyxyhyx; 1, 0ml0, 0yxffxyahhq例例 2.6.2試列出圖示問(wèn)題的邊界條件。試列出圖示問(wèn)題的邊界條件。左邊界：左邊界：0,xxyxhxhq右邊界：右邊界：0,xxyx hx hq上邊界：上邊界：000,yxyyyq下邊界：下邊界： 0,0y ay auvxyhaqoqhq例例 2.6.2左邊界：左邊界：0,xxyxhxhq0, 1mlqf

13、y0 xfysxysyxsxysxflmfml)()()()(qsxysysxysx)(1)(00)(0)(1hxxyhaqoqhq例例 2.6.2右邊界：右邊界：0,xxyx hx hq0, 1mlqfy0 xfysxysyxsxysxflmfml)()()()(qsxysysxysx)(1)(00)(0)(1hx xyhaqoqhq例例 2.6.2上邊界：上邊界：000,yxyyyq1, 0ml0yfqfxysxysyxsxysxflmfml)()()()(0)(0)(1)(1)(0sxysysxysxq0yxyhaqoqhq例例 2.6.2下邊界：下邊界：ay 0,0y ay auvxy

14、haqoqhq例例 2.6.3ABCxyhp(x)p0lN(1) AB段（段（y = 0）：）：1, 0ml0)(, 0plxxpffyx代入邊界條件公式，有代入邊界條件公式，有 000)(0plxxpyyyxy)(0) 1(0) 1(0 xpyxyxyx試列出圖示問(wèn)題的邊界條件。試列出圖示問(wèn)題的邊界條件。例例 2.6.3ABCxyhp(x)p0lN(2) BC段（段（x = l）：）：0, 1 ml 0 , 0lxlxvu0 , 0lxlxxvyu例例 2.6.3ABCxyhp(x)p0lN0)sin(cos0cos)sin(tantanxyyxyxyxyx(3) AC段（段（y =x ta

15、n ）:sin)90cos(),cos(xNlcos),cos(yNm例例2.7.1圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力作用。試寫(xiě)出水壩力，頂部受集中力作用。試寫(xiě)出水壩的應(yīng)力邊界條件。的應(yīng)力邊界條件。左側(cè)面：左側(cè)面：0, 1ml代入應(yīng)力邊界條件公式代入應(yīng)力邊界條件公式0 xyff()()()()xsxysxysxysylmfmlf00 xxhxyxhxh 例例2.7.1右側(cè)面：右側(cè)面：0, 1ml代入應(yīng)力邊界條件公式，有代入應(yīng)力邊界條件公式，有hx ,0 xyfy fg 0 xx hxyx hhg 例例2.7.1上端面：上端面：為次要邊界，可由圣維南

16、原理求解。為次要邊界，可由圣維南原理求解。0y0()sinhyhydxFxyyxyF0yF0sin0Fdxyhhy取圖示微元體，取圖示微元體，由微元由微元體的平衡求得，體的平衡求得，例例2.7.1上端面：上端面：為次要邊界，可由圣維南原理求解。為次要邊界，可由圣維南原理求解。0yxyyxyF0 xF0cos0Fdxyhhxy取圖示微元體，取圖示微元體，由微元由微元體的平衡求得，體的平衡求得，0()coshyxhydxF例例2.7.1上端面：上端面：為次要邊界，可由圣維南原理求解。為次要邊界，可由圣維南原理求解。0yxyyxyF0OM取圖示微元體，取圖示微元體，由微元由微元體的平衡求得，體的平衡

17、求得，0sin02hyhyhxdxF0sin2hyhyFhxdx例例2.7.1上端面：上端面：注意：注意：必須按正向假設(shè)！必須按正向假設(shè)！0y0()sinhyhydxF 0()sin2hyhyFhxdx 0()coshyxhydxF ,yxy如圖所示，列出其邊界條件（固定邊不寫(xiě)）。如圖所示，列出其邊界條件（固定邊不寫(xiě)）。qbxgyxbxxybxxxxyxx)(, 0)( :0)(,)( :000左右邊界：左右邊界：上邊界：上邊界：2)(43)(23)(000000FxdFbxdxFdxbyxybyybyy例例 2.7.2xyFOgyh/2b/2bq,1hb030習(xí)題習(xí)題2-9（1）0)(,)(

18、010yxyyygh在主要邊界在主要邊界 上，應(yīng)上，應(yīng)精確滿(mǎn)足下列邊界條件：精確滿(mǎn)足下列邊界條件：例例 2.7.3在小邊界（次要邊界）在小邊界（次要邊界） 上，能精確滿(mǎn)足上，能精確滿(mǎn)足下列邊界條件下列邊界條件:0101(), ()0(), ()0 xxxyxxx bxyx bg yhg yhbxx , 00yxy2h1hbgo2hb習(xí)題習(xí)題2-9（1）例例 2.7.3在小邊界（次要邊界）在小邊界（次要邊界） 上，上，有位移邊界條件：有位移邊界條件：2hy xy2h1hbgo2hb 220,0y hy huv習(xí)題習(xí)題2-9（1）例例 2.7.3xy2h1hbgo2hb222100000byy h

19、byy hbyxy hdxghbxdxdx這兩個(gè)位移邊界條件可以用圣維這兩個(gè)位移邊界條件可以用圣維南原理，改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊南原理，改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來(lái)代替，當(dāng)板厚界條件來(lái)代替，當(dāng)板厚=1時(shí)，時(shí)，習(xí)題習(xí)題2-9（2）0)(,)(22hyxyhyyq下邊界：下邊界：例例 2.7.3上邊界上邊界:122)( , 0)(qhyxyhyy2hy 2hyxyl/2h/2hMNFSF1qq習(xí)題習(xí)題2-9（2）左邊界左邊界例例 2.7.3202202202()()()hx xNhhx xhhxy xShdyFydyMdyFxyl/2h/2hMNFSF1qq0 x習(xí)題習(xí)題2-9（2）右邊界右邊界例例

20、 2.7.3212221222()()22()hx x lNhhx x lShhxy x lShdyqlFqlhqlydyMF ldyqlFxyl/2h/2hMNFSF1qqxl例例2.8.1 習(xí)題習(xí)題2-11： 檢驗(yàn)平面問(wèn)題中的位移分量是否為檢驗(yàn)平面問(wèn)題中的位移分量是否為正確解答的條件是什么？正確解答的條件是什么？（1）用位移表示的平衡微分方程（）用位移表示的平衡微分方程（2-18）021211021211222222222222yxfyxuxvyvEfyxvyuxuEvvuuss,ysxsfyuxvlxuyvmEfxvyumyvxulE21121122（2）用位移表示的位移邊界條件（）用位

21、移表示的位移邊界條件（2-14）（3）或用位移表示的應(yīng)力邊界條件（）或用位移表示的應(yīng)力邊界條件（2-19）【答】【答】xyhgo( )a( ) bxygo1 1、將問(wèn)題作為一維問(wèn)題處理。有、將問(wèn)題作為一維問(wèn)題處理。有 u=0 , v = v(y)泊松比泊松比 =0，代入用位移表示的平衡微分，代入用位移表示的平衡微分方程，第一式自然滿(mǎn)足，第二式變?yōu)榉匠蹋谝皇阶匀粷M(mǎn)足，第二式變?yōu)樵O(shè)如圖設(shè)如圖(a)所示的桿件所示的桿件，在在y方向的上端固定，下端自由，受方向的上端固定，下端自由，受自重體力自重體力fx=0， fy = g（ 為桿的密度為桿的密度，g為重力加速度為重力加速度）的的作用。試用位移法求解

22、此問(wèn)題。作用。試用位移法求解此問(wèn)題。Egdyvd22BAyyEgyv22)(求解上述常微分方程，積分得求解上述常微分方程，積分得例例 2.8.22 2、根據(jù)邊界條件來(lái)確定常數(shù)、根據(jù)邊界條件來(lái)確定常數(shù) A 和和 B )2(2)(2yhyEgyv上下邊的邊界條件為：上下邊的邊界條件為： v(y)|y=0=0 和和 y |y=h=0分別代入位移函數(shù)及式分別代入位移函數(shù)及式（2-17）的）的第二式第二式)(1)(2)(22xuyvEyBAyyEgyvy可求得待定常數(shù)可求得待定常數(shù) A= gh/E 和和 B=0。從而有：從而有：Chapter 2.8xyhgo( )a3、代入幾何方程代入幾何方程（2-8

23、）求應(yīng)變求應(yīng)變 e ey)()(yhgyyChapter 2.8xyhgo( )a4、代入用位移表示的物理方程代入用位移表示的物理方程（2-17）求應(yīng)力求應(yīng)力 y )()(yhEgyye( ) bxygo圖圖(b)所示的桿件所示的桿件例例 2.8.2(b)2(2)(yhgyy)2(2)(yhEgyye位移：位移：應(yīng)變：應(yīng)變：應(yīng)力：應(yīng)力：22)(yhyEgyv( ) bxygo1、用位移表示的平衡微分方程、用位移表示的平衡微分方程圖圖(b)所示的桿件所示的桿件Egdyvd22BAyyEgyv22)(求解上述常微分方程，積分得求解上述常微分方程，積分得例例 2.8.2(b)( ) bxygo2、由

24、邊界條件求常數(shù)項(xiàng)、由邊界條件求常數(shù)項(xiàng)圖圖(b)所示的桿件所示的桿件BAyyEgyv22)(例例 2.8.2(b)上下邊的邊界條件為：上下邊的邊界條件為： v(y)|y=0=0 和和 v(y) |y=h=0EghAB2, 022)(yhyEgyv3、代入幾何方程代入幾何方程（2-8）求應(yīng)變求應(yīng)變 e ey，)2(2)(yhgyyChapter 2.84、代入用位移表示的物理方程代入用位移表示的物理方程（2-17）求應(yīng)力求應(yīng)力 y )2(2)(yhEgyye( ) bxygo下面給出平面應(yīng)力問(wèn)題（單連通域）的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)下面給出平面應(yīng)力問(wèn)題（單連通域）的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)，試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力

25、場(chǎng)與應(yīng)變變場(chǎng)，試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)（不計(jì)體力）。場(chǎng)（不計(jì)體力）。Chapter 2.9例例 2.9.1（1）3422,41,23xyyyxxyyx（a）（2）CxyCyyxCxyyx2,),(222gee（b）Chapter 2.9解解（1）將式（將式（a a）代入平衡方程：）代入平衡方程：03322xyxy033 yy滿(mǎn)足滿(mǎn)足（2-2）00 xyxxyxyyfxyfxy3422,41,23xyyyxxyyx（a）Chapter 2.9將式（將式（a a）代入相容方程：）代入相容方程：2222()0 xyxy)4123(422yyxyx2222222()3330 xyyxy

26、xy式（式（a）不是一組可能的應(yīng)力場(chǎng)。）不是一組可能的應(yīng)力場(chǎng)。3422,41,23xyyyxxyyx（a）Chapter 2.9CxyCyyxCxyyx2,),(222gee（b）（2 2）將式（）將式（b b）代入應(yīng)變表示的相容方程：）代入應(yīng)變表示的相容方程：02222222CCyxxyxyyxgeeCyxxCyxyyx2, 0,222222gee式（式（b）滿(mǎn)足相容方程，）滿(mǎn)足相容方程，（b）為可能的應(yīng)變分量。）為可能的應(yīng)變分量。22222yxyxyxx yege 在無(wú)體力的情況下，試考慮下列平面問(wèn)題的應(yīng)力在無(wú)體力的情況下，試考慮下列平面問(wèn)題的應(yīng)力分量是否可能存在？分量是否可能存在？ x

27、=A(x2+y2)， y = B(x2+y2) ， xy=Cxy解解：彈性體的應(yīng)力，在單連體中必須滿(mǎn)足（：彈性體的應(yīng)力，在單連體中必須滿(mǎn)足（1）平衡微）平衡微分方程（分方程（2）應(yīng)力表示的相容方程（）應(yīng)力表示的相容方程（3）應(yīng)力邊界條件）應(yīng)力邊界條件1 1、為了滿(mǎn)足平衡微分方程，代入可得：、為了滿(mǎn)足平衡微分方程，代入可得： A A = = B B = -= -C/2C/20, 0 xyyxxyyyxxChapter 2.9例例 2.9.22 2、為了滿(mǎn)足相容方程，代入可得：、為了滿(mǎn)足相容方程，代入可得：A AB B = 0= 00)(2222yxyx顯然上述兩組條件是矛盾的，故此組應(yīng)力分量顯然

28、上述兩組條件是矛盾的，故此組應(yīng)力分量不存在。不存在。Chapter 2.9例例2.9.3圖示矩形截面懸臂梁，在自由端受集中力圖示矩形截面懸臂梁，在自由端受集中力 P 作作用，不計(jì)體力。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫(xiě)出彎用，不計(jì)體力。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫(xiě)出彎曲應(yīng)力曲應(yīng)力 和剪應(yīng)力和剪應(yīng)力 的表達(dá)式，并取擠壓的表達(dá)式，并取擠壓應(yīng)力應(yīng)力 ，然后說(shuō)明這些表達(dá)式是否代表，然后說(shuō)明這些表達(dá)式是否代表正確解。正確解。x0yxy【解】【解】材料力學(xué)解答：材料力學(xué)解答：046122233ysxyxyhhFIbSFxyhFyIM是否滿(mǎn)足三個(gè)條件：是否滿(mǎn)足三個(gè)條件：（1）平衡方程？）平衡方程？（2）相容方程？）相容方程？

29、（3）邊界條件？）邊界條件？（a）00 xyxxyxyyfxyfxy（1）代入）代入平衡微分方程：平衡微分方程：顯然，顯然，平衡微分方程平衡微分方程滿(mǎn)足。滿(mǎn)足。00 yIFyIF0000046122233ysxyxyhhFIbSFxyhFyIM滿(mǎn)足滿(mǎn)足相容方程。相容方程。002222xyIFyx0)(2222yxyx（2）代入相容）代入相容方程：方程：046122233ysxyxyhhFIbSFxyhFyIM滿(mǎn)足滿(mǎn)足（3）驗(yàn)證應(yīng)力分量是否滿(mǎn)足）驗(yàn)證應(yīng)力分量是否滿(mǎn)足邊界條件：邊界條件：0, 022hyyxhyy上、下側(cè)邊界：上、下側(cè)邊界：046122233ysxyxyhhFIbSFxyhFyIM

30、滿(mǎn)足滿(mǎn)足（3）驗(yàn)證應(yīng)力分量是否滿(mǎn)足）驗(yàn)證應(yīng)力分量是否滿(mǎn)足邊界條件：邊界條件：00 xx近似滿(mǎn)足近似滿(mǎn)足左側(cè)邊界：左側(cè)邊界：0220 xdyhhxx 滿(mǎn)足滿(mǎn)足202hhxyxdyF 046122233ysxyxyhhFIbSFxyhFyIM（3）驗(yàn)證應(yīng)力分量是否滿(mǎn)足）驗(yàn)證應(yīng)力分量是否滿(mǎn)足邊界條件：邊界條件：近似滿(mǎn)足近似滿(mǎn)足右側(cè)邊界：右側(cè)邊界：2222220hhxx lhhxx lhhxyx ldyydyFldyF 由圣維南原理：由圣維南原理：FFl046122233ysxyxyhhFIbSFxyhFyIM結(jié)論：式結(jié)論：式(a)為正確解為正確解所以材料力學(xué)所得應(yīng)力表達(dá)式為正確解。所以材料力學(xué)所得應(yīng)

31、力表達(dá)式為正確解。046122233ysxyxyhhFIbSFxyhFyIM第第2章章 習(xí)題課習(xí)題課如圖所示的幾種受力體是否是平面問(wèn)題？若是，如圖所示的幾種受力體是否是平面問(wèn)題？若是，則是平面應(yīng)力問(wèn)題，還是平面應(yīng)變問(wèn)題？則是平面應(yīng)力問(wèn)題，還是平面應(yīng)變問(wèn)題？qoxyqqozyqoxyzqoyq q zoxy q zoy q zz q zoxyqoyqz下列幾種受力體中，哪個(gè)可以考慮為平面應(yīng)力下列幾種受力體中，哪個(gè)可以考慮為平面應(yīng)力( (應(yīng)變應(yīng)變) )問(wèn)題？問(wèn)題？習(xí)題習(xí)題2-162-16：設(shè)已求得一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，：設(shè)已求得一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，試求試求題題 2.2121,5010,50,100 xy

32、yx400, 0,200 xyyx400,1000,2000 xyyx500,1500,1000 xyyx(a) (a) (b) (b) (c) (c) (d) (d) minmax,nn212222xyxyxy11tanxxy11arctanxxy12maxmin,nn題題 2.3試寫(xiě)出下圖所示各平面物體的位移邊界條件試寫(xiě)出下圖所示各平面物體的位移邊界條件（用直角坐標(biāo)）。（用直角坐標(biāo)）。(a) (b) x=0, y= -h/2, u=0 x=0, y=h/2, u=0, v=0 x=0, y= 0, u=0, v=0 x=l, y= 0, u=0, v=0 x=l, y=h/2, v=0題題

33、 2.4試寫(xiě)出圖示平面物體的應(yīng)力邊界條件。試寫(xiě)出圖示平面物體的應(yīng)力邊界條件。xyl/2h/2hMNFSF1qq【解】【解】題題 2.5試考慮下列平面問(wèn)題的應(yīng)變分量是否可能存在：試考慮下列平面問(wèn)題的應(yīng)變分量是否可能存在：Cxyxyyxgee, 0, 0其中：其中：A、B、C C 為常數(shù)。為常數(shù)。23,DyCByAxyxyyxgeeCxyyBxAyxyyxgee,22(a) (a) (b) (b) (c) (c) yxyxxyxygee22222判斷是否滿(mǎn)足相容方程（判斷是否滿(mǎn)足相容方程（2-20）(a)(a)相容；相容； (b)(b)須滿(mǎn)足須滿(mǎn)足B=0,2A=C; B=0,2A=C; (c) (

34、c) 不相容。只有不相容。只有C=0C=0，則，則0 xyyxgee題題 2.6(1)3422,41,23xyyyxxyyx在無(wú)體力情況下（單連通域）在無(wú)體力情況下（單連通域） ，試考慮下列應(yīng)力分，試考慮下列應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在：量是否可能在彈性體中存在：(2)Cxy) y B(x )yA(xxyyx,2222【解】【解】彈性體的應(yīng)力，在單連體中必須滿(mǎn)足彈性體的應(yīng)力，在單連體中必須滿(mǎn)足:（1）平衡微分方程）平衡微分方程（2）應(yīng)力表示的相容方程）應(yīng)力表示的相容方程（3）應(yīng)力邊界條件）應(yīng)力邊界條件（1）式不滿(mǎn)足平衡微分方程）式不滿(mǎn)足平衡微分方程（2）式，由平衡微分方程得）式，由平衡微分方

35、程得A=B= -C/2, 相容方相容方程得程得A+B=0,兩者矛盾。兩者矛盾。第第2章章 習(xí)題習(xí)題2-92-142-18習(xí)題習(xí)題 2-14 （a）【解】【解】彈性體的應(yīng)力，在單連體中必須滿(mǎn)足彈性體的應(yīng)力，在單連體中必須滿(mǎn)足:（1）平衡微分方程）平衡微分方程（2）應(yīng)力表示的相容方程）應(yīng)力表示的相容方程（3）應(yīng)力邊界條件）應(yīng)力邊界條件0,22xyyxqbyqqqqababyxO (1) (1) 檢驗(yàn)是否滿(mǎn)足平衡微分方程檢驗(yàn)是否滿(mǎn)足平衡微分方程0,0yxxyyxxyffxyxy（2-2）0 xyff將應(yīng)力分量代入方程（將應(yīng)力分量代入方程（2-2），得等式左右均），得等式左右均等于等于0。故該應(yīng)力分量

36、滿(mǎn)足平衡微分方程。故該應(yīng)力分量滿(mǎn)足平衡微分方程。 (2)(2)檢驗(yàn)是否滿(mǎn)足應(yīng)力表示的相容方程檢驗(yàn)是否滿(mǎn)足應(yīng)力表示的相容方程結(jié)論結(jié)論：該應(yīng)力分量滿(mǎn)足平衡微分方程，但不滿(mǎn)足相：該應(yīng)力分量滿(mǎn)足平衡微分方程，但不滿(mǎn)足相容方程，因此，該應(yīng)力分量不是圖示問(wèn)題的解答。容方程，因此，該應(yīng)力分量不是圖示問(wèn)題的解答。220qb體力為常數(shù)時(shí)，應(yīng)力表示的相容方程為：體力為常數(shù)時(shí)，應(yīng)力表示的相容方程為：將應(yīng)力分量代入上式，得將應(yīng)力分量代入上式，得20 xy等式左邊等式左邊= =故該應(yīng)力分量不滿(mǎn)足相容方程。故該應(yīng)力分量不滿(mǎn)足相容方程。第第3章章 題庫(kù)題庫(kù)3.13.23.33.43.5習(xí)題課習(xí)題課例例3.1.1判斷判斷 能

37、否作為求解平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)。能否作為求解平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)。3axy 3axy 可見(jiàn)，可見(jiàn)， 能滿(mǎn)足相容方程，可作為應(yīng)力函數(shù)。能滿(mǎn)足相容方程，可作為應(yīng)力函數(shù)。解：解：解：按逆解法解：按逆解法 1、將、將 代入相容方程，可知其是滿(mǎn)足的。因此，代入相容方程，可知其是滿(mǎn)足的。因此，它有可能成為該問(wèn)題的解。它有可能成為該問(wèn)題的解。2、將、將 代入式（代入式（224），得出應(yīng)力分量：），得出應(yīng)力分量：例例3.1.2習(xí)題習(xí)題3-6223222221203(1 4)2xxyyxyFxyf xyhf yxFyx yhh 3 3、由邊界形狀和應(yīng)力分量反推出邊界上的面力：、由邊界形狀和應(yīng)力分量反推出邊界上的面力

38、：0, 0,2xyyhy在主要邊界上：在主要邊界上：因此，在因此，在y=h/2的邊界面上，無(wú)任何面力的邊界面上，無(wú)任何面力作用，即作用，即0, 0yxff)41 (23, 0,12223hyhFxyhFxyyx在在 x=0, l 的次要邊界上的次要邊界上：)41 (23,12,)41 (23, 0, 022322hyhFfyhFlflxhyhFffxyxyx各邊界面上的面力分布如圖所示：各邊界面上的面力分布如圖所示：xxyxy在在x=0,l 的次要邊界上，其主失量和主矩如下：的次要邊界上，其主失量和主矩如下：0 xlx 0, 0221221221hhxhhyShhxNydyfMFdyfFdyf

39、FFlydyfMFdyfFdyfFhhxhhyShhxN222222222, 0因此上述應(yīng)力函數(shù)可解決懸臂梁在自由端因此上述應(yīng)力函數(shù)可解決懸臂梁在自由端受集中力受集中力F 作用的問(wèn)題作用的問(wèn)題FFFlF習(xí)題習(xí)題3-2例例3.2.1習(xí)題習(xí)題3-17例例3.3.1習(xí)題習(xí)題3-12解解：按半逆解法：按半逆解法 例例3.4.1習(xí)題習(xí)題3-10解解：按半逆解法：按半逆解法 1、將、將 代入相容方程，可知其是滿(mǎn)足的。代入相容方程，可知其是滿(mǎn)足的。2、將、將 代入式（代入式（2-24），得出應(yīng)力分量：），得出應(yīng)力分量：)3(),(0,662),(222222DyAyxyxyfxyxDxyCyBxfyyxxy

40、yyxx例例3.4.23 3、考察邊界條件、考察邊界條件0)(, 0)(22hyxyhyy在主要邊界上，應(yīng)精確滿(mǎn)足式（在主要邊界上，應(yīng)精確滿(mǎn)足式（215）：）：第一式自然滿(mǎn)足，由第二式有：第一式自然滿(mǎn)足，由第二式有：043)(22DhAhyxy（a）)3(, 0,6622DyADxyCyBxyyx)()()()(sfmlsfmlysyxyxsxyx在次要邊界在次要邊界x=0上，只給出了面力的主失量和主矩，上，只給出了面力的主失量和主矩，應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積分邊界條件代替：應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積分邊界條件代替：由此得：由此得：ShhxxyhhxxNhhxxFdyMydyFdy2/2/02/

41、2/02/2/01)(1)(1)(SNFDhAhhMChFB33412,2（b）)3(, 0,6622DyADxyCyBxyyx結(jié)合結(jié)合(a)、(b)求解：求解：代入應(yīng)力分量，得：代入應(yīng)力分量，得：SFDhAhDhA32410433223hFDhFASS)41 (23)623(01212222333yhhFyhFhFxyhFyhMhFSSSxyySNx如果區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程和相容方程已經(jīng)如果區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程和相容方程已經(jīng)滿(mǎn)足，且除了最后一個(gè)小邊界外，其余的應(yīng)力邊滿(mǎn)足，且除了最后一個(gè)小邊界外，其余的應(yīng)力邊界條件也都分別滿(mǎn)足。則可以推論出，最后一個(gè)界條件也都分別滿(mǎn)足。則可以推論出，最后一個(gè)小

42、邊界上的三個(gè)積分應(yīng)力邊界條件（即主失量和小邊界上的三個(gè)積分應(yīng)力邊界條件（即主失量和主矩條件）必然是滿(mǎn)足的。主矩條件）必然是滿(mǎn)足的。推論推論【解】采用半逆解法?！窘狻坎捎冒肽娼夥ā＃?）判斷應(yīng)力函數(shù)是否滿(mǎn)足相容方程）判斷應(yīng)力函數(shù)是否滿(mǎn)足相容方程將應(yīng)力函數(shù)將應(yīng)力函數(shù)例題例題3.5.140 44444220, 0, 0 xyxy 代入相容方程代入相容方程其中其中很顯然滿(mǎn)足相容方程。很顯然滿(mǎn)足相容方程。xyhqoq/2bhb/2b習(xí)題習(xí)題 3-11（2）求解應(yīng)力分量表達(dá)式）求解應(yīng)力分量表達(dá)式222222063xyxyyBxyxABxx y /2/20, xxyxbxbq00,yy00yxy/20/20

43、byxybdx（3）考察邊界條件：）考察邊界條件：/2xb 在主要邊界上，在主要邊界上，0y 在次要邊界在次要邊界圣維南原理圣維南原理代代替替滿(mǎn)足滿(mǎn)足不不滿(mǎn)滿(mǎn)足足xyhqoq/2bhb/2b22, 2qqABb 2220121 122xyxyqxybqxb（4）把各應(yīng)力分量代入邊界條件，得）把各應(yīng)力分量代入邊界條件，得應(yīng)力分量為應(yīng)力分量為第第3章章 習(xí)題課習(xí)題課習(xí)題習(xí)題3-1【解答】彈性力學(xué)問(wèn)題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值【解答】彈性力學(xué)問(wèn)題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問(wèn)題，而要使邊界條件完全得到滿(mǎn)足，往往遇到很問(wèn)題，而要使邊界條件完全得到滿(mǎn)足，往往遇到很大的困難。這時(shí)，圣維南原理可為簡(jiǎn)化局部邊界上大

44、的困難。這時(shí)，圣維南原理可為簡(jiǎn)化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件提供很大的方便。將物體一小部分的應(yīng)力邊界條件提供很大的方便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同，但靜力等效（主矢量邊界上的面力換成分布不同，但靜力等效（主矢量、主矩均相同），只影響近處的應(yīng)力分布，對(duì)遠(yuǎn)處、主矩均相同），只影響近處的應(yīng)力分布，對(duì)遠(yuǎn)處的應(yīng)力影響可以忽略不計(jì)。如果在占邊界絕大部分的應(yīng)力影響可以忽略不計(jì)。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個(gè)應(yīng)力邊界條件來(lái)代替精確的邊的主要邊界上用三個(gè)應(yīng)力邊界條件來(lái)代替精確的邊界條件，式（界條件，式（2-15），就會(huì)影響大部分區(qū)域的應(yīng)力），就會(huì)影響大部分區(qū)域的應(yīng)力分布，會(huì)使問(wèn)題的解答具有更大的

45、近似性。分布，會(huì)使問(wèn)題的解答具有更大的近似性。習(xí)題習(xí)題3-3【解答】在【解答】在m個(gè)主要的邊界上，每個(gè)邊界應(yīng)有兩個(gè)主要的邊界上，每個(gè)邊界應(yīng)有兩個(gè)精確的應(yīng)力邊界條件，如式（個(gè)精確的應(yīng)力邊界條件，如式（2-15）。在）。在n個(gè)次個(gè)次要邊界上，每邊的應(yīng)力邊界條件若不能精確滿(mǎn)足要邊界上，每邊的應(yīng)力邊界條件若不能精確滿(mǎn)足式（式（2-15），可以用三個(gè)靜力等效的積分邊界條），可以用三個(gè)靜力等效的積分邊界條件來(lái)替代兩個(gè)精確的應(yīng)力邊界條件。件來(lái)替代兩個(gè)精確的應(yīng)力邊界條件。例：例：已知函數(shù)已知函數(shù) = =a(x4 -y4)，試檢查它能否作為應(yīng)力試檢查它能否作為應(yīng)力函數(shù)？若能，試求出應(yīng)力分量（不計(jì)體力），并求函數(shù)

46、？若能，試求出應(yīng)力分量（不計(jì)體力），并求出如圖所示矩形薄板邊界上的面力。出如圖所示矩形薄板邊界上的面力。逆解法例逆解法例xyolh21l2 1 1、將、將 =a(x4-y4)代入相容方程，可知其是滿(mǎn)足的。代入相容方程，可知其是滿(mǎn)足的。因此，它有可能作為應(yīng)力函數(shù)。因此，它有可能作為應(yīng)力函數(shù)。2 2、將、將 代入式（代入式（2-242-24），得出應(yīng)力分量：），得出應(yīng)力分量：解：解：按逆解法按逆解法222222212120 xxyyxyf xayyf yaxxx y 3 3、由邊界形狀和應(yīng)力分量反推出邊界上的面力：、由邊界形狀和應(yīng)力分量反推出邊界上的面力：在主要邊界上：在主要邊界上：0)(,12)

47、(,2222hyxyxhyyyfaxfhy0)(,12)(,2222lxxyylxxxfayflx0)(,12)(,2222lxxyylxxxfayflx0, 0,2222322hhxhhyShhxNydyfMdyfFahdyfF0, 0,2222322hhxhhyShhxNydyfMdyfFahdyfF在次要邊界上：在次要邊界上：xyo33al3ah3ah如圖所示，如圖所示，矩形截面長(zhǎng)柱體（長(zhǎng)矩形截面長(zhǎng)柱體（長(zhǎng)度度 h 遠(yuǎn)大于深度遠(yuǎn)大于深度 2b），寬度為），寬度為1，遠(yuǎn)小于深度和長(zhǎng)度，在頂部受集中遠(yuǎn)小于深度和長(zhǎng)度，在頂部受集中力力F和力矩和力矩 M=Fb/2 作用，體力不計(jì)作用，體力不計(jì)。試用如下應(yīng)力函數(shù)：。試用如下應(yīng)力函數(shù)：23BxAx 求解：求解：（1）分析該問(wèn)題能簡(jiǎn)化成）分析該問(wèn)題能簡(jiǎn)化成什么平面問(wèn)題？什么平面問(wèn)