2017-2018學年高中數(shù)學第二章平面向量1從位移、速度、力到向量教學案北師大版必修4

1、1 從位移、速度、力到向量核心必知核心必知1.1.位移、速度和力位移、速度和力這些物理量都是既有大小，又有方向的量，在物理中稱為“矢量”，它們和長度、面積、質量等只有大小的量是不同的.2 2 .向量的概念(1)(1) 向量的定義：在數(shù)學中，把既有大小，又有方向的量統(tǒng)稱為向量.(2)(2) 向量的表示法1有向線段：具有方向和長度的線段叫作有向線段.2向量的表示法( (i) )幾何表示法：用有向線段表示，若有向線段的起點為A終點為B,則該有向線段記作:AB.盤 牛f).=(ii)(ii)字母表示法：用黑體小寫字母a，b，c，表示，書寫用 - 表示.(3)(3) 向量的模( (長度) )向量( (或

2、a) )的大小，稱為向量 -( (或a) )的長度，也叫模，記作| |(|(或| |a|)|).(4)(4) 與向量有關的概念零向量長度為零的向量稱為零向量，記作0 0單位向量與向量a同方向，且長度為單位1 1 的向量，叫作a方向上的單位向量，記作ao自由向量由大小和方向確定，而與起點位置無關的向量稱為自由向量相等向量長度相等且方向相同的向量，叫作相等向量向量a與b相等，記作a=b問題思考 辨析問険斛就惑( (tfiiLjf i*t isAuf ifiu/tnK自至常習植理主，干預習導引區(qū)-2-平行( (共線) )向量如果表示兩個向量的有向線段所在的直線平行或重合，則稱這兩個向量平行或共線.a

3、與b平行或共線，記作a/b.零向量與任一向量平行-3-問題思考1 1 有向線段就是向量，對嗎？提示：不對.有向線段的起點、終點是確定的，而向量與起點無關，可以自由平移，它可以 用有向線段表示，但不能說有向線段就是向量.2 2 相等向量的起點相同，對嗎？提示：不對.相等向量是指長度相等且方向相同的向量.所以，兩個向量只要長度相等，方 向相同，即是相等的向量，與起點的位置無關.能力提升I$拔高和課深化提能奪高分講一講1 1判斷給出下列命題是否正確，并說明理由.(1)(1)若 | |a|b| |，貝 U Ua b；若 | |a| | = | |b| |，貝 U Ua=b；向就莊和向就麗的長度相等帛(

4、4)若與b是共線向量:(5)若垃；W與向星Clj是共線向量，則A.B.C.D四點 共緩嘗試解答 不正確.向量的模是一個非負實數(shù)，可以比較大小，但向量是有方向的量,方向是不能比較大小的，所以，向量只有相等與不相等的關系.(2)不正確.兩向量相等，必須長度相等，且方向相同，所以僅模相等，并不一定是相等的 向量；(3)正確.向量麗與臥的長度都等于線段八B的長度甲故(3正確.(4)正確.若a =趴說明向量與b的模相等*且方向相同, 是共線向童.知識突破I重點知逞步步採究穂根基知識點 1向量的有關概念4-C重點知識+講透練令】I課堂互動區(qū)-4-(3)不正確.若向量麗與向量CD是共線向量級則向量麗與所在的

5、直線平行或重合*因此不一定共線.類題-通法1 1 對向量有關概念的理解要嚴謹、準確，特別注意向量不同于數(shù)量，它既有大小，又有方向，而方向不能比較大小，所以任給兩個向量都不能比較大小.2.2.對于兩個向量，只要方向相同或相反，一定是共線向量.3 3 .零向量是特殊的向量，解題時一定要注意其方向的任意性.練一練1 1 .給出下列命題(1)(1) 若| |a| | = 0 0,則a= 0 0;(2)(2) 若a=b,則 | |a| | = | |b| |;(3)(3) 向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；(4)(4) 兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；(5)(5) 兩個有共同終點

6、的向量，一定是共線向量；其中正確命題的個數(shù)是( () )A.A. 1 1B.B. 2 2C.C. 3 3D D. 4 4解析：選 B B (1)(1)不正確.零向量與數(shù)字 0 0 是兩個不同的概念，零向量是一個向量，而數(shù)字0 0是一個實數(shù)，沒有等量關系；(2)(2) 正確.兩向量相等，其長度必然相等；(3)(3) 不正確.若a與b中有一個為零向量時，其方向是不確定的；(4)(4) 正確.相等的向量，長度相等且方向相同，若起點相同，則終點必相同；(5)(5) 不正確.終點相同并不能說明這兩個向量的方向相同或相反.向量的幾何表示-1【重點知識講透練金】I知識點 2-5-講一講2 2 小李離家從A點

7、出發(fā)向東走 2 2 kmkm 到達B點，然后從B點沿南偏西 6060走 4 4 kmkm,到達C點，又改變方向向西走 2 2 kmkm 到達D點.(1)(1)作出(2)(2)求小李到達D點時與A點的距離.嘗試解答(1)作工反BidO如圖所示辛(2)依題意四邊形ABC7為平行四邊形.二AD = 13C=l.即小李到達D點時離A點 4 4 km.km.類題通由.彳丁力肖令i.i.用有向線段表示向量時，先確定起點，再確定方向，最后依據(jù)模的大小確定向量的終點.2 2 .確定向量的長度或方向時，需要用平面幾何的知識，如直角三角形的解法、平行四邊形 的性質等.2.2.中國象棋中規(guī)定：馬走“日”字，象走“田

8、”字.如下圖所示，在中國象棋的半個棋盤(4(4X8個矩形中，每個小方格都是單位正方形) )中，若馬在A處，可跳到Ai處，也可跳到 A A 處,解：如圖，以點C為起點作向量( (共 8 8 個) )，以點B為起點作向量( (共 3 3 個) ).用向量表示馬走了“一步”B C處走了一步的所有情況.，試在圖中畫出馬在-6-77.41、V/-7-講一講3 3如圖所示，0為正方形ABCD寸角線的交點，四邊形OAED OCFB是正方形在圖中所示的向量中:(1)(1)分別寫出與:相等的向量;1)Y|A?)| = |(X| = |BF|,且廡與禾)的方向相同：與丟)相等的向量是O(;.BF.同理與 負)相等

9、的向量是兀巨(2)TAODEBFM*6(：三點共線奠題-通法1 1.在平面圖形中找相等向量、共線向量時，首先要注意分析平面圖形中相等、平行關系，同時注意線段的平行和相等與向量平行和相等的區(qū)別，充分利用平行四邊形的性質.2 2 尋求相等向量，抓住長度相等，方向相同兩個要素；尋求共線向量，抓住方向相同或相反的一個要素.練一練3.3.如右圖，四邊形ABCD CEFG CGH都是全等的菱形，則下列關系不一定成立的是( () )相等向量與共線向量I【拔高如識-拓寬提鉅】I(2)(2)寫出與、共線的向量.嘗試解答與AO線的向量是PE.(XRF,C(X-8-Ati-9-A.AB = EF1兀與可了共線CBD

10、=EHIX了元與共線解析：選C由題意知，AB= EF A成立;又AB/ FH DC與EC共線都成立， B B, D D 成立.而BD不一定等于EH故 C C 不一定成立.同樣啊結果不一樣的過程*節(jié)宵解題時間也是捋分!直角坐標平面內.動點P滿足丨1 = 1(0為唯標原 點兒乂他定點Q( 3.求向址甩的模的取值范圍.巧思I I; ;I I = 1 1 說明點P到定點o的距離為 1 1,即P在以原點為圓心，以 1 1 為半徑的圓表示P、Q兩點的距離，因此可采用數(shù)形結合法來解決.B兩點，由平面知識易知：當P運動至A，B兩點時，向量-|分別取最小值，最大值, rLK2V ()Q| =/( 3)2+42=

11、 5.AQ =51 = 4,*.* | BQ| = 5+1 = 6*A|PQ|的取值范團為4,6.解題高手|妙解題上，Q點在圓外,妙解如圖，由小小= =1 1 知動點P的軌跡是單位圓，連接QC并延長與單位圓相交于A,-10-L. . “陀”和冷護什和讓“g 令窿蛛習 固本提陡勺學業(yè)水平達標1 1.下列物理量：質量；速度；力；加速度；路程；密度；功.其中不是向 量的有（ ）A A. 1 1 個B B. 2 2 個C.C. 3 3 個 D D . 4 4 個解析：選 D D 本題主要考查向量的概念，看一個量是不是向量，就是看它是否具備向量的兩 個要素：大小和方向，因為是既有大小，又有方向的量，所以

12、它們是向量；而只 有大小而沒有方向的量，所以不是向量.2 2 .給出下列命題：起點相同，方向相同的兩個非零向量的終點相同；起點相同的兩個相等的非零向量的終 點相同；兩個平行的非零向量的方向相同；兩個共線的非零向量的起點與終點一定共線其 中正確的是（ ）A A.B B .C.C.D D .解析：選 B B 起點相同，方向相同的兩個非零向量若長度不相等，則終點不相同，故不正 確；起點相同且相等的兩個非零向量的終點相同，故正確；兩個平行的非零向量的方向相同或 相反，故不正確；兩個共線的非零向量的起點與終點不一定共線，所對應的直線可能平行，故 不正確.3.3.設0為厶ABC的外心，則 -是 （）A.A

13、. 相等向量B.B. 平行向量C.C.模相等的向量達標蜒1I學業(yè)水平小測讓爭! 生趙熱打伕消化所學.! ! stst竦謖度又球準度I能力練課下能力提升,捉速 提能.毎課一檢測，步訓練提能區(qū)-11-D.D.起點相同的向量解析：選 C C 顯然AO BO CO互不平行，但長度相等，所以 I I I I= = | | BQ|BQ| = = I IQ|.4 4如圖所示，四邊形ABCD四邊形ABD郵是平行四邊形.若，=3 3，則向量的模等于 : 解析： 相等向量既模相等，又方向相同，所以與山 3 相等的向量有(2)若|麗|=4則|麗| = |萬0=3.:.IEC| =2X3=6*答案tUyAB.DC(2

14、)65.5._如圖，B、C是線段AD的三等分點，分別以圖中各點為起點和終點最多可以寫出 _個互不相等的非零向量.I I LA B C D解析：可設AD的長度為3,那么長度為1的向量有個冷 其中鬲=BC=CD.BA=CB = T)C,長度為2的向量有4個密其中猶=Bf)fCA=DB長度為3的向量有2個分 別是兀 Q 和所以最多可以寫出6個互不相等的向量*答案：6 66 6 .我國國內有些城市的道路命名非常有趣，它以“經緯”來命名道路，目前比較典型的有鄭州市，其經緯路走向與地理意義上的經緯走向保持了一致，濟南市的命名則與地理意義的經緯走向是完全相反的，另外西安市以前也以經緯命名道路，但后來大多更名

15、設某城市的地圖如圖( (街道剛好分布在一個方形格紙中且距離都為1 1 個單位) )：請作出某人從經 1 1 緯 2 2 路口走到經 3 3 緯4 4 路口的位移，并計算其走過的最短路程和位移的大小.(1)(1)與向量丘匚相等的向量有-12-解：如圖，用向量表示某人的位移.位移的大小為，2 22+ 2 22= 2 2 2 2 個單位長度.從A走到B,必然向右走 2 2 個單位，向下走 2 2 個單位，所以走過的路程為 4 4 個單位長度.、課下能力提升（十三）一、選擇題1 1 .給出下列命題：若a=b,則 | |a| | = | |b| | ；若 | |a|b| |，則a tan 0=蘭=阿，|

16、AB|4經 1 經 2 經 3 經彳經 5緯 2韓 31-13-6060 . .3 3 .下列說法中正確的是（）A.A. 平行向量一定方向相同B.B. 共線向量一定相等C.C. 起點不同，但方向和模相等的幾個向量一定是相等的向量D.D. 與任意向量都平行的向量不一定是零向量解析：選 C C 非零平行（共線）向量要么方向相同，要么方向相反，所以A A、B B 均不正確；只有零向量與任意向量平行，故 D D 不正確；C C 正確.4.4. 已知集合A=與a共線的向量,B= 與a長度相等的向量 ,C= 與a長度相等，方向相反的向量，其中a為非零向量，則下列命題中錯誤的是（）A A.C AB B.An

17、B=CC.C.C BD D.AnB C解析：選 B B / /AnB中還含有向量a,故 B B 錯.二、填空題5.5. 如圖，在四邊形ABCDK 且|AB| = |A/5|則四邊形ABCD_解析：由=DC且AH =DC所以四邊形為平行四邊形又|麗| =AI）.因此四邊形ABCD為菱形*答案：菱形6.6.在? ?ABCD中,E,F分別是AB CD勺中點，如圖所示的向量中，設J=a,，=b,-14-則與a相等的向量是_ ；與b共線的向量是_.答案：FT7 7 如圖，設每一個正方形小方格的邊長為 1 1，則向量GH的長度從小到大排列依次為 _ 解析:|=/22+22=2|(7)| =3； | EF|

18、 = 4；| FG| =/廠+3, =； GH=/ + 3, = 3罷.答案：2/2,3,4, /T.3吃8.8.如圖，已知矩形ABCDK設點集 M=M= A, B, C, D ,集合T= PQ| |P、Q QM,且PQ工 00 則集合T中有_個元素.解析：集合T= PQ| |P、Q M且PQ工 00中的元素為非零向量PQ，且向量的起點與終點lir分別為矩形的頂點A、B、C、D根據(jù)集合元素的互異性，得集合T=A乩BA,Ab.DA.AC.CAb.DB共含有 8 8 個元素.答案：8 8三、解答題9 9 .一架測繪飛機從 A A 點向北飛行 200200km到達 B B 點，再從 B B 點向東飛行 100100km到達 C C 點，再從 C C