2.3.2-2.3.4平面向量的坐標(biāo)表示題組訓(xùn)練-2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版必修4（Word版含解析）

1、第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示2.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示2.3.3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練題組一平面向量的坐標(biāo)表示1.已知AB=(-2,4),則下面說(shuō)法正確的是()A.A點(diǎn)的坐標(biāo)是(-2,4)B.B點(diǎn)的坐標(biāo)是(-2,4)C.當(dāng)B是原點(diǎn)時(shí),A點(diǎn)的坐標(biāo)是(-2,4)D.當(dāng)A是原點(diǎn)時(shí),B點(diǎn)的坐標(biāo)是(-2,4)2.在平面直角坐標(biāo)系中,|a|=2 020,a與x軸正半軸的夾角為3,則向量a的坐標(biāo)是()A.(1 0102,1 0102)B.(-1 0102,1 0102)C.(1 010,±1 0103)D.(1 0103,1 0

2、10)3.如圖,在正方形ABCD中,O為中心,且OA=(-1,-1),則OB=;OC=;OD=. 4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,四邊形OABC為平行四邊形,OA=4,AB=3,AOx=45°,OAB=105°,OA=a,AB=b.求向量a,b的坐標(biāo).題組二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算5.(重慶一中高一下月考)已知a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若a-2b+3c=0,則c=()A.1,83B.133,83C.133,43D.-133,-436.已知ABC中,AB=(2,8),AC=(-3,4),若BM=MC,則AM=()A.-12,6B.52,2C

3、.(-1,12)D.(5,4)7.在ABC中,點(diǎn)P在BC邊上,且BP=2PC,點(diǎn)Q是AC邊的中點(diǎn),若PA=(4,3),PQ=(1,5),則BC=()A.(-6,21)B.(6,-21)C.(2,-7)D.(-2,7)8.(四川棠湖中學(xué)高考模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(1,1),B(2,3),C(3,2),若點(diǎn)P滿足PA+PB+PC=0,則|OP|=. 9.已知向量a=(-2,1),b=(3,5),c=(4,11).(1)求a-2b;(2)若c=xa+yb,求x+y的值.題組三平面向量共線的坐標(biāo)表示10.已知向量a=(1,3),b=(m,2m-3),若平面上任意向量c都可以

4、唯一表示為c=a+b(,R),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(-,0)(0,+)B.(-,3)C.(-,-3)(-3,+)D.-3,3)11.(山西長(zhǎng)治第二中學(xué)高一期中)若向量m與向量n=(-2,1)共線,且|m|=35,則向量m的坐標(biāo)為()A.(-6,3)B.(6,-3)C.(6,-3)或(-6,3)D.(-6,-3)或(6,3)12.(吉林第五十五中學(xué)高一期末)已知向量a=(2,3),b=(-1,4),m=a-b,n=2a-b,若mn,則=. 能力提升練一、選擇題1.(山東菏澤一中高一月考,)若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),則用a,b表示c為()A.c=1

5、2a-32bB.c=-12a+32bC.c=32a-12bD.c=-32a+12b2.()如圖所示,若向量e1、e2是一組單位正交向量,則向量2a+b在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為()A.(3,4)B.(2,4) C.(3,4)或(4,3)D.(4,2)或(2,4)3.(2018福建泉州永春一中高二上期中,)已知向量AB與單位向量e同向,且A(1,-2),B(-5,23-2),則e的坐標(biāo)為()A.32,12B.-32,12 C.32,-12D.-12,32二、填空題4.()A,B為單位圓(圓心為O)上的點(diǎn),O到弦AB的距離為32,C是劣弧AB(包含端點(diǎn))上一動(dòng)點(diǎn),若OC=OA+OB (,R),則+

6、的取值范圍為. 5.(江蘇高考模擬,)如圖,在平面四邊形ABCD中,CBA=CAD=90°,ACD=30°,AB=BC,點(diǎn)E為線段BC的中點(diǎn).若AC=AD+AE(,R),則的值為. 三、解答題6.(云南玉溪民族中學(xué)高一期末,)已知三點(diǎn)A(-3,0),B(9,-3),C(3,6),AE=13AC,BF=13BC,求證:EFAB.7.(黑龍江哈爾濱第六中學(xué)高一月考,)已知向量a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1).(1)若a-tb與c共線,求實(shí)數(shù)t的值;(2)求|a+tb|的最小值及相應(yīng)的t值.8.(福建廈門雙十中學(xué)高一下期中,)根據(jù)平面向量基本

7、定理,若e1,e2為一組基底,同一平面的向量a可以被唯一確定地表示為a=xe1+ye2,則向量a與有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)一一對(duì)應(yīng),稱(x,y)為向量a在基底e1,e2下的坐標(biāo).特別地,若e1,e2分別為x,y軸正方向的單位向量i,j,則稱(x,y)為向量a的直角坐標(biāo).(1)據(jù)此證明向量加法的直角坐標(biāo)公式:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=(x1+x2,y1+y2);(2)如圖,在直角三角形OAB中,AOB=90°,|OA|=1,|OB|=3,點(diǎn)C在AB邊上,且OCAB,求向量OC在基底OA,OB下的坐標(biāo).答案全解全析第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示2.

8、3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示2.3.3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.D由向量的坐標(biāo)表示方法可知,當(dāng)A是原點(diǎn)時(shí),B點(diǎn)的坐標(biāo)是(-2,4).2.C設(shè)a=(x,y),則x=2 020cos3=1 010,|y|=2 020sin3=1 0103.故a=(1 010,±1 0103).3.答案(1,-1);(1,1);(-1,1)解析OC=-OA=-(-1,-1)=(1,1),由正方形的對(duì)稱性可知,B(1,-1),所以O(shè)B=(1,-1),則OD=-OB=-(1,-1)=(-1,1).4.解析如圖所示,作AMx軸于點(diǎn)M,則OM=OA·cos 4

9、5°=4×22=22,AM=OA·sin 45°=4×22=22,A(22,22),故a=(22,22).AOC=180°-105°=75°,AOy=45°,COy=30°.又OC=AB=3,C-32,332,AB=OC=-32,332,即b=-32,332.5.Da-2b+3c=(5,-2)-2×(-4,-3)+3(x,y)=(13+3x,4+3y)=0,所以13+3x=0,4+3y=0,解得x=-133,y=-43,即c=-133,-43.6.A因?yàn)锳B=(2,8),AC=(-3,

10、4),所以BC=AC-AB=(-5,-4).因?yàn)锽M=MC,所以M為BC邊的中點(diǎn),所以BM=12BC=-52,-2,所以AM=AB+BM=(2,8)+-52,-2=-12,6.故選A.7.A由題意可得PQ=12(PA+PC),PC=2PQ-PA,PC=2(1,5)-(4,3)=(-2,7),BC=3PC=(-6,21).故選A.8.答案22解析因?yàn)镻A+PB+PC=0,所以P為ABC的重心,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為1+2+33,1+3+23,即P(2,2),故|OP|=22.9.解析(1)a-2b=(-2,1)-2(3,5)=(-8,-9).(2)c=xa+yb,(4,11)=x(-2,1)+y(3,5

11、),-2x+3y=4,x+5y=11,解得x=1,y=2,x+y=3.10.C根據(jù)平面向量基本定理可知,若平面上任意向量c都可以唯一表示為c=a+b(,R),則向量a,b不共線,由a=(1,3),b=(m,2m-3)得2m-33m,解得m-3,即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-,-3)(-3,+).故選C.11.C根據(jù)題意,設(shè)向量m的坐標(biāo)為(x,y),由向量m與向量n=(-2,1)共線,得x-2=y1,即x=-2y,所以m=(-2y,y),因?yàn)閨m|=35,所以(-2y)2+y2=5y2=35,解得y=±3.當(dāng)y=-3時(shí),x=6;當(dāng)y=3時(shí),x=-6.所以向量m的坐標(biāo)為(6,-3)或(-6,3

12、).故選C.12.答案12解析m=a-b=(2,3)-(-1,4)=(+2,3-4),n=2a-b=2(2,3)-(-1,4)=(5,2),因?yàn)閙n,所以2(+2)=5(3-4),解得=12.能力提升練一、選擇題1.A設(shè)c=x1a+x2b(x1,x2R),因?yàn)橄蛄縜=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),所以(-1,2)=(x1+x2,x1-x2),所以x1+x2=-1,x1-x2=2,解得x1=12,x2=-32.所以c=12a-32b.故選A.2.A建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,易知e1=(1,0),e2=(0,1),2a=(2,1),b=(1,3),2a+b=(2,1)+(1,

13、3)=(3,4),即向量2a+b在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(3,4).故選A.3.B由兩點(diǎn)間的距離公式可知,線段AB=(1+5)2+-2-(23-2)2=48=43,即|AB|=43.因?yàn)橄蛄緼B與單位向量e同向,AB=(-5,23-2)-(1,-2)=(-6,23),所以e=1|AB|·AB=143(-6,23)=-32,12.故選B.二、填空題4.答案1,233解析如圖,以圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)A,B兩點(diǎn)在x 軸上方且線段AB 與y軸垂直.因?yàn)锳,B為單位圓(圓心為O)上的點(diǎn),O到弦AB的距離為32,所以不妨設(shè)點(diǎn)A-12,32,點(diǎn)B12,32,故OA=-12,32

14、,OB=12,32,即OA=-2,32,OB=2,32,所以O(shè)C=OA+OB=-2,3(+)2.設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),則OC=(x,y).又C是劣弧AB(包含端點(diǎn))上一動(dòng)點(diǎn),所以-12x12,32y1, 所以323(+)21 ,解得1+233 ,故+的取值范圍為1,233.5.答案439解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)AB=BC=2,則有A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(2,1),所以AC=(2,2),AE=(2,1),AC=22,AD=22×tan 30°=263.過(guò)點(diǎn)D作DFx軸于點(diǎn)F,則DAF=180°-90°

15、;-45°=45°,DF=263sin 45°=263×22=233,所以D-233,233,AD=-233,233,因?yàn)锳C=AD+AE(,R),所以(2,2)=-233,233+(2,1),所以-233+2=2,233+=2,解得=33,=43,故的值為439.三、解答題6.證明由題意得AC=(3,6)-(-3,0)=(6,6),AE=13AC=(2,2),所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-3,0)+(2,2)=(-1,2).又BC=(3,6)-(9,-3)=(-6,9),BF=13BC=(-2,3),所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為(9,-3)+(-2,3)=(7,0),所以E

16、F=(7,0)-(-1,2)=(8,-2),AB=(9,-3)-(-3,0)=(12,-3),又8×(-3)-12×(-2)=0,所以EFAB.7.解析(1)a-tb=(-3,2)-t(2,1)=(-3-2t,2-t),c=(3,-1),且a-tb與c共線,(-3-2t)×(-1)-(2-t)×3=0,解得t=35.(2)a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1),a+tb=(-3,2)+t(2,1)=(-3+2t,2+t),|a+tb|=(-3+2t)2+(2+t)2 =5t2-8t+13=5(t-45) 2+495,易知當(dāng)t=45時(shí),|a+tb|取得最小值,最小值為755.8.解析(1)證明:由a=(x1,y1),b=(x2,y2)可得a=x1i+y1 j,b=x2i+y2 j,a+b=(x1+x2)i+(y1+y2)j,a+b=(x1+x2,y1+y2). (2)解法一(向量法):根據(jù)幾何性質(zhì)易知OAB=60°,|CA|=12,|CB|=32,從而AC=13CB