平面問題的有限元法

1、一、有限元法的基本思想一、有限元法的基本思想 假想的把一連續(xù)體分割成數(shù)目有限的小體（單元），彼此間只在數(shù)目有限的指定點(diǎn)（結(jié)點(diǎn)）出相互連結(jié)，組成一個(gè)單元的集合體以代替原來的連續(xù)體，再在結(jié)點(diǎn)上引進(jìn)等效力以代替實(shí)際作用于單元上的外力。選擇一個(gè)簡單的函數(shù)來近似地表示位移分量的分布規(guī)律，建立位移和節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系。 有限元法的實(shí)質(zhì)是：把有無限個(gè)自由度的連續(xù)體，理想化為只有有限個(gè)自由度的單元集合體，使問題簡化為適合于數(shù)值解法的結(jié)構(gòu)型問題。xy為平面應(yīng)力問題，由于結(jié)構(gòu)的對稱性可取結(jié)構(gòu)的1/4來研究，故所取的力學(xué)模型三、有限元法算題的基本步驟三、有限元法算題的基本步驟1. 力學(xué)模型的選取力學(xué)模型的選取（平面問

2、題，平面應(yīng)變問題，平面應(yīng)力問題，軸對稱問題，空間問題，板，梁，桿或組合體等，對稱或反對稱等）例如： 根據(jù)題目的要求，可選擇適當(dāng)?shù)膯卧呀Y(jié)構(gòu)離散化。對于平面問題可用三角元，四邊元等。2. 單元的選取、結(jié)構(gòu)的離散化單元的選取、結(jié)構(gòu)的離散化例如：結(jié)構(gòu)離散化后，要用單元內(nèi)結(jié)點(diǎn)的位移通過插值來獲得單元內(nèi)各點(diǎn)的位移。在有限元法中，通常都是假定單元的位移模式是多項(xiàng)式，一般來說，單元位移多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)應(yīng)與單元的自由度數(shù)相等。它的階數(shù)至少包含常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)。至于高次項(xiàng)要選取多少項(xiàng)，則應(yīng)視單元的類型而定。 eNf3. 選擇單元的位移模式選擇單元的位移模式（3-1） f單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移列陣； e單元的結(jié)點(diǎn)位移列陣；

3、 N單元的形函數(shù)矩陣；（它的元素是任一點(diǎn)位置坐標(biāo)的函數(shù)） eB eBD4. 單元的力學(xué)特性分析單元的力學(xué)特性分析 把（3-1）式代入幾何方程可推導(dǎo)出用單元結(jié)點(diǎn)位移表示的單元應(yīng)變表達(dá)式：（3-2）式中： 單元內(nèi)任一點(diǎn)應(yīng)變列陣； B單元的應(yīng)變矩陣；（它的元素仍為位置坐標(biāo)的 函數(shù)） 再把（）式代入物理方程，可導(dǎo)出用單元結(jié)點(diǎn)位移列陣表示的單元應(yīng)力表達(dá)式：（3-3）最后利用彈性體的虛功方程建立單元結(jié)點(diǎn)力陣與結(jié)點(diǎn)位移列陣之間的關(guān)系，即形成單元的剛度方程式： eeekR vTedxdydzBDBk式中： 單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力列陣； D單元的彈性矩陣，（它與材料的特性有關(guān)）式中：單元剛度矩陣（3-4）（3-5）

4、考慮整體結(jié)構(gòu)的約束情況，修改整體剛度方程之后，（3-6）式就變成以結(jié)點(diǎn)位移為未知數(shù)的代數(shù)方程組。解此方程組可求出結(jié)點(diǎn)位移。 用直接剛度法將單剛組集成總綱，并將組集成總載荷列陣，形成總體結(jié)構(gòu)的剛度方程： ek K eR R（3-6） 解出整體結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移列陣后，再根據(jù)單元結(jié)點(diǎn)的編號找出對應(yīng)于單元的位移列陣，將代入（3-3）式就可求出各單元的應(yīng)力分量值。 e e RK5. 建立整體結(jié)構(gòu)的剛度方程建立整體結(jié)構(gòu)的剛度方程6. 求解修改后的整體結(jié)構(gòu)剛度方程求解修改后的整體結(jié)構(gòu)剛度方程7. 由單元的結(jié)點(diǎn)位移列陣計(jì)算單元應(yīng)力由單元的結(jié)點(diǎn)位移列陣計(jì)算單元應(yīng)力 求解出整體結(jié)構(gòu)的位移和應(yīng)力后，可有選擇地整理輸出

5、某些關(guān)鍵點(diǎn)的位移值和應(yīng)力值，特別要輸出結(jié)構(gòu)的 變形圖、應(yīng)力圖、應(yīng)變圖、結(jié)構(gòu)仿真變形過程動畫圖及整體結(jié)構(gòu)的彎矩、剪力圖等等。8. 計(jì)算結(jié)果輸出計(jì)算結(jié)果輸出一、離散化一、離散化 在運(yùn)用有限單元法分析彈性力學(xué)平面問題時(shí)，第一步就是要對彈性體進(jìn)行離散化，把一個(gè)連續(xù)的彈性體變換為一個(gè)離散的結(jié)構(gòu)物。對于平面問題，三角形單元是最簡單、也是最常用的單元，在平面應(yīng)力問題中，單元為三角形板，而在平面應(yīng)變問題中，則是三棱柱。 假設(shè)采用三角形單元，把彈性體劃分為有限個(gè)互不重疊的三角形。這些三角形在其頂點(diǎn)（即節(jié)點(diǎn)）處互相連接，組成一個(gè)單元集合體，以替代原來的彈性體。同時(shí)，將所有作用在單元上的載荷（包括集中載荷、表面載荷

6、和體積載荷），都按虛功等效的原則移置到節(jié)點(diǎn)上，成為等效節(jié)點(diǎn)載荷。由此便得到了平面問題的有限元計(jì)算模型，如圖3-1所示。 圖3-1 彈性體和有限元計(jì)算模型 圖3-2 平面三角形單元 ui (Ui ) um (Um ) uj (Uj ) vj (Vj ) vi (Vi ) um (Um ) j i m x y o 二、位二、位 移移 TmmjjiiTTmTjTievuvuvu Tiiivu 首先，我們來分析一下三角形單元的力學(xué)特性，即建立以單元節(jié)點(diǎn)位移表示單元內(nèi)各點(diǎn)位移的關(guān)系式。設(shè)單元e的節(jié)點(diǎn)編號為i、j、m，如圖3-2所示。由彈性力學(xué)平面問題可知，每個(gè)節(jié)點(diǎn)在其單元平面內(nèi)的位移可以有兩個(gè)分量，所以

7、整個(gè)三角形單元將有六個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量，即六個(gè)自由度。用列陣可表示為：其中的子矩陣（i，j，m 輪換） (a)式中 ui、vi 是節(jié)點(diǎn)i在x軸和y軸方向的位移。(3-7) 從彈性力學(xué)平面問題的解析解法中可知，如果彈性體內(nèi)的位移分量函數(shù)已知，則應(yīng)變分量和應(yīng)力分量也就確定了。但是，如果只知道彈性體中某幾個(gè)點(diǎn)的位移分量的值，那么就不能直接求得應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。因此，在進(jìn)行有限元分析時(shí)，必須先假定一個(gè)位移模式。由于在彈性體內(nèi)，各點(diǎn)的位移變化情況非常復(fù)雜，很難在整個(gè)彈性體內(nèi)選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)來表示位移的復(fù)雜變化，但是如果將整個(gè)區(qū)域分割成許多小單元，那么在每個(gè)單元的局部范圍內(nèi)就可以采用比較簡單的函數(shù)來近

8、似地表示單元的真實(shí)位移，將各單元的位移式連接 在有限單元法中，雖然是用離散化模型來代替原來的連續(xù)體，但每一個(gè)單元體仍是一個(gè)彈性體，所以在其內(nèi)部依然是符合彈性力學(xué)基本假設(shè)的，彈性力學(xué)的基本方程在每個(gè)單元內(nèi)部同樣適用。uxyvxy123456起來，便可近似地表示整個(gè)區(qū)域的真實(shí)位移函數(shù)。這種化繁為簡、聯(lián)合局部逼近整體的思想，正是有限單元法的絕妙之處。 基于上述思想，我們可以選擇一個(gè)單元位移模式，單元內(nèi)各點(diǎn)的位移可按此位移模式由單元節(jié)點(diǎn)位移通過插值而獲得。線性函數(shù)是一種最簡單的單元位移模式，故設(shè)(b)式中 1、2、6是待定常數(shù)。因三角形單元共有六個(gè)自由度，且位移函數(shù)u、v在三個(gè)節(jié)點(diǎn)處的數(shù)值應(yīng)該等于這些

9、點(diǎn)處的位移分量的數(shù)值。假設(shè)節(jié)點(diǎn)i、j、m的坐標(biāo)分別為（xi , yi ）、（xj , yj ）、（xm , ym ），代入 (b) 式，得：uxyvxyuxyvxyuxyvxyiiijiijjjjjjmmmmmm123456123456123456 , , , mmjjiimmjjiimmmjjjiiiuxuxuxyuyuyuyxuyxuyxu11121 , 11121 , 211212111 xyxyxyiijjmm(c)由 (c) 式左邊的三個(gè)方程可以求得 (d)其中(3-8) 從解析幾何可知，式中的 就是三角形i、j、m的面積。為保證求得的面積為正值，節(jié)點(diǎn)i、j、m的編排次序必須是逆時(shí)針

10、方向，如圖3-2所示。 圖3-2 平面三角形單元 ui (Ui ) um (Um ) uj (Uj ) vj (Vj ) vi (Vi ) um (Um ) j i m x y o 將 (d) 式代入 (b) 式的第一式，經(jīng)整理后得到 uab xc y uab xc y uab xc y uiiiijjjjmmmm12(e)mjmjimjmjijmmjmmjjixxxxcyyyybyxyxyxyxa1111vab xc y vab xc y vab xc y viiiijjjjmmmm12Nab xc yiiii12其中同理可得若令這樣，位移模式 (e) 和 (f) 就可以寫為（i , j ,

11、 m輪換） (3-10)（i , j , m輪換） (3-9)(f) 式中 I是二階單位矩陣；Ni 、Nj 、Nm 是坐標(biāo)的函數(shù)，它們反映了單元的位移狀態(tài)，所以一般稱之為形狀函數(shù)，簡稱形函數(shù)。矩陣 N 叫做形函數(shù)矩陣。三節(jié)點(diǎn)三角形單元的形函數(shù)是坐標(biāo)的線性函數(shù)。單元中任一條直線發(fā)生位移后仍為一條直線，即只要兩單元在公共節(jié)點(diǎn)處保持位移相等。則公共邊線變形后仍為密合。 uN uN uN uvN vN vN viijjmmiijjmm eemjiNINININvuf(3-11)也可寫成矩陣形式(3-12)三、應(yīng)三、應(yīng) 變變 xyxyuxvyuyvx 12000000bbbccccbcbcbijmijm

12、iijjmme有了單元的位移模式，就可以利用平面問題的幾何方程求得應(yīng)變分量。將 (e) 、(f) 兩式代入上式，即得：(g) Be BBBBijmBbccbiiiii1200可簡寫成 其中 B 矩陣叫做單元應(yīng)變矩陣，可寫成分塊形式而子矩陣由于和bi 、bj 、bm 、ci 、cj 、cm 等都是常量，所以矩陣B中的諸元素都是常量，因而單元中各點(diǎn)的應(yīng)變分量也都是常量，通常稱這種單元為常應(yīng)變單元。 （i , j , m輪換） (3-15)(3-14)(3-13)四、應(yīng)四、應(yīng) 力力 D Be SD B Se D 求得應(yīng)變之后，再將（3-13）式代入物理方程 ，便可推導(dǎo)出以節(jié)點(diǎn)位移表示的應(yīng)力。即(3-

13、16)(h)(3-17)令則 SD BBBSSSijmijm DE11100122對稱 SD BEbcbccbiiiiiiii2 112122其中 S叫做應(yīng)力矩陣，若寫成分塊形式，有對于平面應(yīng)力問題，彈性矩陣D為(3-18)(i)所以，S的子矩陣可記為（i , j , m輪換） (3-19) DE111211100122 1對稱 SD BEbcbccbiiiiiiii12 11211122 1122 1 對于平面應(yīng)變問題，只要將 (i) 式中的E換成E/1-2 ，換成 /1-，即得到其彈性矩陣(j)（i , j , m輪換）(3-20) SSSiijjmm注意到（3-7）式，則有(3-21)

14、由（3-19）、（3-20）式不難看出，S中的諸元素都是常量，所以每個(gè)單元中的應(yīng)力分量也是常量。 可見，對于常應(yīng)變單元，由于所選取的位移模式是線性的，因而其相鄰單元將具有不同的應(yīng)力和應(yīng)變，即在單元的公共邊界上應(yīng)力和應(yīng)變的值將會有突變，但位移卻是連續(xù)的。Nab xc yiiii122111 xyxyxyiijjmm在上節(jié)中，提出了形函數(shù)的概念，即其中（i , j , m輪換）現(xiàn)在我們來討論一下形函數(shù)所具有的一些性質(zhì)。根據(jù)行列式的性質(zhì)：行列式的任一行（或列）的元素與其相應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素與其他行（或列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和為零，并注意到（3-9）

15、式中的常數(shù)ai 、bi 、ci ，aj 、bj 、Nxyab xc yiiiiiiim , 121Nxyab xc yijjiijij , 120Nxyab xc yimmiimim , 120cj 和am 、bm 、cm 分別是行列式2的第一行、第二行和第三行各元素的代數(shù)余子式，我們有 形函數(shù)在各單元節(jié)點(diǎn)上的值，具有“本點(diǎn)是1、它點(diǎn)為零”的性質(zhì)（式3.11），即在節(jié)點(diǎn)i上，在節(jié)點(diǎn)j、m上，(a)(b)(c)NxyNxyNxyNxyNxyNxyjiijjjjmmmiimjjmmm , , , , , , , , , , 101000NxyNxyNxyab xc yab xc yab xc ya

16、aabbbxcccyijmiiijjjmmmimmijmijm , , , 12121類似地有(d) 在單元的任一節(jié)點(diǎn)上，三個(gè)形函數(shù)之和等于1，即(e)NNNijm 10,1,yxNxxxxyxNxxxxyxNmijijijii簡記為(3-22)這說明，三個(gè)形函數(shù)中只有二個(gè)是獨(dú)立的。 三角形單元任意一條邊上的形函數(shù)，僅與該邊的兩端節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)、而與其它節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)無關(guān)。例如，在i j 邊上，有(3-23)yyyxxxxbcxxyijijimmii Nx yab xcbcxxyab xc ymmmmmmiimmimi,12120Nx yab xcbcxxyab xc ybxxb ccxxb cb c

17、cxxjjjjmmiijjijijimjmijmmjmi,121212 事實(shí)上，因i j 邊的直線方程方程為(f)代入（3-10）式中的Nm (x , y) 和Nj (x , y)，有(g)(h)Nx yxxxxjiji,N x yNNxxxxijmiji,11故有 (g)另外，由（3-22）可以求得(h)利用形函數(shù)的這一性質(zhì)可以證明，相鄰單元的位移分別進(jìn)行線性插值之后，在其公共邊上將是連續(xù)的。uN uN uvN vN viijjiijj 例如，對圖3-3所示的單元jm和ijn ，具有公共邊ij。這樣，不論按哪個(gè)單元來計(jì)算，根據(jù)（3-11）式，公共邊ij上的位移均由下式表示jinmxyo圖3-

18、3由(3-23)式可知，在ij邊上式中 Ni , Nj 的表達(dá)形式如（3-23）式所示。(i)0,yxNmmmjjiiLLL由此可見，在公共邊上的位移u、v 將完全由公共邊上的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)i、j 的位移所確定，因而相鄰單元的位移是保持連續(xù)的。為了在以后討論問題中能夠比較方便地確定單元中任意一點(diǎn)處的形函數(shù)數(shù)值，這里引入面積坐標(biāo)的概念。在圖3-4所示的三角形單元ijm中， 任意一點(diǎn)P(x , y)的位置可 以用 以下三個(gè)比值來確定oyxLi =0Li =1/4Li =1/2Li =3/4Li =1Pjim圖3-4式中 為三角形單元ijm的面積，i 、j 、m 分別是三角形Pjm、Pmi、Pij的面積。

19、這三個(gè)比值就叫做P點(diǎn)的面積坐標(biāo)。 (3-24)mji1mjiLLLycxbayxyxyxiiimmiii2111121ycxbaLiiiii21顯然這三個(gè)面積坐標(biāo)并不是完全獨(dú)立的，由于所以有：而三角形pjm的面積為：故有：Lab xc yjjjjj12Lab xc ymmmmm12類似地有(3-25) (3-26)由此可見，前述的三角形常應(yīng)變單元中的形函數(shù)Ni 、Nj 、Nm 就是面積坐標(biāo)Li 、Lj 、Lm 。根據(jù)面積坐標(biāo)的定義，我們不難發(fā)現(xiàn)，在平行jm邊的直線上的所有各點(diǎn)，都有相同的坐標(biāo)Li ，并且該坐標(biāo)就等于“該直線至jm邊的距離”與“節(jié)點(diǎn)i至jm邊的距離”之比，圖3-4中給出了Li 的

20、一些等值線。 xx Lx Lx Lyy Ly Ly LLLLiijjmmiijjmmijm 1容易看出，單元三個(gè)節(jié)點(diǎn)的面積坐標(biāo)分別為節(jié)點(diǎn) i： Li =1 Lj =0 Lm =0節(jié)點(diǎn) j： Li =0 Lj =1 Lm =0 節(jié)點(diǎn)m： Li =0 Lj =0 Lm =1不難驗(yàn)證，面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間存在以下變換關(guān)系：(3-27)一一. 單元剛度矩陣單元剛度矩陣 RRRRUVUVUVeiTjTmTTiijjmmT eiijjmmTuvuvuv 為了推導(dǎo)單元的節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，可應(yīng)用虛位移原理對圖3-2中的單元e進(jìn)行分析。單元e是在等效節(jié)點(diǎn)力的作用下處于平衡的，而這種節(jié)點(diǎn)力可采用列陣表

21、示為(a)假設(shè)在單元e中發(fā)生有虛位移，則相應(yīng)的三個(gè)節(jié)點(diǎn)i、j、m 的虛位移為且假設(shè)單元內(nèi)各點(diǎn)的虛位移為f *，并具有與真實(shí)位移相同的位移模式。 fNe Be ( )eTeR Ttdxdy故有(c)參照（3-13）式，單元內(nèi)的虛應(yīng)變 *為于是，作用在單元體上的外力在虛位移上所做的功可寫為(d)(f)而單元內(nèi)的應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的功為(g) ( )eTTeBD Btdxdy ( )( )eTeeTTeRBD Btdxdy RBD B tdxdyeTe這里我們假定單元的厚度t為常量。把（d ）式及（3-16）式代入上式，并將提到積分號的前面，則有根據(jù)虛位移原理，由（f）和（h）式可得到單元的虛功方程

22、，即注意到虛位移是任意的，所以等式兩邊與相乘的項(xiàng)應(yīng)該相等，即得 tdxdyBDBkTe eeekR記(3-32)則有(3-33) 上式就是表征單元的節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間關(guān)系的剛度方程，ke就是單元剛度矩陣。如果單元的材料是均質(zhì)的，那么矩陣D 中的元素就是常量，并且對于三角形常應(yīng)變單元，B矩陣中的元素也是常量。當(dāng)單元的厚度也是常量時(shí)，因，所以（3-28）式可以簡化為ke =BT DBt (3-34) mmmjmijmjjjiimijiimjiTmTjTiekkkkkkkkktBBBDBBBk 與前面討論過的情況類似，單元剛度矩陣k中任一列的元素分別等于該單元的某個(gè)節(jié)點(diǎn)沿坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移時(shí)，在

23、各節(jié)點(diǎn)上所引起的節(jié)點(diǎn)力。單元的剛度取決于單元的大小、方向和彈性常數(shù)，而與單元的位置無關(guān)，即不隨單元或坐標(biāo)軸的平行移動而改變。 將（3-30）式寫成分塊形式，即可得到平面應(yīng)力問題中三角形單元的剛度矩陣(3-35) kBD B tEtb bc cb cc bc bb cc cb brsrTsrsrsrsrsrsrsrsrs4 1121212122kEtb bc cb cc bc bb cc cb brsrsrsrsrsrsrsrsrs14 112122 11122 11122 1122 1其中( r = i、j、m；s = i、j、m ) (3-36)對于平面應(yīng)變問題，只要將上式中的E、分別換成E

24、 / 1- 2 和 / 1- 即可。于是( r = i、j、m；s = i、j、m ) (3-37)二二 整體剛度矩陣整體剛度矩陣 2112nTTnTT iiiTuv 討論了單元的力學(xué)特性之后，就可轉(zhuǎn)入結(jié)構(gòu)的整體分析。假設(shè)彈性體被劃分為N個(gè)單元和n個(gè)節(jié)點(diǎn)，對每個(gè)單元按前述方法進(jìn)行分析計(jì)算，便可得到N組形如（3-33）式的方程。將這些方程集合起來，就可得到表征整個(gè)彈性體的平衡關(guān)系式。為此，我們先引入整個(gè)彈性體的節(jié)點(diǎn)位移列陣 2n1 ，它是由各節(jié)點(diǎn)位移按節(jié)點(diǎn)號碼以從小到大的順序排列組成，即其中子矩陣(j) (i =1,2, , n ) (k) 是節(jié)點(diǎn)i的位移分量。 RRRRnTTnTT2112 R

25、XYUViiiTieeNieeNT11 繼而再引入整個(gè)彈性體的載荷列陣R2n1 ，它是移置到節(jié)點(diǎn)上的等效節(jié)點(diǎn)載荷依節(jié)點(diǎn)號碼從小到大的順序排列組成，即(l)其中子矩陣(i =1,2, , n ) (m)是節(jié)點(diǎn)i上的等效節(jié)點(diǎn)載荷。 RRRRneieTijeTjmeTmnT211()()() RUViieieT 現(xiàn)將各單元的節(jié)點(diǎn)力列陣Re61 加以擴(kuò)充，使之成為2n1階列陣其中，子矩陣(n)(i, j, m 輪換) (o)是單元節(jié)點(diǎn)i上的等效節(jié)點(diǎn)力。 (n)式中的省略號處的元素均為零，矩陣號上面的i, j, m 表示在分塊矩陣意義下Ri 所占的列的位置。此處假定了i, j, m 的次序也是從小到大排

26、列的、并且與節(jié)點(diǎn)號 RRRRReeNTTnTT112碼的排序一致。各單元的節(jié)點(diǎn)力列陣經(jīng)過這樣的擴(kuò)充之后就可以進(jìn)行相加，把全部單元的節(jié)點(diǎn)力列陣疊加在一起，便可得到 (l)式所表示的彈性體的載荷列陣，即這是由于相鄰單元公共邊內(nèi)力引起的等效節(jié)點(diǎn)力，在疊加過程中必然會全部相互抵消，所以只剩下載荷所引起的等效節(jié)點(diǎn)力。 同樣，將（3-35）式的六階方陣k加以擴(kuò)充，使之成為2n階的方陣 (p) nmjinmjikkkkkkkkkkmmmjmijmjjjiimijiinn1 122(q) kRnnnne222121不難看出，（3-35）式中的22階子矩陣ki j 將處于上式中的第i雙行、第j雙列中。 考慮到k

27、擴(kuò)充以后，除了對應(yīng)的i, j, m 雙行和雙列上的九個(gè)子矩陣之外，其余元素均為零，故（3-33）式中的單元位移列陣e2n1 便可用整體的位移列陣2n1 來替代。這樣，（3-33）式可改寫為 KkBD B tdxdyeNTeN11 kReNeeN11把上式對N個(gè)單元進(jìn)行求和疊加，得(r) 上式左邊就是彈性體所有單元剛度矩陣的總和，稱為彈性體的整體剛度矩陣（或簡稱為總剛），記為K。注意到（3-28）式，有(3-38) nnnmnjninmnmmmjmimjnjmjjjijinimijiiinmjiKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK1111111111(3-39) 若寫成分塊矩陣的

28、形式，則 KkrsrseN2 21rnsn1 21 2 , , , 顯然，其中的子矩陣為 它是單元剛度矩陣擴(kuò)充到2n2n 階之后，在同一位置上的子矩陣之和。由于(q)式中許多位置上的子矩陣都是零，所以（3-36）式不必對全部單元求和，只有當(dāng)krs 的下標(biāo)r = s或者屬于同一個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)號碼時(shí)，krs 才可能不等于零，否則均為零。 將（3-34）式和 (p) 式代入 (r) 式，便可得到關(guān)于節(jié)點(diǎn)位移的所有2n個(gè)線性方程，即K=R (3-41) (3-40)123421q圖 3-5組裝總剛k的一般規(guī)則：1. 當(dāng)krs中r=s時(shí)，該點(diǎn)被哪幾個(gè)單元所共有，則總剛子矩陣krs就是這幾個(gè)單元的剛度矩陣子

29、矩陣krse的相加。2. 當(dāng)krs中r s時(shí)，若rs邊是組合體的內(nèi)邊，則總體剛度矩陣krs就是共用該邊的兩相鄰單元單剛子矩陣krse的相加。3. 當(dāng)krs中r和s不同屬于任何單元時(shí)，則總體剛度矩陣krs=0。下面，我們考查一個(gè)組裝總剛的實(shí)例：1. 整體剛度矩陣及載荷列陣的 組集 根據(jù)疊加原理，整體結(jié)構(gòu)的各個(gè)剛度矩陣的元素顯然是由有關(guān)單元的單元剛度矩陣的元素組集而成的，為了便于理解，現(xiàn)結(jié)合圖3-5說明組集過程。 子塊33333231232221131211KKKKKKKKKKe 圖中有兩種編碼：一是節(jié)點(diǎn)總碼：1、2、3、4；二是節(jié)點(diǎn)局部碼，是每個(gè)單元的三個(gè)節(jié)點(diǎn)按逆時(shí)針方向的順序各自編碼為1，2，

30、3。圖中兩個(gè)單元的局部碼與總碼的對應(yīng)關(guān)系為： 單元 1 ： 1，2，3 1，2，3 單元 2 ： 1，2，3 3，4，1或： 單元 1 ： 1，2，3 1，2，3 單元 2 ： 1，2，3 1，3，4單元e的剛度矩陣分塊形式為： 該單元的結(jié)點(diǎn)碼該單元的結(jié)點(diǎn)碼i，j，m分別為分別為3，8，2。根據(jù)上式。根據(jù)上式擴(kuò)大后的單元剛度矩陣和結(jié)點(diǎn)載荷列陣分別為：擴(kuò)大后的單元剛度矩陣和結(jié)點(diǎn)載荷列陣分別為：ejjejiejmeijeiieimemjemiemmGKGKKKKKKKKKnneT83218321000008321ejeiemeTPPPPGn 它們僅顯示了該單元矩陣對結(jié)構(gòu)整體矩陣的貢獻(xiàn)。計(jì)算中的集它

31、們僅顯示了該單元矩陣對結(jié)構(gòu)整體矩陣的貢獻(xiàn)。計(jì)算中的集成只需計(jì)算了單元矩陣元素后對號入座地疊加到結(jié)構(gòu)剛度矩陣及結(jié)構(gòu)成只需計(jì)算了單元矩陣元素后對號入座地疊加到結(jié)構(gòu)剛度矩陣及結(jié)構(gòu)載荷矩陣即可：載荷矩陣即可：nnnnnejjejiejmneijeiieimnemjemiemmnKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK21888838281338333231228232221118131211enejeeieemeePPPPPPPPP8321當(dāng)全部單元依次計(jì)算和集成，即可得到結(jié)構(gòu)剛度矩陣K和結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)載荷列陣P。總剛度矩陣總剛度矩陣K是節(jié)點(diǎn)外力與節(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系矩陣，它與單元的彈

32、性是節(jié)點(diǎn)外力與節(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系矩陣，它與單元的彈性性質(zhì)和尺寸無關(guān)，與外載荷及支承也無關(guān)。其中的任意元素性質(zhì)和尺寸無關(guān)，與外載荷及支承也無關(guān)。其中的任意元素Kij表示在表示在第第j個(gè)自由度產(chǎn)生一個(gè)單位位移而其余自由度的位移分量保持為個(gè)自由度產(chǎn)生一個(gè)單位位移而其余自由度的位移分量保持為0時(shí)，時(shí)，在第在第i個(gè)自由度上需要加的力。個(gè)自由度上需要加的力。三三 整體剛度矩陣的性質(zhì)整體剛度矩陣的性質(zhì) nynxyxyxnnnnnnnnRRRRRRvuvuvukkkkkkkkk221122112,22,21 ,22, 222212, 11211 由總剛度方程可知： 欲 使 彈 性體的某一節(jié)點(diǎn)在坐標(biāo)軸方向發(fā)生單位

33、位移，而其它節(jié)點(diǎn)都保持為零的變形狀態(tài)，在各節(jié)點(diǎn)上所需要施加的節(jié)點(diǎn)力。 剛度矩陣K中每一列元素的物理意義為：RRRRRRkkkkkkxyxynxnyTnnT1122112131412121 1 ijk 由（3-41）式可以看出，令節(jié)點(diǎn)1在坐標(biāo)軸x方向的位移u1 =1，而其余的節(jié)點(diǎn)位移v1 = u2 = v2 = u3 = v3 = = u2n = v2n =0，這樣就可得到節(jié)點(diǎn)載荷列陣等于K的第一列元素組成的列陣，即即表示： 是在j節(jié)點(diǎn)有單位位移時(shí)，而在I節(jié)點(diǎn)所需施加的力。(s) 剛度矩陣K中主對角元素總是正的。剛度矩陣K是一個(gè)對稱矩陣，即Krs = Ksr T。 剛度矩陣K是一個(gè)稀疏矩陣。 通

34、常的有限元程序，一般都利用剛度矩陣的對稱和稀疏帶狀的特點(diǎn)，在計(jì)算求解中，只存儲上半帶的元素，即所謂的半帶存儲半帶存儲。因此，在劃分完有限元網(wǎng)格進(jìn)行節(jié)點(diǎn)編號時(shí)，要采用合理的編碼方式，使同一單元中相鄰兩節(jié)點(diǎn)的號碼差盡可能小，以便節(jié)省存儲空間、提高計(jì)算效率。 FFFFFeeNTTnTT112 FFFFeieTjeTmeTT ()()() FNGieic集中力的等效載荷列陣 F逐點(diǎn)合成各單元的等效節(jié)點(diǎn)力，并按節(jié)點(diǎn)號碼的順序進(jìn)行排列，便可組成彈性體的集中力等效載荷列陣，即(d)在上式的求和中，單元e的集中力的等效節(jié)點(diǎn)力為(e)式中（i , j , m輪換） (f)(Ni )c 、(Ni )c 、(Ni

35、)c 為形函數(shù)在集中力作用點(diǎn)處的值。y0 xijmiyFixFmxFmyFjyFjxFcMyGxGG集中力（原結(jié)構(gòu)上的載荷）集中力： yxGGG等效節(jié)點(diǎn)力陣： TmymxjyjxiyixeFFFFFFF單元節(jié)點(diǎn)的虛位移為： TmmjjiieVUVUVU*單元內(nèi)力作用點(diǎn)c處的虛位移為： *ccvuf yxTcTeTeTeGGNGfF* yxTceGGNF GNFTce，即根據(jù)虛功原理解：即： yxcmmjjiimymxjyjxiyixeGGNNNNNNFFFFFFF000000其中： 為形函數(shù)在集中力作用點(diǎn)處的值。 cmcjciNNN，（3-47）NLlslslii1NLsljjNLmm 0 Q

36、QQQNq tdsNq tdsNq tdsslq tdsslq tdseiejemeijmll1000(h)代入（3-44) 式，就可以求得單元表面力的等效節(jié)點(diǎn)力為(i) 表面力的等效載荷列陣Q如圖3-7所示的單元e，在ij邊上作用有表面力。假設(shè)ij邊的長度為l，其上任一點(diǎn)P距節(jié)點(diǎn)i的距離為s。根據(jù)面積坐標(biāo)的概念，有sldseemijPqtdsmijQejQei TmymxjyjxiyixeQQQQQQQyxdstqG dstqNQTse可見，如此求得的結(jié)果與按照靜力等效原理將表面力q向節(jié)點(diǎn)i及j分解所得到的分力完全相同。圖3-7 也可以把取出的微元體看成小集中力。面力的等效節(jié)點(diǎn)力由（3-47

37、）式對s長度進(jìn)行積分可得到同樣的結(jié)果 PPPPPeeNTTnTT112 PPPPNp tdxdyNp tdxdyNp tdxdyeiejemeijm 體積力的等效載荷列陣P與表面力的情況類似，體積力的等效載荷列陣也是由單元體積力的等效節(jié)點(diǎn)力在各節(jié)點(diǎn)處合成以后，按節(jié)點(diǎn)號碼順序排列而成，即(j)式中單元e的體積力的等效節(jié)點(diǎn)力為(k)y0 xijmiyFixFmxFmyFjyFjxFeyxp設(shè)在單元ijk上受有分布體力。取微元體 ，則此微元體可看成一個(gè)集中力：體力等效節(jié)點(diǎn)力：dxdyt yxdxdytpG圖 3-8 Tymxmyjxjyixieppppppp由（3-47）式，并對三角形單元面積積分，即可得到體力位置到節(jié)點(diǎn)上的等效節(jié)點(diǎn)力列陣： dxdytpNpTe tdxdypNtdxdypNtdxdypNPPPPmjiemejeie dxdyYXNNNNNNtPPPPPPPmmjjiimymxjyjxiyixe000000或當(dāng)單元體是均質(zhì)、等厚、比重為 時(shí)，則x=0，y=- 故有： dxdypNtpTe101010300000