直線和圓的方程學(xué)案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上直線和圓的方程學(xué)案（教師）要點(diǎn)梳理1.直線的傾斜角與斜率：， .2.直線方程的幾種形式:經(jīng)常用的有點(diǎn)斜式、斜截式、一般式、截距式，注意其各自的適應(yīng)條件.3.平行與垂直:掌握兩直線平行與垂直的條件,同時(shí)要注意其各自的適應(yīng)范圍.4.距離: 熟練點(diǎn)到直線的距離與兩條件平行直線的距離公式.5.熟記圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.6.位置關(guān)系：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系.高考考什么【考題回放】1、（07年廣東文數(shù)19題） 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心在第二象限、半徑為的圓與直線相切于坐標(biāo)原點(diǎn)橢圓與圓的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為 （1）求圓的方程； （2

2、）試探究圓上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)，使到橢圓右焦點(diǎn)F的距離等于線段的長(zhǎng)若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由 解：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為（m，n）（m<0，n>0），則該圓的方程為已知該圓與直線yx相切，那么圓心到該直線的距離等于圓的半徑，則2即4， 又圓與直線切于原點(diǎn)，將點(diǎn)（0，0）代入，得m2n28 聯(lián)立方程和組成方程組解得，故圓的方程為（2）5，a225，則橢圓的方程為其焦距c4，右焦點(diǎn)為（4，0），那么4要探求是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使得該點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離等于的長(zhǎng)度4，我們可以轉(zhuǎn)化為探求以右焦點(diǎn)F為頂點(diǎn)，半徑為4的圓與（1）所求的圓的交點(diǎn)數(shù)通過聯(lián)立兩圓的方程解得x，y即存

3、在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q（，），使得該點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離等于的長(zhǎng)（08年沒考直線與圓）2.（09年廣東卷文數(shù)19）已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸在軸上,離心率為,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和,橢圓G上一點(diǎn)到和的距離之和為12.圓:的圓心為點(diǎn).(1)求橢圓G的方程；(2)求的面積；(3)問是否存在圓包圍橢圓G?請(qǐng)說明理由.【解析】（1）設(shè)橢圓G的方程為： （）半焦距為c; 則 , 解得 , 所求橢圓G的方程為：.(2 )點(diǎn)的坐標(biāo)為， （3）若，由可知點(diǎn)（6，0）在圓外， 若，由可知點(diǎn)（-6，0）在圓外；· 不論K為何值圓都不能包圍橢圓G.3.（10年廣東卷6）由題意知，圓心在y軸左側(cè)，排除A、C在，故，

4、選D4.（2011廣東文數(shù)2題）已知集合為實(shí)數(shù)，且，為實(shí)數(shù)，且，則的元素個(gè)數(shù)為A4 B3 C2 D1解：（C）的元素個(gè)數(shù)等價(jià)于圓與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，顯然有2個(gè)交點(diǎn)5（11年廣東文數(shù)8題）設(shè)圓與圓外切，與直線相切，則的圓心軌跡為A拋物線 B雙曲線 C橢圓 D圓解：A）依題意得，的圓心到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，則的圓心軌跡為拋物線6.（2011全國(guó)卷一）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓：在軸正半軸上的焦點(diǎn)，過且斜率為的直線與交與、兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足.(I)證明：點(diǎn)在上；(II)設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，證明：、四點(diǎn)在同一圓上.【解析】(I),的方程為,代入并化簡(jiǎn)得. 設(shè),則 由題意得所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.經(jīng)驗(yàn)證點(diǎn)的坐標(biāo)

5、滿足方程,故點(diǎn)在橢圓上 6分(II)由和題設(shè)知，的垂直平分線的方程為. 設(shè)的中點(diǎn)為,則,的垂直平分線的方程為. 由、得、的交點(diǎn)為. ,故 ,又 , ,所以 ,由此知、四點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上. 12分（II）法二： 同理所以互補(bǔ)，因此A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上?！军c(diǎn)評(píng)】本題涉及到平面向量，有一定的綜合性和計(jì)算量，完成有難度. 首先出題位置和平時(shí)模擬幾乎沒有變化，都保持全卷倒數(shù)第二道題的位置，這點(diǎn)考生非常適應(yīng)的。相對(duì)來講比較容易，是因?yàn)檫@道題最好特點(diǎn)沒有任何的未知參數(shù)，我們看這道題橢圓完全給出，直線過了橢圓焦點(diǎn)，并且斜率也給出，平時(shí)做題斜率不給出，需要通過一定條件求出來，或者根本求不出來，

6、這道題都給了，反而同學(xué)不知道怎么下手，讓我求什么不知道，給出馬上給向量條件，出了兩道證明題，這個(gè)跟平時(shí)做的不太一樣，證明題結(jié)論給大家，需要大家嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)出來，可能敘述的時(shí)候有不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤?。這兩問出的非常巧妙，非常涉及解析幾何本質(zhì)的內(nèi)容，一個(gè)證明點(diǎn)在橢圓上的問題，還有一個(gè)疑問既然出現(xiàn)四點(diǎn)共圓，這都是平時(shí)很少涉及內(nèi)容。從側(cè)面體現(xiàn)教育深層次的問題，讓學(xué)生掌握解析幾何的本質(zhì)，而不是把套路解決。其實(shí)幾年前上?？嫉浇馕鰩缀伪举|(zhì)問題，最后方法用代數(shù)方法研究幾何的問題，什么是四點(diǎn)共圓？首先在同一個(gè)圓上，首先找到圓心，四個(gè)點(diǎn)找圓形不好找，最簡(jiǎn)單的兩個(gè)點(diǎn)怎么找？這是平時(shí)的知識(shí)，怎么找距離相等的點(diǎn)，一定在中垂線，兩個(gè)

7、中垂線交點(diǎn)必然是圓心，找到圓心再距離四個(gè)點(diǎn)距離相等，這就是簡(jiǎn)單的計(jì)算問題.方法確定以后計(jì)算量其實(shí)比往年少. 熱點(diǎn)透析廣東省這幾年主要考了求圓的方程，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系、圓的切線問題、圓與其他圓錐曲線的綜合；題目類型可能是一個(gè)大題，或兩個(gè)小題；小題屬中低檔題，圓與其他圓錐曲線的綜合則有一定難度?！痉独?】（名師講堂P31例1）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上，（1）求圓C的方程；（2）如果圓C與直線交于A，B，且，求a的值。變式訓(xùn)練1：（本題滿分13分） 已知圓C的圓心C(-1,2),且圓C經(jīng)過原點(diǎn)。（1）求圓C的方程（2）過原點(diǎn)作圓C的切線，求切線的方程。（3

8、）過點(diǎn)的直線被圓C截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程?！敬鸢浮浚?）圓方程為 3分來源:Zxxk.Com（2）切線方程為 7分（3）直線n的方程為或（寫成一般式為）13分【范例2】已知橢圓過點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，經(jīng)過的直線與圓心在軸上且經(jīng)過點(diǎn)的圓恰好相切于點(diǎn)（1）求橢圓及圓的方程；（2） 在直線上是否存在一點(diǎn)，使為以為底邊的等腰三角形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)，否則說明理由【答案】解：（1），則，橢圓， 3分設(shè)圓心，半徑，則由，得圓，又，從而，結(jié)合 得橢圓 6分（2）假設(shè)存在一點(diǎn)，使為以為底邊的等腰三角形，則有，由（1）知即，設(shè)直線上的點(diǎn)，中點(diǎn)，又，由得所求的點(diǎn)為 12分【范例3】已知點(diǎn)，是拋物線

9、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量滿足設(shè)圓C的方程為,證明：1）求圓心C的規(guī)跡方程；2）當(dāng)圓C的圓心到直線的距離的最小值為時(shí)，求p的值。解：設(shè)圓C的圓心為C(x,y)，則 又,=所以圓心的軌跡方程為：2）設(shè)圓心C到直線的距離為d,則，所以當(dāng),d有最小值，由題設(shè)，所以p=2變式：已知P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值。解：點(diǎn)P在直線上，所以設(shè)，C點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)=2=四邊形PACB的面積最小，而|PC|=，所以|PC|最小為3，所以最小為課后作業(yè)：1（全國(guó)）已知直線過點(diǎn)（2，0），當(dāng)直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，其斜率k的取值范圍是（C ）A

10、) B C（） D（）2（大連檢測(cè)）從點(diǎn)P(m,3)向圓C：，引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為（A ）A2BC D53(江西高考)為雙曲線的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為 （ D ）A6 B7 C8 D94(天津高考)設(shè)直線與圓相交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為，則。（0）5如果實(shí)數(shù)滿足條件，那么的最大值為_。(1)6過點(diǎn)(1,2)總可以作兩條直線與圓相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍_()7.已知點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)M（1，0）、N（1，0）距離的比為，點(diǎn)N到直線PM的距離為1，求直線PN的方程解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由題設(shè)有，即整理得 x2+y26x+1=0因?yàn)辄c(diǎn)N到PM的距離為1，|M|2

11、，所以PMN30°，直線PM的斜率為±，直線PM的方程為y=±（x1）將式代入式整理得x24x10解得x2，x2代入式得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）或（2，1）；（2，1）或（2，1）直線PN的方程為y=x1或y=x+18（本小題滿分12分）（）一動(dòng)圓與圓相外切，與圓相內(nèi)切求動(dòng)圓圓心的軌跡曲線E的方程，并說明它是什么曲線。（）過點(diǎn)作一直線與曲線E交與A,B兩點(diǎn)，若，求此時(shí)直線的方程。解：（1）設(shè)動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)為，半徑為r又內(nèi)切和外切的幾何意義 所以所求曲線軌跡為橢圓，方程為： 設(shè)直線方程為直線與橢圓交與A ， B 聯(lián)立方程組把直線方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)整理得 又弦長(zhǎng)公式，

12、代入解的所以直線方程為9已知圓，圓，圓,關(guān)于直線對(duì)稱.（1）求直線的方程；（2）直線上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去點(diǎn)到點(diǎn)的距離的差為，如果存在求出點(diǎn)坐標(biāo)，如果不存在說明理由.解：（1）因?yàn)閳A,關(guān)于直線對(duì)稱，圓的圓心坐標(biāo)為，圓的圓心坐標(biāo)為， 2分顯然直線是線段的中垂線， 3分線段中點(diǎn)坐標(biāo)是，的斜率是， 5分所以直線的方程是，即. 6分（2）假設(shè)這樣的點(diǎn)存在，因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)的距離減去點(diǎn)到點(diǎn)的距離的差為，所以點(diǎn)在以和為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線的右支上， 即點(diǎn)在曲線上， 10分又點(diǎn)在直線上， 點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解， 12分消元得，方程組無解，所以點(diǎn)的軌跡上是不存在滿足條件的點(diǎn). 14分10.（10年北京）

13、已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，離心率是，直線y=t橢圓C交與不同的兩點(diǎn)M，N，以線段MN為直徑作圓P,圓心為P。（）求橢圓C的方程；（）若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標(biāo)；（）設(shè)Q（x，y）是圓P上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)t變化時(shí)，求y的最大值。解：（）因?yàn)?，且，所以所以橢圓C的方程為（）由題意知由 得所以圓P的半徑為解得 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，）（）由（）知，圓P的方程。因?yàn)辄c(diǎn)在圓P上。所以設(shè)，則當(dāng)，即，且，取最大值2.【命題意圖】本題考查了橢圓方程、直線與圓的位置關(guān)系以及應(yīng)用參數(shù)法求最值等問題.問題的設(shè)置由淺入深，符合學(xué)生的思維能力的生成過程，問題的設(shè)置也兼顧考查了應(yīng)用代數(shù)的思想解決幾何問題的能力.【

14、試題點(diǎn)評(píng)】圓錐曲線問題是每年的必考題型，其試題的難度會(huì)有所增加，但是其試題一般都是有梯度的，且此類問題的設(shè)置時(shí)基于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力的考查基礎(chǔ)上能力的拔高.求解此類問題往往要應(yīng)用到代數(shù)的方法和思想來求解，故此在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要注意對(duì)圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、參數(shù)關(guān)系、基本方法、基本題型的掌握和熟練.直線和圓的方程學(xué)案（學(xué)生） 高考考什么【考題回放】1、（07年廣東文數(shù)19題） 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心在第二象限、半徑為的圓與直線相切于坐標(biāo)原點(diǎn)橢圓與圓的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為 （1）求圓的方程； （2）試探究圓上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)，使到橢圓右焦點(diǎn)F的距離等于線段的長(zhǎng)若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐

15、標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由（08年沒考直線與圓）2.（09年廣東卷文數(shù)19）已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸在軸上,離心率為,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和,橢圓G上一點(diǎn)到和的距離之和為12.圓:的圓心為點(diǎn).(1)求橢圓G的方程；(2)求的面積；(3)問是否存在圓包圍橢圓G?請(qǐng)說明理由.3.（10年廣東卷6）4.（2011廣東文數(shù)2題）已知集合為實(shí)數(shù)，且，為實(shí)數(shù)，且，則的元素個(gè)數(shù)為A4 B3 C2 D15（11年廣東文數(shù)8題）設(shè)圓與圓外切，與直線相切，則的圓心軌跡為A拋物線 B雙曲線 C橢圓 D圓物線6.（2011全國(guó)卷一）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓：在軸正半軸上的焦點(diǎn)，過且斜率為的直線與交與、兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足.(I

16、)證明：點(diǎn)在上；(II)設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，證明：、四點(diǎn)在同一圓上. 熱點(diǎn)透析廣東省這幾年主要考了求圓的方程，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系、圓的切線問題、圓與其他圓錐曲線的綜合；題目類型可能是一個(gè)大題，或兩個(gè)小題；小題屬中低檔題，圓與其他圓錐曲線的綜合則有一定難度?！痉独?】（名師講堂P31例1）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上，（1）求圓C的方程；（2）如果圓C與直線交于A，B，且，求a的值。變式訓(xùn)練1：（本題滿分13分） 已知圓C的圓心C(-1,2),且圓C經(jīng)過原點(diǎn)。（1）求圓C的方程（2）過原點(diǎn)作圓C的切線，求切線的方程。（3）過點(diǎn)的直線被圓C截得的弦長(zhǎng)為，求直

17、線的方程?！痉独?】已知橢圓過點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，經(jīng)過的直線與圓心在軸上且經(jīng)過點(diǎn)的圓恰好相切于點(diǎn)（1）求橢圓及圓的方程；（2） 在直線上是否存在一點(diǎn)，使為以為底邊的等腰三角形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)，否則說明理由【范例3】已知點(diǎn)，是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量滿足設(shè)圓C的方程為,證明：1）求圓心C的規(guī)跡方程；2）當(dāng)圓C的圓心到直線的距離的最小值為時(shí)，求p的值。變式：已知P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值。課后作業(yè)：1（全國(guó)）已知直線過點(diǎn)（2，0），當(dāng)直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，其斜率k的取值范圍是（ ）A) B C（） D（）2（大連檢測(cè)）從點(diǎn)P(m,3)向圓C：，引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為（ ） A2BC D53(江西高考)為雙曲線的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為 （ ）A6 B7 C8 D94(天津高考)設(shè)直線與圓相交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為，則。 5如果實(shí)數(shù)滿足條件，那么的最大值為_。 6過點(diǎn)(1,2)總可以作兩條直線與圓相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍_ 7.已知點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)M（1，0）、N（1，0）距離的比為，點(diǎn)N到直線PM的距離為1，求直線PN的方程8（）一動(dòng)